*Wenn ihr das Gefühl habt, eurem Gehirn würden solche Trainingseinheiten definitiv öfter gut tun, dann schaut doch mal in der Gehirnjogging-Playlist vorbei:* ruclips.net/p/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX *Je öfter ihr solche kleinen Aufgaben löst, desto geschickter werdet ihr - versprochen!* 🦊 *PS: Wenn ihr was über Amazon bestellen wollt die Tage und mir so kostenlos etwas spenden möchtet, dann geht über diesen Link zu Amazon:* amzn.to/3Do3IM5 *Es muss nichts mit dem Mikrofon zu tun haben, zu dem ihr über den Link kommt, ihr könnt alles bestellen was ihr sowieso bestellt hättet. Für euch ist alles wie immer, aber Amazon gibt dann einen prozentualen Anteil an mich ab und ich bin euch wahnsinnig dankbar!!* ❤
Ein Höhepunkt der Geometrie. Und der Höhepunkt auf höchstem Niveau (nämlich 12). Faszinierend. So Spitze wie top! Zweifelsfrei ein Kandidat für das Mathe-YT-Rätsel des Monats November.
Ein sehr nettes Beispiel. Das hatte ich damals als Hausübung (Uni - Vorlesung Geometrie 3) auf. Zentrische Streckung braucht man aber nicht unbedingt. Zweimal den Strahlensatz anwenden geht auch. Aber nett, das Magda die zentrische Streckung eingebaut hat. Ich liebe die zentrische Streckung. LG Gerald
Man kann als Ansatz einfacher (mit V gesamt Volumen) folgendes direkt sehen: Links ist das blaue Volumen: V*((h-3)/h)³ Rechts ist das blaue Volumen: V-V*(999^(1/3)/h)³ Beides gleichsetzen und man kommt auf die selbe Quadratische-Gleichung.
Sehr geil. So macht die Anwendung der zentrischen Streckung am meisten Sinn. k... Seite k²... Fläche k³... Volumen Beste Lösung - basti314 👍👍👍 LG Gerald
Hallo Magda, herzlichen Dank für diese interessante Frage 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: Wenn man den Querschnitt untersucht, daraus lässt sich das Strahlensatz wunderschön anwenden: 1. Zustand, die Pyramide auf dem Kopf: Die Seitenlänge (des kleinen Pyramide) wo sich die Flüssigkeit befindet soll x sein. Also: (x/a)=(h-3)/h, hier ist h die gesamte Höhe der Pyramide. Daraus folgt: x= a(h-3)/h, die Fläche ist: x²= a²(h-3)²/h², der Volumen: x²*(h-3)/3 somit: V= a²((h-3)²/h²)*(h-3)/3 = a²(h-3)³/3h². Jetzt, der 2. Zustand, die Pyramide steht auf der quadratischen Grundfläche, wieder nach dem Strahlensatz, die Seitenlänge, wo sich die Flüssigkeit befindet, soll y sein. Also: (y/a)=(999)⅓ /h, daraus folgt y= a*(999)⅓/h und y²= a²(999)⅔/h², das Volumen wäre die Differenz zwischen dem gesamten Volumen und der kleinen Pyramide, das sich über diese Fläche der Flüssigkeit befindet, somit: a²h/3-y²(999)⅓/3, V=(a²h/3)-(a²(999)⅔/h²)*(999)⅓/3 ergibt: (a²h/3)-(a²(999)⅓)³/3h², V= a²(h³-999)/3h² wäre das Volumen der Flüssigkeit. Das Volumen im Zustand 1) und Zustand 2) müssen gleich sein, also: a²(h³-999)/3h²=a²(h-3)³/3h² daraus bekommen wir: h³-999= (h-3)³. Das ergibt: h³= (h-3)³+999 und h³=h³-3h²-6h²+18h+9h-27+999 ist gleich: 9h²-27h-972=0 ist gleich: 9(h²-3h-108)=0 ergibt: h²-3h-108, die Diskriminante D=9+4*1*(108) = 441, √D=21 und h=(3+21)/2 =12 LE ist die Antwort.
Sehr schöne Aufgabe und lösbar noch dazu. Den Begriff der zentrischen Streckung kannte ich noch nicht, aber man kann sich die Proportionalität von der Grundfläche zum Quadrat der Höhe und damit die Proportionalität vom Volumen zur dritten Potenz der Höhe leicht über den Strahlensatz ableiten. Wenn man zwei parallele Linien vom Schnittpunkt der Höhenlinie mit den Grundflächen zu entsprechenden Eckpunkten der Grundflächen zieht, dann besagt ja eben jener Strahlensatz, dass das Verhältnis der Längen dieser Linien dem Verhältnis der beiden Höhen entspricht. Dieses Verhältnis geht dann in quadratischer Form in das Verhältnis der Grundflächen über. Wichtig ist ja vor allen Dingen, dass das Ergebnis h = -9 nicht so verstanden wird, dass man einfach ein Erdloch in Form einer Pyramide mit der Spitze nach unten aushebt. Man stelle sich mal vor, die Ägypter wären auf so eine Idee gekommen.
@@eckhardfriauf Vielen Dank für die Blumen. Wer weiß, vielleicht kommen ja in absehbarer Zeit Fracking-Pyramiden (oder doch eher Fracking-Kegel) zum Einsatz.
