Qu'est-ce qu'un tenseur ?
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- Опубликовано: 12 июл 2024
- Une vidéo d'introduction au concept de "tenseur", niveau fin de lycée / début d'études post-bac. L'objectif dans cette vidéo n'est pas tant la rigueur des détails mathématiques, qui seront peut-être approfondis dans d'autres vidéos, mais l'intuition et la "vraie" définition du concept.
0:00 - Mauvaises définitions
4:37 - Rappel sur les vecteurs
9:41 - Définition d'un tenseur
12:50 - Exemple : le produit scalaire
16:12 - Décomposition en coordonnées
Attention à 9:05 je passe sous le tapis les détails qui définissent un espace vectoriel pour éviter d'alourdir la vidéo, pour ceux qui sont intéressés voici la définition exacte :
Un espace vectoriel V défini sur un corps commutatif K, comme ℝ ou ℂ, est :
- un ensemble d'éléments (qu'on appelle des vecteurs)
- muni d'une addition de vecteurs notée "+" telle que :
• l'addition est commutative : u + v = v + u
• l'addition est associative : (u + v) + w = u + (v + w)
• il existe un vecteur nul noté "0" : v + 0 = v
• il existe un opposé à chaque vecteur, noté "- v" : v + (- v) = 0
- et muni d'une multiplication par un nombre "×" qui est :
• distributive par rapport aux additions de V et de K : (a + b) × (u + v) = a × u + a × v + b × u + b × v
• associative par rapport à la multiplication dans K : (a × b) × u = a × (b × u)
• et pour laquelle l'élément neutre de K, "1", est neutre : 1 × u = u
Un vrai plaisir de vous suivre, même après 40 ans post études…
@Polymath Freeman Ce qu'on appelle une approche "géométrique" d'un problème ou la définition "géométrique" d'un objet, est quelque chose de commun dans le parler mathématique, mais je ne suis pas sûr qu'il existe une caractérisation rigoureuse pour autant. Si j'essayais de m'y risquer, je dirais qu'une définition géométrique d'un objet est une définition qui ne fait pas appel à un choix arbitraire.
Ici, le choix arbitraire est la base de l'espace vectoriel : étant donné un espace vectoriel E sur un corps K (par ex. K = R), on peut montrer l'existence d'au moins une base (i.e. un ensemble de vecteurs libre et génératrice), et si le cardinal de cette base est fini, alors on peut montrer que toute autre base aura forcément le même nombre d'élément. C'est ce nombre qu'on appelle la dimension de E, et c'est une caractéristique de l'espace vectoriel, on a pas "le choix".
En revanche, si on sait qu'il existe des bases, on a l'embarras du choix, il en existe une infinité, même en dimension finie, et on a aucune raison de choisir une base plutôt qu'une autre si E est arbitraire. Si d est la dimension de E, faire le choix d'une base, c'est faire le choix de "comment j'identifie E en avec l'espace vectoriel K^d ", en transposant la structure d'espace vectoriel (ce qu'on appelle techniquement un isomorphisme d'espace vectoriel), mais comme le répète plusieurs fois @ScienceClic, un tel choix serait arbitraire.
Se fixer une base, c'est justement faire l'identification entre "la flèche", et "la liste de nombre" expliquée au début. Dans ce cas, les définitions "naïves" d'un tenseur données au début de la vidéo sont correctes sur K^d. En effet, s'il existe toujours une infinité de bases, il existe une unique base vérifiant une propriété particulière, qui fait que l'on va vouloir la choisir plutôt que les autres. C'est bien évidemment la base :
((1,0,...,0), (0,1,0,...,0), ..., (0,...,0,1)).
On dit que cette base est la base "canonique" de K^d, et on peut alors voir les tenseur comme la généralisation des scalaires, vecteurs, matrices etc. dans K^d.
Dans la description de la vidéo, il est dit que le but est de donner la "vraie" définition. Je pense qu'il s'agit surtout de montrer qu'on a pas besoin d'une base pour définir les tenseurs, mais qu'on peut le faire en donnant une liste de propriétés abstraites que l'objet doit vérifier.
