当時、東大がこの問題を出したのは意外に感じていました。sin x が x の整式で表せないことを証明(1970年)させた名古屋大なら仮に出しても不思議でないですが。 この問題、(1) で cos θ と sin θ を定義させてから (2) で加法定理を証明させているので、入試本番では cos (π/2 - θ) = sin θ や sin (π/2 - θ) = cos θ も定義にしたがって証明しないと使えないんでしょうね。何が既知であるかをこちら側が判断しなければいけない点が面倒な問題です。
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
前半部分の2点間の距離と余弦定理を用いる方法は証明の図が0
(1)でsin,cosの定義をさせて、「それに基いて」(2)で加法定理を証明させる問題で、(2)だけの技量を問うものではない。例えば(1)で複素数で三角比を定義したならそれを用いて(2)だし、なぜ色々なRUclipsrが(2)だけを取り出して「教科書にも載ってる基本問題」と騒ぎ立てるのか。(1)あってのこの問題なのに。
これって(1)は三角関数とは何かを自分で定義するという趣旨の問題でしたよね。
標問の解説だけ読んでても意味が分からなかったので助かりました🙏
まじ2日掛けてこれ証明してた笑笑
cosの加法定理はx-y平面での単位円の中で二等辺三角形作って余弦定理
ここで余弦定理の証明もしたわ
sinは二等辺三角形の面積で求めたわ。我ながら天才的発想だと思った
ベクトルと三角関数、図形と方程式の親和性には感動します笑
野獣先輩の動画で教わりました
@@無職のゼウス 細かくてごめんだけど剰余じゃね？
これ
@@re-pm9pg 加法定理もあったよ
@@sisyosan8426 野獣先輩の話じゃなくて、「余剰の定理もやりましょう！」ってコメントしてる人がいたから、それに剰余じゃない？って言っただけよw
@@re-pm9pg 気づかなかった…許してくださいなんでもしますから
斜交座標で考えればってやつかな？
ベクトルの回転と正射影使えばOK
ガチノビさんで見て感動したから覚えてた！
いつもありがとうございます。
公式の証明は共通テストでも誘導付きで出題される気がするので他の公式についてもこのような動画をあげていただけると嬉しいです🙇
何か引っ掛かると思ったら時短の方の右列3行目がcosα(1, 0)+sinα(1, 0)になってるからか
sinα(0, 1)じゃない？
このままだと4行目が(cosα+sinα, 0)になる
(行列の並びが逆だけど書き方わからんので通じろ)
教科書大好きマンなので王道解法の方はこの問題見た時は一瞬でペンが動き始めました
教科書的な証明が抜けてる人も意外と多いんやなって思った記憶があります
俺も学生時代隅から隅まで読み込んでた
数学ガールにもこの公式証明のやり方書いてあって、xy座標と幾何学から求めるのと、回転行列と単位ベクトルから求めるのがありました。バリエーションまだほかにもありそうですね。
その本は僕も読みましたよ。
「加法定理だけ覚えて他は導け」と言われるので、じゃあ加法定理証明できるかな？という問題だったんですかね
トレミーの定理から証明するのもなかなか気持ちいい！
ベクトルは回転を考える時に便利だよね
ベクトル習ってから、三角関数と図形と方程式にいったん覚えてる
復習に使いました。ありがとうございました
学び直しで、加法定理の証明の動画を色々と見ていて、余弦定理を使った王道の証明が暗黙の了解でcos(a-b)になることについて、ずっと腑に落ちなかったけど、この動画でやっとわかった！
「a ,bのミックスした式が欲しい...じゃあABの長さを考えましょう！」
という最初の入りも良かった！
おっしゃられているように、数学が楽しくなる動画ですよ！
これからも私はここで紹介されている最初の証明を愛することになるでしょう。
まぁ、加法定理自体を忘れるかもしれませんが...
