강의 중에서 비제차항에 따른 yp형태 부분 ax^2 그리고 sin(wx) 이 되어야 합니다. 강의자료, 전체 문제, 영상 중 풀이를 해드리지 않은 문제들에 대한 해설 pdf 파일입니다. drive.google.com/drive/folders/1a4ymwhK9pQUNeE_m30BLi3_GSeZhEToS?usp=sharing 00:00 - 복습 00:38 - 비제차 2계 선형 ODE 푸는 핵심 03:44 - 미정계수법 10:02 - 문제풀이 [87번] 14:09 - 미정계수법 주의사항 20:33 - 문제풀이 [89번] 24:25 - 문제풀이 [88번] 30:06 - 문제풀이 [92번]
진짜 이런 수업해주셔서 감사합니다ㅠㅠㅠㅠ 개념에만 치중해 수업하는 게 아니라 문제 풀이까지 자세하게 다뤄주시니 정말 도움이 많이 되는 거 같아요! 교수님 수업 듣고 이해 가지 않던 게 많았는데 덕분에 개념을 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 유튜브에 찾아봐도 대학교수님들이 따분하게 설명해 주시는 수업이 대부분인데 재미있게 알려주셔서 정말 정말 정말 감사합니다:) 시험은 치지 않지만 이런 수업이라면 공학수학 2도 스스로 공부해 보고 싶네요..!
선생님.. 선생님은 그저 제 빛이십니다.. 정말 선생님이 아니었다면은 저는 교수님의 불친절한 설명과 탄식이 나오는 강의력이라는 큰 산을 넘지 못하고 씨쁠의 바다에서 그저 헤엄을 치고만 있었을 것 같아요... 선생님 덕분에 이해 안되는 부분 없이 완벽하게 이해를 할 수 있었어요.. 제 공수 학점을 지켜주셔서 감사합니다.. 이 강의 듣고도 공수 못보면 그건 제 탓이겠지요.. 선생님은 아무 죄가 없으십니다 정말.. 혹시 미래에 교수님을 희망하고 있지는 않으신가요..? 일타 교수님이 되실 것 같아요... 감사합니다..
제차해를 구해보면 e^x, x, 1 입니다. r(x) = x+1인 상황에서 원래라면 ax+b로 두셨겠지만 지금은 제차해 기저의 x와 1에 모두 겹치므로 안겹칠때까지 x를 두번 곱한 ax^3+bx^2 으로 보셔야 합니다. 그런데 이렇게 하면 아마 (x+1) 자체는 x와 1 모두 독립이므로 굳이 x를 곱하는 변형규칙을 적용해야 하냐 라고 질문하실 수 있습니다. 그에 대한 대답은 '합규칙'에 있습니다. r(x)= (x+1) 이라고 적혀져 있다고 그대로 x+1로 보시는게 아니고 합규칙에 의해서 r1 = x, r2 = 1 이렇게 나눌 수 있죠. 이렇게 본다면 yp = x^2 (ax+b) 로 두셔야 하는게 보일것입니다. 좋은 질문입니다 ^^ 답변이 깔끔하지 못해서 조금 아쉽네요 ㅎㅎ
계수(A, a, b)가 실수(Real Number)라서 마이너스는 알아서 처리됩니다. A+B 라고 적었으면 A에 B를 더하라는 의미인데 만약 B가 음수라면...가령 -5이면 A에서 5를 빼라는 의미가 되죠. 우리는그것을 A-5라고 적을 수 있지만 A+(-5)라고 적을수도 있죠. 기억하셔야 할 것이 더하기와 빼기는 모두 합으로 표현할 수 있고 곱하기와 나누기는 모두 곱으로 표현할 수 있습니다. 4를 2로 나누어라 = 4에 (1/2)를 곱해라 그리고 미정계수법에서 합법칙의 의미는 비제차항이 기본규칙에 있는 r(x)들의 합이라면 해당 r(x)를 더해서 새로운 yp를 만들 수 있다는 규칙입니다.
교수님 수업은 진짜 머리에 안박히고 흘러지나갔는데 쏙쏙 박히네요 다만 책이 달라서 기호가 조금씩은 다른데 그래도 덕분에 공부 잘하고 있습니다. 강의를 듣다보니 95번 문제에서 의문이 생기는데 y^(2)의 계수를 1로 맞춰주기 위해서 r에 대해 x^2으로 나눠주면 1이 되는데 이때 매개변수 변환법이 아닌 미정계수법으로 A로 두고 풀면 답이 안나오는데 이건 왜 이런걸까요? 미정계수/매개변수를 써야하는 상황 케이스 분류가 잘 안되는것 같습니다..
예전에 비슷한 질문이 올라와서 그때 작성한 답변: G드라이브의 [질의응답54.pdf]를 참조해주세요. 오일러코시방정식의 경우만 특별합니다. 오일러코시의 경우 미정계수법으로 풀려고 했을때 y"의 계수는 x^2으로 유지시켜줍니다. 그래서 대부분의 책들 (+저도) 오일러코시 비제차ODE는 매개변수법으로 푸는것을 추천드립니다. (미정계수법으로 풀어도 최종 답은 같은데 방금말씀드린 y"계수가 1이 아닌 x^2으로 맞춰줘야한다는 예외사항이 있습니다.)
xe^(4x) 항 말씀이시죠? A를 구하는 과정에서 없어질수밖에 없습니다. 왜냐하면 항등식의 원리 + 수학적 논리성 + 수학의 성질 때문이죠. 틀린 과정없이 제대로만 푼다면 항등식에서 미지수 개수만큼 정보가 나오게 됩니다. 미지수 개수보다 항의 개수가 많은 경우... 1) 같은 정보여서 새로운 정보를 얻을 수 없거나 2) 영상의 문제처럼 자기들끼리 소거됩니다. 따라서 해당문제가 아닌 다른 문제 + 항등식이 등장한는 동시에 질문자님의 말씀처럼 xe^(4x)항이 남는다면 1) e^(4x)항과 같은 정보이거나 2) 소거될 수 밖에 없습니다.
비제차항이 지수함수와 삼각함수의 곱이므로 미정계수법 보다는 매개변수법으로 풀 것입니다. 물론, 미정계수법으로 풀수는 있지만 그럴려면 해당 비제차항에 대한 yp 틀을 알아야 하는데 e^xsin(2x)의 형태까지 알고 있는다는 것은 엄청나게 비효율적입니다. 그래서 매개변수법으로 푸시는 것을 추천드릴게요. 매개변수 공식 그대로 사용하면 됩니다. 물론 복잡하겠지만 이 풀이가 가장 간단하고 직관적일 거에요.
여기서는 cos2t 그대로 두셔야 합니다. 기본규칙 표를 보시면 r = coswt 일때 yp=Acoswt + Bsinwt 로 두라고 써있어요. 그런데 변형규칙도 동시에 적용 되어야 합니다. yh의 기저들 역시 cos2t, sin2t 가 있으므로 yp 는 기본규칙에 t를 곱해준 yp = Atcos2t + Btsin2t 로 보셔야 합니다
좋은 질문입니다. 질문하는것만 들어도 공학수학에 대해 잘 아시는게 느껴집니다. 자세히 보면 제차해 yh에서 y1 = e^-2x y2 = 1 이잖아요. ce^(-2x)가 y1과 종속이여서 x를 곱해준것처럼 ax+b의 b가 y2와 종속이여서 b에 x를 곱해줍니다. 그런데 그러면 ax와 또 종속이여서 한번더 x를 곱해줍니다. 즉, yp = ax+bx^2+cxe^-2x 가 됩니다. 전체에 다 x를 곱한것 처럼 보일 수 있지만 사실은 계속 독립관계를 만족하다 보니 저런 현상이 나온것입니다. 비제차항 r(x) = 2x+5+e^(-2x)를 2x와 5와 e^(-2x)로 나누어서 생각해보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 비슷한 예시 문제로 y''+2y' = 1의 문제도 r(x)가 1이라고 yp = a 라고 하면 안됩니다. 제차해 yh의 기저로 1이 있기 때문에 변형규칙에 의해서 yp = ax로 설정해주어야 하죠. 이런 부분은 헷갈리기 좋고 시험에서 실수하기 좋기 때문에 잘 기억해두어야 합니다.
