我个人的经历，高中学到到虚数和复数的时候，我硬生生地把复数这个名词中的“复”字理解为完全等同于虚数中的“虚”字，后来学英语时学到这两个词对应的英文单词时（imaginary number 虚数，complex number 复数）才顿悟到这两个词的真正含义。complex 有复合体或者复合物的含义，一个建筑群也可叫做complex, 因为里面包含有多幢各自独立的建筑。所以复数中的“复”字含义指的就是由实数和虚数复合在一起的一个数，尽管中间还有一个加号，但还是看成一个数。这样理解虚数和复数就很好理解了！
复数的物理意义-电路中的理解：
利用能量守恒的观点，实数代表了真实的能量消耗，虚数代表了能量的存贮：
1、电阻：真实的消耗能量，所以为实数。
2、电容：把能量暂时存储在电场中，没有消耗，需要时能量可以释放出来，用虚数标识。
3、电感：把能量存储在磁场中, 没有消耗，需要时可以释放出来，用虚数表示出来。
4、能量公式：KVA的平方= KVAR的平方 + KW的平方，仍然可以看出，虚数代表了存储的能量。
- 绳子 于 2021年9月20日晚
所以说，看起来没意义的数，只是我们暂时还没发现意义。这就是为什么数学可以领先于其他学科的原因。
Amazing
沒錯. 是數學家弄出了複數, 然後建構了複數函數上的許多定理 (參考: 數學系的複數變數函數論一課). 又然後, 物理學家發現, 與其把電磁公式寫成2維雙變數函數, 不如利用複數本身隱含的雙變數(實部與虛部), 寫成複數變數函數, 而且剛好直接利用已知的微積分公式.
您还是没完全讲得很好。虚数也在一条直线上，为什么就要把它竖起来？为什么不画在x轴上面平行的某个地方？因为，考虑到 i*i=1×i*i=-1, 是把1旋转了180度，所以如果1只乘以一个i，应该看成是把1旋转180度的一半90度才合理。这样规定以后，其他地方逻辑也是自洽的，所有才规定虚轴垂直于实轴。再加上0i=0，所以虚轴也要过原点。
为何1*i是旋转呢？
没错，他跳过了最重要的部分
对，正交才能不直接先关，不相互含有分量
这样讲挺通俗易懂的，正交与旋转不是一个常识概念
只是表示（直观表达的一种方式）罢了。它就是一个定义，就如2是定义为1+1，3定义为1+1+1一样，怎样表达无所谓的。旋转也一样，物理学中的自旋，就不是人们想象中的“旋转”，甚至画不出来，不是一直都在使用？
雖然很多人留言反對這影片的角度
“為了研究而研究 ”
實際上虛數在很多地方是必須的存在
這些應用多半與角度相位相關
量子力學、光學、電磁學
...與他相關領域多到數不完
在我工作領域是每天 每小時
都要用到矩陣複數計算
得出符合實際量測數值的可能狀況
進行設計、參數調整
或許複數 矩陣 相位 ...一般人可能不夠了解
但依據他設計生產的日常生活用品 每個人都在用
不是一個為了研究而研究的數學
非常非常的實用
只在於你有沒有進到這個業界的差異而已
但在一個開始, 確實是爲了研究而研究的. 是先有了複數的研究, 當時還未發現其應用, 後來才有各種應用的.