@@eckhardfriauf abgesehen davon, dass es unter gizeh und sakkara wohl kein öl oder wasser gibt (sonst wären die pyramiden längst weggesprengt worden), hast du mich auf zwei indizien gegen die phantasten gebracht, die hinter jedem steinhaufen und jeder furche im sand ausserirdischen einfluss wähnen. da die ägypter so gut wie keine annähernd so innovative idee zur tiefbaugestaltung entwickelt haben, wie beim hochbau, ist doch der erklärungsansatz, dass es sich bei den Bauten um den ausdruck religös-philosophisch-astronomischer betrachtung von (der oberfläche) der erde richtung himmel und gestirne handelt, um so vieles wahrscheinlicher, als die extragalaktische betrachtung, die nicht neugierig scheint, was denn so alles brauchbares auch unter der oberfläche sich befinden könnte. die besuche der götter sollen sich im guten-tag-sagen und im ausleben niederer (irdischer) instinkte erschöpft haben? denkt man an moskau oder leningrad, was hätten die alten ägypter mit den aliens nicht für sensationelle u-bahnstationen bauen können... 👽👾🚇🛸
Gute Aufgabe. Ich würde vorschlagen ,dass man benutzt , dass bei ähnlichen Figuren im Raum die Volumina sich wie die 3. Potenzen entsprechender Längen verhalten . Hier braucht man also nr die Höhen .
Oh, ein bekanntes Beispiel. Dieses Beispiel hatten wir mal aus Hausübung (Uni - Vorlesung Geometrie 3) auf. Zentrische Streckung habe ich damals nicht verwendet, sondern einfach zweimal den Strahlensatz angewandt. a:h=x:(h-3) x=a*(h-3)/h /² weil wir ja das Quadrat brauchen x²=a²*(h-3)²/h² x...Seitenlänge vom ersten Quadrat a:h=y:(3teWurzel(999)) y=a*(3teWurzel(999))/h /² weil wir ja das Quadrat brauchen y²=a²*(3teWurzel(999)²)/h² x...Seitenlänge vom zweiten Quadrat Dann Vx = Vges - Vy x²*(h-x)/3=a²*h/3 - y²*(3teWurzel(999))/3 /*3 x²*(h-x)=a²*h - y²*(3teWurzel(999)) /für x und y einsetzen a²*(h-3)²/h² *(h-x) = a²*h - a²*(3teWurzel(999)²)/h²*(3teWurzel(999)) /:a² (h-3)³/h² = h - (3teWurzel(999)³)/h² /*h² und 3teWurzel(999)³=999 (h-3)³= h³ - 999 Ab hier dann wie du... LG Gerald PS: Ab heute bist du für mich Frau Prof. kleine Mathehexe Magda Ich kann mich noch erinnern, wie die anderen bei diesem Beispiel gekämpft haben. 😂😂😂
@@Birol731 Wir hatten damals einen echt krassen Professor. Der hatte 16 Uni-Titel. 2 Dr Titel. Kannst ja mal nach Thomas Benesch googlen. Das war mein Professor. LG Gerald
@@Birol731 Er hat mehrere Bücher (mehr als 20 sogar - sagte er mal) geschrieben. Angeblich hat er ein Schlafproblem. Deshalb ist er nachts wach und schreibt Bücher bzw lernt neue Sachen. Deshalb auch die vielen Titel. LG Gerald
Volumen einer Pyramide: V = a²h / 3. Da die Pyramiden ähnlich zueinander sind, gilt: h ~ a². Deshalb kann man auch sagen: V = kh³, wobei k ein konstanter Faktor ist. Für das Volumen der kleinen Pyramide gilt also: V₁ = k(h - 3)³. Und für den Pyramidenstumpf gilt: V₂ = kh³ - k(³√999)³. Da V₁ = V₂, können wir schreiben: k(h - 3)³ = kh³ - k(³√999)³ (h - 3)³ = h³ - ³√999³ h³ - 9h² + 27h - 27 = h³ - 999 - 9h² + 27h + 972 = 0 h² - 3h - 108 = 0 h₁,₂ = 3/2 ± √(9/4 + 108) h₁,₂ = 3/2 ± √(441/4) h₁,₂ = 3/2 ± 21/2 h₁ = - 9 ∨ h₂ = 12 Da die Höhe nicht negativ sein darf, gilt nur das Ergebnis h = 12.
Sehr geil. So macht die Anwendung der zentrischen Streckung am meisten Sinn. k... Seite k²... Fläche k³... Volumen Beste Lösung - Nikioko 👍👍👍 LG Gerald
Nur eine kleine Randbemerkung zum Schwierigkeitsgrad der Aufgabe: Vor rund 30 Jahren waren Aufgaben dieses Typus (zumindest in Ba-Wü) Standard bei den damals durchgeführten zentralen Prüfungen nach der zehnten(!) Klasse des Gymnasiums ("Zentrale Klassenarbeiten") und - in ggf. etwas "entschärfter" Form - auch in der Realschulabschlußprüfung. Daraus möge jeder seine eigenen Schlüsse bzgl. der Entwicklung des Anforderungsniveaus in den letzten Jahrzehnten ziehen.
Das ist sosososo krass und interessant zu wissen! Heute bin ich froh, wenn die 10er in ihrer Prüfung nicht mit der Formel für den Quader versuchen das Volumen vom Kegel auszurechnen. Leider kein Scherz sondern vor ein paar Tagen tatsächlich in einer Klassenarbeit vorgekommen, die ich korrigieren musste... Bei sowas könnte ich heulen!! 😭😭😭 PS: Bist du Lehrer, Mischka?