강의 너무 잘 듣고있습니다. 듣던 중 잘못 표기된건지 원래 그런건지 궁금한 사항이 있어 댓글로 질문 드립니다. 혹시 비제차항에 따른 yp의 형태를 구하는 표에서 네 번째에 (ax+bx+c)가 아니라 (ax^2+bx+c)이고, 다섯 번째에 뒤쪽 cos(wx)가 sin(wx)이어야 맞는 것 아닌지 궁금합니다.
좋은 질문입니다. 그 이유는 yh와 yp가 겹치지 않기 때문입니다. yh는 e^(-x) cos(3x) , e^(-x) sin(3x) 가 기저입니다. r(x)를 보시면 sin(x)와 cos(3x)이기 때문에 yh와 겹치지 않습니다. yh에는 e^(-x)가 곱해져 있습니다. 그래서 r(x)항들과 독립이죠. 한번 W(론스키안) 계산해보시면 독립관계가 나올것입니다. 따라서 yp로 a cos(x)+b sin(x) + c cos(3x) + d sin(3x) 로 잡아도 됩니다.
같은것을 다른 문자로 쓴 것 같습니다. 교재에 따라서 제차해를 yh로 쓰기도 하고 yc로 쓰기도 합니다. complementary solution 에서의 c homogeneous solution 에서의 h 결론은 같은 것입니다. 그리고 p는 particular solution to the non- homogeneous equation 에서의 p 입니다.
수업 너무 잘 듣고 있어요! 궁금한게 있어 질문 남깁니다. 혹시 변형 규칙에서 Yp 와 Yh 의 기저가 겹치는지 비교하는 것 아닌가요? 강의에서는 r(x)와 Yh의 기저를 비교한다고 설명해주셨는데 교과서에는 Yp 와 Yh 의 기저를 비교하여 겹치면 x를 곱해주라고 되어 있어서요! 답변해주시면 감사하겠습니다:)
서로 같은 의미입니다. 단지 저는 비제차항인 r(x)기반으로 yp를 잡는게 좀 더 논리적이라고 생각할 뿐입니다. 비교대상은 제차해 yh (더 엄밀히는 y1, y2) 와 비제차항 r(x) 입니다. 그런데 교과서에서 기술되어 있듯 yh가 yp와 겹치면 yp에 x를 곱해라의 논리도 결론은 같습니다. 따라서 둘 다 맞고 결론도 같습니다.
@@도로로롤-j7v 정말 좋은 질문들입니다. 사실 제가 강의중에 이 부분들을 좀 더 정확하게 설명했었어야 했어요. 질문1) 매개변수법 쓰면 r과 yh 기저 겹치는거 신경써야 한느가? 대답: 아닙니다. 매개변수법 전략을 쓰는 순간 겹치고 안겹치고(독립, 종속)를 고려할 필요 없이 그대로 공식을 써주시면 됩니다. 질문2) 비제차오일러코시ODE를 미정계수법으로 푸는 경우 r(x)는 정확히 어떤것으로 봐야 하는가? 대답: 비제차오일러코시+미정계수 라는 조합에서 만큼은 예외적으로 r(x)의 계수는 y''의 계수가 x^2일때입니다. 예를들어 x^2y''+xy'+y = x^2 이라면 r(x) = x^2으로 보고 yp = ax^2+bx+c로 잡아야 합니다. 단, 이것은 오직 미정계수로 풀때이고 만약 매개변수로 푼다면 r(x)는 원래대로 y''의 계수가 1일때입니다. 즉, x^2y''+xy'+y = x^2 에서 매개변수로 풀면 r(x) = 1입니다. 오일러코시에서는 r(x)항을 잡는것에 대해 예외가 생기기 때문에 저는 가급적 비제차오릴러코시의 경우는 매개변수법으로 푸는것을 추천드려요. 좋은 질문들입니다 ^^
네 매개변수로도 풀 수 있습니다. 그런데 질문자님의 두 번째 질문은 미정계수법의 질문입니다. 매개변수법하고 미정계수법 구분이 정확한 상태인가요? 문제에서 yp 구하는 과정에서 r에 x를 곱하는 이유는 미정계수법 문제풀이에서 제차해와 r(x)가 겹치기 때문에 '변형규칙'이 적용되기 때문입니다.
r(x)항이 미정계수 표에 주어진 형태가 아니라면 저는 바로 매개변수법으로 풀거든요. r(x) = 2xsinx일때 yp를 (ax+b)cosx+(cx+d)sinx으로 잡아야 한다는 것까지 알고 있어야 한다고 생각되지 않습니다. 질문에 대해서 대답하면 아마 맞을것 같은데 100% 확실하지는 않네요.
네 맞습니다. 대표적인 예시로 y''+2y'=1 이 있습니다. 제차해 yh를 구하면 y1 = 1이 나오잖아요. r(x) = 1이고 이것을 기반으로 yp를 설정하면 yp = c가 나오는데 이러면 y1과 종속관계죠. 그래서 변형규칙에 의해서 x를 곱해서 yp = cx로 두고 c값을 구하면 됩니다. 좋은 질문입니다. 제가 교수님이였다면 일부러 이런식의 문제를 출제할 것 같습니다. 다음 ODE를 푸세요. 1. y''+2y'+2=0 -> 제차상수계수ODE같아 보이지만 사실상 비제차상수계수ODE 2. x^2y''+xy'+(x^2-1)=0 -> 베셀방정식같아 보이지만 사실상 비제차오일러코시방정식
@@캔두-v4j 2번이라면 x^2y''+xy'+(x^2-1)=0 말씀이신가요? 로그항이 들어가 있어야 합니다. ODE의 경우 빠르게 확인하려면 ODE계산기로 답을 확인해보세요~ www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator/x%5E%7B2%7Dy''%2Bxy'%2B%5Cleft(x%5E%7B2%7D-1%5Cright)%3D0
y''의 계수가 문제에서 무엇으로 주어지든 그 계수값으로 양변을 나누어서 1로 통일시킵니다. 예를들어 ky''+ay'+by=0 의 형태라면 양변에 상수 k로 나누어주어서 y''+(a/k)y'+(b/k)y=0 으로 본 다음 문제풀이를 진행하시면 됩니다. 앞으로 ODE단원에서 거의 모든 공식에서의 y''계수는 1로 맞춰줍니다.
안녕하세요. 강의 잘 듣고 있습니다. 다른 문제를 풀다가 막혀서 질문드립니다. x^2y’’-4xy’+6y=2x^4+x^2 에서 미정계수법을 이용하기 위해서 표에 있는대로 4차 다항함수를 만들고 제차항이 x^2과 x^3이므로 겹치지 않기 위해서 4차 다항함수에 x^4을 곱해주었습니다. 그런데 대입하고 보니 2차항이 0이되어 사라져서 미정계수법을 쓰지 못하게 돼더라구요. 어느 부분에서 잘못 푼것인가요?
미정계수법을 사용할 수 있기는 하지만 추천드리지 않는 이유가 상수계수ODE에서의 미정계수법이랑 오일러코시ODE에서의 미정계수법이랑 yp를 선정하는 부분에 있어서 살짝 다릅니다. 결론부터 말씀드리면 해가 겹치기 때문에 yp=Ax^4+Bx^2+Cx^2 lnx 로 잡고 풀어야 하는데 이것은 사전에 알 수가 없으니 15강에서 소개하는 매개변수법 공식을 추천합니다. yh를 기반으로 W를 구하고 r(x)=2x^2+1 로 본 상태에서 공식을 이용해서 yp를 구하시면 됩니다. 결론은 오일러코시방정식 비제차ODE 라면 미정계수법 보다는 매개변수법을 사용하여라 입니다.
안녕하세요! 강의잘듣고있습니다. 문제를풀다가 감이 잘 안잡혀서 질문합니다! 만약에 식이 y''+6y'+9=e^x/x 이런식으로 나왔을때 y_h는 구할수있는데 y_p를 어떤식으로 놓아야할지 이해가 잘 가지 않습니다. 혹시 Y_p에 대한 팁을 얻을 수 있을까요? 똑같이 다항식처럼 ax^(-1)+b로 놓으면 되는걸까요?