すごくわかりやすい…
代数幾何、基礎解析で分けてやるのも良いが演習では一緒に混ぜ混ぜで導くのが楽しみにしてたのは極々一部でしか無かった自称進学校…
ちょうど昨日27ヶ年でやったのでありがたいです
じつは直角三角形を2つ組合われせば作れるんだわ
数学の真髄で習ってて知ってる人多そう
同じくです笑
同じくです笑
証明になっているのかどうかが自分にはわからないな。。それっぽく解説したようにしかみえない。。
東進の青木先生が加法定理くらい当たり前に見えてないとクビですって言ってたなー
備忘録‘’ 〖 別解 〗 A( cosα, sinα ), B( cosβ, sinβ ) とおく。
【 内積 OA* • OB* を二通りに表すのが Magic Bullet 】
図示して、∠AOB＝ α－β をとって ( 左辺は内積の定義 )＝( 右辺は内積の成分計算 )
⇔ 1・1・cos( α－β )＝ cosα・cosβ ＋ sinα・sinβ
⇔ cos( α－β )＝ cosα･cosβ＋sinα･sinβ ･･･①
よって、 cos( α＋β )＝ cosα･cosβ－sinα･sinβ ･･･②
∵ ①で、 βを －β に変えた。 さらに、②で αを π/2－α に変えて
sin( α－β )＝ sinα･cosβ－cosα･sinβ ･･･③
sin( α＋β )＝ sinα･cosβ＋cosα･sinβ ･･･④ ∵ ③で、βを －β に変えた。■
関係ないけど最初の回転αではなく2α
まだ習ってないからわかった時にまたこよーっと
行列を知ってるオジサンは得意だね。
単位円上の(sinα, cosα)にβ回転させる回転行列かけたらいっぱつじゃないの？
天才的ですかねぇ
定期テストでこの解法出て自分しか出来なかったから気に入ってる
わーかっちょいー
おれかっけー
隙自語乙
@@ダルシム-e3t 隙自語する奴キモいよね
ちなみに僕は駿台模試数学の最高偏差値73
@@豊中高校最強の男宇高 それなマジでキモイちなみに自分は河合模試で数学の最高全国偏差値74
大学入ってこの程度スラスラかけなきゃ恥ずかしいから
逆に言えば高校生にはとても教育的な問題だから、よく勉強するんやで
cos(α+β)+(sin(α+β))i = (cosα+(sinα)i)(cosβ+(sinβ)i) = (cosαcosβ-sinαsinβ)+(sinαcosβ+cosαsinβ)i ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ あとはβ→-βにする。
数学の真髄でやりました
勝手にβに-βを代入したり、αにα-π/2代入してるけど、α、βが負の時に最初に示した図形的な解法が適用できるかって全然自明じゃなくない？
複素平面を使えば１分かからない。なんて素晴らしいんだ！！
時短の解き方の表し方変えただけですけどね
加法定理使わずに複素平面定義したから…
発想がそもそも無理でした でもメッチャ面白かった！
図形で解いても面白いです
複素数平面で証明するのはダメなんですかね？
公文式で掲載されていた！
授業でこれやって誰も理解できてなかったけどできなくていいやつなんかw
回転の話で青の長さ違うくないですか？
と思ったら、αだけ回転させたあとの図の点Bの位置の描き方が下手なだけですね
当時、東大がこの問題を出したのは意外に感じていました。sin x が x の整式で表せないことを証明(1970年)させた名古屋大なら仮に出しても不思議でないですが。
この問題、(1) で cos θ と sin θ を定義させてから (2) で加法定理を証明させているので、入試本番では cos (π/2 - θ) = sin θ や sin (π/2 - θ) = cos θ も定義にしたがって証明しないと使えないんでしょうね。何が既知であるかをこちら側が判断しなければいけない点が面倒な問題です。
マクローリン展開したら普通にxの整式で表せるくね？
@@kiichiokada9973 あくまで近似では?