Dans la seconde définition donnée, l'approche est la même : on part d'un espace "courbe" M de dimension d ( M pour "manifold" en anglais - qu'on traduirait par "plusieurs plis", en français on parle de "variété" ). On pourrait les voir eux même comme une généralisation des espaces "plats" que sont les espaces vectoriels, et on se rapproche plus de ce qu'on entend communément par "géométrie" : les cercles, les sphères, les tores etc.
La définition donnée du tenseur y fait appel à un système de coordonnées local (x_1,...,x_n) et (x'_1,...,x'_n). Un système de coordonnées locales fait l'identification entre un "petit bout" de M et un "petit bout" de K^d, on appelle ça une "carte" (on définit précisément ce que veut dire "petit bout" mais ce n'est pas important ici).
De même qu'on demande qu'une base d'un espace vectoriel vérifie certaines propriétés, ici, on va demander à une carte de vérifier certaines propriété pour assurer une description cohérente de M. Notamment, on va regarder lorsqu'on se trouve sur M à l'intersection entre deux "petits bouts" et qu'on peut donc décrire l'endroit avec deux cartes différentes. De façon intuitive, une collection de cartes qui recouvre toute la variété s'appelle... un "atlas" ! C'est ce qui jouerait l'équivalent de la base d'une espace vectoriel, mais ici dans le cas "courbe".
Et là encore, pour une variété M quelconque, il existe une infinité d'atlas (de "systèmes de coordonnées locaux"), et aucun de privilégié. Sur Terre, on utilise des dizaines de systèmes de coordonnées locales, et en fait la plupart sont d'ailleurs "incomplets", puisque centrés sur un ou quelques pays. Même le système de latitude et longitude, qui est global, n'est pas vraiment à valeur dans R^2, puisque les coordonnées sont des angle, et les unités, comme la position du zéro (le "méridien de Greenwich") sont complètement arbitraires.
On pourrait là encore croire que sur les espaces courbes, il faudrait fixer un système de coordonnées locales pour pouvoir définir un tenseur. Mais là encore, il existe une définition abstraite d'un tenseur, sans utiliser aucun atlas. Pas de choix arbitraire, c'est une définition "géométrique" (c'est la géométrie différentielle).
Les équations d'Einstein, qui sont évoquées en filigrane, peuvent s'écrire dans un système de coordonnées locales, et on a alors un système d'Equations aux Dérivées Partielles très intéressant, et sujet de recherches actives. Cependant, l'approche "géométrique", sans écrire aucune dérivée partielle, est complètement différente et est souvent le bon "language" pour permettre l'étude de certains problèmes : on cherche à partir d'exemples ou autres, à identifier les propriétés clés, et on "axiomatise" ces propriétés pour renverser la définition de l'objet d'étude. Les propriétés vérifiées lorsqu'on se donne un objet supplémentaire choisi arbitrairement apparaissent pour qu'elle sont : des contingences.
C'est le cas pour la géométrie symplectique, qui axiomatise la mécanique newtonienne, la géométrie algébrique qui généralise l'étude des polynômes, la géométrie Kählérienne etc.
@Polymath Freeman J'ai bien lu votre premier commentaire. J'ai voulu y apporter une réponse mais qui, comme ce commentaire, est publique. Elle ne s'adresse pas qu'à vous, mais à tous ceux qui verront la vidéo, et qui liront le commentaire de @ScienceClic (qui pour le coup montre d'un cran en abstraction).
Ma réponse est sans doute trop longue et verbeuse, je serai le premier à le reconnaître, mais ne vise qu'à essayer d'étayer ce qu'est une définition "géométrique". C'est tout.
Me critiquer de façon constructive pour dire en quoi je m'y prends mal est une chose. Me traiter de pédant, l'anti-thèse d'Einstein ou Feynman, cherchant à produire du verbiage illisible pour me la péter est une insulte, une attaque "ad hominem" (ce que vous reconnaissez vous-même du reste), qui ne fait pas du tout avancer la question.