虛數在物理跟工程有很大的應用
相對論的時間維度，電磁波的波動方程，量子力學的schrondinger equation都有虛數的身影
工程上機械人運動常用quaternion 作為euler angle跟空間旋轉軸表達式，也有用到，最近很流行的AR.技術也會用到
很实用的科普视频，非常感谢
利害，講解的很清楚，比我以前老師教的還讓人理解^^，受益良多~大推
讲的的太好了，谢谢
提出一个小小的建议：rational number 有理数，并不是有道理的数。而翻译为可比数比较好，即，可以表示为两个整数之比的数。Ration 有配给的意思，源于军队中按军衔分配食物，一种比例的概念，因此与rational number的本质含义有内在逻辑联系。
--参考数学教育家孙维刚讲解
对，无理数（irrational number）这个概念源于一个翻译错误，本来有理数（rational number）的定义就是能够表示成两个整数的商p/q的形式（ratio）的数。ratio 这里是比例的意思，恰好和理性ration 的形容词形式一样，导致比例数，非比例数分别倍翻译成了有理数，无理数，然后这个错误一直沿用下来。
rational 是合理的意思。reasonable, 合理数比较恰当。
rational=ratio-nal比例的
叔讲的太棒了👍醍醐灌顶，看了那么多材料只有你的我能看的最明白，还举一反三了👍
一個不簡單的數學邏輯，被媽咪叔一說，就比較懂了，求知識的路上，遇到好老師，也是一種運氣
讲得好清楚，厉害！！
感谢你言简意赅的讲解！
我个人的经历，高中学到到虚数和复数的时候，我硬生生地把复数这个名词中的“复”字理解为完全等同于虚数中的“虚”字，后来学英语时学到这两个词对应的英文单词时（imaginary number 虚数，complex number 复数）才顿悟到这两个词的真正含义。complex 有复合体或者复合物的含义，一个建筑群也可叫做complex, 因为里面包含有多幢各自独立的建筑。所以复数中的“复”字含义指的就是由实数和虚数复合在一起的一个数，尽管中间还有一个加号，但还是看成一个数。这样理解虚数和复数就很好理解了！
难怪中间有个加号，我之前还觉得用向量的形式表式就挺好的
跟eddie woo一样，把抽象的数学概念讲得浅显易懂。赞一个。
讲得很好 加油 多多创这样的视频 支持哟
Thank you, very clear.
妈咪讲的很叔，赞！
好喜欢这种基础科普，不然莫名其妙来的定义太枯燥了，感谢up
大学以下的普通数学教育，就应该教授基本的数学历史和原理。别考试一来就是从头到尾计算。因为数学天才只是少数，不是人人都有能力发现数学的美。
对，首先培养对数学的兴趣，而不是打击！
的確大多數人就是這樣連其意義為何都不知道
然後算得頭昏眼花根本不知道自己在算什麼
更慘的就是更多人就開始有個論述說數學沒有用
真得很可惜...
对呀！如果妈咪叔是我的初中高中老师，我猜我现在已经博士毕业了……不会成为一个文科生。
@@user-vd3vk1fd1l 這招是愚民教育政策在貫徹落實時的一種表現方式...
@@oikingwong2767 同感，後來唸了商科xd
请叔叔讲解波函数以及复立叶变换，感谢!
謝謝！
播主已经尽可能亲民了。
所以我一知半解的坚持听完了。
两个复数的乘积，用三角函数表达式来计算，正好可以分别得到sin函数与cos函数和的公式。如果一个复数的模是1，然后与另一个复数相乘，结果就是把另一个复数旋转且不改变其长度。比如sqrt(1/2) + sqrt(1/2)i 乘以任意一个复数，结果就是在复平面上旋转了45度。
感谢！
a+bi：实部代表真实的能量消耗，虚部代表储能元件对能量的存贮；并且，二者可以互相转化，就像虚数坐标乘以i，变成实数坐标一样。
以前每天計算交流電的時候，會感受到複數的物理意義，尤其諧振電路的部分。點進來看是因為 1.我已經好多年沒計算交流電 2.想知道別人怎麼看複數
有理數和無理數不是因為他們有沒有道理
有理數的英文rational number其實是代表這個是可以化作整數比例的(ratio-nal)
但是被錯誤理解成把rational直接翻譯成中文的意思(有理)
同理，所謂的無理數的定義其實就是不能用整數的比例來表達(i-rratio-nal)
這不但是在中文，在英文世界也廣泛存在這個誤解。使用英文的人也把rational理解成了「有理」，而不是「可化成整數比例」
N :natural number,
Z:整數,德語Zahlen
Q: Ration 有理數，"比例數”
R (real 實數)
"i" imagery (虛數，想像數）
C ：複數 complex，複雜數
Imaginary
不錯, 很早前數學有相當多數的研究是德國人做出來的.
