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因数分解て試行錯誤しまくって共通因数出てきた瞬間がたまらなく好きだわ
x⁵-x⁴-1xに10を代入して100000-10000-1=89999素因数分解して、=7×13×23×43もとのxの式に戻せそうな形にする（1の位が9や1になるように計算する）と=91×989=(100-10+1)(1000-10-1)10=xから(x²-x+1)(x³-x-1)と解きました。あまり一般性はありませんが
山田太郎 うわぁすげぇや
刹那 1の位が9になる掛け算の組み合わせは、下1桁が1×9(9×1),3×3,7×7しかないので、順番にやると3（明らかに違う）,7ときて割れるので128571の位が7になるのは1×7,3×9なので3,7,11,13ときて13で割れるので9891の位が9（略）3,7,9,11,13,17,19,23ときて23で割れるので4343は素数なので（確かめても良い）7×13×23×43というふうに計算しました。前述の通りこういう形でサクサク進められるのは特殊かもしれませんが、元の式が因数分解できると分かっているので素因数分解で2つ以上に割れることはほぼ明らかではあります。
かっこよ
すげえ
このやり方は係数が1か-1の時に有効な方法ですね係数が大きくなると計算が大変になる
完璧な誘導問題
コメ欄数強ばっかりですげえ
備忘録👏。設問活用👉【解法その1.】(1) x³＋1＝( x＋1 )( x²－x＋1 ) (2) (1)の利用を考えて、x⁵－x⁴－1 ＝ x⁵－x⁴ ＋x³▬x³ －1＝ x³ ( x²－x＋1 ) ▬( x＋1 )( x²－x＋1 ) ＝ ( x²－x＋1 )( x³▬x－1) ■ f(x)= x⁵－x⁴－1 とおく。(1)の利用を考えて、 x³＋1＝( x＋1 )( x²－x＋1 ) ＝０の虚数解の一つを α とすると、α³＝－1, α²－α＋1＝0･･･☆ f(α)＝α⁵－α⁴－1＝－α²＋α－1 ＝－(α²－α＋1) ＝０ (∵☆) これより、f(x)＝(x－α)(x－α*)×Q(x) ＝ ( x²－x＋1 ) ×{ x³－x－1 } [👈割り算実行] ■🙏【解法その2.】f(±1)≠0 より、f(x)＝0 は有理数解をもたない。よって、f(x)＝(３次式)×(２次式) f(x)= x⁵－x⁴－1 ＝ ( x³＋ax＋bx＋p )( x²＋cx＋q ) (文字定数∈整数) で係数比較する。■🙏
動画も凄いけどコメ欄も凄い
i：虚数単位ω=(-1+sqrt(3)i)/2とおくと、x^5-x^4-1=0はx=-ωを解にもつ。実数係数の方程式は、ある複素解を持つとき、その共役複素数も解に持つので、x=-1/ωも解にもつ。(x+ω)(x+1/ω)=x^2-x+1ですから、x^5-x^4-1=(x^2-x+1)(x^3-x-1)と因数分解できる。
同じ考えでした
素人質問ですみません、最初のωはどう求めましたか
@@taiten0807 ωは1の三乗根のうち、複素数のものです。
善子って言ったらチョコ献上 理解できました！ありがとうございます
きみもすごいね！！
AB=-1 だから、どっちが正でどっちが負であろうと、第4式から b=c 。これと第1式から a=-b-1 。第2式からaとcを消去すると B=b^2 。よって B=1,A=-1,b=±1 。第3式に代入すると a=1 だから b=-1 。
「a=0 だから」でした。
x⁵-x⁴-1=x⁵-x⁴+(x³-x³)+(x²-x²)+(x-x)-1=(x⁵-x⁴+x³)+(-x³+x²-x)+(-x²+x-1)=x³(x²-x+1)-x(x²-x+1)-(x²-x+1)=(x³-x-1)(x²-x+1)って感じでゴリ押した
関連動画乃木坂46 因数分解するにあたって、このままの状態だと手も足も出ないよなー→同じものを足したり引いたりしてやるタイプだろうなー→次数が5次、4次、0次だと共通因数を作りづらいから3次、2次、1次の項を追加してしまえーって感じですかね
ざらぶるゲームズ いえいえ！お気になさらず！
きみすごいね！
@@sasasa_AA 問題と関係ないんですが、x^5とか、指数をどうやったら右上にのせて打ち出せるんですか？
D. BOY ReKeyboardっていうアプリ入れてます
3次×2次が分かってるからa+biを入れて複素数解を出してもいいのかなと思ったけど皆が-ωが解になるって言っててすごいと思いました(こなみ)
記述式じゃなかったら最終手段で(1)はどうせ誘導だから(x+1)か(x²-x+1)で割るって言うメタい方法がある笑(数弱脳)
ずるがしこくて草
それは数弱脳ではないな普通に賢い
いやそれ最高に賢い
むしろそれこそ出題者の題意に沿った解法ではないかと。
めちゃくちゃ邪道...だけど、係数を2進数表記と見立てると、(2)の式は15となるので2つの積の形に因数分解されることがわかる。あとは係数が5次以下の条件で係数の2進数表記が3と5になるのを適当に探す...かなー
なぜ２進数表示からそれ以降のことが言えるのですか？詳しく知りたいです。。。
最終手段として、4次以下であれば=0として解の公式を使えばいいんですけど、5次以上となるとモジュラーとか駆使してガチャガチャやるしか...
