[EM#13] Inégalité de Cauchy-Schwarz (Démonstration)
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- Опубликовано: 2 окт 2024
- Dans cette émission, je te propose deux démonstrations de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. La première démonstration, la plus populaire, consiste à calculer un discriminant d'un étrange polynôme du second degré. L'origine de la quantité considérée est alors éclairée par une deuxième démonstration géométrique dont la simplicité est étonnante.
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✒️ Notions abordées: produit scalaire, norme, espace euclidien, espace préhilbertien réel, discriminant d'un trinôme du second degré, projection orthogonale, théorème de Pythagore, inégalité de Cauchy-Schwarz.
🌞 Bonne écoute !
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![[EM#14] Densité de Q et de R\Q dans R (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/cmHJUAzAA8Q/mqdefault.jpg)
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s'il vout plaît,je n'arrive pas à comprendre l'utilité des notions de distance et produits scalaire entre vecteur lors de leurs associations avec les espaces vectoriels☺️
Je peux te proposer une petite tranche de mathématiques sauvages pour comprendre ça, dans la peau d'un lycéen qui voudrait transposer ce qu'il avait l'habitude de faire avec des vecteurs du plan.
🔸 Dans [UT#46], j'ai expliqué qu'au final, on était tout heureux de pouvoir faire des combinaisons linéaires de vecteurs du plan, de suites et de fonctions. Plusieurs résultat similaires peuvent ainsi être établis dans le cadre de l'algèbre linéaire.
🔸 Cela dit, au lycée, on faisait bien d'autres choses que des combinaisons linéaires de vecteurs. Entre autres, il était question de pouvoir calculer leur longueur (norme, distance entre les extrémités), et aussi de pouvoir parler d'angle entre deux vecteurs, notamment de dire qu'ils sont orthogonaux.
🔸 Pour cela, l'algèbre linéaire ne suffit pas: nul objet de l'algèbre linéaire ne permet de recréer ces notions. C'est ainsi que dans l'algèbre bilinéaire, on exige qu'un espace vectoriel soit muni d'une structure supplémentaire, en surcroît, donnée ici par un produit scalaire. Cela permet de recréer la notion de longueur, de distance (grâce à la norme), et aussi, par exemple, d'orthogonalité.
Merci☺️,justement c'est à ce niveau, là que, c'est un peu flou,si je prends l'exemple du R espace vectoriel des polynôme,je n'arrive pas à me représenter cette notion de distance qui séparerait deux polynôme entre eux,quelle est sa signification, à quoi elle ressemble, à t'elle déjà eu des applications utiles 😊
@@psychonerd4922 Je comprends tout à fait que ça frotte. L'idée, c'est qu'on ne peut pas transposer la totalité des éléments connus dans le plan, en particulier les intuitions géométriques. Par exemple, on peut expliquer l'inégalité triangulaire dans le plan à n'importe quel gamin: cela paraît logique. Au contraire, dans un espace vectoriel de polynômes, on ne peut pas vraiment, il me semble, lui donner de sens autre que "ça marche un peu comme dans le plan". C'est d'ailleurs exactement ce que j'ai fait dans cette vidéo: toute l'idée de la deuxième démonstration est basée sur un dessin qu'on pourrait qualifier de "faux", si tu imagines que E est R[X], par exemple.
Cela dit, même avec cette possibilité perdue de faire des dessins qui représentent vraiment quelque chose, on peut faire pas mal de choses:
🔸 Le théorème de Pythagore
🔸 L'inégalité de Cauchy-Schwarz
🔸 L'inégalité triangulaire
🔸 Interprétation d'un projeté orthogonal en terme de minimisation de distances
Pour un exercice qui utilise la notion de distance avec des polynômes, en voici un: calculer la borne inférieure de l'ensemble {intégrale de a à b de (t²-at-b)²dt | (a,b) dans R²}.
🔹 En utilisant la notion de projection orthogonale (algèbre bilinéaire).
🔹 En utilisant la notion de point critique (fonctions à plusieurs variables).
Pour les curieux, on trouve 1/180.
instaBlaster.