我的天, 妈咪这一个视频直接就打通了我对应用数学内部关联的最后一个盲区.
3:16 有理数(rational number)的中文命名其实是翻译错误，不是因为是"有道理的"。
此处rational 的原形是ratio，所以有部分中文数学书把Q称为”比例数“，而非”有理数“
最初是徐光启从拉丁文翻译的，他用的 理 在古汉语中指的就是比值
@@rickli84 就我浅薄的知识来说，在文言文和古汉语中，“理”都没有比值的意思吧
我看你是本末倒置，自以為是，誰說rational 的原形是ratio的 ? FUCK的原型是FU ? FUCKTION 的原型是FUCK ?? 字母數量比較少的就一定是字母數量比較多的原形 ? 大陸人的原形是 "大" ? 大陸產品的原形是大陸 ? 見鬼了
瘋了
"大陸手機"的原形是"大陸手" ? 大陸手的原形是大陸 ? 大陸的原形是大 ? 大的原形是 ? 見鬼了
不愧是咱大内蒙的up主，到哪儿都恒源祥
Daniel Cheung 傻逼
觉得妈咪叔没有讲透，我的思考是复数为实数的二元组合扩展加上这个基础上重新对加法、乘法和幂运算的重新定义后使到这个新定义的二元组在代数运算上闭合的一套定义
远古时候数羊难道不是：咩，咩咩，咩咩咩么？。。。
不可能洋洋洋的 那时候哪有那么多羊
那是让羊自己报数。
想了解欧拉恒等式含义找了好久 ，感谢妈咪叔~！
Unfortunately, this is still not the right explanation of Euler's Identity.
能不能讲下傅立叶函数
5:53秒，您说判别式为b^2-4ac，但是您写的时候写成delta=根号（b^2-4ac）。
對ㄟ！XD
听到数羊，愣了下神，怎么就突然到欧拉公式了呢。。。
回过神来，黑板上怎么天马行空了！😄
@@ChrisEvans-nk6km 这就是上数学课累的地方，脑子必须跟着老师飞速旋转。文科就不用了。
妈咪叔，怎么证明实数轴是连续的呀？谢谢！
媽咪叔，請問一下，虛數可以用平面表達，那四元數會長什麼樣子呢？
这里关于虚数的说法，使逻辑更加完美，有点不确切，开始是这样的。后来找到群之后，就不是这样了。复数组成的代数系统是个封闭的群，是一种模型，在物理中有对应的实体。不过整个视频挺好，点赞！
我不是很理解你的说法。什么叫复数组成的代数系统是封闭的群？
@@zeouhu7345 更深的数学理论：群论，一般的工科都学不到的
@@user-jk9gs3gn6d 我本科是学数学的，我学过群论，正因如此我完全不理解层主的说法
@@zeouhu7345 _(:з」∠)_，这我就不懂了，我只是个对群论略有耳闻的工科生
@@zeouhu7345 Check abstract algebra. It's the unifying thread of almost all mathematics.
用什么APP吗，我也想做点视频自娱自乐
a不是在单位圆上吗，那旋转向量a怎么能得到acos那个角等于到虚轴的距离呢，不对啊
媽咪~，可以介紹一下黎曼的衍生公式嗎?
感謝~~
欧拉恒等式真是美啊，感受到了。。。真牛！
学电路看完感觉醍醐灌顶
最近一直在看妈咪说，讲的深入浅出九浅一深非常有道理。不过这篇里面有一个小错误，应该是可爱的妈咪说疏忽了。Delta =b^{2}-4ac,是不开根号的。
求根应该用到开方
@@user-vd3vk1fd1l delta 是开根号前的表达式，原回复没错。对这个表达式才需要判断大于小于还是等于零。开完根号的式子，不存在小于零了啊
这节课妈咪讲的数学知识比较多，希望能讲讲物理上的应用，这样更容易理解些
比如算相角啥的，涉及到三角函数的时候用相量来加减就会方便很多
狼來了
Δ=b²-4ac，并没有开方，不然怎么会小于零？🌚
看过日本的一本童书，复数放极坐标系更好理解一些
妈咪叔，可不可以说一下进制哈哈。我一直想问，我们平时用的十进制真的是因为他更方便好用嘛？还是我们已经习惯了，或者说习惯于十进制表达数字的大小了？如果我们从小接触的都是比如7进制，十六进制，我们也会像现在用十进制的这么顺手吗？那到底是谁规定了人们使用就一定是十进制呢？十进制真的会简化运算嘛？
十进制是因为人有十根手指, 效率最高的是e进制.