結果論の嫌いはあると言う前提で、どの様に−ωがx^5−x^4−1＝0の解になることを見つけたら良いかと言う事については x^4(x−1)=1 ∴ x−1=1/(x^4)と変形してx=r(cosθ＋i sinθ )と極形式に置けば検討をつけられるだろう。r(cos θ+ i sin θ )−1=(1/r^4){cos(−4θ)+i sin(−4θ)}両辺の実部と虚部を其々比較してr cos θ −1=(1/r^4)cos(−4θ)r sin θ = (1/r^4)sin(−4θ)下の等式はr^5 sin θ= −sin 4θと書き直せるけれども r=1 かつ3θ=π ならば成立するだろう。この条件を上の式に代入すればcos θ −1 = −cos θ即ち2cos θ = 1を得るが θ= π /3 =2π/6 の時に成立する事は明白。従って−(ω^2)とその共役 −ωが解である事が判る。故に (x+ω)(x+ω^2)=x^2−x+1を因数に持つ事がわかった。
一匹足すと解決するあの17匹の羊問題に通じるものがあるような。
いつも素晴らしい動画をありがとうございます.別の計算法を考えました.f(x)=x^5-x^4-1とおく.f(1)=-1,f(-1)=-3より,因数分解できるならf(x)=g(x)h(x),ただしg(x)=x^3+ax^2+bx+A,h(x)=x^2+cx+Bで,(A,B)=(1,-1)または(-1,1).ここまでは動画解説の通りです.f(x)=0の実数解はただ1つ.(*)[(*)の証明. f(x)=(x-1)x^4-1から,x≦1のとき, x-1≦0,x^4≧0でありf(x)1のとき, x-1とx^4が両方とも正かつ単調増加で,またf(1)0であり, B=1.そしてf(1)=-1よりh(1)=c+2=±1であり, c=-3,-1.c=-3は(**)より不適であるのでc=-1.以上でh(x)が確定し, f(x)をh(x)で割るとg(x)も求まる.
数学甲子園予選ででてたやつだ
因数定理使えるだろwwって思ってたけどωはすげえ
誘導があったのでなんとか（２）は対応できましたが、誘導がなかったら自分の実力ではきっと無理だろうなぁ。
本動画とは関係ないコメントで失礼します。どうしてもお聞きしたいことがあります。高校で微分を習い、limを知ってからの疑問なのです。例えば二次関数y=x^2 (o
開区間、閉区間の話は習ったのでしょうか？どちらかといえば、lim［x→3］x^2=9と表記すると思います
@@ぶーん-v1m ご返信ありがとうございます。ご指摘を踏まえて、もう一度質問させてください。 定義域が開区間である、関数の最大値は、「ない」と習いました。一方、閉区間の場合は最大値最小値ともに、該当するxの値を代入すればそれぞれ求まるとも習いました。 ここで、数Ⅱの微分の主要概念である、hを0に「極限まで近づける」という考え方を、この開区間の最大値最小値は「ない」という話に関連させて、両者を比較します。 微分におけるhは分母に(も)ありますから、当然h=0という値は取れないと存じます。そこで、hを極限まで0に近づけたと推論すると、f(x+h)-f(x)/h はf(x)のx=(当該のx)における接線の傾きとして推定できるというのが微分の趣旨だと理解しております。 ここで、私が思うのは、h=0は数学的にはあり得ないから、lim［h→0］の状況を仮定して接線の傾きを推論する、という考えを開区間における二次関数の最大値最小値の概念に適応すると、同じように(値域の最大値/最小値)=lim［x→(定義域の最大値/最小値］というように記述できるのではないか、ということです。 裏を返せば、「微分において、"ある値"を"他の値"に極限まで近づければ、その"他の値"として扱える」という考え方と「開区間において最大値/最小値がない」という考え方は一見矛盾しているように思えます。 この点について、何か整合的な説明、あるいは、以上の私の推論の誤謬をご教授いただければと幸いです。 なお、さんざん求めるばかりで申し訳ありませんが、私は数弱の文系大学生なので、数学的な語彙は極限まで少なくしていただけると大変ありがたいと思います。
最大値の厳密な定義は(1)範囲内のどの値（集合に含まれる任意の元）xに対して、x≦aが成り立つ(2)aは範囲内（集合）に含まれる数（元）であるの2つの条件を満たす値a、であると定められています。 しかし、最大・最小を考えるに当たって極限は考えないことになっています。 なので、微分のh→0もy→maxも限りなくその値に近付くという点では同じですが、それ自体に意味があるかどうかの違いではないかと思います。（イメージによる説明） 極限とは“限りなく近付く数”であるから、そのような数aは区間0≦x＜9に含まれる。いま、更にそれが最大値であるとする。①aが区間0≦x＜9に含まれるから0≦a＜9②いま、数直線上でaと9の中点、(a+9)/2についても、0≦(a+9)/2＜9が成り立つ③(a+9)/2＞aより、これはaが最大であることに矛盾 よって、極限を最大値と考えるのは不合理だと考えられる。（議論の誤りがあったらすみません）（補足）高校範囲外 最大・最小の仲間のような概念で、“上限・下限”という概念があります。 こちらも、極限の概念は使いませんが、おそらくあなたが考えている“最大に限りなく近い値”を示している考え方ではないでしょうか？式変形先生でもないのに長々と失礼しました。
間違ってたらごめんなさい。極限値は実際の値ではないので、x＝3を代入した9という値はy＝x^2の定義域内では取り得ません。最大値Maxは値なので、極限値で答えるのは間違いなのではないでしょうか
最大値は、その定義域の中で´取りうる´値のうち最大のものを言います。極限値は、今の場合では3に限りなく近いxを考えるとx^2は9に限りなく近づく、という「近づく値」を示すだけで、実際にx^2が9という値を取れない場合は、それは最大値とは言えないです。最大値とかなり似たものに上限というのがあって(今回でいうと9は上限になります)、ある程度論理記号が分かるならyoutubeで「上限 最大値」とでも調べれば分かりやすい動画がいくつかあると思います。