안녕하세여! 영상을 보다 질문이 생겨 댓글답니다 92번에 Yp에 식을 보면 ae^x + bx + c 로 두고나서 r(x)가 y1과 y2에 겹치면은 x를 곱한다고 했는데 이떄 yp에 x를 곱하면 전체에다가 x를 곱해야 하지 않나요?? 그런데 영상을 보니까 ae^x에만 x를 곱하는 부분이 궁금합니다. 영상을 보면 분명 x는 yp에 곱한다고 했는데 왜 ae^x항에다가만 x를 곱하는지 궁금합니다
좋은 질문입니다. 92번과 같이 합규칙이 적용되는 경우에는 "겹치는 부분에는 x를 곱한다"로 이해해주세요. 합규칙의 경우 yp=yp1+yp2로 보는것이고 오로지 yp1의 입장에서만 보면 yp1=ae^x 인데 겹치므로 yp1=axe^x로 둡니다. 반면, yp2의 입장에서는 겹치는게 없으니 그대로 bx+c로 두는거죠. 설명을 할 때 이해를 위해서 간단히 표현하거나 비유적인 표현을 사용하면 항상 부정확한 점이 있는데 여기가 바로 그 경우인것 같네요. 제가 강의중에 "겹친다"라고 표현한 이유는 미정계수법이라는 개념을 학생들이 쉽게 이해시키기 위함이였습니다. 하지만 "겹친다"의 표현은 수학적이지 않습니다. 그래서 질문자님의 질문처럼 이렇게 기존의 설명으로 설명하기 난해한 부분들이 생기죠. 만약 제가 수학적으로 설명했다면 (복잡한 이론과 함께) 듣기에는 지루했겠지만 이러한 모순은 없었을 것입니다.
기본규칙에 의해서 r(x) = -12sin(2x)이니까 yp = Acos(2x)+Bsin(2x) 로 잡으야 하는데 그 동시에 우리는 변형규칙도 생각해야 합니다. 즉, yh의 기저들인 y1과 y2가 r(x)와 겹치는지 확인해야 합니다. 제차해인 yh의 기저들을 구하면 cos(2x) 와 sin(2x)가 나옵니다. yh의 sin(2x)와 r(x)의 -12sin(2x)가 겹치기 때문에(서로 종속적이기 때문에, W=0) 우리는 겹치지 않게 하기 위해서 yp에 x를 곱해주어야 합니다. 즉, yp = Axcos(2x)+Bxsin(2x) 로 잡고 문제풀이를 이어가야 합니다. 두 번 미분하고(곱의 미분이라서 조금 복잡할 것인데 그래도 계속 이어가야 합니다) ODE에 대입하면 -4Asin(2x)+4Bcos(2x) = -12sin(2x) 가 나옵니다. 따라서 B = 0 이고 A=3 입니다. 따라서 yp = 3xcos(2x) 가 됩니다. +추가로 r(x)의 계수에 -12가 있다고 yp의 계수들에 -12를 곱해주어서 계산할 필요는 없습니다. r(x) 계수 상관없이 cos과 sin 계수들을 각각 A와 B로 보아도 최종 답은 같습니다.
@@TheDlskwmak 방법은 질문자님이 알고있는것 처럼 Yp를 1번, 2번 미분해서 원래 식에 대입해야 합니다. 이러한 경우 저였다면 우선 다 미분을 하는데 그러느 과정에서 같은항들끼리는 세로로 적고 다른 항들끼리는 가로로 적을 것입니다. 이것은 특별한 것은 아니고 계산실수를 줄이기 위한 방법입니다. 질문자님께서도 이 문제는 미분을 해야만 하는것이라고 잘 알고 계신것 같은데 귀찮기 때문에 목표와 길이 보임에도 가기를 꺼려하는것 같습니다. 확신이 있다면 그 길이 맞습니다. 그리고 그 풀이가 맞습니다. f(x)g(x)h(x)의 형태를 미분하는 것이여서 귀찮은 것은 사실이지만 충분히 정리가 되고 문제를 해결할 수 있습니다.
@@송인재-l2n 하이퍼볼릭코사인은 지수함수입니다. 결국 우변(비제차항)은 e^0.4x 와 e^-0.4x 모두 가지고 있으므로 겹친다고 판단해야 합니다. 즉, x를 곱해주는게 타당합니다. 두 번째 질문에 대해서는 질문에 적으신 w0가 뭘 뜻하는건가요? 이 문제는 미정계수법, 매개변수법 둘 다 가능합니다. 평상시처럼 제차해 구하시고 겹치는지 확인한 다음 겹치지 않으므로 기본규칙만 적용해서 계수값 구하시면 됩니다.
강의 너무 잘 듣고 있습니다! 고계 비제차 문제 하나만 질문 드려도 될까요? yh를 구해보니 yh=c_1e^3x+c_2e^-3x+Acos3x+Bsin3x로 나왔습니다. yp를 설정을 해야하는데 r(x)가 12x^-5+40.5x^-1로 나와있으면 어떻게 설정하고 풀어야 하나요?
4계 ODE인가요? 고계는 제가 깊이있게 공부하거나 다루지 않아서 x^-5, x^-1 같은 경우 잘 모르겠네요. 만약 2계라면 합규칙으로 r을 분리하고 yp1+yp2로 본 다음 각각의 yp1,yp2를 매개변수공식으로 풀었겠지만 4계 ODE의 경우 매개변수 공식이 엄청 복잡해집니다. 주어진 식을 ODE계산기에 넣어보시고 풀이를 확인해보셔야 할 것 같네요 ^^
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강의 중에서 비제차항에 따른 yp형태 부분
ax^2 그리고 sin(wx) 이 되어야 합니다.
강의자료, 전체 문제, 영상 중 풀이를 해드리지 않은 문제들에 대한 해설 pdf 파일입니다.
drive.google.com/drive/folders/1a4ymwhK9pQUNeE_m30BLi3_GSeZhEToS?usp=sharing
00:00 - 복습
00:38 - 비제차 2계 선형 ODE 푸는 핵심
03:44 - 미정계수법
10:02 - 문제풀이 [87번]
14:09 - 미정계수법 주의사항
20:33 - 문제풀이 [89번]
24:25 - 문제풀이 [88번]
30:06 - 문제풀이 [92번]
"포브스 선정 교수님 수업보다 감탄을 더 많이 한 수업 1위"
교수님 수업이 하나도 이해가 하나도 안돼서 유튜브에서 이 강의를 찾아봤는데 너무 이해가 잘 되네요 이런 강의를 무료로 볼 수 있다는게 너무 감사하네요 좋아요 구독 꾸욱 누르고 갑니다!!
진짜 이런 수업해주셔서 감사합니다ㅠㅠㅠㅠ 개념에만 치중해 수업하는 게 아니라 문제 풀이까지 자세하게 다뤄주시니 정말 도움이 많이 되는 거 같아요! 교수님 수업 듣고 이해 가지 않던 게 많았는데 덕분에 개념을 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 유튜브에 찾아봐도 대학교수님들이 따분하게 설명해 주시는 수업이 대부분인데 재미있게 알려주셔서 정말 정말 정말 감사합니다:) 시험은 치지 않지만 이런 수업이라면 공학수학 2도 스스로 공부해 보고 싶네요..!
강의 너무 좋습니다ㅠㅠ 엉덩이로 박수 567번 치고갑니다
돈내고 봐야될듯한 강의 수준입니다. 감사합니다.
선생님.. 선생님은 그저 제 빛이십니다.. 정말 선생님이 아니었다면은 저는 교수님의 불친절한 설명과 탄식이 나오는 강의력이라는 큰 산을 넘지 못하고 씨쁠의 바다에서 그저 헤엄을 치고만 있었을 것 같아요... 선생님 덕분에 이해 안되는 부분 없이 완벽하게 이해를 할 수 있었어요.. 제 공수 학점을 지켜주셔서 감사합니다.. 이 강의 듣고도 공수 못보면 그건 제 탓이겠지요.. 선생님은 아무 죄가 없으십니다 정말.. 혹시 미래에 교수님을 희망하고 있지는 않으신가요..? 일타 교수님이 되실 것 같아요... 감사합니다..