J'en profite pour glisser qu'Einstein et Feynman étaient des physiciens et pas des mathématiciens - ce qui n'ôte rien à la qualité de leurs travaux.
Vous me conseillez de me "frotter au réel et le réel c'est qu'il n'y a pas de géométrie sans esprit schématique." J'ignore ce qu'est un esprit schématique.
En revanche, je sais que les mathématiques, pris comme ensemble de connaissance sont une construction abstraite, formelle, sans rapport avec le réel, et que c'est la condition de leur universalité. C'est ce qui fait, en particulier que même un aveugle de naissance peut faire de la géométrie.
Aussi, lorsque vous me dites que "ce ne sont que des mots et en aucun cas de la géométrie bien réelle", je suis effectivement d'accord avec vous ! Les mathématiques reposent sur le langage, et c'est tout.
Je terminerai avec une pique authentiquement condescendante, elle :
Je suis flatté de voir que vous avez pris connaissance de mes travaux, puisque vous me dites que je ne suis ni Grothendieck, ni Perelman. Rassurez-vous, c'est le cas de 99.9999% des mathématiciens.
Puisque vous semblez avoir des idées parfaitement claires sur ce qu'est une définition géométrique ou algébrique, je vous invite à publier vos travaux dans des revues à comité de lecture, plutôt que sur RUclips.
Je ne doute pas que vous allez bouleverser notre paradigme !
@@christophewacheux1332 Je suis BAC-3 je me suis fait avoir, mais je ne sais pas, dans un volume la surface d'un relief, l'imagerie pour des pixels qui valent un objet fixe, la position d'être vivant, * enfin essayer de présenter la dissuasion (et autre) par projection psychologique des prédateurs naturels en tentative de prédation (ou similaire passion), des pixels d'image qui représenterons la dissipation sonore comme une image les barrières visuelles, les contraintes brouillard.
Et tout cela n'est plus proportionnel au x et y.
Je ne sais si c'est celà qui me pousse à commenter.
Je m'en sort peu avec Processing, mais l'idée pour la communication, tout en bataillant sur le détour obscure de l'objectif primaire du programme (n'auront jamais le contexte réel, ne sert pas à prouver, mais à exposer pour l'approche à la connaissance des comportements).
@Polymath Freeman Le vocabulaire employé et les intentions de vos commentaires ne sont clairement pas du niveau d'un débat constructif.
Restez factuel et ne sombrez pas dans l'invective ni l'analyse psychologique voire l'insulte : vous vous discréditez.
je savais pas que cette chaine annexe existait depuis si longtemps. SVP faite de la pub les gars.
En primer lugar, les pido disculpas por no tener un dominio del idioma francés suficiente como para escribir este texto en su idioma.
Han tenido Ustedes la rara habilidad de unir el rigor, la pedagogía, la claridad y la integridad científica en una breve exposición de apenas veinte minutos.
He seguido multitud de videos, cursos on line y hasta textos dedicados a los tensores sin que ninguno de ellos me diera un concepto claro del mismo. Ustedes lo han conseguido en un espacio de tiempo increíblemente corto.
No hacen perder el tiempo en exposiciones absurdas sobre notación ni abordan el tema mediante aplicaciones prácticas que embrollan más que aclarar.
Gracias, mil gracias, por su depurada técnica que exponen al conocimiento público por mero altruismo.
Bravo pour votre pédagogie! Il y a 40 ans de cela en prépa , je pratiquais le calcul tensoriel sans avoir aucune notion intuitive sur la nature des tenseurs .
Une petite suggestion : une prochaine vidéo sur les coordonnées contra/co variantes , sur les espaces duals/tangent et sur les dérivées covariantes pourrait aider pas mal d’élèves pour qui ces notions restent flou ou disons plutôt non intuitives malgré les « exercices de bases » qu’ils descendent de façons purement calculatoire…..En tout cas Merci!
L'ancien *VUIBERT* vert nous salut tous!
:)
Les années 80's restent les meilleures!
J’adore cette vidéo. Vraiment très claire pour démystifier les tenseurs.