因数分解については数にしろ体上の多項式にしろ大きな原理は保証されているのに具体的な計算実行については現代でさへ未だに絶望的ですね。なんなら分解以前に既約性判定さへ難しいですから簡単に見える因数分解も時にびっくりすることがあります(汗低次であれば今回のように虱潰し戦法も可能ではありますが、やはり難しいことに変わりはないですね。1,4または2,3次で分解されるしかなく、1,4の場合は所謂有理根定理から直ぐに不可能と解り、2,3は愚直にやるほかないのでしょうね。高次になれば可能性が分割数だけ増えるので地獄です笑なのでできるものについてはどうしても職人的・パズル的要素があるので、楽しくもあり辛くもあり、といったところでしょうか。個人的にはとても面白かったです👍🏻
±1を代入しても0にならないから(2次)x(3次)の形に因数分解を試みる。10を代入して100000-10000+1=90000-1=301x299=7x43x23x13=91x989=(100-10+1)(1000-10-1) [約100x約1000になるよう変形](x²-x+1)(x³-x-1)を計算して確かめて終了。
(1)があったからx^3=-1になるxを代入してみたら0になったからx^2-x+1を因数に持つみたいな流れでいけました
ガリガリ計算していつも途中で挫けました。先生の動画を何回か見て最後までやりぬく勇気をもらいました。
(1)が(2)の誘導に気づかないか、(2)だけ誘導無しで出題された場合、因数定理を用いての対処という意味では、有理数で多項式の根を見つけることが出来ないわけですが、1の原始3乗根（の1つ） \omega=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} を f(x)=x^5^x^4+1 に試しに代入してみると、f(\omega)=\omega^2-\omega+1 となり、確かにこれは0に等しくはならないも、 -\omega をその代わりに代入すればうまくいきそう（-\omega が 1 の原始3乗根を -1 倍したものになっているので。）と気づき、f(-\omega)=\omega^2+\omega+1=0 となり、f(x) は x+\omega を因数にもちます。当然ながら、f(x)=0 は実係数5次方程式故、共役複素数も解になるので、-\omega の共役複素数 -\omega^2 を f(x) に代入すれば、f(-\omega^2)=0 になります。よって、f(x) は (x+\omega)(x+\omega^2)=(x^2-x+1) で割り切れることから、f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1) と因数分解できます。x^3-x-1=0 はカルダノの公式を用いないと解けない3次方程式ですので、整係数の範囲での因数分解と言われれば、f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1) とまでしか因数分解できないことがわかります。
+x^3-x^3を挿入して前3項と二項で組めば良い
z-(複素共役)を含む二次方程式とか面白いと思うのでアップ希望します。
（１）の発想を使うのは同じなのですが…ひとめ + x^2 - x^2 を入れたらどうなるんだろう？x^5 - x^4 - 1= x^5 + x^2 - x^4 - x^2 - 1= x^2(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)= (x^2 - x + 1)(x^3 + x - x^2 - x - 1)= (x^2 - x + 1)(x^3 - x^2 - 1)あ、できました！
動画見にきたのにコメ欄に異常な解き方してる人多すぎて集中できねぇ
ruclips.net/video/uy6HnoB1rxo/видео.html のコメント欄で x^5+x+6 を例に別解を述べました．
とにかく共通因数を作ることばっかり考えてたけど、こんなゴリ押しがあるのかw
X^5-1=X^5-1^5で 上のx^3+1の式と合わせて考えてみれば(x^3+1)*(x^2-1)でx^5-1の塊が得られて、後でx^4、x^3、x^2などの項を調整すれば分解できるのです。大学受験生っぽいアプローチですけど
(2)誘導は不要でしたが難しかった。でも面白かった。よく見る形だったので、x=-ωを代入したらうまいこと0になったので、あとは(x⁵-x⁴-1)を(x²-x+1)で割りました(o^-')bただ、動画の後半のゴリゴリ法も、時には必要かなと思いました。
@関連動画乃木坂46 こんにちは。やはり何度も見る形だからということでしょうか。係数が全て1の式の因数分解の形は、x³-1やx³+1やの因数分解の時に出てくる形ですが、他ではあまり見ませんので、別の答えだと解けなかったと思います。他にもωiなども試してみましたが、今回は-ωが当たりでしたね(^^ゞx²+x+1でω, x²-x+1で-ω, x²-x-1で黄金比を直感的に考えたりします。
脳が気持ちいい因数分解
-ω代入したら因数定理からx^2-x+1で割れるのが分かるやんってドヤ顔で言おうとした
くみたてじょほう使うのかなぁって思ってました
ωを利用する方法もあるんですね。コメ欄も勉強になる笑
先生、複二次式の説明を詳しくお願いしたいですが。
係数比較の時に係数が整数と断言できるのはなぜでしょうか？特にAB=-1 が (±n, ∓1/n ) を考えないで進めているのがわかりませんでした。
なるほど…動画自体の2通りの方法も分かりやすいですがコメントでもある通りωを用いて次数下げを行ってる方も面白いですね
