Die Ersetzung eines Terms durch einen Näherungswert kann selbstverständlich das Ergebnis verfälschen. Wenn man schon einen vollständigen Beweis durchführt, dann sollte auch bewiesen werden, dass sich der Fehler nicht auf das Ergebnis auswirkt. Im Übrigen halte ich einen Beweis für konkrete Zahlen überflüssig, weil man es ja auch berechnen kann (natürlich nur über den ln). Sinnvoll wäre ein Beweis für beliebige aufeinander folgende Zahlen n und n+1.
@berndkru Eine Begründung für n^(n+1) > (n+1)^n ist nicht allzu schwierig und die Einschränkung auf benachbarte natürliche Zahlen (“n+1”) ist dafür auch nicht erforderlich: Man kann die Behauptung a^b > b^a für a (b^a)^(1/ab) a^(1/a) > b^(1/b). Jetzt lassen sich beide Seiten der Ungleichung als Funktionswerte der Funktion f(x) = x^(1/x) betrachten. Die Funktionswerte streben für kleine x offensichtlich gegen Null und für x gegen Unendlich gegen 1. Da dazwischen ab x>1 die Funktionswerte jedoch größer als 1 sind, muss also ein absolutes Maximum existieren. Skizziert man nun den Graphen der Funktion mittels einiger Punkte im Bereich 1
@@roland3et Vielen Dank für den ausführlichen Beweis. Tatsächlich war mein Anliegen eher die Kritik am im Video präsentierten Beweis. Den Autor des verlinkten Videos kenne ich und er ist auch kompetent. Leider sind Beweise von Autoren, die nicht aus dem Unibereich stammen, oft lückenhaft, was aber für die Mehrzahl der User vermutlich nicht erkennbar ist.
Ja, das hat mir auch gefehlt. Wie bereits erwähnt wurde ist dieser Nachweis nicht schwer, aber er fehlt. Gerade bei Ungleichungen muß man da sehr gut aufpassen...
Nach meiner Erfahrung ist der Ausdruck immer dann größer wenn man Basis und Exponent dahin gehen tauscht dass die größere Zahl im Exponenten steht. Ausgenommen sind Zahlen bis vier, sprich 2 hoch 3 und 3 hoch 2 sind Ausnahmen. Aber bei mehrstelligen Dezimalzahlen gilt das immer. Mit Graphen kann man das sicher auch gut beweisen.
Die im Video benannte Abschätzung ,, ln(a/b) ≈ (a-b)/b '' sollte präziser betrachtet werden. In diesem Kontext gilt nämlich ,, ln(a/b) 0 gilt, folgt sofort ,, ln(a/b)
Ob die Zahlen "ähnlich" sind (also nah bei einander liegen) ist egal. Wichtig ist nur, dass beide größer 2 sind, wenn's um natürliche Zahlen geht (sonst größer e≈2.71828...). Dann gilt immer für x>y y^x > x^y 🙂👻
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
Die Ersetzung eines Terms durch einen Näherungswert kann selbstverständlich das Ergebnis verfälschen. Wenn man schon einen vollständigen Beweis durchführt, dann sollte auch bewiesen werden, dass sich der Fehler nicht auf das Ergebnis auswirkt. Im Übrigen halte ich einen Beweis für konkrete Zahlen überflüssig, weil man es ja auch berechnen kann (natürlich nur über den ln). Sinnvoll wäre ein Beweis für beliebige aufeinander folgende Zahlen n und n+1.
@berndkru
Eine Begründung für
n^(n+1) > (n+1)^n
ist nicht allzu schwierig und die Einschränkung auf benachbarte natürliche Zahlen (“n+1”) ist dafür auch nicht erforderlich:
Man kann die Behauptung
a^b > b^a für a (b^a)^(1/ab)
a^(1/a) > b^(1/b).
Jetzt lassen sich beide Seiten der Ungleichung als Funktionswerte der Funktion
f(x) = x^(1/x)
betrachten. Die Funktionswerte streben für kleine x offensichtlich gegen Null und für x gegen Unendlich gegen 1. Da dazwischen ab x>1 die Funktionswerte jedoch größer als 1 sind, muss also ein absolutes Maximum existieren. Skizziert man nun den Graphen der Funktion mittels einiger Punkte im Bereich 1
@@roland3et Vielen Dank für den ausführlichen Beweis. Tatsächlich war mein Anliegen eher die Kritik am im Video präsentierten Beweis. Den Autor des verlinkten Videos kenne ich und er ist auch kompetent. Leider sind Beweise von Autoren, die nicht aus dem Unibereich stammen, oft lückenhaft, was aber für die Mehrzahl der User vermutlich nicht erkennbar ist.
Ja, das hat mir auch gefehlt. Wie bereits erwähnt wurde ist dieser Nachweis nicht schwer, aber er fehlt. Gerade bei Ungleichungen muß man da sehr gut aufpassen...
Nach meiner Erfahrung ist der Ausdruck immer dann größer wenn man Basis und Exponent dahin gehen tauscht dass die größere Zahl im Exponenten steht. Ausgenommen sind Zahlen bis vier, sprich 2 hoch 3 und 3 hoch 2 sind Ausnahmen. Aber bei mehrstelligen Dezimalzahlen gilt das immer. Mit Graphen kann man das sicher auch gut beweisen.
Die im Video benannte Abschätzung ,, ln(a/b) ≈ (a-b)/b '' sollte präziser betrachtet werden. In diesem Kontext gilt nämlich ,, ln(a/b) 0 gilt, folgt sofort ,, ln(a/b)
Proof by Rule of thumb: wenn der Exponent größer ist, ist auch die Zahl größer => 2024^2025 > 2025^2024
Formal kein Beweis aber es stimmt trotzdem :D
Mein Gefühl sagt 2024 hoch 2025
Gutes Gefühl, Alex! 😉
🙂👻
Der ganze Aufwand ist meist überflüssig, bei derart ähnlichen Zahlen kommt es oft nur auf den größeren Exponenten an
Ob die Zahlen "ähnlich" sind (also nah bei einander liegen) ist egal. Wichtig ist nur, dass beide größer 2 sind, wenn's um natürliche Zahlen geht (sonst größer e≈2.71828...).
Dann gilt immer für x>y
y^x > x^y
🙂👻