@@magdaliebtmathe Jap, ertappt! 😂 Aber ich arbeite seit gut zehn Jahren nicht mehr in diesem Beruf, unter anderem (aber nicht nur...), weil ich keinerlei Lust mehr hatte, dabei zuzusehen (oder mitzuwirken), wie ein ehedem recht ordentlich funktionierendes Bildungssystem getreu dem Motto: "Fördern, fördern, fördern, aber nur niemals fordern!" systematisch in die Tonne getreten wird. Und es wurde mir irgendwann auch zu dumm, (auch) manchem Kollegen ostentativ erklären zu müssen, daß es wohl ein Recht auf Bildung, jedoch kein Recht auf ein Abitur oder einen anderweitigen Schulabschluß gibt... 😉 Insofern ist Dein Bericht von der zu korrigierenden KA zwar natürlich erschreckend, aber was Du sagst, überrascht mich nicht. Da Du meine Einlassung bezüglich des Schwierigkeitsgrades der vorgestellten Aufgabe durchaus interessant fandest, möchte ich an dieser Stelle einfach noch ein paar "Schlagworte" (ohne jeglichen Anspruch auf Vollständigkeit) beisteuern, was früher im Abi mal "state of the art" war, was ein Mathe-LK-Schüler so rund um 1990 in seiner Prüfung beherrschen mußte/sollte: Da gab es so knuffige Dinge wie gebrochenrationale Funktionen (gerne auch mal mit einer Fallunterscheidung nach einem Scharparameter, ob eine Definitionslücke eine Polstelle oder eine Stelle hebbarer Unstetigkeit ist), Wurzel-, Logarithmus- und Betragsfunktionen, auch in Kombination miteinander, natürlich Exponentialfunktionen, Produktintegration und Integration vermittels Substitution (natürlich auch nicht linear!). Es gab in der analytischen Geometrie Kugeln, Tangentialkegel und Affingeometrie mit ein Wenig Eigenwert- und Eigenraumraumtheorie (auch hier beliebt wieder die Fallunterscheidungen nach einem Scharparameter, welcher Abbildungstyp wann vorliegt), aber auch die Konstruktion (!) invarianter Rechtwinkelpaare. Bis etwa 1985 war auch die lineare Algebra prüfungsrelevant, insbesondere der Begriff des Vektorraums und des Skalarproduktes; gerne wurde da irgendeine wilde multiplikative Verknüpfung von zwei Vektoren (nicht zwingend bezüglich der Standardbasis!) definiert, von der zu zeigen war, daß es sich hierbei tatsächlich um ein Skalarprodukt handelt. Und wer anstelle der analytischen Geometrie das Thema Stochastik hatte, mußte sich nicht nur mit Binomial- und Normalverteilung auskennen (alles natürlich noch mit mathematischen Tafelwerken!), sonder auch ein- und zweiseitige Signifikanztests durchführen können (also sowohl mit dem beschreibenden, als auch dem beurteilenden Zweig umgehen können). Falls Dich die Erwartungen des damaligen Bildungsplans genauer interessieren, kannst Du einen Blick in die alten "Lambacher Schweizer"- Bücher (Leistungskurs, in den Neuauflagen bzw. -bearbeitungen ab etwa 1987 bis ca. 1994) für die damalige gymnasiale Oberstufe (Klasse 11 und Jgst. 12/13) werfen; das sind die Bücher, mit dem karierten Cover (in lila, braun und grün). Ich gehe davon aus, daß noch ein paar verstaubte Exemplare an Deiner Schule vorhanden sein werden... 😂 Liebes Grüßle 👋
@@mischkastegi7964 Wahrscheinlich machen sie wirklich heute etwas weniger, was auch damit zusammenhängt, dass meistens ein halbes Jahr weniger zum Abitur reicht, d. h. die 13. Klasse wegfällt. Es gibt diese uralte Einstellung "ja früher war alles besser, und die Jugend von heute ist dumm, faul und frech", aber nach meiner Beobachtung sind die Anforderungen am Gymnasium nicht soviel anders als in den 1970ern. Es werden allerdings mehr 1,0 Noten vergeben. All das Zeug, Analysis, Skalarprodukt, Hypothesentest, das kam vor 5 Jahren im _Grundkurs_ Mathe vor. Im Jahr 2008 geisterte der "Oktaeder des Grauens" durch die Medien, weil es sich um eine angeblich zu schwierige Abituraufgabe in Mathe (in NRW) handelte. Ok, ist auch schon wieder 14 Jahre her. Ich fand die Aufgabe (trotz Mathe-Studium) nicht gerade trivial, vor allem musste man das ja relativ schnell lösen können. Da nützen einem auch keine Kenntnisse in höherer Algebra oder Funktionalanalysis.
@@miloszforman6270 Da muß ich in Teilen leider widersprechen. Im Folgenden beziehe ich mich übeigens stets auf das Schulsystem und den Bildungsplan Baden-Württembergs. Die Verkürzung der Gesamtschulzeit um ein Jahr bedeutet ja nicht, daß ein komplettes Jahr bei der Vorbereitung auf das Abitur in den letzten beiden Jahre fehlt. Früher lag die schriftliche Abiturprüfung unmittelbar nach den Weihnachtsferien; die Prüfungen wurden ab etwa 10.01. als Abschluß der Jgst. 13/1 geschrieben. Heute finden diese im Wesentlichen im letzten April-Drittel statt. Um die Osterferien bereinigt ist das ziemlich exakt drei Monate später. Bringt man nun noch die Zeit der damals letzten Sommerferien zwischen den Jgst. 12 und 13 (Ferienzeit incl. Aus- und Anlaufphase des jeweiligen Schuljahres rund zwei Monate) in Abzug, ergibt sich eine effektive Verkürzung um etwa sieben Monate. Darüber hinaus war ja bei der Einführung des G8 seinerzeit davon die Rede, daß sich die Kürzungen im Bildungsplan nicht auf die vormals abiturrelevanten Themen beziehen und sich die damals neu eingeführten "Kernkompetenzfächer" am Niveau des ehemaligen LK orientieren