Sun Yujia 表征状态省进制的位数，计算效率在工程上无法实现
后悔早点没看到系列
我高中最讨厌就是e和i！！！一看到马上跳到下一题……妈咪叔那个坐标轴，几分钟的事，教会我10年前死活不懂的问题
上学的时候，都学过啊，只是忘了而已
为了解方程产生了更多的种类的数
是的，但没法解释超越数
Sometimes it is difficult to convince people by showing the effectiveness of something. You need to convince them by showing the motivation.
为什么A‘的坐标等于e的i π方呢？
複數的第一條還可以懂
加了三角函數頭就快燒起來了
8:25 为什么要竖起来？45度夹角不行吗？
总觉得/0这个bug很让人不舒服，什么时候/0能扩展进数里面就好了
坐标中不能使用勾股定理
提醒小帅哥，阿拉伯数字起源于印度，阿拉伯商人把它传入欧洲。当时欧洲人误称为“阿拉伯数字”。
我总感觉这个虚数轴是四维世界的一根坐标轴
虚数轴是四维空间的X Y Z还是时间轴？
feifeishuishui 傳統xyz是空間，t是時間，實虛軸是另一條軸
是高维宇宙的隐藏维
真是不懂装懂，不懂就上高维空间
阿拉伯数字是印度的
是谁发明了竖直放的就是虚轴呢？为什么可以这样表达（实轴和虚轴垂直，意味着什么？）
最早叫羊羊羊 然后换成石头 再换成刻痕 这个是有确实的证据还是想当然说的？
数字厉害
既然数学是一符合逻辑的工具，那么欧拉恒等式接着往下推也应该成立，eΛiπ＋1=0推导出iπ=ln(-1).但后面这个式子，经过求证，显然是不正确的。那你能给解释一下吗？(那为什么我还要用这个式子，是因为我是要用它证明一个难题有关)。
Ln(-1)没有定义，为什么不定义它呢？可能是因为定义“对负数取对数”增加复杂度但是不能简化对现实世界的描述
板书有点乱，后期容易跟丢
愛死他了
我小时候（30多年前）0也不算自然数，只有正整数才是自然数
在物理里，虚数没有实际物理意义，只是作为工具使用。我从知乎上看到的一个回答，我回想了下，挺有道理的。
在1名外國物理學家and李嗣涔的4維複數時空理論中,是有實際意義,代表陰間宇宙
妈咪树，知识树。 哈哈哈
2i是逆时针旋转90°，2^i又是啥
先取对数 然后exp 然后用欧拉公式打开
问一下博主，你是用平板和笔画图和写字的吗？
Nelson Lee 应该是电脑和绘图板吧
看鼠标轨迹是绘图板无疑
古人智慧如此牛逼啊，解决问题的办法是把问题推到海里喂鲨鱼
這很共慘黨, 解決提出問題的人比解決問題更有效
实数为什么是连续的？因为如果实数不连续，微积分就没法用了？？？？？
这不是用结论套原因吗，说了跟没说一样
我小学在九十年代 高中在千禧年之后 没听说0不是自然数这个说法 2000之后0才是自然数这个说法是有啥根据吗
a+bi 表示一个二维平面。 在数学上，是否有 a+bi+cj 表示一个三维立体？
Peter Zhao 我瞎猜一个，找到一个n次方程没办法找到n个复数解，这时候j就登场了
有四元數，可以查一下。
但不是不存在-i嗎
1、“有理数”、“无理数”这个翻译严格来讲是不准确的，应称为“比例数”和“非比例数”，无理数可不是没有道理的，毕竟也是天然存在的数
2、虚数最早是从三次方程通解这个问题上冒出来的，16世纪，当时发现明明某些三次方程有3个实根，怎么按卡当公式算出来愣是搞出一堆根号里面为负的东西？后来人们就开始研究这种根号下为负是个什么情况，才逐渐有了虚数