만족하시니 다행이네요. 교재에 있는 연습문제 많이 (+논리적으로) 풀어보신다면 분명 좋은 학점 받으실거에요. 주변에 많은 홍보 부탁드립니다!
26:44 빨래 끝났어요
진짜 잘 가르치시네 ;; 정말 감사합니다 선생님ㅠㅠㅠ
수포잔데 이해가 너무 잘가요,,
비제차항이 다항함수x삼각함수꼴이면 어떻게 풀어야 하나요?? 쌩으로 미분해서 풀려면 상상이상으로 복잡해지고 지수함수처럼 치환해도 안풀리던데...
질문 드려요오오~~~!!
25:17 에서 람다 값이 -1,-2 가 나왔는데 영상에서는 람다1= -1 ,람다2= -2로 풀이하셨는데 이것 순서 바꿔도 상관없나요...?!?!
람다1 = -2, 람다2 =-1 이렇게요~!!
도움 정말 많이 받고있습니다!! 매번 감사드려요~!!
어떤 것을 먼저 해도 상관없습니다. 혹시 문제를 풀면서 답이랑 다르거나 이상한 상황이 있었나요?
@@ODE_PDE 아닙니다~~ 둘다 해봤더니 같게 나오네요~~
감사합니다~~
15:26 "겹친다면" 이라는 말을 수학적으로 표현하면 "중근"이라고 해야 하나요, 아니면 "일차 종속"이라고 해야 하나요? 수학적 단어가 궁금합니다.
좋은 질문입니다.
일차종속이 옳은 표현입니다. 즉, 서로 독립이 아닌경우를 말하는거죠. 론스키안 W=0인 경우입니다.
시험 5일전입니다... 교수님싸강은 걍틀어놓고 이것만보고있어영,, 최고의강의입니다,,
교수님 15:52에서 yp아니고 r(x)맞나요?ㅠㅠ 크레이직 번역본 교재에는 [변형규칙. 만약 yp로 선택된 항이 제차상미분방정식의 해가 된다면, 이 항에 x를 곱한다] 라고 나와있어서요...
저는 둘 다 맞다고 생각해요. 어차피 yp가 r(x)에 기반해서 설정하잖아요. 처음 배우는 사람들에게 r(x)가 좀 더 직관적이고 눈에 보이기 때문에 저는 r(x)라고 설명했지만 yp로 보셔도 같습니다.
물론 엄밀히 말한다면 yp가 맞습니다 ^^
저희 교수님도 이렇게 가르쳐주실수 있다면 등록금이 아깝지않았을텐데ㅠㅠ
항상 감사합니다 선생님
ㄹㅇ 공대의 희망입니다
학교가서 수업을 듣긴하지만.. 매번 예습,복습,과제,시험공부는 이 채널보면서 합니다 항상 감사드려요ㅠㅠㅠ
질문 하나만 드릴게요 ㅜㅜ
y'''-y'' = x+1
이거는 변형규칙을 어떻게 적용해야 하나요 ㅜ
제차해를 구해보면 e^x, x, 1 입니다.
r(x) = x+1인 상황에서 원래라면 ax+b로 두셨겠지만 지금은 제차해 기저의 x와 1에 모두 겹치므로
안겹칠때까지 x를 두번 곱한
ax^3+bx^2 으로 보셔야 합니다.
그런데 이렇게 하면 아마 (x+1) 자체는 x와 1 모두 독립이므로 굳이 x를 곱하는 변형규칙을 적용해야 하냐 라고 질문하실 수 있습니다.
그에 대한 대답은 '합규칙'에 있습니다.
r(x)= (x+1) 이라고 적혀져 있다고 그대로 x+1로 보시는게 아니고 합규칙에 의해서 r1 = x, r2 = 1 이렇게 나눌 수 있죠. 이렇게 본다면 yp = x^2 (ax+b) 로 두셔야 하는게 보일것입니다.
좋은 질문입니다 ^^ 답변이 깔끔하지 못해서 조금 아쉽네요 ㅎㅎ
와우... 감사합ㄴ다 ㅜㅜ
선생님 질문 있습니다.
31:26 에서 yp = Ae^x + ax +b 에서 위에 식은 e^x - 9/2 x 에서는 빼기였는데, 왜 밑에 식에서는 더하기 바뀌었나요? 합법칙이라서 무조건 더하는 건가요?
계수(A, a, b)가 실수(Real Number)라서 마이너스는 알아서 처리됩니다.
A+B 라고 적었으면 A에 B를 더하라는 의미인데 만약 B가 음수라면...가령 -5이면
A에서 5를 빼라는 의미가 되죠. 우리는그것을 A-5라고 적을 수 있지만
A+(-5)라고 적을수도 있죠.
기억하셔야 할 것이 더하기와 빼기는 모두 합으로 표현할 수 있고 곱하기와 나누기는 모두 곱으로 표현할 수 있습니다.
4를 2로 나누어라 = 4에 (1/2)를 곱해라
그리고 미정계수법에서 합법칙의 의미는 비제차항이 기본규칙에 있는 r(x)들의 합이라면 해당 r(x)를 더해서 새로운 yp를 만들 수 있다는 규칙입니다.
@@ODE_PDE 넵 감사합니다!! 궁금증이 해결됐어요!!!
사랑합니다
17:45 이 부분 r(x)가 yh랑 겹치면 yp에 x를 곱해주고
x를 곱한 yp가 yh랑 겹쳐도 x를 곱해주는 건가요?
r(x)가 yh랑 겹칠때만 x를 곱해주는 건지
yp 또는 x를 곱해준 yp가 yh랑 겹쳐도 x를 곱해주는 건지 궁금합니다.
yp는 r을 기반으로 형태를 잡기 때문에 yp랑 r을 동급취급해도 됩니다. r이 (또는 yp가) yh와 겹치지 않을때 까지 yp에 x를 곱해주면 됩니다. 예를들어 yh=e^x, xe^x 이고 r=e^x 라면 yp=x^2 e^x가 됩니다.
1단계: r을 기반으로 yp를 설정
2단계: yp와 yh가 겹치지 않을때 까지 x를 곱해준다.
감사합니다. 변형규칙을 몰라서 헤매고있었는데 자세히 설명해 주셔서 완전 이해했어요!
자신감이 생깁니다 진심으로 감사합니다
도움 많이 받고 있습니다. 감사합니다!!
잘 듣고 갑니당
개재밌네요 ㅋㅋㅋㅋ 뇌가 쫄깃 편두통이 펑펑
학교 교수님보다 잘 가르쳐주셔서 감사합니다❤
이 프로그램 수학문제 풀기 좋아 보이는데 혹시 무슨 앱??인지 알 수 있을까요?? 강의 너무 잘듣고 있습니다!!!
판서프로그램은 아이캔노트 입니다.
해당 영상 촬영 당시에는 와콤인튜어스를 사용하였습니다.
화공엔지니어님
변형규칙에서 제가 잘 이해를 못한 부분이 있는 것 같은데
처음에 풀어주신 87번 문제에서는 yp = e^-x에 x를 안 곱하는 이유가 e^-2x, e^-3x 와 e의 차수 달라서 안 곱해줘도
되는 건가요??
네 맞습니다. x를 곱해주냐 곱해주지 않냐의 기준은 독립이냐 종속이냐 입니다. 종속이면 곱해주어야 하죠. 독립과 종속을 따지는 방법은 론스키안(W) 입니다. W=0이면 종속입니다.
론스키안 연산을 해보시면 알겠지만 a와 b가 다르면 e^(ax)와 e^(bx)가 독립관계입니다.
@@ODE_PDE 감사합니다 ㅜㅜ ♥
근데 혹시 고계선형미분방정식은 강의가 없는건가요?