Merci 🙏
Waouh !! Limpide comme de l'eau de roche...... après un nombre d'heures énorme à chercher la définition...je tombe enfin sur ta vidéo salvatrice !!
.....c'est là que tu comprends que beaucoup d'enseignants explique les tenseurs sans les comprendre!!
Vidéo d'utilité publique !
Merci mille fois
Eeeennnnffffffiinnnn!!!!!!!
Voila 4 ans que je la réclame cette vidéo !!!
4 ans !!!!
Tout vient à point à qui sait attendre !!!
En français, et sur les tenseurs !!! Géniale. Merciiiiiiiiii
Cette superbe vidéo laisse un goût d'inachevé
C’est la définition la plus claire que j’ai jamais eut d’un tenseur. Elle est digne de la méthode Feynman. Merci 😊
Je n'ai plus fait de maths depuis le lycée, et pourtant tes explications sont limpides comme de l'eau de roche !
C'est vraiment incroyable d'avoir la chance de rencontrer en vidéo quelqu'un d'aussi pédagogue que toi, s'il te plait continue !
Moi j'ai ma licence en physique chimie et j'arrive toujours pas à comprendre la dynamique du solide et les tenseurs d'inertie. Mon cerveau peut visualiser un point matériel.
Les tenseurs de force m'avaient été présentés comme un couple {force, moment de force}, jamais comme des coordonnées.
Grâce à cette vidéo je comprends que les tenseurs ont une définition plus vaste. (Un peu comme si on me présentait les vertébrés en me disant qu'il n'y a pas que les oiseaux, alors que je n'aurais étudié que les poissons).
@@oliviermarrontu parles des torseurs
Franchement, je suis en ma 5eme annee de doctorat en mecanique des fluides, et c'est la premiere fois que je me rend compte que la definition de tenseur comme tu nous a prevenu au debut est fausse. Merci beaucoup pour cette video tres instructive
waouw merci pour ça ça fait 1 an je cherche à comprendre la subtilité des tenseurs et leur représentation et ta vidéo est parfaite
tu lis dans mes pensées, j'étais à la recherche de cette vidéo précisément et c'est toi qui la sort, magique
Enfin une explication claire de ce qu'est un tenseur !
Salam Professeur
Merci beaucoup, c est extraordinairement bien expliqué,
Ça fait longtemps que j entends parler des tenseurs et c est la 1ère fois que je sais ce que c est comme éléments mathématiques
Merci
C'est la première fois que j'arrive à comprendre ce qu'est un tenseur, merci beaucoup :)
idem
enfin une vidéo où l'on m'explique l'intérêt des tenseurs bravo à toi 👏
Merci, je commence enfin à comprendre ce qu'est un tenseur, vite la suite !
le don d'expliquer les choses. Bravo.
Magnifique pédagogie, d'une clarté qui illumine les ténèbres.
Un grand merci pour cet effort de clarification, et finalement, de simplification.
J'ai étudié plusieurs années la physique à Orsay il y a près de 45 ans, et donc pratiqué le calcul tensoriel, et jamais les tenseurs n'étaient présentés comme ici pour ce qu'ils SONT.
Et pourtant les profs étaient quasiment tous médaillés...n'est pas Feynman qui veut !
BRAVO !
Merci beaucoup.
Je faisais la confusion entre matrice et tenseur. Je comprends maintenant qu'un tenseur existe indépendamment d'une matrice et qu'on peut avoir une matrice de tenseurs.
C'est beaucoup plus clair maintenant.
Content que ça puisse aider !
Merci pour la simplicité, l'explication est extra merci encore
Je connaissais la chaine principale mais pas la secondaire et justement en voyant les vidéos sur la principale je me disais toujours qu’il manquait d’explications mathématiques, alors très heureux de découvrir cette chaine
C'est quelqu'un qui bouge en rydhme
Bien vu, 😂
Super heureux de voir une nouvelle vidéo de ta part, et sur un sujet très intéressant en plus !
Quelle limpidité légendaire ! Mercii !
