B2 🦘 Känguru 1999 🦘 Klasse 9 und 10 | Rechnen mit Restklassen | Modulo Rechnung einfach erklärt
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- Опубликовано: 2 окт 2024
- Lasst uns Lösungsideen austauschen. Wie hast du diese Aufgabe gelöst? In dem Video zeige ich dir, wie du diese Aufgabe mit der sogenannten Modulo Rechnung (Rechnen mit Restklassen) lösen kannst. Viel Spaß beim Lösen der Aufgabe!
Playlist Känguru Wettbewerb Klasse 9/10: • 🦘 Mathe mit dem Kängur...
Weil meine Klasse gleich ins Theater geht schreibe ich ganz schnell:
Ich verwende negative Reste. 9 mod 10 = -1. -1 hoch 99 = -1 (-1 hoch ungerade Zahl = -1). 1 + -1 = 0.
Oder: Ich schaue mir die Einerstellen der Potenzen von 9 an: 9, 1, 9, 1, 9, 1, ...
und weiß auch, dass die Einerstelle von 9 hoch ungerade = 9 ist.
An deinen eleganten Ansatz hatte ich zunächst auch gedacht, mich dann aber für die Kongruenz von 9^2 entschieden, da es vermutlich mit einem Rest von +1, gerade am Anfang, wenn man diese Vorgehensweise zum ersten Mal sieht, einfacher zu verstehen ist.
Haha, 😅 da hilft der Taschenrechner halt auch nicht weiter; 9^99 ist irgend etwas mit 3x10^94, also mehr als es Atome im gesamten Universum gibt…🙈
Zum Glück alternieren 9er Potenzen zwischen 9 und 1 und zwar abhängig vom Exponenten.
Das kann man mit Grundkenntnissen aus dem 1x1 ableiten: 9x9 = 81 und eine Zahl, die auf 1 endet und wieder mit 9 multipliziert wird, endet auf 9.
9⁰ = 1
9¹ = 9
9² = 81
9³ = 9x80 (Vielfache von Zehnern enden auf 0) + 9x1 = 9
Alle Potenzen mit ungeraden Exponenten (die Begriffe kann man SuS in der Mittelstufe beibringen, das ist kein Problem) enden auf 9. Addiert man 1 drauf, endet die Zahl auf 0.
Letztendlich ist das eine Frage der Restklassenrechnung. Es ist nicht nach einem möglichst präzisen Ergebnis aus dem Taschenrechner gefragt, sondern nach der letzten Ziffer. Die Einer kann man aber darstellen, indem man die Zehner abspaltet.
9x9 = 81
81 = 8x10 + 1
Bei den Faktoren 9 fehlt also immer 1 zur 10 und Zehnerpotenzen sind einfach, denn sie enden immer auf 0.
Formal aufgeschrieben:
9 ≡ -1 mod 10
„Will ich Vielfache von 9 auf Teilbarkeit mit 10 prüfen, fehlt mir für jeden Faktor 1 zur 10“
Oder anders ausgedrückt: Teile ich Neunerfaktoren durch 10, bleibt jedes Mal ein Rest von -1 übrig (-1 heißt formal: Es fehlt einer).
Deswegen wird im „Kleinen 1x1 mit 9“ bei 1x9 = 10-1 angefangen zu zählen und für jeden weiteren Faktor auf dem Einer eins runter gezählt. Das ist das, was die Kongruenzschreibweise aussagt. Bei 10x9 = 9x10 haben wir wieder ein Vielfaches von 10 und bei 11x9 geht es wieder von vorne los.
Neunerpotenzen sind im dekadischen System total klasse, weil sie eben so dicht an der 10 dran liegen: mit 1x9 = 9 habe ich, wie oben beschrieben, „1 zu wenig“, mit 9x9 = 81 „1 zu viel“. Somit erklärt sich das alternierende Verhalten der Neunerpotenzen.
Neunerpotenzen verhalten sich also zu Zehnerpotenzen genauso, wie Potenzen von -1. Auch das kann man in der Mittelstufe klären: Der Faktor -1 ist ein mathematischer Ausdruck für den Vorzeichenwechsel und potenziert bedeutet das ein ständig wiederholender Wechsel zwischen + und - (ausgehend von „irgendetwas hoch 0 ist immer 1 und somit landen alle graden Potenzen bei „1 zu viel auf den Zehner“ und alle ungeraden Potenzen bei „1 zu wenig auf den Zehner“; es alterniert.
9^99 ≡ 9¹ ≡ -1¹ mod 10 oder anders: auf eine Zehnerpotenz fehlt immer einer, der in der Aufgabe aber drauf addiert wird.
Ich predige seit Jahren, das Konzept von Potenzen und Redtklassen viel früher und intensiver in den Schulen einzuführen. Das würde SuS vieles Vereinfachen.
Hallo @wollek4941 , vielen Dank für deinen tollen Beitrag👍🙂 Genau deshalb finde ich RUclips so toll, wir können hier Ideen austauschen und diskutieren. Liebe Grüße