sollten. Allerdings gebe ich gerne zu, daß sich durch die (unsinnige!) Einführung des G8 viele Inhalte in niedrigere Klassenstufen verschoben haben und dadurch viele Schüler bezüglich ihrer persönlichen Entwicklung und geistigen Reife objektiv schlichtweg überfordert sind. Gerade in diesem Lebensalter kann ein halbes oder sogar ganzes Jahr einen himmelweiten Unterschied ausmachen. Da ich nun seit geraumer Zeit aus dem "Unterrichts-Milieu" raus bin, wollte ich unlängst überprufen, ob mein Eindruck, daß sich das Niveau signifikant nach unten gelevelt hatte, tatsächlich den Gegebenheiten entsprach oder ob dies nur einer größeren Routine geschuldet war. Daher führte ich vor rd. zwei Jahren einen Selbstversuch durch: Ich habe alle mir zur Verfügung stehenden alten Prüfungsaufgaben (Lk, Haupttermin) (und das sind tatsächlich ALLE Aufgaben an 1980/1981 bis Mitte der 1990-er, teilweise auch noch aus der zweiten Hälfte der 1970-er) durchgerechnet und anschließend die aktuellen Prüfungen bis Ende der 2020-er (des inzwischen wieder eingeführten "Leistungsfachs" und auch diejenigen aus dem offiziellen Fundus). Und ich darf verraten, mein Eindruck hat sich voll umfänglich bestätigt. Ich kann jedem nur zur Durchführung eines solchen erhellenden Selbstversuches raten, in der Hoffnung, daß die alten Aufgaben noch irgendwo zur Verfügung stehen; im Zweifel kann ich sie gerne zur Verfügung stellen. Übrigens bin ich nicht der Ansicht, daß die Jugend von heute dümmer sei als früher. Sie wird nur dümmer gehalten. Sie wäre a priori wohl auch nicht fauler, aber sie wird dazu erzogen! Und das ist keine Kritik an den Lehrern, ich weiß, das viele gerne deutlich mehr fordern würden, aber es nicht (mehr) dürfen... Das Ergebnis hiervon sehr ich regelmäß in meiner jetzigen Arbeit, wo auch die Sichtung und Einarbeitung von Bewerbern und neuen Mitarbeitern zu meinen Aufgaben zählt. Gerade die jungen Aushilfen, Abiturienten, FHR-Schüler, Studenten sind oft nicht in der Lage oder Willens, insgesamt einfache Aufgaben nach einem detaillierten Plan vollständig, gewissenhaft und zuverlässig abzuarbeiten. Und sollte es der Betrieb dann wagen, sich nicht ausschließlich um die Wünsche und Vorstellungen dieser jungen, "hochgebildeten" Menschen zu drehen, passiert regelmäßig das Folgende: Zunächst werden Arbeitsanweisungen konsequent ignoriert, dann laufen kurzfristige Krankmeldungen wegen kleinster Wehwehchen ein und schließlich kommt die Kündigung (per WhatsApp...) - natürlich stets sofort, ohne Einhaltung irgendwelcher Fristen. Das ist inzwischen leider traurige, tägliche Realität.
10:10: Tatsächlich gibt es für Binome dritten Grades vier binomische Formeln: dreimal plus, dreimal minus, zweimal plus und einmal minus und einmal plus und zweimal minus: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (a + b)² • (a - b) = a³ + a²b - ab² - b³ (a + b) • (a - b)² = a³ - a²b - ab² + b³
Mein Lösungsweg sah so aus: Mit Strahlensatz lässt sich folgende Formel zeigen: V'/V=h'³/h³ (wobei V das Gesamtvolumen mit Höhe h und V' ein Teilvolumen mit h' ist) Sei V das Gesamtvolumen und W das Wasservolumen und h die Höhe der Pyramide. =>W/V=(h-3)³/h³ und (V-W)/V=999/h³ 1-W/V=999/h³ W/V=1-999/h³ Also: (h-3)³/h³=1-999/h³ (h-3)³=h³-999 Der Rest sah genauso aus, wie bei dir im Video.
Wenn man setzt h1= 999^(1/3) ,h = unbekannte Pyramidenhöhe,dann erhält man die Gleichung (h1/h)^3 =1 - ((h -3)/h)^3 .Man bekommt eine quadratische Gleichung mit den Lösungen h= 12 und h = -9 . Die Lösung ist also h = 12.
Yesss, hat ewig gedauert 🤣🙈. Aber das ist jetzt neben Pilze sammeln echt eins meiner liebsten Hobbies: Aufgaben „komponieren“. Next Level im Vergleich zu Aufgaben rechnen, muss ich zugeben 🤣🙈😅.
@@magdaliebtmathe Ja, tatsächlich stellt das Komponieren von Aufgaben die größere Herausforderung dar. Daher hier noch ein Vorschlag für eine Zusatzaufgabe zu dem hier gestellten Problem (für echte Profis): Wäre es möglich gewesen, für beide Teilhöhen eine natürliche Zahl vorzugeben und trotzdem eine natürliche Zahl als Lösung für die Gesamthöhe zu erhalten?
@@unknownidentity2846 Ohhh, da ist jemand vom Fach. 😍 Das wollte ich tatsächlich anfangs gern. Aaaaaber man kommt dann während des Komponierens irgendwann auf die Frage, ob a^3 + b^3 = c^3 eine diophantische Gleichung ist, sprich ob eine integer solution existiert. Und darauf hatte Fermat eine enttäuschende Antwort….. 😭😉
Es gibt zwei Formeln zum lösen quadratischer Funktionen. Die abc-Formel und die pq-Formel. Letztere ist eine Vereinfachung der abc-Formel für a = 1. Bei ax² + bx + c = 0 bekommt man x = [- b ± √(b² - 4ac)] / 2a Für den Fall, dass a = 1 ist, vereinfach sich das Ganze auf x = - b/2 ± √[(b/2)² - c)], und statt der Buchstaben b und c verwendet man p und q wie bei den Hypotenusenabschnitten, deshalb pq-Formel. Diese gilt als allgemein besserzu merken, kommt aber mit dem Nachteil, dass man die Funktion erst auf die Form x² + px + q = 0 bringen muss.
Noch eine Bemerkung : die selbe Antwort würde man erhalten , wenn es eine beliebige Pyramide wäre ( schief und irgend eine Grundfläche ),oder auch ein beliebiger Kegel.