@@kiichiokada9973 大学入試では整式の次元は有限です。
凡人の私に教えてください。
私的には先に「A’B’」の図で考えて、それを回転させて「AB」の図で考えた方がすんなりいくと思う。なぜならαをマイナスの向きにとるという発想はなかなか出てこないと思うからです。しかしパスラボさんは逆の順番で展開をしています。その意図を知りたいです。みなさんどう思いますか？
解き初めはA‘B’を書き始める気がしますが、座標をcos,sinで表す説明上の都合といった感じでしょうか。
また余弦定理を使うことで、ABの図のみで証明することもできます。
ベクトルe_2の成分が間違っています…
そもそも加法定理プラスでしか使わんからマイナスに変換はいつもやってる
私が高校生の時にこの証明が実力試験で出た。ただ、行列習っていたので行列使うなという指示がありました。
sinの加法定理は面積が等しいで出してました。
単位円周上に(cosα,sinα), (cosβ.sinβ)をとり、これらを成分とする2つのベクトルの内積を考えると、加法定理の等式が現れるんですけど。
自分もその方法で証明しました
ひとつ気になるのは、循環論法になっていないですかね。
つまり、内積の成分表示のところで加法定理を利用していないですかね。利用していなければ
問題ないのですが。
@@64にのっち やっぱりそうでしたか。ありがとうございます。
たびたびすいません。
内積の成分表示を求めるとき
加法定理は必要ないですね。
だから循環論法ではないです。
@@64にのっち こちらこそありがとうございました。
いろいろ勉強になります。
またよろしくお願いします。
ベクトルdを[p，a°]、ベクトルeを[q，b°] と置く, pとqは正の実数
ドット積によって。
pcos(a)*qcos(b)+psin(a)*qsin(b)=｜pq｜cos(a-b)
pq(cosacosb+sinasinb)=pqcos(a-b)
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
時短解法は，ベクトルより回転行列を使った方が分かり易いような気がしました．結局は似たような物ですけど．
角度αの点P(cos(α),sin(α))と点Pを原点を中心にβ度回転させた点Qの座標の間には以下の関係が成り立つので計算すれば簡単に出ますよね？
( cos(α+β) ) = ( cos(β) -sin(β) ) ( cos(α) )
( sin(α+β) ) ( sin(β) cos(β) ) ( sin(α) )
循環論法でダメ？
今は学習指導要領の変更で行列が高校数学の範囲外になっているため、取り上げられなかったのではないでしょうか
質問があります。証明に回転行列を使うことはどうでしょうか？
αの回転とβの回転は(α+β)の回転となるので、回転行列(α)×回転行列(β)=回転行列(α+β)から求める、ということです。
「高校数学での解き方」と「大学数学での解き方」の違いでもあるんですね
余弦定理使えそうだな
オイラーの公式「e^iθ=cosθ+isinθ」にθ=a+bを代入して導いたらダメなのでしょうか。
e^i(a+b)=cos(a+b)+isin(a+b)で、実部がcosで虚部がsinの加法定理となるからラクかなと思ったんですが
ほとんどの高校はオイラーはやってませんよ
時短解法…どんなもんかと思っていたら、想像以上に（称賛の意味で）メチャクチャでした。
これは理系限定の手法…ですかね。
文系でも回転は余裕で出るぞ
@@ndykndejft
ふーん。
ベクトルをつかう証明は『大学への数学』にあったようななかったような。
自分の先生は折り紙で証明してくれました
一次変換を習った世代なら、問題にもならない。
オイラーの公式使えば簡単よな
公文の教材では単位円使わない図形的な証明だったね。加法定理は、自分で証明しようとしても絶対計算ミスして、結果答え見ながらしか証明したことないなあ。
でも、最後のベクトルのやつは、受験生のときか大学はいってからかよびのりか忘れたけど、どこかで見た気がする。
これ大学の解析系の本に載ってたわ
受験生のとき知らんかったからすごっ！ってなったの覚えてる
グッドスタイン数列について解説して欲しい
今では定番問題ですよね 加法定理の証明は
三角形の面積公式推しが全然いなくて悲しい😢
王道解法の時、一個目の式と余弦定理の関係式から示せるかなと思ったけどα+β>πの可能性あるから余弦定理は無理でした
2πから引けばよくない？
@@nh2750 たしかにそれでいけるかもしれませんね、場合分けが出てくるので回転した方がやっぱり楽そうですが、、
なんなら結果覚える方が難しかったから毎回導いてた
めっちゃ力付きそうだから真似するわ
試しにe^ iθ=cos θ+i sin θに表現して?
