La démonstration est très claire donc merci beaucoup. Mais j'aurais juste une remarque pour la démonstration 2. Pourquoi prendre p dans N alors qu'on l'encadre avec un réel quelconque après ? X pourrait très bien être négatif.
👁️ Erratum: à 7:18, il s'agit bel et bien de considérer p un entier relatif. Sur le moment, je suppose que choisir p dans N m'a semblé plus... naturel 🤦♂️.
Merci beaucoup pour cette vidéo. L'approche que tu utilises pour démontrer et surtout bien faire comprendre le propos fondamental est excellente. Effectivement la "racine" de cette démonstration vient de la seconde partie que tu exposes, c'est de là que la preuve a dû naître, à partir d'Archimède. Je suis un "ancien" matheux qui se replonge dans les Mathématiques afin de passer les concours de l'enseignement et tu m'aides beaucoup. Merci
Cette vidéo sort pile au bon moment! J’ai khôlle de maths lundi, et cette démonstration fait parti de celles sur lesquelles je peux tomber... merci mille fois! (La démonstration que vous proposez n’est pas celle de mon cours, mais c’est toujours ça de pris!)
Øljen - Les maths en finesse erratum de ma part! Notre professeure l’a rédigé de manière différente mais en réalité, c’est la même que la démonstration que vous présentez...
Je suis certain qu'elle est encore glissée dans bien des cours ! J'espère que les étudiants auront la présence d'esprit de chercher, peut-être ici, des explications un peu plus raisonnables 🙃.
J'adore ces vidéos, je les trouve très claire . Je n'ai pas un degré de compréhension suffisant pour dire grand chose sur ce qui est expliqué. Mais je tenais juste à dire qu'il manque le petit haume en bas à gauche de la miniature de la vidéo , celui qu'il y a pour les épopée mathématiques... Si ça peut servir à quelques chose .
Haha, bien vu, merci ! C'est entièrement de la faute d'Archimède 😆! Je dois refaire les miniatures de toute façon, il faut que je trouve le moyen de faire apparaître explicitement le niveau d'études suggéré pour l'intégralité des émissions de la chaîne, c'est trop le bazar actuellement.
Merci pour cette vidéo. Petite question, comment on peut faire si on part du principe qu’on ne sait pas du tout qu’on aura besoin de p/q + 1/q et de x + 1/q mais qu’on part simplement de : on veut démontrer qu’il existe p app Z et q app N* qui vérifient x < p/q < y. Donc il faut que qx < p < qy et ensuite ?
Avec cette idée, on tombe plus volontiers sur la première démonstration, et voici comment. 🔹Il existe de très nombreux couples (p,q) qui vérifient x < p/q < y. Par conséquent, un choix semble à la fois possible et nécessaire (puisque sinon, on se lance à la recherche de l'ensemble des couples qui vérifient cela, ce qui n'est pas réaliste). Est-il préférable de choisir p ou q, dans ce cas ? 💡 L'idée principale: si x qx sans que p ne soit trop grand, puisqu'on doit avoir, p < qy, on peut choisir p le plus petit entier tel que p > qx. À partir de là, il n'y a plus qu'à démontrer que p/q convient.
Affirmatif ! En définissant les voisinages de l'infini comme des intervalles semi-ouverts dont l'une des « extrémités » est infinie, on trouvera toujours des éléments de la partie dense dedans. Sinon, par l'absurde, il serait impossible de trouver des éléments de la partie prétendument « dense » proches de réels arbitrairement grands, ce qui serait une contradiction.
Tu peux prendre n'importe quel irrationnel qui n'est pas la racine carrée de 2, ça fonctionne tout aussi bien. J'ai mis celui-là parce qu'il est facile de démontrer que c'est bel et bien un irrationnel 👨🏫.