네. 고계는 다른 단원에 비해서 재미없고 2계 했던거랑 비슷한 부분이 많아서 제외했습니다.
교수님 덕에 중간 80점 만점에 75점 맞았습니다. 감사합니다!
궁금한게 있는데요 92번 람다 구할때 람다가 3,1 인데 y=c1*e^3x+c2*e^x 라고 적어도 되나요?
3 1이나 1 3이나 같아요. 순서 상관없어요
91번 문항 매개변수법으로 혹시 풀이 가능하신가요 ㅠㅠ ,,
91번을 매개변수법으로 풀려면 삼각함수 공식 (반각, 배각)을 잘 아셔야 합니다. 나머지는 적분입니다.
G드라이브의 "질의응답 59.pdf" 파일을 참조해주세요.
감사합니다! 상수계수일 경우에만 적용 가능한 것인가요?
91번 문제 yp=axsin2x + bxcos2x 로 두고 푸는게 맞나요??? 답이 안나와서 질문입니당~~
네 맞습니다. 자세한 풀이 과정은 G드라이브를 참조해주세요. 링크는 고정댓글에 있습니다.
선생님, 정말잘듣고있어요 ! 아직 안배운 시점에서, 그린함수는 몇강에 나오는지 궁금합니다.
Green Function은 따로 강의에 편성하지 않았습니다.
@@ODE_PDE 아아 그렇군요 알겠습니다. 저희교수님 강의자료에 green function 에 대한 설명이 있길래 여쭈어봤습니다. 화공엔지니어님 덕분에 간신히 목숨줄 부여잡고있습니다.. 고맙습니다ㅠㅠ
교수님 수업은 진짜 머리에 안박히고 흘러지나갔는데 쏙쏙 박히네요 다만 책이 달라서 기호가 조금씩은 다른데 그래도 덕분에 공부 잘하고 있습니다.
강의를 듣다보니 95번 문제에서 의문이 생기는데 y^(2)의 계수를 1로 맞춰주기 위해서 r에 대해 x^2으로 나눠주면 1이 되는데 이때 매개변수 변환법이 아닌 미정계수법으로 A로 두고 풀면 답이 안나오는데 이건 왜 이런걸까요? 미정계수/매개변수를 써야하는 상황 케이스 분류가 잘 안되는것 같습니다..
예전에 비슷한 질문이 올라와서 그때 작성한 답변: G드라이브의 [질의응답54.pdf]를 참조해주세요.
오일러코시방정식의 경우만 특별합니다.
오일러코시의 경우 미정계수법으로 풀려고 했을때 y"의 계수는 x^2으로 유지시켜줍니다. 그래서 대부분의 책들 (+저도) 오일러코시 비제차ODE는 매개변수법으로 푸는것을 추천드립니다. (미정계수법으로 풀어도 최종 답은 같은데 방금말씀드린 y"계수가 1이 아닌 x^2으로 맞춰줘야한다는 예외사항이 있습니다.)
@@ODE_PDE 그럼 코시 오일러방정식형태는 일단 매개변수변환법으로 푼다고 생각해야겠네요. 그럼 문제 해결에 앞서 근본적으로 코시오일러 방정식을 미정계수로 푸려면 y더블 프라임 계수를 x^2으로 맞춘 상태에서의 r값을 통해 구하여야 한다는게 맞을까요?
@@민이-f5v 네 맞습니다^^
@@ODE_PDE 덕분에 또 하나의 지식을 얻어갑니다 감사합니다
23분23초에서 x항이 없어지는데 만약 안없어지고 x항이 남아있으면 A값은 어떻게 구하나요
xe^(4x) 항 말씀이시죠? A를 구하는 과정에서 없어질수밖에 없습니다. 왜냐하면 항등식의 원리 + 수학적 논리성 + 수학의 성질 때문이죠.
틀린 과정없이 제대로만 푼다면 항등식에서 미지수 개수만큼 정보가 나오게 됩니다. 미지수 개수보다 항의 개수가 많은 경우...
1) 같은 정보여서 새로운 정보를 얻을 수 없거나
2) 영상의 문제처럼 자기들끼리 소거됩니다.
따라서 해당문제가 아닌 다른 문제 + 항등식이 등장한는 동시에
질문자님의 말씀처럼 xe^(4x)항이 남는다면
1) e^(4x)항과 같은 정보이거나
2) 소거될 수 밖에 없습니다.
y''-3y'+4y=e^(4x)를 풀고있는데 비제차할때 Yp=Axe^(4x)로 잡고 대입해서풀었는데 (8AX+5A)e^(4x)=e^(4x)가 나옵니다 혹시 제가 잘못구해서 저렇게 나오는건가요
@@남자김강민-p2b 풀이 전 과정을 제게 보여주셔야 첨삭이 가능합니다.
A4용지에 푼 경우: 사진 촬영 -> 개인 G드라이브 업로드 -> 공유:링크공유 설정 -> 링크 복사 후 댓글에 작성
패드에 푼 경우: 화면 캡처 -> (이후 과정은 위와 동일)
선생님,,,y
'' − 2y'+ 5y = e^xsin(2x) 이문제 어떻게 풀어야 하는지 알려주실수 있으신가요...??
비제차항이 지수함수와 삼각함수의 곱이므로 미정계수법 보다는 매개변수법으로 풀 것입니다. 물론, 미정계수법으로 풀수는 있지만 그럴려면 해당 비제차항에 대한 yp 틀을 알아야 하는데 e^xsin(2x)의 형태까지 알고 있는다는 것은 엄청나게 비효율적입니다.
그래서 매개변수법으로 푸시는 것을 추천드릴게요. 매개변수 공식 그대로 사용하면 됩니다. 물론 복잡하겠지만 이 풀이가 가장 간단하고 직관적일 거에요.
@@ODE_PDE 넵 감사합니다!!
y''+4y=cos2t 같은 경우는 cos2t를 어떻게 가정해야 하나요?
여기서는 cos2t 그대로 두셔야 합니다. 기본규칙 표를 보시면 r = coswt 일때 yp=Acoswt + Bsinwt 로 두라고 써있어요.
그런데 변형규칙도 동시에 적용 되어야 합니다. yh의 기저들 역시 cos2t, sin2t 가 있으므로 yp 는 기본규칙에 t를 곱해준
yp = Atcos2t + Btsin2t 로 보셔야 합니다
@@ODE_PDE A와 B를 구하는 과정에서 t가 남게 되는데 A와B를 어떻게 구해야 하나요?
@@김동호-r8g g드라이브 질의응답20.pdf 파일을 참조해주세요. 한번 제 풀이를 보시고 질문자님의 풀이와 어떤 부분이 다른지 말씀해주실 수 있을까요?
g드라이브 링크는 01강의 고정댓글 또는 영상설명에 있습니다.
안녕하세요 y' ' + 2y ' = 2x + 5 - e^(-2x) 를 풀어보는중인데
y_h = c_2+ c_1e^(-2x)가 되고
y_p를 잡는중에 2x+5로 부터 ""ax+b"", e^(-2x)로부터 ""ce^(-2x)""를 잡고 ""ce^(-2x)""는 종속해라 x를 곱해주어
ax+b +ce^(-2x)를 y_p로 잡았는데
해설에서는 ax+b에도 x를 곱해주더라구요,,
ax+b가 어떤것에 종속인지 궁금하네요
좋은 질문입니다. 질문하는것만 들어도 공학수학에 대해 잘 아시는게 느껴집니다.
자세히 보면 제차해 yh에서
y1 = e^-2x
y2 = 1 이잖아요.
ce^(-2x)가 y1과 종속이여서 x를 곱해준것처럼
ax+b의 b가 y2와 종속이여서 b에 x를 곱해줍니다. 그런데 그러면 ax와 또 종속이여서 한번더 x를 곱해줍니다.
즉, yp = ax+bx^2+cxe^-2x 가 됩니다.
전체에 다 x를 곱한것 처럼 보일 수 있지만 사실은 계속 독립관계를 만족하다 보니 저런 현상이 나온것입니다.