Natürlich, weil die Figuren ja immer ähnlich zueinander sind. Und ein Kegel ist ja eine Pyramide mit Kreis als Grundfläche. Würde auch mit einer elliptischen Grundfläche funktionieren
Das Ding mit der Streckung ist der Kasus Knacktus. Bzw: Hauptsache, die Flächeninhalte der Querschnittsflächen (als Grundflächen der Teil-Körper mit geringerer Höhe) sind proportional zum Quadrat der Höhe des jeweiligen Teil-Körpers. Welche Formen diese Flächen haben und ob sie alle quadratisch sind, spielt gar keine Rolle. Wenn der Körper eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist, sind diese Querschnittsflächen aber natürlich einander ähnlich, und dass es sich um gestreckte Maße handelt, fällt sofort (bzw. besonders leicht) ins Auge.
Wenn man die PQ Formel benutzt, und somit Brüche unter der Wurzel hat, dann erkennt man die schöne Quadratzahl nicht so leicht. Und warum soll man zwei Formeln lernen, wenn es eine auch tut? Deshalb benutze ich grundsätzlich immer die ABC Formel, auch wenn A=1 ist. Dann bleibt man hier bei ganzen Zahlen und kriegt h = (3 ± sqrt(9 + 432))/2. Und wenn man vermutet, dass 441 eine Quadratzahl ist, kann man die Wurzel auch ohne Taschenrechner ermitteln, indem man einfach loslegt und sie in ihre Primfaktoren zerlegt, nämlich 3, 3, 7, 7. Also kriegen wir (3+21)/2 = 12.
Nicht unerwähnt bleiben sollte die Tatsache, dass s nicht konkret aufzulösen geht. Die Lösungsmenge ist Null bis Unendlich reell. Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob es ganz sauber war bei 8:31 durch s² zu teilen. Dabei riskierst du ganz offensichtlich eine Division durch 0!
Es geht hier um einen konkreten Fall mit einem konkreten Körper der natürlich ein s>0 hat, weil die Pyramide sonst nicht existent wäre, daher ist das legitim.
Nein, denn dann hätte die Pyramide keine Grundfläche und damit das Volumen Null. Aber abgesehen davon bin ich bei meinem Lösungsansatz davon ausgegangen, dass die Pyramiden ähnlich zueinander sind und s damit in einem festen Verhältnis zu h steht. Dann kann man V = 1/3 s²h ändern in V = kh³, wobei k eine Konstante ist, die sowohl das Verhältnis zwischen s und h als auch die Teilung durch 3 (Unterschied zwischen Quader und Pyramide) berücksichtigt. Und dann sieht man schon, dass s > 0 sein muss, weil wir sonst kein festes Verhältnis zu h bilden könnten.
Bin ich jetzt vollkommen neben der Spur? Ich dachte, wenn die Pyramiden gleich sind, dann sind sie auch im gedrehten Zustand gleich. Dann ist das Volumen (kleine Pyramide links) gleich dem Volumen (kleine Pyramide rechts). Äquivalent zum Pyramidenstumph. Also auch zu den jeweiligen Höhen. Also Höhe Stumpf links gleich Höhe Stumpf rechts. Weil Gesamthöhe links gleich Gesamthöhe rechts. Wäre dann nicht etwa die Gesamthöhe links h= 3+ (dritte Wurzel von 999), wie auch Gesamthöhe rechts h = (dritte Wurzel von 999) + 3 ? Außerdem, wenn wir jetzt wissen, daß bei Pyramide links Gesamthöhe 12 ist und Höhe Stumpf 3, dann ist die Höhe der kleinen Pyramide = 9. Daraus folgt Gesamthöhe rechts auch gleich 12 und somit Höhe Stumpf gleich 12 minus (dritte Wurzel von 999). [ Und kann man nicht auch die dritte Wurzel von 999 ziehen? Nein, denn dann käme wohl eine Zahl heraus mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma. ] Somit also nicht 9!? Was stimmt denn nun an der Rechnung nicht? Zumal geometisch gesehen Pyramide rechts gespiegelt zu Pyramide links ist und zwar über ihren Spitzpunkt.
_"Bin ich jetzt vollkommen neben der Spur?"_ Ja. Das blau gefüllte Volumen links ist gleich dem Volumen des Pyramidenstumpfes rechts, nicht gleich der leeren (kleinen) Pyramide rechts.
Hm - wenn Höhe 1 = "3" und Höhe 2 ~= "10", dann ist Höhe (ges.) ~= "13" - bingo! - das ist doch verdammt nahe an dem realen Ergebnis "12"! Also - für den Hausgebrauch reicht mir das... ;-) 10 sek. Überschlag gegen 12 min. Erklärung! 🙂
Diese Aufgabe war mir jetzt irgendwie zu hoch. Zwar sind es am Schluss nur 12 cm, aber eben doch zu hoch. Moment, vielleicht sind es ja auch 12 Meter; das würde zumindest erklären, warum mir die Aufgabe zu hoch war. Ich hätte jetzt instinktiv den Faktor 1/3 von Anfang an weggelassen in der Erwartung, dass er sich rauskürzt. Auch war mir bewusst, dass die Fläche sich linear zur Höhe verhält. Und so hätte ich jetzt die beiden Gleichungen wie folgt einander gegenübergestellt: (h - 3)³ = h³ - (h - 999¹/³)³ Aber diese "Kurve" war wohl doch etwas zu direkt. 😜 Na ja, so langsam schwant mir jetzt auch, warum das nicht stimmen kann: Es hat etwas damit zu tun, dass s und h im konkreten Beispiel eben nicht gleich gross sind und s nicht linear, sondern quadratisch wächst oder schrumpft. Na ja, vielleicht klappt es nächstes Mal wieder... PS: h² - 3h - 108 = 0 lässt sich sehr gut faktorisieren zu (h + 9)(h - 12) = 0 (so kann man sich die p-q-Formel sparen)
Auch die Quadratische Ergänzung sei ergänzend ins Spiel gebracht: h² - 3h - 108 = 0 h² - 2*h*1,5 + 2,25 - 108 = 2,25 (h - 1,5)² = 110,25 h - 1,5 = +/- 10,5 etc. ... Die Faktorisierug ist m.E. jedoch hier am elegantesten. Und zu '12 Meter`': ein Schweizer sieht diese Pyramide halt vor lauter Bergen nicht.
