[미적분학] 14.3 극좌표에서 이중적분 (Part2. 간단한 극좌표 이중적분)

[@Hernan102wnw]

안녕하세요, 강의 잘 듣고 있습니다. 혹시 4:23 에 쓰시는 식엔 왜 r이 곱해지지 않은건가요?

[@던컨쌤]

오류 발견해 주셔서 감사합니다.😊

[@111aaa-gc1we]

두 가지 질문 드립니다.
1. 극좌표 이중적분에서도 일반적인 이중적분에서처럼 적분 순서 바껴도 되는거죠? 그러니까 r에 대해 먼저 적분하고 세타에 대해 나중에 적분하든, 세타에 대해 먼저 적분하고 r에 대해 나중에 적분하든 상관없는거죠?
2. 예제1번 문제를 극좌표를 이용한 이중적분말고 일반적인 이중적분으로 풀 수 있나요?

[@던컨쌤]

시청해 주셔서 감사합니다. 답변을 드려봅니다.
1. 클레로 정리에 의하면, 어떤 적분변수부터 먼저 적분해도 적분값은 동일합니다. 다만, r=r(theta) 로 볼 것인지 theta=theta(r) 로 볼 것인지를 잘 구분해서 먼저 적분하는 변수를 위해 적절하게 변경해 줘야 합니다. 이 부분은 삼차원 유클리드 공간에서 정의된 이변수 함수를 dx 먼저 적분할지 dy 먼저 적분할지를 따지는 유형1 or 유형2를 고려하는 것과 유사한 개념입니다.
2. 예제1번에서 적분하고자하는 영역 R이 사각형이 아니어서 dA = dxdy 로 생각하고 적분을 시도해 보시면 적분이 거의 불가능 하다는 것을 발견하게 되실겁니다. 피적분함수의 형태에 따라서 운좋게도 적분이 되는 경우도 아주 가끔은 있습니다.

[@111aaa-gc1we]

@@던컨쌤
우선 답변 감사드립니다!
답변 내용 중 이해가 잘 안 되는 부분이 있어서 다시 질문드립니다.
1번에 대한 답변 내용 중 결론인 '어떤 적분변수부터 먼저 적분해도 적분값은 동일하다'는 것은 알겠는데 두 번째 문장 '다만, r=r(theta) 로 볼 것인지 theta=theta(r) 로 볼 것인지를 잘 구분해서 먼저 적분하는 변수를 위해 적절하게 변경해 줘야 합니다.'가 무슨 뜻인지 잘 모르겠습니다.

[@던컨쌤]

@@111aaa-gc1we 적분하고자 하는 영역 D가 극사각형인 경우에는 어떤 적분변수로 먼저 적분해도 쉽게 적분이 가능합니다. 하지만, 일반적인 영역에서 적분은 14.2절 내용과 같이 유형을 잘 선택해야 합니다. 유형을 잘못 선택하면 적분이 안되는 경우도 있습니다.