Vraiment tu as ce don pour rendre les trucs les plus barbans de la fac intéressants et ca me donne presque l'envie de finir ma licence de maths
gogogo ! Ce serait dommage de pas aller au bout !
Félicitations pour la clarté des explications !
Si mon prof de physique (en licence, il y une quarantaine d'années :)) avait abordé les tenseurs de cette manière, j'aurais compris de quoi il s'agissait...
C'est aujourd'hui chose faite !
Un grand merci !😀
Je n'aurais pas mieux dit
Merci d'avoir démystifié cette notion, je suis étudiant en Mécanique Quantique et je n'avais toujours pas vraiment compris la différence entre tenseur et matrice, en mettant la notion sous le tapis tant que j'en avais pas trop besoin pour avancer. Maintenant c'est bcp plus clair et du coup plus abordable, donc merci
Merci pour votre Clarté qui nous poussent à vous écouter avec encore plus d’attention. Il faudrait une vidéo sur les changements de base et pkoi changer de base… et le déterminant après changement de base
Un must watch pour une intro en algèbre bilinéaire. Tout va tellement plus vite dans l'esprit quand on a la bonne intuition, merci !
Je trouve vos explications d'une grande qualité ! Vous parlez de manière fluide et agréable à mon sens en prenant soin d'utiliser tantôt des mots simples, tantôt un langage technique. Les schémas en couleur sont aussi particulièrement bien pour se représenter intuitivement/visuellement le concept. Vous rendez cette notion accessible au jeune lycéen que je suis, merci. ❤
Merci pour cette vidéo ! L’effort de vulgarisation est très appréciable pour un élève de sup un peu curieux 🙂
Introduction de ce concept par l'algèbre des formes linéaires est plus facile mais l'explication reste intuitive et facile à comprendre ! Un livre chez l'éditeur Ellipses , très bien pour l'étude des tenseurs : Titre Initiation progressive au calcul tensoriel 158p de Claude JEANPERRIN 1999
Merci beaucoup pour cette vidéo, et toutes les autres que je n'ai pas pris la peine de commenter jusqu'à présent 😄 C'est l'explication la plus rigoureuse et la plus compréhensible sur les tenseurs auquelle j'ai eu accès jusqu'à présent! Si je peux me permettre juste une petite remarque, il "manque" la formule final pour calculer le résultat du tenseur appliqué à deux vecteurs à partir de la matrice: "x transpose fois T fois y. Je suis pas sure que ce soit évident pour tout le monde vue que, généralement, on multiplie une matrice à droite par un vecteur colonne pour obtenir un autre vecteur colonne, ici, il faut en plus multiplier aussi à gauche par un vecteur ligne pour au final obtenir un nombre (ou plus généralement un scalaire). Encore bravo pour toutes vos vidéos qui sont formidables 😃
Merci beaucoup d'avoir regardé, content que ça t'ait plu ! C'est vrai, j'ai préféré ne pas mettre cette façon de calculer le résultat car c'est difficile d'imaginer une analogie pour les tenseurs d'ordre supérieur, le calcul "Xt T Y" marche bien pour un tenseur d'ordre 2 seulement, du moins je ne connais pas de généralisation intuitive.
@@ScienceClicPlus Pour l’anecdote, je me suis offert « Relativité générale - l’essentiel » de Carlo Rovelli pour Noël. J’ai été justement un peu déçus sur le manque d’une introduction clair sur des notions assez basic comme les tenseurs ou la notation d’Einstein entre-autre, ce qui nuit passablement à la compréhension ☹… Heureusement, les vidéos de ScienceClic Plus sont là pour m’éclairer sur ces aspects techniques 😊. Encore merci pour votre travail. On voit que vous avez compris la différence entre « exposer un savoir » et « transmettre de la compréhension » : une nouvelle fois bravo.
@@louismercier3051 Très content que ça puisse aider :)
Bravo pour votre pédagogie. Limpide !
Merci pour cette vidéo !
L'explication est clair et les dessins sont parlant, vraiment parfait !
Quand je vois science clic, je m'abonne d'abord tellement je suis convaincu que ça sera de qualité.