🔸 Les inégalités utilisées ne dépendent vraiment que du signe de y-x, ni du signe de x, ni du signe de y. La seule chose qui compte, en définitive, c'est le dessin fait à 5'20''. Cela dit, il y a bien une petite boulette à 7'18'': il faut lire soit p un entier relatif. Je vais épingler cette remarque dans un commentaire. 🔸 Quant au fait que P soit non vide, l'explication qui est dans la bulle de 8'24'' ne dépend pas du signe de x non plus. On peut faire une disjonction de cas si on veut: si x est positif, c'est trivial, tandis que si x est négatif, -x est positif, donc l'existence de k vient de la propriété d'Archimède.
Bonjour, petite question technique qui est hors sujet: la définition intuitive de la limite "lim x-> a ..." sous-entend que x est différent de a (je dis que les maths utilisent beaucoup de "non dit" dans les expressions et j'utilise cet exemple). Cependant quand on utilise la définition axiomatique: (1) pour tout epsilon .... | x - a | < êta implique .... à aucun moment x ne doit être différent de a. sauf si j'écris: (2) pour tout epsilon .... 0
Bonjour, Il n'y a pas de mal à poser une question, même hors-sujet, il n'y a personne pour sanctionner ça 😅. En réalité, la définition intuitive de la limite n'utilise pas forcément que x est différent de a. La nuance entre les deux assertions (1) et (2) se passe ailleurs. Pour cela, prenons deux exemples. 🔸 Prenons l'exemple de la fonction f qui à un réel x associe sin(x)/x si x est un réel non nul. Cette fonction n'est pas définie en 0 (intentionnellement, j'ai laissé un trou). Dans ce cas, naturellement, la définition de la limite sera (2), puisque prendre x = 0 n'aurait pas de sens pour écrire la suite de l'assertion, qui fait intervenir f(x). 🔸 On considère la fonction g qui à un réel x associe f(x) si x est non nul, 1 sinon. On peut démontrer que g est continue sur R. En particulier, la limite de g en 0 vaut g(0) = 1. Ici, on peut tout à fait utiliser l'assertion (1). Pour l'estocade finale, tu peux te demander: mais du coup, il faut changer la définition à la volée ? La réponse est non, parce que entre le "pour tout epsilon" et le "|x-a|
Tel un archéologue, j'ai pu reconstituer grâce à tes commentaires, semés comme les cailloux du Petit Poucet, ton épopée d'hier: [DET#25]-[EM#27]-[DET#11]-[EM#26]-[DET#26]-[EM#17]-[EM#14] 🙃.
Comment faire cohabiter l'idée qu'il existe toujours un rationnel entre deux réels alors que Q est dénombrable (aleph 0) et R est non dénombrable (aleph 1) ?
Cette réponse n'apportera certainement pas satisfaction, mais je la fais cohabiter avec l'idée que mon cerveau n'est pas câblé pour aborder sereinement la notion d'infini, le paradoxe d'Achille et de la tortue en témoigne 🙃.
@@pierre-marcshinkaretzky8851 Nullement. Je dis seulement que ces derniers temps, je n'ai pas tellement œuvré à éclaircir de tels paradoxes faisant intervenir directement la notion d'infini. Je dis directement, parce que j'utilise la droite réelle tous les jours, et cette droite là, quand on connaît sa construction, il y a déjà de quoi se poser bon nombre de belles questions.
@@oljenmaths la bijection entre le segment allant de 0 exclus à 1 de longueur finie vers la demi-droite 1-l'infini de longueur infinie par la relation f(x) = 1/x par exemple ?
C'est chouette, ça offre de la variété. C'est une approche légèrement différente de celle que j'ai proposée dans cette émission, et aussi légèrement différente de celle proposée en réponse au commentaire épinglé. La probabilité que les étudiants sachent démontrer que Q est dense dans R augmente 🚀.