J'ai envie vraiment de collaborer un jour avec ces genres des profs.Vous etes tres bien dans votre role,vous expliquez tres bien,tout est argumenté .Je vous remercie tellement.
Merci c'est très clair. Il me semble que l'on aurait pu expliciter pourquoi le discriminant est négatif ou nul. Dans le cas contraire, il y aurait deux racines distinctes entre lesquelles le trinôme change de signe. Comme le signe reste constant cette hypothèse n'est pas plausible. Mais c'est un détail de la demo.
En tout cas merci de cette vidéo, c'est très utile !
Merci je cherchais justement cette information :)
J'ai toujours adoré la démonstration de cette propriété. Je me rappelle mon amusement lorsque cette démonstration m'avait été proposé pour la première fois.
De même ! La rapidité avec laquelle le piège se referme est particulièrement drôle dans la première démonstration. Le calcul de p(t) n'a rien de passionnant. Et là, en deux temps, trois mouvements: trinôme du second degré positif, discriminant négatif, terminé. À peine le temps de réagir que l'inégalité est démontrée. C'est le lapin qui sort du chapeau 🎩 !
Vous êtes l’or dans la mine qu’est youtube
Merci infiniment 😃 !
Je me rappelle parfaitement avoir été dubitatif lorsque mon prof avait invoqué par "magie" cette fonction. Merci pour cette vidéo !!
Incroyable, comme toujours ;)
Merci beaucoup ! Oui, on a tous eu cette sensation de magie 😅 !
Merci beaucoup.
Merci beaucoup
parfait ..merci bcp
j ai pas bien compris comment on a choisi l application au debut de la demonstration
Honnêtement, moi non plus. Je comprends le « comment », mais je n'ai pas trouvé une explication limpide et honnête au « pourquoi ». Aujourd'hui, c'est encore une « astuce » dans ma tête, et j'espère trouver quelque chose de plus satisfaisant lorsque je rénoverai cette vidéo.
Excellent
Merci 😉 !
Merci beaucoup, ça m'a bien aidée !
Quelqu'un m'aide svp
Montrer que pour tout x réel
Cos (X) + sin (X ) est compris entre -√2 et √2
Une première piste, ce serait de tenter l'étude de fonction pour voir un peu ce qu'il se passe… 🤷🏻♂️.
Trés belle vidéo, cependant tu dit que la démonstration 1 n'est pas clair en terme d'intuition géométrique pour faire apparaitre "x+ty" directement, mais dans la deuxième démonstration, tu fait apparaitre exactement au début le "x+ty", en se basant sur le polynome pour Delta=0 lié à "x+ty" du coup. Dans tous les cas la démonstration doit faire apparaitre "x+ty" venu de nul part qui n'existe pas du tout dans l'inégalité. C'est pour cela que j'ai bcp de mal avec les démonstrations des théorèmes des maths du supérieur. Il n'y a pas une démonstration de ce théorème d'un autre style? Tu n'aurai pas des livres à me conseiller pour progresser et comprendre les démonstrations mathématiques? à chaque fois qu'on part d'une base sorti de nul part, ça bloque.
Ah, je me suis mal expliqué dans ce cas. Dans la première démonstration, c'est surtout l'idée de poser le produit scalaire de x+ty et de lui-même pour un t quelconque que j'ai du mal à m'expliquer.
Par contre, l'idée d'écrire x = (x + ty) - ty pour la valeur de t spécifiée est naturelle, cela revient à décomposer x comme la somme d'un vecteur orthogonal à y et d'un autre vecteur colinéaire à y, comme on le fait en classe de seconde avec les vecteurs. Je referai cette vieille émission un de ces jours, je pourrai sans doute exposer cela plus clairement 👍🏻.
Je connais une troisième démonstration de cette inégalité mais elle est encore moins intuitive que la première, donc ça m'étonnerait que ça te plaise 🤣. Quant à des ouvrages qui expliquent les démonstrations, je n'en connais aucun qui contient ne serait-ce que 50% des explications qu'il est possible de donner dans une vidéo, hélas.