Explications brillantes ! Merci beaucoup !
Merci beaucoup c'est très intéressant et très clair. Je ne connaissais pas le principe du tenseur et votre explication est très clair. Vivement la suite !
Incroyable de clarté et de pédagogie. Merci.
A noter que la notion de tenseurs en machine learning n'a pas grand chose à voir avec la "vraie" notion mathématique présentée ici, mais correspond plutôt à la version dégradée décrite en début de vidéo.
Super intéressant... L'illustration avec le produit scalaire est parlante... Bravo
Bravo et merci pour cette pédagogie incroyable. Bonne continuation.
Ha enfin une vidéo que je vais comprendre ! 👍 Continues comme ça !
Encore une super vidéo comme toujours v est super bien expliquer,conscis et concret
Excellent, step by step partant des bases 👍
Superbe vidéo ! Je n'avais jamais vu les tenseurs sous cet angle, et pourtant j'en ai vu des soi-disant tenseurs au cours de ma formation universitaire. Ta présentation a aussi répondu à une question que j'avais depuis longtemps en tête à propos de la différence entre tenseurs et matrices.
Mais je pense que cette vidéo mérite une suite, car les tenseurs tels que présentés ailleurs utilisent des vecteurs qui peuvent être covariants ou contravariants (lequel des deux est analogue aux formes linéaires déjà 😅). Le sujet mérite d'être discuté avec la même limpidité que la définition de base présentée ici.
Merci ! Et bravo pour votre clarté.
Merci infiniment. Pour la première fois je trouve une explication concrète du mot tenseur.
Merci beaucoup pour ces précisions très claires
J'utilise les tenseurs tout le temps et j'avais rien pigé du tout. Merci 💯🚶🏾♂️
Merci, c'est formidablement bien fait!
Merci beaucoup! Três didactique
Merci pour vos explications très claires. Maintenant, j'aimerais savoir la différence entre des tenseurs covariants et contravariants.
Même requête !
Cette vidéo tombe à pic, merci !
Excellente video de vulgarisation (tout en poussant le bouchon un peu plus loin que d'habitude), tu as un abonné de plus. En attendant des prochaines création ;-)
Merci beaucoup ! J'avais toujours un peu séché sur la notion de tenseur.
NEKO
Super petite explication!! Merci beaucoup :)
Bonjour Monsieur
J'ai suivi avec un grand intérêt votre cartouche traitant d'introduction du concept de tenseur. c'est tellement très intuitif et bien séquencée que j'ai vu et revue votre vidéo à maintes reprises et comme ça me laisse sur ma faim j'ai décidé de vous écrire et ce, dans l'espoir que vous nous présentiez cet objet si abstrait dans le cas général .
en effet, à 12.46 vous définissez le tenseur comme une application bilinéaire de EXE------------------- IR et dans l'exemple d'application vous avez privilégiez un repère orthonormé avec seulement les coordonnées contra variantes. c'est vraiment très imagé et intuitif comme introduction .
Cependant , dans le cas général le tenseur est défini comme une application multilinéaire de E x E...X E*.......----------------------- IR
Ainsi je vous demande de nous éclairer , dans la mesure du possible, sur l'ensemble de départ de cette application qui associé en même temps les espaces vectoriels ( Vecteurs) et les espaces duaux ( formes linéaires, qui sont elles mêmes des applications linéaires de E---------------- IR). Et pour l'application nous souhaitons un exemple ou il sera traité des deux types de composantes ( Contra variantes et covariantes) dans un repère quelconque et ce , pour aboutir à la base des espaces tensoriels qui est le produit tensoriels des vecteurs de base
Je vous remercie infiniment pour ce que vous faite et bon courage à vous
Merci beaucoup pour cette vidéo, c'est très clair.
Super clair merci beaucoup !
Super vidéo, pourrais tu faire une vidéo sur les TORSEURS utilisés en mécanique du solide ?
PS : RUclips ne me recommande que très peu tes vidéos alors que tu en as sortis beaucoup.
Grand merci en tout cas.
Merci , super bien expliqué.