@@eckhardfriauf Ja, das mit den Bergen wird wohl der Grund sein. Der Niesen am Thunersee sieht ja auch aus wie eine und trägt nicht umsonst den Übernahmen "Schweizer Pyramide".
@@Waldlaeufer70 Frage: Was ist der Unterschied zwischen der Schweizer Pyramide und der Magda-Pyramide? Antwort: Dritte Wurzel aus 13.177.701.928 vs Zweite Wurzel aus 144. Der Gipfel der Mathemalbernheit?
7:39 die Stelle war nicht nachvollziehbar. (Verdreifachen und die 3x 1/3 sind weg.. Okay, und warum?!) Falls sich der Kanal auch an (ungeübte) Lernwillige richtet wäre ggf. etwas mehr Sorgfalt und Mitnahme angebracht.
Weil auf beiden Seiten der Gleichung 1/3 steht, und das kürzt sich weg. Das Volumen einer Pyramide ist immer Gh/3, und wenn auf beiden Seiten der Gleichung Volumina von Pyramiden (oder anderer zueinander ähnlicher geometrische Figuren) stehen, kürzen sich solche konstanten Faktoren raus.
@@Nikioko Danke. Jetzt wo Du es sagst. Also: 1) 1/3 auf je einer Seite kürzen (wie man es kennt. Es verbleibt 1/3 "auf der rechten Seite vom =" 2) Beide Seiten durch 3, wodurch nur die linke Seite geteilt wird, und rechts kann man es (ohne Rechnung) wegkürzen. // Ich fand und finde es schade wenn man Schritte aus lässt, seien diese auch für einen selbst ganz klar. (Gute Lehrer und "normale" Lehrer..) Denn manchmal "hängt man eben" irgendwo, und kann dann nicht mehr folgen. // VG
@@ralflaola2173 Naja, das ist natürlich grundsätzlich recht so, aber andererseits ist das ja schon eine Aufgabe auf einem Niveau auf dem man diesen Sachverhalt als bekannt vorraussetzen darf.
@@ralflaola2173 Zur Klärung: bei 7:33 steht vereinfacht die Gleichung 1/3 x = 1/3 y - 1/3 z. Da kann man zunächst das Distributivgesetz anwenden: 1/3 x = 1/3 (y - z). Und danach kann man dann auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren (oder durch 1/3 teilen), damit das 1/3 rausfällt: x = y - z Magda hat das nur in einem Schritt gemacht und ist direkt von 1/3 x = 1/3 y - 1/3 z zu x = y - z gegangen.
@@TigruArdavi Kann sein, aber der Rest war logisch nachvollziehbar und wurde kommuniziert. Auch wenn ich die sog. binom. Formeln und pq nicht drauf habe ist es nachvollziehbar dass es sich um eine Regel handelt* die bestätigt funktioniert. Und das schöne für mich war zu erkennen dass ich heute Mathematik verstehe, es eigentlich schön und schlüssig ist. Einfach nur eine spezielle Art zu denken. Letztlich darf man sich nur nicht verschreiben. (Das war zu Schulzeiten anders. Und deshalb bin ich wohl "etwas sauer" wenn man Rechen-Schritte! nicht deutlich und stringent kommuniziert.) // Es gibt Leute die brauchen eine gewisse Aufgeräumtheit um zu funktionieren, dann wird alles relativ einfach. (Nungut "genug der Tränen" : ) *höhere Mathematik ist wenn man solche Regeln auch logisch, vor dem inneren Auge, nachvollziehen kann. Eine ganz andere Liga, als die Begabung sich nur der Anwendungen erinnern zu können (Nachahmung. Wie Labormäuse die durch Übung den kürzesten Weg zum Käse finden.)
Lösung: Die Formel für das Volumen einer quadratische Pyramide mit der Grundseite a und der Höhe h ist: VP = a²*h/3 Das Volumen der Flüssigkeit sei V. Dann ist die umgedrehte Pyramide gefüllt mit: (1) V = b²*(h-3)/3, wobei b mit dem Strahlensatz zu berechnen ist. Es gilt: (2) b/a = (h-3)/h ⟹ (2a) b = a*(h-3)/h |(2a) in (1) ergibt: (1a) V = [a*(h-3)/h]²*(h-3)/3 = a²/(3h²)*(h-3)³ Die aufrechte Pyramide ist ebenfalls gefüllt mit V: (3) V = a²*h/3-c²*³√999/3, wobei c mit dem Strahlensatz zu berechnen ist. Es gilt: (4) c/a = ³√999/h ⟹ (4a) c = a*³√999)/h |(4a) in (3) ergibt: (3a) V = a²*h/3-[a*³√999)/h]²*³√999/3 = a²*h/3-a²/(3h²)*999 Es muss sein: (1a) = (3a) ⟹ a²/(3h²)*(h-3)³ = a²*h/3-a²/(3h²)*999 |*3h²/a² ⟹ (h-3)³ = h³-999 ⟹ (h²-6h+9)*(h-3) = h³-999 ⟹ h³-9h²+27h-27 = h³-999 |-h³+999 ⟹ -9h²+27h+972 = 0 |/(-9) ⟹ h²-3h-108 = 0 |p-q-Formel ⟹ h1/2 = 3/2±√(9/4+108) = 3/2±√(9/4+432/4) = 3/2±√(441/4) = 3/2±21/2 ⟹ h1 = 3/2+21/2 = 24/2 = 12 und h2 = 3/2-21/2 = -18/2 = -9 entfällt, da negativ Die Pyramide ist also 12 Längeneinheiten hoch.