伝説すぎだろ笑笑
安田亨さんのうれしたのし東大数学によると直角三角形を当てはめて幾何的にも証明できます
数3だけど複素数平面でも示たような
共通テストの問題集って最低2種類やるもんなんですか？Z会しか買ってない、、
最後の解法マジでやばい。さすが東大
さすがって言うか、普通の証明よ。
へぇーすごいね
@@core-fb6ig ですねー
王道じゃないといっても邪道ではないですからねえ
当時は一次変換習ってたから自然な発想。
なるほど！
αとβの内積としてみて図を描いて右辺から左辺の説明はできるけど証明としては不十分かも
α,β∈ℝとしたときにオイラーの公式e^iθ=cosθ+isinθを使って
e^(α+β)i にそのまま、e^(αi)e^(βi)にそれぞれやって実部虚部比較するとsin(α+β)とcos(α+β)が、
e^(α-β)i にそのまま、e^(αi)e^(-βi)にそれぞれやって実部虚部比較するとsin(α-β)とcos(α-β)が示せることに気づいて証明することができました。
高校範囲では複素数の指数関数に指数法則が成り立つことは非自明では無いでしょうか？
(1)でオイラーの公式です三角関数を定義したら点もらえるかな?
悲しいことに、オイラーの公式を使った解法は数学的には正しいのですが、大学入試で書くと0点の可能性があります。
他の方も言及されていますが、いわゆる指数法則（e^(x+y)=(e^x)*(e^y)のこと）は高校数学ではxとyが実数のときしか示されておらず、大学入試で用いるにはe^(α+β)i =e^(αi)e^(βi)が成立することを証明する必要があります。そもそも、高校数学では「eの複素数乗」が定義されていないので、オイラーの公式すら自明に使うことができません。
もちろん、eの複素数乗とは何かをきちんと定義し、その定義の下で指数法則が成り立つことも合わせて証明すればきちんと点数がもらえると思います。実はそこまでの論証が必要なデリケートな話題なのです。。
cos(π/2-α)=sinαなどの変換って加法定理から導かれる結果だと思うんだけど説明無しで証明につかっていいの？使うんだったらちゃんと示してないといけないと思う。
cos(π/2-α)=sinαって加法定理から導かれるのではなく、幾何学的に明らかなので使って大丈夫だと思いますよ。(単位円描いて、図形的に見て明らかってことね)
わたしは1992年京大だけど、1999年でも範囲が変わってなければ普通に習ってて差がつかない問題だったかも。いまは道具が少なそうだから苦労しそうですね。
途中左辺って言いながら字幕が右辺なのニヤけた
予想多分単位円とベクトル
精巧で加法定理とかちょろいの来た～って思ったら最初にこれ来ててビビった笑笑
折り紙で証明したの楽しかった
回転行列使っちゃえ😊
証明としてはあまりよろしくないかもしれないけど、ベクトルの内積かド･モアブルの定理の利用も確認だけなら結構便利
一番最初の図で三平方の定理と余弦定理やればcosの方はいけるよね
物理の先生が急に加法定理の証明し出したから覚えてる
加法定理の証明は余弦定理のやつしか知らなかった
cosをベクトルで持っていてからsinに変換すれば余裕やな
どっかの問題で複素数平面イジってたら加法定理作れて覚えてました
定期テストに出たわ、懐かし
トレミーの定理でやった人いませんか？
場合分けが面倒
数学ガールのやつが1番簡単だとおもう
これ一回東進の共テ模試で誘導付きで証明出てきたよな
複素数平面使って証明したら簡単でしょと思ったのですが、ダメなんですね。
ド・モアブルの定理が三角関数の加法定理に基づいているので証明不可です
それ循環論法だよ(言いたいだけ)
大きさ1、偏角αの複素数z1と、大きさ1、偏角βの複素数z2の積を普通に式展開した場合と、偏角は足し算のα+βとした複素数zの実部と虚部を比較するだけではダメなのでしょうか？
複素数の積の偏角が複素数の偏角の和であることは加法定理で示すので循環論法になると思います。
線形代数の教科書にこれとは違う証明のってたなあ
数学の先生がこの問題言ってたな〜
何よりこれの前の定義答えるやつでビビった
ベクトルか複素数平面が有名かな
オイラーの公式の公式を三角関数の定義にすればいいのに