Bravo, tres bien expliqué. La meilleure vidéo en Français a mon avis sur le sujet qui est, en général, très mal enseigné en prépa et même en école d’ ingénieur. La prochaine vidéo introduira les complications de l’espace vectoriel dual? La série vidéo d’eigenchris en anglais est elle aussi excellente.
Hum ... super intéressant. Il nous faudrait une suite : comment est-ce qu'on multiplie les matrices qui représentent des tenseurs ?
Merci c’est limpide et c’est esthétiquement agréable à regarder ! En prépa (ça remonte…), j’avais compris cette caractéristique fondamentalement géométrique des tenseurs mais en revanche, il y avait deux objets que je manipulais mécaniquement sans vraiment comprendre leur nature profonde : le produit tensoriel d’espaces et le produit tensoriel d’applications linéaires. Ces objets ont-ils une nature géométrique ? S’ils sont nommés ainsi, Il y a forcément une connexion avec les tenseurs non ? Si oui, j’adorerai une vidéo de suite à celle-ci ! Merci pour ton travail
Très pédagogique . Merci.
Je viens de découvrir cette nouvelle chaîne (SC Plus), j'ai adoré. As-tu prévu de faire une suite pour expliquer le calcul tensoriel en maths, et en physique ?
Merci pour cette explication.
Super clair.
Merci
Merci pour cette vidéo. Je l'ai beaucoup aimé. Peux tu nous faire des vidéos sur d'autres tenseurs comme le tenseur de Riemann ou encore le tenseur de Ricci . Merci
J’ai rigolé 😂😂tellement que ça dégage le flou dans ma tête. Donc j’allais enseigner aux enfants un vecteur n’existerais jamais sans espaces ( ou repères) .
Mdr , merci beaucoup ☺️
Merci, Très didactique
Merci très intéressant
Trop clair dans mon esprit
Best definition ever !
Excellent!
Merci beaucoup!!
Super vidéo ! Surtout que c'est un sujet complexe :)
J'ai l'impression que pour le bien de la vidéo tu as fait une correspondance directe (ou un amalgame) entre tenseur et forme multilinéaire : les propriétés énoncées à 9:41 sont celles des formes multilinéaires. Or les tenseurs peuvent être défini pour le cas plus général des applications multilinéaires. Pour moi, de 9:41 à 22:19 ça aurait été plus général de parler de forme multilinéaire, puis de parler de tenseur car là tu fait allusion au tenseur (aux nombres précalculés pour les vecteurs e_x et e_y). Enfin, je ne sais pas si cela est pertinent, pour la vidéo, de faire la distinction entre la forme multilinéaire et l'une de ses représentations en tenseur.
Ce qui me trouble le plus c'est que, pour moi, les tenseurs peuvent être défini comme représentation sous la forme d'un "tabloid de nombre" d'une application multilinéaire. Analogiquement aux matrices, qui sont une représentation sous la forme d'un "tableau de nombre" d'une application linéaire. Et c'est cette analogie que tu adresse a 0:00 et qui est souvent mal expliqué / comprise.
Par exemple, pour construire un tenseur d'une application multilinéaire L : E x F x G -> H avec E, F, G et H des espaces vectoriels :
- on prends une base de E les vecteurs (e_i), une base de F les vecteurs (f_j), une base de G les vecteurs (g_k) et une base de H les vecteurs (h_p)
- pour toutes les combinaisons possibles des (e_i, f_j, g_k) :
- on fait la décomposition de L(e_i, f_j, g_k) dans la base (h_p) de H i.e.
L(e_i, f_j, g_k) = T_(i, j, k, 1) x h_1 + T_(i, j, k, 2) x h_2 + .... + T_(i, j, k, p) x h_p + .... T_(i, j, k, n) x h_n avec T_(i, j, k, 1), T_(i, j, k, 2), .... , T_(i, j, k, p), .... , T_(i, j, k, n) des nombres
alors T = (T_(i, j, k, p)), pour toutes les combinaisons de (i, j, k, p) possibles, est la représentation en tenseur de l'application multiliénaire L dans les bases (e_i), (f_j), (g_k) et (h_p)
i.e. "T = tenseur(L, (e_i), (f_j), (g_k), (h_p))"
Content que la vidéo t'ait plu ! J'avoue que je ne suis pas sûr de comprendre : pour moi un tenseur (d'ordre n,m) est par définition une application multilinéaire de V×...×V×W×...×W dans K, où V est un K-espace vectoriel, et W est le dual de V.