*Wenn ihr das Gefühl habt, eurem Gehirn würden solche Trainingseinheiten definitiv öfter gut tun, dann schaut doch mal in der Gehirnjogging-Playlist vorbei:* ruclips.net/p/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX
*Je öfter ihr solche kleinen Aufgaben löst, desto geschickter werdet ihr - versprochen!* 🦊
*PS: Wenn ihr was über Amazon bestellen wollt die Tage und mir so kostenlos etwas spenden möchtet, dann geht über diesen Link zu Amazon:* amzn.to/3Do3IM5 *Es muss nichts mit dem Mikrofon zu tun haben, zu dem ihr über den Link kommt, ihr könnt alles bestellen was ihr sowieso bestellt hättet. Für euch ist alles wie immer, aber Amazon gibt dann einen prozentualen Anteil an mich ab und ich bin euch wahnsinnig dankbar!!* ❤
Tolles Outfit. Steht Dir ausgezeichnet. Und jetzt zur Matheaufgabe....Scheint mir schwierig zu sein.
Ein Höhepunkt der Geometrie. Und der Höhepunkt auf höchstem Niveau (nämlich 12). Faszinierend. So Spitze wie top! Zweifelsfrei ein Kandidat für das Mathe-YT-Rätsel des Monats November.
Ein sehr nettes Beispiel. Das hatte ich damals als Hausübung (Uni - Vorlesung Geometrie 3) auf.
Zentrische Streckung braucht man aber nicht unbedingt. Zweimal den Strahlensatz anwenden geht auch.
Aber nett, das Magda die zentrische Streckung eingebaut hat. Ich liebe die zentrische Streckung.
LG Gerald
Man kann als Ansatz einfacher (mit V gesamt Volumen) folgendes direkt sehen:
Links ist das blaue Volumen:
V*((h-3)/h)³
Rechts ist das blaue Volumen:
V-V*(999^(1/3)/h)³
Beides gleichsetzen und man kommt auf die selbe Quadratische-Gleichung.
Sehr geil. So macht die Anwendung der zentrischen Streckung am meisten Sinn.
k... Seite
k²... Fläche
k³... Volumen
Beste Lösung - basti314 👍👍👍
LG Gerald
Hübsche Bekleidung, schaut gut aus und passt zum Video.
Dankeschön 😊
Ganz schön kniffelig und gut gelöst! - Schönen Dank!
Hallo Magda, herzlichen Dank für diese interessante Frage 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: Wenn man den Querschnitt untersucht, daraus lässt sich das Strahlensatz wunderschön anwenden: 1. Zustand, die Pyramide auf dem Kopf: Die Seitenlänge (des kleinen Pyramide) wo sich die Flüssigkeit befindet soll x sein. Also: (x/a)=(h-3)/h, hier ist h die gesamte Höhe der Pyramide. Daraus folgt: x= a(h-3)/h, die Fläche ist: x²= a²(h-3)²/h², der Volumen: x²*(h-3)/3 somit: V= a²((h-3)²/h²)*(h-3)/3 = a²(h-3)³/3h².
Jetzt, der 2. Zustand, die Pyramide steht auf der quadratischen Grundfläche, wieder nach dem Strahlensatz, die Seitenlänge, wo sich die Flüssigkeit befindet, soll y sein. Also: (y/a)=(999)⅓ /h, daraus folgt y= a*(999)⅓/h und y²= a²(999)⅔/h², das Volumen wäre die Differenz zwischen dem gesamten Volumen und der kleinen Pyramide, das sich über diese Fläche der Flüssigkeit befindet, somit: a²h/3-y²(999)⅓/3, V=(a²h/3)-(a²(999)⅔/h²)*(999)⅓/3 ergibt: (a²h/3)-(a²(999)⅓)³/3h², V= a²(h³-999)/3h² wäre das Volumen der Flüssigkeit.
Das Volumen im Zustand 1) und Zustand 2) müssen gleich sein, also: a²(h³-999)/3h²=a²(h-3)³/3h² daraus bekommen wir: h³-999= (h-3)³. Das ergibt: h³= (h-3)³+999 und h³=h³-3h²-6h²+18h+9h-27+999 ist gleich: 9h²-27h-972=0 ist gleich: 9(h²-3h-108)=0 ergibt: h²-3h-108, die Diskriminante D=9+4*1*(108) = 441, √D=21 und h=(3+21)/2 =12 LE ist die Antwort.
Sehr interessante und schöne Aufgabe - vielen Dank fürs zeigen!
schöne Aufgabe, schöne Präsentation, schöne Präsentiererin
Danke für das Lob! Hab auch diverse Stunden getüftelt, bis ich die Aufgabe und vor allem die schönen Zahlen zusammenkomponiert hatte 😃🦊.
très chic - auch die aufgabe!
Super toll gelöst Magda!!🥰
Sehr schöne Aufgabe und lösbar noch dazu. Den Begriff der zentrischen Streckung kannte ich noch nicht, aber man kann sich die Proportionalität von der Grundfläche zum Quadrat der Höhe und damit die Proportionalität vom Volumen zur dritten Potenz der Höhe leicht über den Strahlensatz ableiten. Wenn man zwei parallele Linien vom Schnittpunkt der Höhenlinie mit den Grundflächen zu entsprechenden Eckpunkten der Grundflächen zieht, dann besagt ja eben jener Strahlensatz, dass das Verhältnis der Längen dieser Linien dem Verhältnis der beiden Höhen entspricht. Dieses Verhältnis geht dann in quadratischer Form in das Verhältnis der Grundflächen über. Wichtig ist ja vor allen Dingen, dass das Ergebnis h = -9 nicht so verstanden wird, dass man einfach ein Erdloch in Form einer Pyramide mit der Spitze nach unten aushebt. Man stelle sich mal vor, die Ägypter wären auf so eine Idee gekommen.