La distance de a à Q, c'est, par définition, la borne inférieure de l'ensemble {|q-a| | q dans Q}. Or, cette émission démontre que Q est dense dans R, en particulier (voir [EM#15]), qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers a, ce qui démontre (avec peut-être deux lignes intermédiaires) que la borne inférieure de l'ensemble cité plus haut vaut 0. 🎥 [EM#15] Caractérisation séquentielle de la densité - ruclips.net/video/y582ypTD8Uw/видео.html
@@oljenmaths merci infiniment monsieur , on a : Q est dense dans R ceci est equivalent a dire qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers a, par definition , (de la convergence d une suite dans l espace metrique) v epsilon >0,...., n>N, 0
@@soufyaneelouahabi3297 Nul besoin de passer à la limite lorsque epsilon tend vers 0. L'assertion qui commence par "pour tout epsilon" démontre que 0 est la borne inférieure (i.e. le plus petit des majorants) de l'ensemble qu'on étudie. Si tu veux vraiment détailler, on peut faire un petit raisonnement par l'absurde. Si on suppose que la borne inférieure de l'ensemble est un réel strictement positif r, alors en choisissant epsilon = r/2, on démontre qu'il existe un rationnel q tel que |a-q| < r, ce qui contredit la définition de la borne inférieure.
@@oljenmaths merci bcp , vous avez dite " L'assertion qui commence par "pour tout epsilon" démontre que 0 est la borne inférieure (i.e. le plus petit des majorants) de l'ensemble qu'on étudie" je pense qu il existe une faute ici , la borne inferieure c est le plus grand minorant . cordialement .. c est dificile a comprendre hhhhh , je veux proposer a faire un video dans votre chaine repondre a mon question hhh merci bcp
Vrai ! J'ai préféré la deuxième démonstration que j'ai produite dans la mesure où la définition de la partie entière utilise la propriété d'Archimède 👍🏻.
Vrai. Cela dit, proposer la démonstration la plus rapide n'était pas le but (c'est rarement le but lorsque je présente une démonstration, en fait). Ici, je souhaite montrer comment la densité de Q dans R repose sur l'une des propriétés fondatrices de la droite réelle: la propriété d'Archimède 👴.
Ouaouh.... C'est de quel niveau d'étude ces démonstrations de mathématiques ? Purée, les espaces vectoriels , les matrices, applications linéaires, valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres, puissances de matrices,... Bref l'algèbre linéaire (bac +1 et 2) est infiniment plus captivant..... Je suis dubitatif
Ici, c'est de la première année de filière scientifique (typiquement, MPSI). Effectivement, dans les études supérieures, on forme un ensemble bien plus riche qu'au lycée où on se contente généralement de voir des choses de manière éparses (du moins, c'est le souvenir que j'en ai).
![[EM#15] Caractérisation séquentielle de la densité (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/y582ypTD8Uw/mqdefault.jpg)
![[EM#15] Caractérisation séquentielle de la densité (Démonstration)](/img/tr.png)
![[EM#17] Théorème de Bolzano-Weierstrass (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/dMB6peBVdgs/mqdefault.jpg)
![[EM#39] Sous-groupes additifs de R: l'alternative (Démonstration)](/img/1.gif)
La démonstration est très claire donc merci beaucoup. Mais j'aurais juste une remarque pour la démonstration 2. Pourquoi prendre p dans N alors qu'on l'encadre avec un réel quelconque après ? X pourrait très bien être négatif.
👁️ Erratum: à 7:18, il s'agit bel et bien de considérer p un entier relatif. Sur le moment, je suppose que choisir p dans N m'a semblé plus... naturel 🤦♂️.
Salutations !
Je tiens vraiment à vous remercier pour vos efforts appréciables. Le monde a besoin de personnes comme vous.
Merci infiniment 🙏 !
Merci infiniment pour ce que vous faites pour nous grâce à vous j'ai compris 🎉
Merci beaucoup pour cette vidéo. L'approche que tu utilises pour démontrer et surtout bien faire comprendre le propos fondamental est excellente. Effectivement la "racine" de cette démonstration vient de la seconde partie que tu exposes, c'est de là que la preuve a dû naître, à partir d'Archimède. Je suis un "ancien" matheux qui se replonge dans les Mathématiques afin de passer les concours de l'enseignement et tu m'aides beaucoup. Merci
Exactement ce qu'on a fait ce matin en sup, merci beaucoup !