二次の整数係数既約多項式で、定数項が1の約数であるものは、本質的にx^2+1 、x^2+x+1 、x^2−x+1の三式しかないだろうと言う事実に基づく問題とも取れる。二次の規約多項式である事から、αを虚数であるとしてa(x−α)(x−αの共役)という形になるけれども定数項が１であれば、a及びαの絶対値は1で無ければならない。この時にxの係数で整数たり得るのは、0、+1、−1 のどれかしかあり得ない。
すごい！！！
組立除法で因数を求めればなんとか求められそうです。
パッと見分からんかったからどうせ（1）で出させたx²-x+1で割れるんやろと思ったら出来て気持ちい〜
動画と解き方違うけどX⁴＋4=(x²＋2)²－(2x)²=(x²＋2＋2x)(x²＋2－2x)=(x²＋2x＋2)(x²－2x＋2)これしか分からなかった
ごり押しも大切だなー‼️
似た形のx^2-x-1(1,-1,-1)で割ったらx^2+x-1(1,1,-1)が返ってきたので、x^2-x+1(1,-1,1)で割れそうでは？とやってみたらできてしまった、という品の無い解き方をした
与式=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1-x^3+x^2-x=x^3(x^2-x+1)-(x^2-x+1)-x(x^2-x+1)=(x^2-x+1)(x^3-x-1)一応、中学範囲(3乗＋1を使わずに)で因数分解するならこんな感じ？
x^4 +4の因数分解-1の4剰根の絶対値√2やな(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)複素数をやった人のゴリ押し
恒等式使うんかーい（）
解説を見る前に解けました（見る前にコメントさせていただきました）(1),(2)になってること自体がヒントだったんですね。これに気づけばすぐに解けました。
前半は理解できたけど、後半は早送りのあとから分からない。(部分的理解あり)
黒板辞めたんですか……残念…
(2)は一見無理と思ったが多項式で割ることができるのに気づくか？
因数定理は厳しそう…→どーせ(1)で出た(x^2-x+1)使えるやろ！w→案の定で草という解き方をしたので(2)単体で出されるとかなり厳しかったと思う
高校だと難しいかも。(1) が誘導に気付くか。一方、電気工学で飯食ってる人間が１の三重根，－１の三重根のにおいを嗅ぎつけられなかったらかなりやばいかも。
(2)だけだったらむりだwww
色々思い浮かぶ節はあるけど答え分かっている故の動かし方になってしまう…係数比較が最強なのね😉
ごや先生、散髪しましょう。
おもしろい！
(2)は(x-整数)では絶対に割れないということに少し考えれば気づきますが。因数定理使えないことに動揺しないことが重要ですか。
因数定理で試してみようと思ったら上手くいかなそうだったので、（２次式）×（３次式）という具合に仮定して係数比較することでごり押ししました。多分これだとかなり時間をとられるから、最初の解法でいくといいのかなぁ、と思いました。
めっちゃ申し訳ないですけど三乗の因数分解の公式、下覚えてb→-bの変換で、、って話なんですけど逆でも同じって思っちゃいました。
a^n-b^nは常に因数分解できるがa^n+b^nはnが奇数の時しかできない
a^n-b^nは a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+・・・+a*b^(n-2)+b^(n-1) にaをかけたやつからbをかけたやつを引けば途中の項が全部消えてa^n-b^nが出てくるので、一度仕組みを理解すれば暗記する必要ないですねa^n+b^nは nが奇数のときはそこから動画の通りで変換できます。
σ で今n=3なので因数分解できるって話では？逆に言えば4以降の公式があるんですが？自分物理学科なので数3以降は物理数学しかやってないんですよ、、、
@@すーへん mathtrain.jp/factorization2 これです
-ωが入りそうだな(天啓)
一番がヒントですね
数学甲子園笑笑
ωしか思い付かなかった
僕はx=-ωを入れて解きました。これまで解いた因数分解でいい問題だなあって思ったのは、x¹⁵-1の因数分解でした。是非やってみてください。
(X^15-1)=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)であってますか？10いれて検算しましたし合ってると思いますが。良問と言うので最後の8次式も因数分解できるのかと思いました。まずx^3-1,x^5-1で割り切れるのはすぐわかって、どっちも同時には満たさないことは計算で気づくから、共通因数のx-1をだすと答えが出るって感じでしました。もっといい方法ありますか？
ゆうパオちゃんズ (x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋1)が因数分解できるのには気づけなかった(x^4+x^3+x^2+x+1)で考えて後から3乗しようとしたのがダメだった
xをあとでx^3に置き換えようとしたのがダメだったわ
あっでも(x^5ー1)(x^10＋x^5＋1)を因数に持つ時点でx^15-1は(x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つのかだから(x^12+x^9+x^6+x^3+1)が(x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つのか迂闊でした
つよwww
佐治亮以来の冴え！！
ω
数検1級でx^3 +1の整数係数での因数分解なんて出るわけがない.万一出るとしたら誘導以外には考えようがない.(2)は5次式で=f(x)とするとf(±1)≠0より有理数解は存在しないことが分かる.つまり因数分解できるとすれば(2次式)×(3次式)の形しかあり得ない.ここでx^2 -x +1=0の解の1つをωとすると-1の立方根なのでω+ω*=1(*は共役複素数)ω^(-1)=ω*ω^2-ω+1=0ω^3=-1などの性質が言える.おそらく(1)がヒントなのだろうという甘い目論見を基にf(ω)を求めるとf(ω)=ω^5 -ω^4 -1=-ω^2 +ω -1 =-(ω^2 -ω+1)=0よって因数定理より予定通りf(x)は(x^2-x+1)を因数に持つことが分かった.1次式には分解できないことは確認済みなのでf(x)=(x^2 -x +1)(x^3 -x -1)
