[L2] RÉDUCTION - DÉMO CAYLEY-HAMILTON (via Matrices Compagnes) #8

Réduction des endomorphismes - Partie 8: Démonstration de Cayley-Hamilton avec les matrices compagnes.
On rappelle les bases de l'algèbre linéaire vues en première année et on présente l'idée générale du programme de deuxième année. Réduire un endomorphisme, c'est trouver une base de diagonalisation. Pourquoi faire ? Afin de simplifier les calculs matriciels et de visualiser l'information contenue dans l'endomorphisme à l'aide d'un nombre réduit de scalaires.
Un endomorphisme u de E (un K-ev) sera diagonalisable si et seulement s'il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u.
Un endomorphisme de E (un K-ev) sera trigonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de u est scindé sur K.

[@walabter1887]

Bonne vidéo 👍 merci bcp !!

[@vegetossgss1114]

Très bonne vidéo!
Petites questions please:
1/ le m dépend du x choisi? Cela influe t'il le raisonnement?
2/ Y'a t'il un lien entre m et la dimension de E? Ce lien importe-t'il pour le raisonnement?

[@vegetossgss1114]

Je pense qu''il y a une erreur à la fin du calcul de la matrice compagnon car on a pas le terme en X^n.
Je pense que cela vient du développement du dernier terme: tu as un X+a_n-1 fois le mineur, et non pas simplement a_n-1 (sans compter le (-1) à la puissance adéquate que tu as déjà mis)

[@latifabouifrigu1620]

merci bcp
j'ai pas compris le fait lorsque vous avez posé le polynome P à
14:46

[@nayelprepa]

Bonjour Latifa, cette différence vient de la définition du polynôme caractéristique. J’utilise la définition det(M-XI_n) et ton prof utilise la définition det(XI_n-M). Ça fait donc sortir un (-1)^n. Ça n’a aucune incidence puisque les racines sont les mêmes.