Cette vidéo sort pile au bon moment! J’ai khôlle de maths lundi, et cette démonstration fait parti de celles sur lesquelles je peux tomber... merci mille fois! (La démonstration que vous proposez n’est pas celle de mon cours, mais c’est toujours ça de pris!)
Parfait 😃. Je suppose que tu as la démonstration qui passe par les parties décimales ? Ou bien est-ce encore une autre ?
Øljen - Les maths en finesse erratum de ma part! Notre professeure l’a rédigé de manière différente mais en réalité, c’est la même que la démonstration que vous présentez...
grâce a cette vidéo je comprends que je devrais changer de cursus
C’est à dire ?
que je devrais arreter de faire des maths parce que je suis trop con@@Phylal1
En vrai bro je suis dépasser 🤣🤣🤣😅
La premiere demo ne doit pas exister ! Merci pour la deuxieme !
Je suis certain qu'elle est encore glissée dans bien des cours ! J'espère que les étudiants auront la présence d'esprit de chercher, peut-être ici, des explications un peu plus raisonnables 🙃.
Bonjour,
UN GRAND MERCI!
Merci beaucoup pour cette clarté
Merci beaucoup pour ce travail.
bonsoir
Un grand merci à vous
Merci prof
J'adore ces vidéos, je les trouve très claire . Je n'ai pas un degré de compréhension suffisant pour dire grand chose sur ce qui est expliqué. Mais je tenais juste à dire qu'il manque le petit haume en bas à gauche de la miniature de la vidéo , celui qu'il y a pour les épopée mathématiques... Si ça peut servir à quelques chose .
Haha, bien vu, merci ! C'est entièrement de la faute d'Archimède 😆! Je dois refaire les miniatures de toute façon, il faut que je trouve le moyen de faire apparaître explicitement le niveau d'études suggéré pour l'intégralité des émissions de la chaîne, c'est trop le bazar actuellement.
Merci pour cette vidéo. Petite question, comment on peut faire si on part du principe qu’on ne sait pas du tout qu’on aura besoin de p/q + 1/q et de x + 1/q mais qu’on part simplement de : on veut démontrer qu’il existe p app Z et q app N* qui vérifient x < p/q < y. Donc il faut que qx < p < qy et ensuite ?
Avec cette idée, on tombe plus volontiers sur la première démonstration, et voici comment.
🔹Il existe de très nombreux couples (p,q) qui vérifient x < p/q < y. Par conséquent, un choix semble à la fois possible et nécessaire (puisque sinon, on se lance à la recherche de l'ensemble des couples qui vérifient cela, ce qui n'est pas réaliste). Est-il préférable de choisir p ou q, dans ce cas ?
💡 L'idée principale: si x qx sans que p ne soit trop grand, puisqu'on doit avoir, p < qy, on peut choisir p le plus petit entier tel que p > qx. À partir de là, il n'y a plus qu'à démontrer que p/q convient.
Øljen - Les maths en finesse super merci ! 😊
Bonsoir , merci bcp❤
J'ai une question svp , est ce que les parties qui dense dans R sont dense dans la droite réele achevé aussi ?😢
Affirmatif ! En définissant les voisinages de l'infini comme des intervalles semi-ouverts dont l'une des « extrémités » est infinie, on trouvera toujours des éléments de la partie dense dedans. Sinon, par l'absurde, il serait impossible de trouver des éléments de la partie prétendument « dense » proches de réels arbitrairement grands, ce qui serait une contradiction.
mercii bcp mais pourquoi l'interval ]x+rac2 , y+rac2[ et pas un autre intervalle 3:32
Tu peux prendre n'importe quel irrationnel qui n'est pas la racine carrée de 2, ça fonctionne tout aussi bien. J'ai mis celui-là parce qu'il est facile de démontrer que c'est bel et bien un irrationnel 👨🏫.