비제차항 r(x) = 2x+5+e^(-2x)를 2x와 5와 e^(-2x)로 나누어서 생각해보면 좀 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
비슷한 예시 문제로
y''+2y' = 1의 문제도
r(x)가 1이라고 yp = a 라고 하면 안됩니다.
제차해 yh의 기저로 1이 있기 때문에 변형규칙에 의해서 yp = ax로 설정해주어야 하죠. 이런 부분은 헷갈리기 좋고 시험에서 실수하기 좋기 때문에 잘 기억해두어야 합니다.
@@ODE_PDE 와.. 답답했던 부분이 한번에 해결됐네요. 감사합니다.
복학하면서 걱정이 많았는데 정말 큰 도움받고있습니다!
강의 너무 잘 듣고있습니다. 듣던 중 잘못 표기된건지 원래 그런건지 궁금한 사항이 있어 댓글로 질문 드립니다. 혹시 비제차항에 따른 yp의 형태를 구하는 표에서 네 번째에 (ax+bx+c)가 아니라 (ax^2+bx+c)이고, 다섯 번째에 뒤쪽 cos(wx)가 sin(wx)이어야 맞는 것 아닌지 궁금합니다.
아 맞네요. 너무 당연한건데 제가 급하게 저 자료를 만드느라 실수했네요. 지적하신것 처럼 되어야 합니다. 정확하십니다.
제융이 정말 대단해
강의 감사합니다 ㅠㅠ
문제 87번에서 오른쪽 항은 0이 되지 않는데도 좌변=0으로해서 제차해를 구하는 이유를 알 수 있을까요??
제차해의 정의가 r(x)=0일때의 ODE를 풀었을때의 해입니다. 그래서 우변을 잠시 0으로 보고 좌변=0의 제차ODE를 풀어서 제차해인 yh=c1y1+c2y2 를 구할 수 있어요.
비제차ODE를 풀려면 이렇게 제차해와 비제차해로 나누어서 풀어야 합니다.
y_1,y_2가 r(x)와 서로 독립이어야 된다는 것은 기저의 독립 파트에서 설명해주신대로 wronskian을 사용해서 확인하면 되나요?
네~
질문있습니다. KREYSZIG 공업수학 연습문제2.7에 18번의 경우 yh와 yp가 겹치는데 x를 안곱해주던데 혹시 왜 그런지 알수 있을까요? 해설집에 안곱해져서 나와서 왜 그런지를 모르겠네요..
좋은 질문입니다. 그 이유는 yh와 yp가 겹치지 않기 때문입니다.
yh는 e^(-x) cos(3x) , e^(-x) sin(3x) 가 기저입니다.
r(x)를 보시면 sin(x)와 cos(3x)이기 때문에 yh와 겹치지 않습니다. yh에는 e^(-x)가 곱해져 있습니다. 그래서 r(x)항들과 독립이죠. 한번 W(론스키안) 계산해보시면 독립관계가 나올것입니다.
따라서 yp로 a cos(x)+b sin(x) + c cos(3x) + d sin(3x) 로 잡아도 됩니다.
@@ODE_PDE 아..곱해져 있기때문이군요 감사핮니다
교수님 항상 영상 잘 보고 있습니다. 궁금한게 있는데 green 함수를 공부하면서 일반해에서 Yc + Yp와 Yh + Yp의 차이점을 잘 모르겠습니다. Yc와 Yh의 차이점이 무엇인가요? 또한 c냐 h냐에 따라서 Yp를 구하면 값이 다른가요?
같은것을 다른 문자로 쓴 것 같습니다.
교재에 따라서 제차해를 yh로 쓰기도 하고 yc로 쓰기도 합니다.
complementary solution 에서의 c
homogeneous solution 에서의 h
결론은 같은 것입니다.
그리고 p는
particular solution to the non- homogeneous equation 에서의 p 입니다.
@@ODE_PDE 답변해주셔서 감사합니다
수업 너무 잘 듣고 있어요! 궁금한게 있어 질문 남깁니다. 혹시 변형 규칙에서 Yp 와 Yh 의 기저가 겹치는지 비교하는 것 아닌가요? 강의에서는 r(x)와 Yh의 기저를 비교한다고 설명해주셨는데 교과서에는 Yp 와 Yh 의 기저를 비교하여 겹치면 x를 곱해주라고 되어 있어서요! 답변해주시면 감사하겠습니다:)
서로 같은 의미입니다. 단지 저는 비제차항인 r(x)기반으로 yp를 잡는게 좀 더 논리적이라고 생각할 뿐입니다.
비교대상은 제차해 yh (더 엄밀히는 y1, y2) 와 비제차항 r(x) 입니다. 그런데 교과서에서 기술되어 있듯 yh가 yp와 겹치면 yp에 x를 곱해라의 논리도 결론은 같습니다.
따라서 둘 다 맞고 결론도 같습니다.
@@ODE_PDE 자세한 설명 감사합니다~!
미정계수법 쓸때 비제차항의 기저 2개랑 r(x) 겹치는지 비교할때, r(x)는 y" 앞에 계수가 1일때의 r(x) 인가요? 매개변수법에서의 r(x)는 y" 앞에 계수가 1일때고 비제차항 기저2개와 r(x)가 겹쳐도 상관 없는거 같은데 제가 이해한 부분이 맞나요? 예를들어 강의자님이 올려주신 97번 문제같은 경우는 비제차 기저 yp 구할때 r(x)를 론스키안구할때는 48x^3 이라고 보면 되는거같은데 미정계수법을 쓸때는 r(x) 를 48x^5 로 봐야하는지 48x^3로 봐야하는지 헷갈립니다!..
멍청한 질문 같아서 죄송합니다ㅠ
다시 질문해보면 1번질문은 매개변수법에 관련해 r(x)가 yh 비제차항의 기저와 겹쳐도 문제 없이 W를 구하면 되는가 이고 2번 질문은 미정계수법을 사용할때 r(x)와 비제차항의 기저가 겹치는지 비교해야 하는데 2계ODE가 오일러코시형으로 (x^2)y" ~~= x^10이면 r(x)를 x^8로 봐야할지 x^10으로 봐야할지 모르겠습니다!
@@도로로롤-j7v 정말 좋은 질문들입니다. 사실 제가 강의중에 이 부분들을 좀 더 정확하게 설명했었어야 했어요.
질문1) 매개변수법 쓰면 r과 yh 기저 겹치는거 신경써야 한느가?
대답: 아닙니다. 매개변수법 전략을 쓰는 순간 겹치고 안겹치고(독립, 종속)를 고려할 필요 없이 그대로 공식을 써주시면 됩니다.
질문2) 비제차오일러코시ODE를 미정계수법으로 푸는 경우 r(x)는 정확히 어떤것으로 봐야 하는가?
대답: 비제차오일러코시+미정계수 라는 조합에서 만큼은 예외적으로 r(x)의 계수는 y''의 계수가 x^2일때입니다.
예를들어 x^2y''+xy'+y = x^2 이라면
r(x) = x^2으로 보고 yp = ax^2+bx+c로 잡아야 합니다. 단, 이것은 오직 미정계수로 풀때이고 만약 매개변수로 푼다면 r(x)는 원래대로 y''의 계수가 1일때입니다.
즉, x^2y''+xy'+y = x^2 에서 매개변수로 풀면 r(x) = 1입니다.
오일러코시에서는 r(x)항을 잡는것에 대해 예외가 생기기 때문에 저는 가급적 비제차오릴러코시의 경우는 매개변수법으로 푸는것을 추천드려요.
좋은 질문들입니다 ^^
89번 매개변수로도 풀어지나요? yp구할때 r에 x를 곱해줘야하나요?
네 매개변수로도 풀 수 있습니다.
그런데 질문자님의 두 번째 질문은 미정계수법의 질문입니다. 매개변수법하고 미정계수법 구분이 정확한 상태인가요?
문제에서 yp 구하는 과정에서 r에 x를 곱하는 이유는 미정계수법 문제풀이에서 제차해와 r(x)가 겹치기 때문에 '변형규칙'이 적용되기 때문입니다.
y''+9y=xcosx 의 식을 미정계수법과 매개변수법으로 풀수 있는문제인가요? 아무리 풀어도 두가지 방법의 답이 다르게 나오거나 답이 안나와서 댓글올려요.....