Excellent merci !
quoi dire ... génial !
Merci beaucoup la premiere definition de tenseur comprehensible je connais .J'ai l'ai demandé à mainte fois à des agregé ....ils ne pouvaient pas me dire concrètement ce qu'etait un tenseur .c'est l'objet mathématique qui rend incompréhensible les equations d'einstein
Bravo !
Bonjour, vos vidéos sont absolument incroyables, de très grande qualité et rigueur. Je crois pouvoir réussir mon bachelor en physique théorique avec vos vidéos. Quelle est la fréquence d'apparition de vos vidéos? Croyez-vous poiuvoir faire une par semaine?
Merci pour cette excellente vidéo... 👍 Vous serait-il possible de faire une vidéo sur les équations de Maxwell ? On ne trouve rien de satisfaisant sur le net...merci pour votre retour...
Merveilleux 🕊️🕊️🕊️
Ho, en voilà une vidéo qu'elle est utile ! on vient justement de finir les cours de MMC solide (prems hehe)
Perso on vient de commencer donc ça tombe encore mieux !
@@titouanrajon4904 haha tu étudies où ?
@@dremaro2967 centrale Marseille et toi ?
@@titouanrajon4904 ens saclay, bon courage pour la mmc ;)
@@dremaro2967 merci, bon courage à toi aussi
Pas mal , je m'abonne 😉👍😂
Bonjour je vous remercie infiniment merci
Je comprends archi rien mais j'adore !!!!
En réalité, rien en mathématiques n'est compliqué. Non, rien. Tout dépend, de comment on vous enseigne les choses. Plus la personne qui vous enseigne, est à l'aise et maîtrise son sujet jusqu'à le rendre passionnant et fluide, p'us vous même vous apprenez "comme dans du beurre"! Quand ça coule de source, alors réellement, n'importe qui est capable de comprendre et d'acquérir des compétences développées, spécialement en mathématiques.
Vive les mathématiques, vive la science physique, vive la théologie (la science des sciences, celle qui tend à développer toute votre intériorité, votre development personnel)
Amazing
Intéressant mais du coup ce serait bien d’avoir une suite qui explique pourquoi les tenseurs ont été utilisés en relativité surtout générale. Je me demande aussi pourquoi (a ma connaissance) on ne les utilise pas dans le formalisme quantique
Merci pour la clarté des explications ! Auriez vous un bon livre anglophone ou français permettant d’aller plus loin mais aussi d’introduire les différents concepts du calcul tensoriel ?
Merci pour cette très intéressante vidéo ! Penses-tu faire une vidéo de ce genre sur l'espace dual et le concept de variance ?
Pourquoi pas oui ce sont de bonnes idées !
@@ScienceClicPlus Super! J'ai hâte de voir une vidéo de ta part sur le sujet 😉
Les tenseurs sont définie si je me souvient bien comme une forme linéaire sur le produit tensoriel de k copie d'un espace vectoriel et de l copie de son dual ! Comme une application bilineaire sur E×F s'identifie à une unique application linéaire sur leur produit tensoriel. Est ce qu'il en va de même pour les application multilinéaire ? Et donc définir un tenseur comme une application multineaire sur E^k×(E*)^l est identique à celui d'une application linéaire sur le produit tensoriel associé.
Merci.
On attend une vidéo sur ta chaîne principale !
👍👌👏
Merci beaucoup.
Maintenant quel rapport avec le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations qu'on m'a enseigné en résistance des matériaux (et que j'ai fort peu compris) ?
Merci beaucoup pour cette video, SVP ma question est vous travaillez Mr par quels outils pour faire ce genre de video