動画の初めの方で(2)は数検1級で単独で出てきた問題と言っていますよ。(1)は単独で(2)を考えることが難しいから誘導としてつけたらしいです。
まあ、そりゃそうでしょうね。誘導付いてたら正答率爆上がりで試験にならないですもの
草
9cmParabellum / wakadori 草
因数分解て試行錯誤しまくって共通因数出てきた瞬間がたまらなく好きだわ
x⁵-x⁴-1
xに10を代入して
100000-10000-1
=89999
素因数分解して、
=7×13×23×43
もとのxの式に戻せそうな形にする（1の位が9や1になるように計算する）と
=91×989
=(100-10+1)(1000-10-1)
10=xから
(x²-x+1)(x³-x-1)
と解きました。あまり一般性はありませんが
山田太郎 うわぁすげぇや
刹那
1の位が9になる掛け算の組み合わせは、下1桁が1×9(9×1),3×3,7×7しかないので、順番にやると3（明らかに違う）,7ときて割れるので12857
1の位が7になるのは1×7,3×9なので
3,7,11,13ときて13で割れるので989
1の位が9（略）
3,7,9,11,13,17,19,23ときて23で割れるので43
43は素数なので（確かめても良い）7×13×23×43というふうに計算しました。
前述の通りこういう形でサクサク進められるのは特殊かもしれませんが、元の式が因数分解できると分かっているので素因数分解で2つ以上に割れることはほぼ明らかではあります。
かっこよ
すげえ
このやり方は係数が1か-1の時に有効な方法ですね係数が大きくなると計算が大変になる
完璧な誘導問題
コメ欄数強ばっかりですげえ
備忘録👏。設問活用👉【解法その1.】(1) x³＋1＝( x＋1 )( x²－x＋1 ) (2) (1)の利用を考えて、
x⁵－x⁴－1 ＝ x⁵－x⁴ ＋x³▬x³ －1＝ x³ ( x²－x＋1 ) ▬( x＋1 )( x²－x＋1 ) ＝ ( x²－x＋1 )( x³▬x－1) ■
f(x)= x⁵－x⁴－1 とおく。(1)の利用を考えて、 x³＋1＝( x＋1 )( x²－x＋1 ) ＝０の虚数解の一つを α
とすると、α³＝－1, α²－α＋1＝0･･･☆ f(α)＝α⁵－α⁴－1＝－α²＋α－1 ＝－(α²－α＋1) ＝０ (∵☆)
これより、f(x)＝(x－α)(x－α*)×Q(x) ＝ ( x²－x＋1 ) ×{ x³－x－1 } [👈割り算実行] ■🙏
【解法その2.】f(±1)≠0 より、f(x)＝0 は有理数解をもたない。よって、f(x)＝(３次式)×(２次式)
f(x)= x⁵－x⁴－1 ＝ ( x³＋ax＋bx＋p )( x²＋cx＋q ) (文字定数∈整数) で係数比較する。■🙏
動画も凄いけどコメ欄も凄い
i：虚数単位
ω=(-1+sqrt(3)i)/2とおくと、x^5-x^4-1=0はx=-ωを解にもつ。実数係数の方程式は、ある複素解を持つとき、その共役複素数も解に持つので、x=-1/ωも解にもつ。
(x+ω)(x+1/ω)=x^2-x+1ですから、x^5-x^4-1=(x^2-x+1)(x^3-x-1)と因数分解できる。
同じ考えでした
素人質問ですみません、最初のωはどう求めましたか
@@taiten0807 ωは1の三乗根のうち、複素数のものです。
善子って言ったらチョコ献上 理解できました！ありがとうございます
きみもすごいね！！
AB=-1 だから、どっちが正でどっちが負であろうと、第4式から b=c 。
これと第1式から a=-b-1 。
第2式からaとcを消去すると B=b^2 。
よって B=1,A=-1,b=±1 。
第3式に代入すると a=1 だから b=-1 。
「a=0 だから」でした。
x⁵-x⁴-1
=x⁵-x⁴+(x³-x³)+(x²-x²)+(x-x)-1
=(x⁵-x⁴+x³)+(-x³+x²-x)+(-x²+x-1)
=x³(x²-x+1)-x(x²-x+1)-(x²-x+1)
=(x³-x-1)(x²-x+1)
って感じでゴリ押した
関連動画乃木坂46
因数分解するにあたって、このままの状態だと手も足も出ないよなー
→同じものを足したり引いたりしてやるタイプだろうなー
→次数が5次、4次、0次だと共通因数を作りづらいから3次、2次、1次の項を追加してしまえー
って感じですかね
ざらぶるゲームズ
いえいえ！お気になさらず！
きみすごいね！
@@sasasa_AA
問題と関係ないんですが、x^5とか、指数をどうやったら右上にのせて打ち出せるんですか？
D. BOY
ReKeyboardっていうアプリ入れてます
3次×2次が分かってるからa+biを入れて複素数解を出してもいいのかなと思ったけど皆が-ωが解になるって言っててすごいと思いました(こなみ)
記述式じゃなかったら最終手段で(1)はどうせ誘導だから(x+1)か(x²-x+1)で割るって言うメタい方法がある笑(数弱脳)
ずるがしこくて草
それは数弱脳ではないな
普通に賢い
いやそれ最高に賢い
むしろそれこそ出題者の題意に沿った解法ではないかと。
めちゃくちゃ邪道...だけど、係数を2進数表記と見立てると、(2)の式は15となるので2つの積の形に因数分解されることがわかる。あとは係数が5次以下の条件で係数の2進数表記が3と5になるのを適当に探す...かなー
なぜ２進数表示からそれ以降のことが言えるのですか？
詳しく知りたいです。。。
最終手段として、4次以下であれば=0として解の公式を使えばいいんですけど、5次以上となるとモジュラーとか駆使してガチャガチャやるしか...