另外值得注意的一点是，i和sqrt(-1)并不完全是一回事，假设完全等同，那么会出现-1=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt(1)=1的矛盾现象，这也是虚数这个概念在16、17、18世纪一直不流行，一直被主流数学界抵制的原因，后来18世纪末、19世纪经过欧拉、柯西等一帮牛人重新定义、发展、完善，才被数学界广泛接受，就连这个“i”的符号，都是欧拉搞出来的
3、严格来讲，欧拉恒等式是定义出来的，不是计算或证明出来的，一开始人们根本不知道e^i这类东西是什么，复数放在指数上完全没有意义，后来欧拉仿照实指数函数，用级数去定义复指数，才有了那条恒等式
全部有聽懂，除了不懂8:15“為什麼”要把虛數變成縱軸，還有8:45投影的意義是什麼
复数表示a+bi ，如果把实数想象排列在横轴上，那虚数要在什么角度的轴上，才可以做到让b的值（虚部）无论如何变化都不会对实数部分a有影响？ 懂了吗？
@@jiama8628 謝謝回覆。我再來複習一次看看
因爲實部虛部是獨立的. a+bi a, b 可以是任意實數, 所以也可以寫成(a, b)來表示, 這樣不就是直角座標了嗎? 利用直角座標系的平面來代表複數, 不是很自然嗎?
投影就是個動作, 在 x-y-直角座標系上, (a, b)對 x 軸的投影是a, 對y 軸的投影是b.
这科普太厉害了，前因后果，穿针插线，娓娓道来。
哇！我还在想呢，我博士研究里面用的三角函数跟复数不是同一个几何意义吗！但是中学好讨厌复数虚数啊，我连哪个是哪个都记不住。除了几何，其他数学都学不进去，结果读博研究几何还要建模，用的全是各方各面的数学🤢！现在开始喜欢量子理论，发现不学点绞我脑汁的数学，还真不够劲儿。
旋转意义看懂了，再请教一下，虚数部分和实数部分，就直接想加啊？也有意义么？
那些數被定義為複數比如1+2 i. 3+4i之類的。整數部分稱實部。後面稱虛數部分稱需部。前方也可以是帶根號的數。根號2。根號3之類的以 a+bi 表示的數都定義為複數
我上学时0不是自然数呢……
数是数手指头产生的
驚嘆號「！」想要嚇人，結果被往肚子裡揍了一拳誰揍的也沒看見，所以我們有了問號「？」
新年快樂，來複習一下順便簽到。🤣
比起李永乐，更喜欢看妈咪叔，李永乐什么都写黑板。。。一下子就有一种疲倦感。。。以前读书上课枯燥的讲课的既视感
有个问题··· 在复数之外还有扩充吗？
空间旋转时有用到四元数
还有8元数
对啊，继续往上就叫x元数了，我学旋转就学过四元数。
@@jonyw8851 看到你的8元数，我故意去搜了搜16元数，还真有，惊了
数学再发展一步，人类就隐身了😄
恒！源！祥！羊羊羊！
石田夕顔 洗脑了
为什么要把虚数轴竖起来?
我也想知道，为啥呢？大概是为了赋予其几何意义吧。
數學家發現虛數軸上的0和實數軸上的0是一樣的
但虛數軸又不能和實數軸重疊
只好旋轉90度，構成一個二維平面
10:12屏幕左侧冒出来了什么东西……
i的平方为什么等于-1？
因為它是根號-1阿。3次是負i. 4次是1。5次又變回 i嚕這個4次1循環
虽然视频内容非常清晰有条理，妈咪叔本人也很可爱，但是讲数的时候那些圈圈画得有够难看
其实0=无穷∞
歐拉公式後面就沒辦法理解了......不過現在的學校還真沒有講虛數的由來.....
0做分母的问题啥时候能解决一下
负数=债