Ne manque-t-il pas la considération 0=
🔸 Les inégalités utilisées ne dépendent vraiment que du signe de y-x, ni du signe de x, ni du signe de y. La seule chose qui compte, en définitive, c'est le dessin fait à 5'20''. Cela dit, il y a bien une petite boulette à 7'18'': il faut lire soit p un entier relatif. Je vais épingler cette remarque dans un commentaire.
🔸 Quant au fait que P soit non vide, l'explication qui est dans la bulle de 8'24'' ne dépend pas du signe de x non plus. On peut faire une disjonction de cas si on veut: si x est positif, c'est trivial, tandis que si x est négatif, -x est positif, donc l'existence de k vient de la propriété d'Archimède.
Bonjour, petite question technique qui est hors sujet:
la définition intuitive de la limite "lim x-> a ..." sous-entend que x est différent de a (je dis que les maths utilisent beaucoup de "non dit" dans les expressions et j'utilise cet exemple).
Cependant quand on utilise la définition axiomatique:
(1) pour tout epsilon .... | x - a | < êta implique ....
à aucun moment x ne doit être différent de a.
sauf si j'écris:
(2) pour tout epsilon .... 0
Bonjour,
Il n'y a pas de mal à poser une question, même hors-sujet, il n'y a personne pour sanctionner ça 😅. En réalité, la définition intuitive de la limite n'utilise pas forcément que x est différent de a. La nuance entre les deux assertions (1) et (2) se passe ailleurs. Pour cela, prenons deux exemples.
🔸 Prenons l'exemple de la fonction f qui à un réel x associe sin(x)/x si x est un réel non nul. Cette fonction n'est pas définie en 0 (intentionnellement, j'ai laissé un trou). Dans ce cas, naturellement, la définition de la limite sera (2), puisque prendre x = 0 n'aurait pas de sens pour écrire la suite de l'assertion, qui fait intervenir f(x).
🔸 On considère la fonction g qui à un réel x associe f(x) si x est non nul, 1 sinon. On peut démontrer que g est continue sur R. En particulier, la limite de g en 0 vaut g(0) = 1. Ici, on peut tout à fait utiliser l'assertion (1).
Pour l'estocade finale, tu peux te demander: mais du coup, il faut changer la définition à la volée ? La réponse est non, parce que entre le "pour tout epsilon" et le "|x-a|
Merci
Tel un archéologue, j'ai pu reconstituer grâce à tes commentaires, semés comme les cailloux du Petit Poucet, ton épopée d'hier: [DET#25]-[EM#27]-[DET#11]-[EM#26]-[DET#26]-[EM#17]-[EM#14] 🙃.
Comment faire cohabiter l'idée qu'il existe toujours un rationnel entre deux réels alors que Q est dénombrable (aleph 0) et R est non dénombrable (aleph 1) ?
Cette réponse n'apportera certainement pas satisfaction, mais je la fais cohabiter avec l'idée que mon cerveau n'est pas câblé pour aborder sereinement la notion d'infini, le paradoxe d'Achille et de la tortue en témoigne 🙃.
@@oljenmaths Réponse ? Où ça? Dois-je comprendre qu'il y a un problème sémantique quand on parle d'infini?
@@pierre-marcshinkaretzky8851 Nullement. Je dis seulement que ces derniers temps, je n'ai pas tellement œuvré à éclaircir de tels paradoxes faisant intervenir directement la notion d'infini.
Je dis directement, parce que j'utilise la droite réelle tous les jours, et cette droite là, quand on connaît sa construction, il y a déjà de quoi se poser bon nombre de belles questions.
@@oljenmaths la bijection entre le segment allant de 0 exclus à 1 de longueur finie vers la demi-droite 1-l'infini de longueur infinie par la relation f(x) = 1/x par exemple ?
@@pierre-marcshinkaretzky8851 Exactement !
mercis beaucoup monsieur, donne moi ton avis sur une vidéo que j'ai fais à propos du même sujet.