結果論の嫌いはあると言う前提で、どの様に−ωが
x^5−x^4−1＝0
の解になることを見つけたら良いかと言う事については
x^4(x−1)=1
∴ x−1=1/(x^4)
と変形してx=r(cosθ＋i sinθ )と極形式に置けば検討をつけられるだろう。
r(cos θ+ i sin θ )−1=(1/r^4){cos(−4θ)+i sin(−4θ)}
両辺の実部と虚部を其々比較して
r cos θ −1=(1/r^4)cos(−4θ)
r sin θ = (1/r^4)sin(−4θ)
下の等式は
r^5 sin θ= −sin 4θ
と書き直せるけれども r=1 かつ3θ=π ならば成立するだろう。この条件を上の式に代入すれば
cos θ −1 = −cos θ
即ち
2cos θ = 1
を得るが θ= π /3 =2π/6 の時に成立する事は明白。従って−(ω^2)とその共役 −ωが解である事が判る。故に
(x+ω)(x+ω^2)=x^2−x+1
を因数に持つ事がわかった。
一匹足すと解決するあの17匹の羊問題に通じるものがあるような。
いつも素晴らしい動画をありがとうございます.
別の計算法を考えました.
f(x)=x^5-x^4-1とおく.
f(1)=-1,f(-1)=-3より,
因数分解できるならf(x)=g(x)h(x),
ただしg(x)=x^3+ax^2+bx+A,h(x)=x^2+cx+Bで,
(A,B)=(1,-1)または(-1,1).
ここまでは動画解説の通りです.
f(x)=0の実数解はただ1つ.(*)
[(*)の証明. f(x)=(x-1)x^4-1から,
x≦1のとき, x-1≦0,x^4≧0でありf(x)1のとき, x-1とx^4が両方とも正かつ単調増加で,
またf(1)0であり, B=1.
そしてf(1)=-1よりh(1)=c+2=±1であり, c=-3,-1.
c=-3は(**)より不適であるのでc=-1.
以上でh(x)が確定し, f(x)をh(x)で割るとg(x)も求まる.
数学甲子園予選ででてたやつだ
因数定理使えるだろwwって思ってたけどωはすげえ
誘導があったのでなんとか（２）は対応できましたが、誘導がなかったら自分の実力ではきっと無理だろうなぁ。
本動画とは関係ないコメントで失礼します。どうしてもお聞きしたいことがあります。
高校で微分を習い、limを知ってからの疑問なのです。
例えば二次関数y=x^2 (o
開区間、閉区間の話は習ったのでしょうか？
どちらかといえば、
lim［x→3］x^2=9
と表記すると思います
@@ぶーん-v1m ご返信ありがとうございます。ご指摘を踏まえて、もう一度質問させてください。
定義域が開区間である、関数の最大値は、「ない」と習いました。一方、閉区間の場合は最大値最小値ともに、該当するxの値を代入すればそれぞれ求まるとも習いました。
ここで、数Ⅱの微分の主要概念である、hを0に「極限まで近づける」という考え方を、この開区間の最大値最小値は「ない」という話に関連させて、両者を比較します。
微分におけるhは分母に(も)ありますから、当然h=0という値は取れないと存じます。そこで、hを極限まで0に近づけたと推論すると、f(x+h)-f(x)/h はf(x)のx=(当該のx)における接線の傾きとして推定できるというのが微分の趣旨だと理解しております。
ここで、私が思うのは、h=0は数学的にはあり得ないから、lim［h→0］の状況を仮定して接線の傾きを推論する、という考えを開区間における二次関数の最大値最小値の概念に適応すると、同じように(値域の最大値/最小値)=lim［x→(定義域の最大値/最小値］というように記述できるのではないか、ということです。
裏を返せば、「微分において、"ある値"を"他の値"に極限まで近づければ、その"他の値"として扱える」という考え方と「開区間において最大値/最小値がない」という考え方は一見矛盾しているように思えます。
この点について、何か整合的な説明、あるいは、以上の私の推論の誤謬をご教授いただければと幸いです。
なお、さんざん求めるばかりで申し訳ありませんが、私は数弱の文系大学生なので、数学的な語彙は極限まで少なくしていただけると大変ありがたいと思います。
最大値の厳密な定義は
(1)範囲内のどの値（集合に含まれる任意の元）xに対して、x≦aが成り立つ
(2)aは範囲内（集合）に含まれる数（元）である
の2つの条件を満たす値a、であると定められています。
しかし、最大・最小を考えるに当たって極限は考えないことになっています。
なので、微分のh→0もy→maxも限りなくその値に近付くという点では同じですが、それ自体に意味があるかどうかの違いではないかと思います。
（イメージによる説明）
極限とは“限りなく近付く数”であるから、そのような数aは区間0≦x＜9に含まれる。いま、更にそれが最大値であるとする。
①aが区間0≦x＜9に含まれるから0≦a＜9
②いま、数直線上でaと9の中点、(a+9)/2についても、0≦(a+9)/2＜9が成り立つ
③(a+9)/2＞aより、これはaが最大であることに矛盾
よって、極限を最大値と考えるのは不合理だと考えられる。（議論の誤りがあったらすみません）
（補足）高校範囲外
最大・最小の仲間のような概念で、“上限・下限”という概念があります。
こちらも、極限の概念は使いませんが、おそらくあなたが考えている“最大に限りなく近い値”を示している考え方ではないでしょうか？
式変形先生でもないのに長々と失礼しました。
間違ってたらごめんなさい。
極限値は実際の値ではないので、x＝3を代入した9という値はy＝x^2の定義域内では取り得ません。最大値Maxは値なので、極限値で答えるのは間違いなのではないでしょうか
最大値は、その定義域の中で´取りうる´値のうち最大のものを言います。極限値は、今の場合では3に限りなく近いxを考えるとx^2は9に限りなく近づく、という「近づく値」を示すだけで、実際にx^2が9という値を取れない場合は、それは最大値とは言えないです。
最大値とかなり似たものに上限というのがあって(今回でいうと9は上限になります)、ある程度論理記号が分かるならyoutubeで「上限 最大値」とでも調べれば分かりやすい動画がいくつかあると思います。