미정계수법으로는 조금 힘들것입니다. 왜냐하면 r(x)=xcosx 일때의 yp 형태를 일반적으로 외우고 다니지 않거든요.
혹시 미정계수로 푸신다면 yp를 무엇으로 두셨나요? x와 cosx의 기본규칙들을 각각 곱하시면 안됩니다.
@@ODE_PDE (ax+b)cos3x+(cx+d)sin3x 로 두고 했습니다.
@@김진렬-l2f (ax+b)cosx+(cx+d)sinx 으로 하셔야 합니다.
@@ODE_PDE 아 감사합니다.
@@ODE_PDE 혹시 yh는 c1cos3x+c2sin3x로 두는게 맞나요?
y_1,y_2가 r(x)와 겹치면 안된다는게 서로 독립이어야 한다는 말일까요?
아니면 정말로 동일한 모습일 경우를 말씀하시는 건가요?ㅎㅎ
전자입니다. 독립이여야 합니다. 종속이면 x곱해서 독립으로 만들어주어야 합니다
@@ODE_PDE 빠른 답변 감사드립니다🙇♂️ 정말 잘 듣고 있어요!!
안녕하세요. 강의 정말 잘보고있습니다. 다른 문제풀다가 질문이 생겨서요. 혹시 y"+y= 2xsinx를 미정계수로 구할때요. Yc= c1cosx+c2sinx이고 Yp가문제인데 2xsinx를 (ax+b)cosx+(cx+d)sinx로 바꾸는게 아니라 x(ax+b)cosx+x(cx+d)sinx로 바꾸는데 이것도 r(x)와 yp가 같아서 독립이 아니라 x를 곱해주는건가요?
r(x)항이 미정계수 표에 주어진 형태가 아니라면 저는 바로 매개변수법으로 풀거든요. r(x) = 2xsinx일때 yp를 (ax+b)cosx+(cx+d)sinx으로 잡아야 한다는 것까지 알고 있어야 한다고 생각되지 않습니다.
질문에 대해서 대답하면 아마 맞을것 같은데 100% 확실하지는 않네요.
답변감사합니다! 과제에서 미정계수법으로 풀라고 주어져서 그랬었습니다. 좋은밤되세요.^^
yp에서 상수도 중복되면 안되나요? 예를들어 yh에 C1항이 있고 yp에 C항이 있는 경우에서요
네 맞습니다. 대표적인 예시로
y''+2y'=1 이 있습니다.
제차해 yh를 구하면 y1 = 1이 나오잖아요.
r(x) = 1이고 이것을 기반으로 yp를 설정하면 yp = c가 나오는데 이러면 y1과 종속관계죠. 그래서 변형규칙에 의해서 x를 곱해서
yp = cx로 두고 c값을 구하면 됩니다.
좋은 질문입니다. 제가 교수님이였다면 일부러 이런식의 문제를 출제할 것 같습니다.
다음 ODE를 푸세요.
1. y''+2y'+2=0
-> 제차상수계수ODE같아 보이지만 사실상 비제차상수계수ODE
2. x^2y''+xy'+(x^2-1)=0
-> 베셀방정식같아 보이지만 사실상 비제차오일러코시방정식
@@ODE_PDE 지나가다 우연히 문제를 봐서 풀어봤는데 2번 답이 저는
y=c_1+c_2x-1/4x^4+1/4x^2가 나오는데 혹시 맞는지 알 수 있을까요?
@@캔두-v4j 2번이라면 x^2y''+xy'+(x^2-1)=0 말씀이신가요? 로그항이 들어가 있어야 합니다.
ODE의 경우 빠르게 확인하려면 ODE계산기로 답을 확인해보세요~
www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator/x%5E%7B2%7Dy''%2Bxy'%2B%5Cleft(x%5E%7B2%7D-1%5Cright)%3D0
y 투 프라임 계수는 상관없나요??
y''의 계수가 문제에서 무엇으로 주어지든 그 계수값으로 양변을 나누어서 1로 통일시킵니다.
예를들어 ky''+ay'+by=0 의 형태라면 양변에 상수 k로 나누어주어서
y''+(a/k)y'+(b/k)y=0 으로 본 다음 문제풀이를 진행하시면 됩니다.
앞으로 ODE단원에서 거의 모든 공식에서의 y''계수는 1로 맞춰줍니다.
미분방정식을 포함한 연랍방정식
y’1=y1+y2-e^t
y’2=3y1-y2+e^t
같은경우 어떻게 풀어야 할까요?ㅠㅠ
답변이 늦어서 미안해요. 해당 연립미분방정식은 비제차 연립 ODE로 43강을 참조해주시면 됩니다.
안녕하세요. 강의 잘 듣고 있습니다. 다른 문제를 풀다가 막혀서 질문드립니다. x^2y’’-4xy’+6y=2x^4+x^2 에서 미정계수법을 이용하기 위해서 표에 있는대로 4차 다항함수를 만들고 제차항이 x^2과 x^3이므로 겹치지 않기 위해서 4차 다항함수에 x^4을 곱해주었습니다. 그런데 대입하고 보니 2차항이 0이되어 사라져서 미정계수법을 쓰지 못하게 돼더라구요. 어느 부분에서 잘못 푼것인가요?
미정계수법을 사용할 수 있기는 하지만 추천드리지 않는 이유가 상수계수ODE에서의 미정계수법이랑 오일러코시ODE에서의 미정계수법이랑 yp를 선정하는 부분에 있어서 살짝 다릅니다. 결론부터 말씀드리면 해가 겹치기 때문에
yp=Ax^4+Bx^2+Cx^2 lnx 로 잡고 풀어야 하는데 이것은 사전에 알 수가 없으니 15강에서 소개하는 매개변수법 공식을 추천합니다.
yh를 기반으로 W를 구하고 r(x)=2x^2+1 로 본 상태에서 공식을 이용해서 yp를 구하시면 됩니다.
결론은 오일러코시방정식 비제차ODE 라면 미정계수법 보다는 매개변수법을 사용하여라 입니다.
안녕하세요! 강의잘듣고있습니다.
문제를풀다가 감이 잘 안잡혀서 질문합니다!
만약에 식이 y''+6y'+9=e^x/x 이런식으로 나왔을때
y_h는 구할수있는데 y_p를 어떤식으로 놓아야할지 이해가 잘 가지 않습니다.
혹시 Y_p에 대한 팁을 얻을 수 있을까요?
똑같이 다항식처럼 ax^(-1)+b로 놓으면 되는걸까요?
표에 없으면 매개변수 풀이법입니다. 매개변수법이 99%의 비제차 ODE를 푸는 반면 미정계수는 우리가 알고 있는 형태들만 다룰 수 있습니다.
@@ODE_PDE 감사합니다!!!
안녕하세여! 영상을 보다 질문이 생겨 댓글답니다
92번에 Yp에 식을 보면 ae^x + bx + c 로 두고나서 r(x)가 y1과 y2에 겹치면은 x를 곱한다고 했는데 이떄 yp에 x를 곱하면 전체에다가 x를 곱해야 하지 않나요??
그런데 영상을 보니까 ae^x에만 x를 곱하는 부분이 궁금합니다. 영상을 보면 분명 x는 yp에 곱한다고 했는데 왜 ae^x항에다가만 x를 곱하는지 궁금합니다
좋은 질문입니다.
92번과 같이 합규칙이 적용되는 경우에는 "겹치는 부분에는 x를 곱한다"로 이해해주세요.
합규칙의 경우 yp=yp1+yp2로 보는것이고 오로지 yp1의 입장에서만 보면 yp1=ae^x 인데 겹치므로 yp1=axe^x로 둡니다. 반면, yp2의 입장에서는 겹치는게 없으니 그대로 bx+c로 두는거죠.
설명을 할 때 이해를 위해서 간단히 표현하거나 비유적인 표현을 사용하면 항상 부정확한 점이 있는데 여기가 바로 그 경우인것 같네요.