C'est chouette, ça offre de la variété. C'est une approche légèrement différente de celle que j'ai proposée dans cette émission, et aussi légèrement différente de celle proposée en réponse au commentaire épinglé. La probabilité que les étudiants sachent démontrer que Q est dense dans R augmente 🚀.
@@oljenmaths oui tu as raison, merci pour ta réponse.
merci bcp , monsieur , pourquoi la distance d'un réel a l'ensemble Q est nul.
La distance de a à Q, c'est, par définition, la borne inférieure de l'ensemble {|q-a| | q dans Q}. Or, cette émission démontre que Q est dense dans R, en particulier (voir [EM#15]), qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers a, ce qui démontre (avec peut-être deux lignes intermédiaires) que la borne inférieure de l'ensemble cité plus haut vaut 0.
🎥 [EM#15] Caractérisation séquentielle de la densité - ruclips.net/video/y582ypTD8Uw/видео.html
@@oljenmaths merci infiniment monsieur ,
on a : Q est dense dans R ceci est equivalent a dire qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers a,
par definition , (de la convergence d une suite dans l espace metrique)
v epsilon >0,...., n>N, 0
@@soufyaneelouahabi3297 Nul besoin de passer à la limite lorsque epsilon tend vers 0. L'assertion qui commence par "pour tout epsilon" démontre que 0 est la borne inférieure (i.e. le plus petit des majorants) de l'ensemble qu'on étudie. Si tu veux vraiment détailler, on peut faire un petit raisonnement par l'absurde. Si on suppose que la borne inférieure de l'ensemble est un réel strictement positif r, alors en choisissant epsilon = r/2, on démontre qu'il existe un rationnel q tel que |a-q| < r, ce qui contredit la définition de la borne inférieure.
@@oljenmaths merci bcp , vous avez dite " L'assertion qui commence par "pour tout epsilon" démontre que 0 est la borne inférieure (i.e. le plus petit des majorants) de l'ensemble qu'on étudie" je pense qu il existe une faute ici
, la borne inferieure c est le plus grand minorant . cordialement .. c est dificile a comprendre hhhhh , je veux proposer a faire un video dans votre chaine repondre a mon question hhh merci bcp
@@soufyaneelouahabi3297 Je confirme l'erreur dans ce que j'ai écrit, j'avais la tête ailleurs 😄 !
On peut aussi dire : pour tout x, E(nx)/n tend vers x donc Q est dense dans R.
Vrai ! J'ai préféré la deuxième démonstration que j'ai produite dans la mesure où la définition de la partie entière utilise la propriété d'Archimède 👍🏻.
Il suffit d utiliser le lemme d archimède
l'écran n'est pas claire et merci professeur.
Est-ce la qualité de la vidéo qui ne convient pas ? Ou bien la manière dont les arguments sont exposés au tableau 🤔 ?
Espace dual 😢😢😢
La démonstration utilisant les nombres décimaux est bien plus rapide.
Vrai. Cela dit, proposer la démonstration la plus rapide n'était pas le but (c'est rarement le but lorsque je présente une démonstration, en fait). Ici, je souhaite montrer comment la densité de Q dans R repose sur l'une des propriétés fondatrices de la droite réelle: la propriété d'Archimède 👴.
@@oljenmaths je trouve celle utilisant les nombres décimaux plus simple à retrouver.
Ouaouh.... C'est de quel niveau d'étude ces démonstrations de mathématiques ? Purée, les espaces vectoriels , les matrices, applications linéaires, valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres, puissances de matrices,... Bref l'algèbre linéaire (bac +1 et 2) est infiniment plus captivant..... Je suis dubitatif
Ici, c'est de la première année de filière scientifique (typiquement, MPSI). Effectivement, dans les études supérieures, on forme un ensemble bien plus riche qu'au lycée où on se contente généralement de voir des choses de manière éparses (du moins, c'est le souvenir que j'en ai).