因数分解については数にしろ体上の多項式にしろ大きな原理は保証されているのに具体的な計算実行については現代でさへ未だに絶望的ですね。なんなら分解以前に既約性判定さへ難しいですから簡単に見える因数分解も時にびっくりすることがあります(汗
低次であれば今回のように虱潰し戦法も可能ではありますが、やはり難しいことに変わりはないですね。1,4または2,3次で分解されるしかなく、1,4の場合は所謂有理根定理から直ぐに不可能と解り、2,3は愚直にやるほかないのでしょうね。高次になれば可能性が分割数だけ増えるので地獄です笑
なのでできるものについてはどうしても職人的・パズル的要素があるので、楽しくもあり辛くもあり、といったところでしょうか。個人的にはとても面白かったです👍🏻
±1を代入しても0にならないから(2次)x(3次)の形に因数分解を試みる。
10を代入して100000-10000+1=90000-1=301x299=7x43x23x13=91x989=(100-10+1)(1000-10-1) [約100x約1000になるよう変形]
(x²-x+1)(x³-x-1)を計算して確かめて終了。
(1)があったからx^3=-1になるxを代入してみたら0になったからx^2-x+1を因数に持つみたいな流れでいけました
ガリガリ計算していつも途中で挫けました。先生の動画を何回か見て最後までやりぬく勇気をもらいました。
(1)が(2)の誘導に気づかないか、(2)だけ誘導無しで出題された場合、因数定理を用いての対処という意味では、有理数で多項式の根を見つけることが出来ないわけですが、1の原始3乗根（の1つ） \omega=\frac{-1+\sqrt{3}}{2} を f(x)=x^5^x^4+1 に試しに代入してみると、f(\omega)=\omega^2-\omega+1 となり、確かにこれは0に等しくはならないも、 -\omega をその代わりに代入すればうまくいきそう（-\omega が 1 の原始3乗根を -1 倍したものになっているので。）と気づき、f(-\omega)=\omega^2+\omega+1=0 となり、f(x) は x+\omega を因数にもちます。当然ながら、f(x)=0 は実係数5次方程式故、共役複素数も解になるので、-\omega の共役複素数 -\omega^2 を f(x) に代入すれば、f(-\omega^2)=0 になります。よって、f(x) は (x+\omega)(x+\omega^2)=(x^2-x+1) で割り切れることから、f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1) と因数分解できます。x^3-x-1=0 はカルダノの公式を用いないと解けない3次方程式ですので、整係数の範囲での因数分解と言われれば、f(x)=(x^2-x+1)(x^3-x-1) とまでしか因数分解できないことがわかります。
+x^3-x^3を挿入して前3項と二項で組めば良い
z-(複素共役)を含む二次方程式とか面白いと思うのでアップ希望します。
（１）の発想を使うのは同じなのですが…
ひとめ + x^2 - x^2 を入れたらどうなるんだろう？
x^5 - x^4 - 1
= x^5 + x^2 - x^4 - x^2 - 1
= x^2(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
= (x^2 - x + 1)(x^3 + x - x^2 - x - 1)
= (x^2 - x + 1)(x^3 - x^2 - 1)
あ、できました！
動画見にきたのにコメ欄に異常な解き方してる人多すぎて集中できねぇ
ruclips.net/video/uy6HnoB1rxo/видео.html のコメント欄で x^5+x+6 を例に別解を述べました．
とにかく共通因数を作ることばっかり考えてたけど、こんなゴリ押しがあるのかw
X^5-1=X^5-1^5で 上のx^3+1の式と合わせて考えてみれば
(x^3+1)*(x^2-1)でx^5-1の塊が得られて、後でx^4、x^3、x^2などの項を調整すれば分解できるのです。
大学受験生っぽいアプローチですけど
(2)誘導は不要でしたが難しかった。でも面白かった。
よく見る形だったので、x=-ωを代入したらうまいこと0になったので、あとは(x⁵-x⁴-1)を(x²-x+1)で割りました(o^-')b
ただ、動画の後半のゴリゴリ法も、時には必要かなと思いました。
@関連動画乃木坂46 こんにちは。
やはり何度も見る形だからということでしょうか。
係数が全て1の式の因数分解の形は、x³-1やx³+1やの因数分解の時に出てくる形ですが、他ではあまり見ませんので、別の答えだと解けなかったと思います。
他にもωiなども試してみましたが、今回は-ωが当たりでしたね(^^ゞ
x²+x+1でω, x²-x+1で-ω, x²-x-1で黄金比を直感的に考えたりします。
脳が気持ちいい因数分解
-ω代入したら因数定理からx^2-x+1で割れるのが分かるやんってドヤ顔で言おうとした
くみたてじょほう使うのかなぁって思ってました
ωを利用する方法もあるんですね。コメ欄も勉強になる笑
先生、複二次式の説明を詳しくお願いしたいですが。
係数比較の時に係数が整数と断言できるのはなぜでしょうか？
特にAB=-1 が (±n, ∓1/n ) を考えないで進めているのがわかりませんでした。
なるほど…動画自体の2通りの方法も分かりやすいですがコメントでもある通りωを用いて次数下げを行ってる方も面白いですね
二次の整数係数既約多項式で、定数項が1の約数であるものは、本質的に
x^2+1 、x^2+x+1 、x^2−x+1
の三式しかないだろうと言う事実に基づく問題とも取れる。二次の規約多項式である事から、αを虚数であるとして
a(x−α)(x−αの共役)
という形になるけれども定数項が１であれば、a及びαの絶対値は1で無ければならない。この時にxの係数で整数たり得るのは、0、+1、−1 のどれかしかあり得ない。