-1 ≤ cosx < 1 donc cosx ≤ 1 donc |u|*|v|*cosx ≤ |u|*|v|
Est ce que ca marche
Édit : ça a pas du tout l'air d'être rigoureux tout compte fait
C'est tout à fait vrai pour des vecteurs dans le plan, avec le produit scalaire usuel qu'on voit au lycée, puisqu'on a le luxe de pouvoir exprimer ce produit scalaire à l'aide de l'angle formé par les vecteurs u et v.
Cela dit, la démonstration proposée ici est bien plus générale: l'espace euclidien est quelconque, ainsi que le produit scalaire 👨🏫.
En fait, c'est incorrect de dire que ||.|| est "la norme associée" au produit scalaire et de parler de "norme" durant toute la démonstration, puisque CS permet de montrer que ||.|| est bien une norme... On pourrait croire qu'on fait un raisonnement circulaire ici...
Heureusement, ce n'est pas le cas car on n'utilise que la séparabilité et l'homogénéité de ||.||, qui sont directement acquises par les propriétés (bilinéarité et définie positive) du produit scalaire.
C'est donc à la fin de la preuve de CS que l'on peut affirmer que ||.|| est une norme (c'est un corollaire).
Idéalement, on aurait peut-être dû écrire N(x)=\sqrt{} au lieu de ||x|| et parler de "N" au lieu de norme.
Super vidéo sinon 😀
La manière dont c'est fait dans le programme d'ECS, c'est d'introduire un objet étrange appelé "norme associé à un produit scalaire", qui se définit exactement comme tu le fais avec l'application N. Et on démontre ensuite que cet objet N a les propriétés d'une norme (sans définir la notion de norme, c'est hors-programme). Mais à nouveau, je ne me suis pas embarrassé des détails pour me concentrer sur l'essentiel de la démonstration.
Démonstration qui, d'ailleurs, aurait mérité d'être complétée par une autre démonstration qui tient en trois lignes, et que j'espère pouvoir présenter en vidéo cette année 👍.
@@oljenmaths Ah d'accord 👍
Hate de voir cette vidéo. Bon courage ! 😁
Une vidéo sur la continuité d'une application linéaire en relation avec la différentiabilité. Svp🥺🥺🥺
Mmh, j'ai du mal à voir ce dont il est question. J'ai déjà fait une vidéo pour expliquer la notion de différentielle, en réalité. Cette histoire de continuité, c'est quelque chose qu'on exige pour la différentiabilité d'une application entre espaces vectoriels normés de dimension infinie 👨🏻🏫.
Bonjour ! très bonnes explications merci beaucoup ! pour ce qui est de la dernière partie ne peut-on pas faire directement par equivalence en utilisant le fait que II x+ty II^2=0 ssi II x+ty II=0 ssi x+ty=0 , et que II=IIxII.IIyII ssi II x+ty II^2=0 car l'inégalité au desus est établie par equivalence ? merci encore pour les supers vidéos !
Bonjour ! Effectivement, j'aurais pu être un peu plus efficace à cet endroit. Je me rends compte que j'ai tendance à éviter de produire des raisonnements par équivalences parce que lorsque mes étudiants m'en proposent, ils sont souvent sous-argumentés. Du coup, je n'y ai même pas pensé 🙃 !
Un petit souvenir de mon premier DM avec ce polynôme qui simplifie toute la démo !!
Pour faire fonctionner ton DM avec les outils de MPSI, je suppose que tu as défini p, non pas à partir d'une norme au carré (puisque la norme usuelle d'un vecteur de R^n n'est probablement pas connue), mais directement à partir de sa valeur, c'est-à-dire la somme des (xi+t*yi)², puis que tu as développé le tout 🤔 ?
@@oljenmaths oui c'est exactement ça !
Bonjour, et le cas complexe ?
Salutations, il est plus complexe.
Ça m'aide beaucoup, merci
Ravi que ces émissions puissent aider 😃 !
Juste une remarque , vous expliquez d'une manière difficile
Noter la racine t c'était pas super malin...merci pour la démo malgré tout
C'est pas faux !
Le programme qui vous utilisé ??
✍️ Graphic Tablet: amzn.to/32Pe1VY
📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop.
🎧 Audio recording & editing: Audacity.
🎬 Video montage: Adobe Premiere.