제가 강의중에 "겹친다"라고 표현한 이유는 미정계수법이라는 개념을 학생들이 쉽게 이해시키기 위함이였습니다. 하지만 "겹친다"의 표현은 수학적이지 않습니다. 그래서 질문자님의 질문처럼 이렇게 기존의 설명으로 설명하기 난해한 부분들이 생기죠. 만약 제가 수학적으로 설명했다면 (복잡한 이론과 함께) 듣기에는 지루했겠지만 이러한 모순은 없었을 것입니다.
@@ODE_PDE 답변 감사드립니다!!!!!
91번에서 yp=-12Acos2x-12Bsin2x로 잡는게 맞나요? 저렇게 잡고 풀어서 y''+4y=-12sin2x의 좌변에 대입했더니 계속 0이 나오네요 ㅜㅜ
기본규칙에 의해서 r(x) = -12sin(2x)이니까 yp = Acos(2x)+Bsin(2x) 로 잡으야 하는데 그 동시에 우리는 변형규칙도 생각해야 합니다. 즉, yh의 기저들인 y1과 y2가 r(x)와 겹치는지 확인해야 합니다. 제차해인 yh의 기저들을 구하면 cos(2x) 와 sin(2x)가 나옵니다. yh의 sin(2x)와 r(x)의 -12sin(2x)가 겹치기 때문에(서로 종속적이기 때문에, W=0) 우리는 겹치지 않게 하기 위해서 yp에 x를 곱해주어야 합니다.
즉, yp = Axcos(2x)+Bxsin(2x) 로 잡고 문제풀이를 이어가야 합니다.
두 번 미분하고(곱의 미분이라서 조금 복잡할 것인데 그래도 계속 이어가야 합니다) ODE에 대입하면
-4Asin(2x)+4Bcos(2x) = -12sin(2x) 가 나옵니다. 따라서 B = 0 이고 A=3 입니다.
따라서 yp = 3xcos(2x) 가 됩니다.
+추가로 r(x)의 계수에 -12가 있다고 yp의 계수들에 -12를 곱해주어서 계산할 필요는 없습니다. r(x) 계수 상관없이 cos과 sin 계수들을 각각 A와 B로 보아도 최종 답은 같습니다.
@@ODE_PDE 감사합니다 덕분에바로 풀렸어요!!
안녕하세요!
여기 부분이 원래 미분 계산이 복잡한 부분인가요?? 문제에서 Yp가 Axe^xcos(2x)+Bxe^xsin(2x) 로 나왔는데 두번 미분해서 푸는게 맞는건지 궁금합니다. 잘하고있는게 맞는건지요ㅜ
몇번 문제인가요? 아 지금 따로 푸시는 문제에서
Yp가 Axe^xcos(2x)+Bxe^xsin(2x) 가 나왔다는 말씀인가요>?
@@ODE_PDE 네! Dennis g zill 교재인데 연습문제 들어가면 저런 문제가 꽤 있네요ㅜ 맘먹고 푼다면 풀 수 있지만 오래걸리기도 하고 실수도 할거같아서 직접 풀어나가는게 맞는지 다른 방법이 있는지 궁금합니다!
@@TheDlskwmak 방법은 질문자님이 알고있는것 처럼 Yp를 1번, 2번 미분해서 원래 식에 대입해야 합니다.
이러한 경우 저였다면 우선 다 미분을 하는데 그러느 과정에서 같은항들끼리는 세로로 적고 다른 항들끼리는 가로로 적을 것입니다. 이것은 특별한 것은 아니고 계산실수를 줄이기 위한 방법입니다.
질문자님께서도 이 문제는 미분을 해야만 하는것이라고 잘 알고 계신것 같은데 귀찮기 때문에 목표와 길이 보임에도 가기를 꺼려하는것 같습니다. 확신이 있다면 그 길이 맞습니다. 그리고 그 풀이가 맞습니다. f(x)g(x)h(x)의 형태를 미분하는 것이여서 귀찮은 것은 사실이지만 충분히 정리가 되고 문제를 해결할 수 있습니다.
@@ODE_PDE 네!! 풀어보겠습니다! 답변 감사드립니다!
선생님
y"-0.16=32cosh0.4x
처럼 람다가 0.4인데 ( 복소근 아닐 때 ) 우측 0.4와 겹치는 거 이거도 기저가 겹친다고 판단하여 x를 곱해줘야하나요?
y"+y'-6y=52cos2x 해를 구해야하는데 어떻게 해결해야할지모르겠습니다 매개변수변환법 전까지 배웠는데 ... 람다가 두개 나올 때 w0 자리에 둘 중 뭘 넣어야할지 모르겠습니다...
@@송인재-l2n 하이퍼볼릭코사인은 지수함수입니다. 결국 우변(비제차항)은 e^0.4x 와 e^-0.4x 모두 가지고 있으므로 겹친다고 판단해야 합니다. 즉, x를 곱해주는게 타당합니다.
두 번째 질문에 대해서는 질문에 적으신 w0가 뭘 뜻하는건가요? 이 문제는 미정계수법, 매개변수법 둘 다 가능합니다. 평상시처럼 제차해 구하시고 겹치는지 확인한 다음 겹치지 않으므로 기본규칙만 적용해서 계수값 구하시면 됩니다.
두번째 질문에서 람다가 각각 -3 , 2이므로
기저가 e^-3x , e^2x라 코사인 2x과
2x가 겹쳐서 코사인 앞에 x를 곱해줘야하지 않나요?
@@송인재-l2n 아니요..... e^2x 와 cos(2x)는 독립관계입니다. 겹치지 않습니다.
독립과 종속(겹침)을 판단하는 기준은 론스키안(W)입니다. W(e^(2x), cos(2x)) 의 연산을 해보면 0이 아닌 결과가 나와서 독립관계를 만족합니다. ^^
@@ODE_PDE 저는 람다 숫자와 삼각함수 안에 숫자가 같으면 기저가 같다고 착각했습니다
엄연히 exp과 삼각함수는 다른 기저인데..말이죠 착각했습니다!!ㅠㅠ
강의 너무 잘 듣고 있습니다!
고계 비제차 문제 하나만 질문 드려도 될까요?
yh를 구해보니 yh=c_1e^3x+c_2e^-3x+Acos3x+Bsin3x로 나왔습니다.
yp를 설정을 해야하는데 r(x)가 12x^-5+40.5x^-1로 나와있으면 어떻게 설정하고 풀어야 하나요?
4계 ODE인가요? 고계는 제가 깊이있게 공부하거나 다루지 않아서 x^-5, x^-1 같은 경우 잘 모르겠네요. 만약 2계라면 합규칙으로 r을 분리하고 yp1+yp2로 본 다음 각각의 yp1,yp2를 매개변수공식으로 풀었겠지만 4계 ODE의 경우 매개변수 공식이 엄청 복잡해집니다. 주어진 식을 ODE계산기에 넣어보시고 풀이를 확인해보셔야 할 것 같네요 ^^
@@ODE_PDE 아!! 네 감사합니다~~
r(x)의 형태가 3cosx+cos3x와 같은 꼴일때는 Yp를 어떤식으로 잡아야 할까요??
Acosx + Bsinx + Ccos3x+Dsin3x 입니다.
물론 이때 변형규칙을 조심하셔야 합니다. 항상 yh의 기저들인 y1, y2와 겹치는지 확인해보세요
@@ODE_PDE 3y"+27y=3cosx+cos3x 라는식에서 Yp의 형태를 저렇게잡고 미정계수법을 쓰니 좌측 cos3x의 계수가 모두 사라지는데 어떻게 해결해야하나요??
@@성이름-s7m4d 변형규칙을 조심하셔야죠. 제차식이 y''+9y=0 이므로 제차해가 y1= cos3x, y2=sin3x 이잖아요. yp의 형태와 겹치기 때문에 cos3x와 sin3x에는 x를 곱해주어야 하죠.
따라서 Yp = Acosx + Bsinx + Cxcos3x+Dxsin3x
로 보셔야 합니다.
변형규칙을 항상 조심하세요~
@@ODE_PDE 아 감사합니다 강의 잘듣고 있습니다!
20:27