すごい！！！
組立除法で因数を求めればなんとか求められそうです。
パッと見分からんかったからどうせ（1）で出させたx²-x+1で割れるんやろと思ったら出来て気持ちい〜
動画と解き方違うけど
X⁴＋4
=(x²＋2)²－(2x)²
=(x²＋2＋2x)(x²＋2－2x)
=(x²＋2x＋2)(x²－2x＋2)
これしか分からなかった
ごり押しも大切だなー‼️
似た形のx^2-x-1(1,-1,-1)で割ったらx^2+x-1(1,1,-1)が返ってきたので、x^2-x+1(1,-1,1)で割れそうでは？とやってみたらできてしまった、という品の無い解き方をした
与式=x^5-x^4+x^3-x^2+x-1-x^3+x^2-x
=x^3(x^2-x+1)-(x^2-x+1)-x(x^2-x+1)
=(x^2-x+1)(x^3-x-1)
一応、中学範囲(3乗＋1を使わずに)で因数分解するならこんな感じ？
x^4 +4の因数分解
-1の4剰根の絶対値√2やな
(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i)
複素数をやった人のゴリ押し
恒等式使うんかーい（）
解説を見る前に解けました（見る前にコメントさせていただきました）
(1),(2)になってること自体がヒントだったんですね。
これに気づけばすぐに解けました。
前半は理解できたけど、後半は早送りのあとから分からない。(部分的理解あり)
黒板辞めたんですか……残念…
(2)は一見無理と思ったが多項式で割ることができるのに気づくか？
因数定理は厳しそう…→どーせ(1)で出た(x^2-x+1)使えるやろ！w→案の定で草
という解き方をしたので(2)単体で出されるとかなり厳しかったと思う
高校だと難しいかも。(1) が誘導に気付くか。
一方、電気工学で飯食ってる人間が１の三重根，－１の三重根のにおいを嗅ぎつけられなかったらかなりやばいかも。
(2)だけだったらむりだwww
色々思い浮かぶ節はあるけど答え分かっている故の動かし方になってしまう…
係数比較が最強なのね😉
ごや先生、散髪しましょう。
おもしろい！
(2)は(x-整数)では絶対に割れないということに少し考えれば気づきますが。
因数定理使えないことに動揺しないことが重要ですか。
因数定理で試してみようと思ったら上手くいかなそうだったので、（２次式）×（３次式）という具合に仮定して係数比較することでごり押ししました。多分これだとかなり時間をとられるから、最初の解法でいくといいのかなぁ、と思いました。
めっちゃ申し訳ないですけど三乗の因数分解の公式、下覚えてb→-bの変換で、、って話なんですけど逆でも同じって思っちゃいました。
a^n-b^nは常に因数分解できるがa^n+b^nはnが奇数の時しかできない
a^n-b^nは a^(n-1)+a^(n-2)*b+a^(n-3)*b^2+・・・+a*b^(n-2)+b^(n-1) にaをかけたやつからbをかけたやつを引けば
途中の項が全部消えてa^n-b^nが出てくるので、一度仕組みを理解すれば暗記する必要ないですね
a^n+b^nは nが奇数のときはそこから動画の通りで変換できます。
σ で今n=3なので因数分解できるって話では？
逆に言えば4以降の公式があるんですが？自分物理学科なので数3以降は物理数学しかやってないんですよ、、、
@@すーへん mathtrain.jp/factorization2 これです
-ωが入りそうだな(天啓)
一番がヒントですね
数学甲子園笑笑
ωしか思い付かなかった
僕はx=-ωを入れて解きました。
これまで解いた因数分解でいい問題だなあって思ったのは、x¹⁵-1の因数分解でした。
是非やってみてください。
(X^15-1)=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
であってますか？10いれて検算しましたし合ってると思いますが。良問と言うので最後の8次式も因数分解できるのかと思いました。まずx^3-1,x^5-1で割り切れるのはすぐわかって、どっちも同時には満たさないことは計算で気づくから、共通因数のx-1をだすと答えが出るって感じでしました。もっといい方法ありますか？
ゆうパオちゃんズ
(x^12＋x^9＋x^6＋x^3＋1)
が因数分解できるのには
気づけなかった
(x^4+x^3+x^2+x+1)
で考えて後から3乗
しようとしたのがダメだった
xをあとでx^3に置き換えようとしたのがダメだったわ
あっでも
(x^5ー1)(x^10＋x^5＋1)
を因数に持つ時点で
x^15-1は
(x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つのか
だから(x^12+x^9+x^6+x^3+1)
が(x^4+x^3+x^2+x+1)を因数に持つのか
迂闊でした
つよwww
佐治亮以来の冴え！！
ω
数検1級でx^3 +1の整数係数での因数分解なんて出るわけがない.
万一出るとしたら誘導以外には考えようがない.
(2)は5次式で=f(x)とすると
f(±1)≠0より有理数解は存在しないことが分かる.
つまり因数分解できるとすれば(2次式)×(3次式)の形しかあり得ない.
ここでx^2 -x +1=0の解の1つをωとすると
-1の立方根なので
ω+ω*=1(*は共役複素数)
ω^(-1)=ω*
ω^2-ω+1=0
ω^3=-1
などの性質が言える.
おそらく(1)がヒントなのだろうという甘い目論見を基にf(ω)を求めると
f(ω)=ω^5 -ω^4 -1
=-ω^2 +ω -1 =-(ω^2 -ω+1)=0
よって因数定理より
予定通りf(x)は(x^2-x+1)を因数に持つことが分かった.
1次式には分解できないことは確認済みなので
f(x)=(x^2 -x +1)(x^3 -x -1)
動画の初めの方で(2)は数検1級で単独で出てきた問題と言っていますよ。(1)は単独で(2)を考えることが難しいから誘導としてつけたらしいです。
まあ、そりゃそうでしょうね。誘導付いてたら正答率爆上がりで試験にならないですもの
草
9cmParabellum / wakadori 草