Schön geschrieben! Danke. Den Strahlensatzansatz habe ich auch angedacht. Die alten Ägypter hätten mit h = -9 ggf. Erdöl gefunden ...
@@eckhardfriauf Vielen Dank für die Blumen. Wer weiß, vielleicht kommen ja in absehbarer Zeit Fracking-Pyramiden (oder doch eher Fracking-Kegel) zum Einsatz.
@@eckhardfriauf abgesehen davon, dass es unter gizeh und sakkara wohl kein öl oder wasser gibt (sonst wären die pyramiden längst weggesprengt worden), hast du mich auf zwei indizien gegen die phantasten gebracht, die hinter jedem steinhaufen und jeder furche im sand ausserirdischen einfluss wähnen. da die ägypter so gut wie keine annähernd so innovative idee zur tiefbaugestaltung entwickelt haben, wie beim hochbau, ist doch der erklärungsansatz, dass es sich bei den Bauten um den ausdruck religös-philosophisch-astronomischer betrachtung von (der oberfläche) der erde richtung himmel und gestirne handelt, um so vieles wahrscheinlicher, als die extragalaktische betrachtung, die nicht neugierig scheint, was denn so alles brauchbares auch unter der oberfläche sich befinden könnte. die besuche der götter sollen sich im guten-tag-sagen und im ausleben niederer (irdischer) instinkte erschöpft haben? denkt man an moskau oder leningrad, was hätten die alten ägypter mit den aliens nicht für sensationelle u-bahnstationen bauen können... 👽👾🚇🛸
Toll erklärt! 😊
Konnte alles nachvollziehen.
Wäre ich aber nie drauf gekommen.
super gut gemacht!
Genauso intellent als wie @Mathematrick... Die hab ich übrigens auch schon blockiert.
Und Tschüss!!
Genau das Richtige für einen Regentag .... Erkenntnis: Die Form der Pyramide ist dabei letztlich egal. Geht auch mit Kegel oder Dreieckspyramide.
Sehr schön, dass du den Regentag für Mathe genutzt hast! Man kann sich nie fit genug im Kopf halten! 😎
Gute Aufgabe. Ich würde vorschlagen ,dass man benutzt , dass bei ähnlichen Figuren im Raum die Volumina sich wie die 3. Potenzen entsprechender Längen verhalten . Hier braucht man also nr die Höhen .
Oh, ein bekanntes Beispiel. Dieses Beispiel hatten wir mal aus Hausübung (Uni - Vorlesung Geometrie 3) auf.
Zentrische Streckung habe ich damals nicht verwendet, sondern einfach zweimal den Strahlensatz angewandt.
a:h=x:(h-3)
x=a*(h-3)/h /² weil wir ja das Quadrat brauchen
x²=a²*(h-3)²/h²
x...Seitenlänge vom ersten Quadrat
a:h=y:(3teWurzel(999))
y=a*(3teWurzel(999))/h /² weil wir ja das Quadrat brauchen
y²=a²*(3teWurzel(999)²)/h²
x...Seitenlänge vom zweiten Quadrat
Dann Vx = Vges - Vy
x²*(h-x)/3=a²*h/3 - y²*(3teWurzel(999))/3 /*3
x²*(h-x)=a²*h - y²*(3teWurzel(999)) /für x und y einsetzen
a²*(h-3)²/h² *(h-x) = a²*h - a²*(3teWurzel(999)²)/h²*(3teWurzel(999)) /:a²
(h-3)³/h² = h - (3teWurzel(999)³)/h² /*h² und 3teWurzel(999)³=999
(h-3)³= h³ - 999
Ab hier dann wie du...
LG Gerald
PS: Ab heute bist du für mich Frau Prof. kleine Mathehexe Magda
Ich kann mich noch erinnern, wie die anderen bei diesem Beispiel gekämpft haben. 😂😂😂
Gehört diese Frage wirklich zur Uni-Vorlesung ?
@@Birol731 Wir hatten damals einen echt krassen Professor.
Der hatte 16 Uni-Titel. 2 Dr Titel.
Kannst ja mal nach Thomas Benesch googlen. Das war mein Professor.
LG Gerald
@@GetMatheFit Danke für diese Informationen, Gerald, ich habe ein Buch von ihm entdeckt, schön 🙂
@@Birol731 Er hat mehrere Bücher (mehr als 20 sogar - sagte er mal) geschrieben. Angeblich hat er ein Schlafproblem.
Deshalb ist er nachts wach und schreibt Bücher bzw lernt neue Sachen.
Deshalb auch die vielen Titel.
LG Gerald
Volumen einer Pyramide: V = a²h / 3. Da die Pyramiden ähnlich zueinander sind, gilt: h ~ a². Deshalb kann man auch sagen: V = kh³, wobei k ein konstanter Faktor ist.
Für das Volumen der kleinen Pyramide gilt also: V₁ = k(h - 3)³. Und für den Pyramidenstumpf gilt: V₂ = kh³ - k(³√999)³.
Da V₁ = V₂, können wir schreiben:
k(h - 3)³ = kh³ - k(³√999)³
(h - 3)³ = h³ - ³√999³
h³ - 9h² + 27h - 27 = h³ - 999
- 9h² + 27h + 972 = 0
h² - 3h - 108 = 0
h₁,₂ = 3/2 ± √(9/4 + 108)
h₁,₂ = 3/2 ± √(441/4)
h₁,₂ = 3/2 ± 21/2
h₁ = - 9 ∨ h₂ = 12
Da die Höhe nicht negativ sein darf, gilt nur das Ergebnis h = 12.
Sehr geil. So macht die Anwendung der zentrischen Streckung am meisten Sinn.
k... Seite
k²... Fläche
k³... Volumen
Beste Lösung - Nikioko 👍👍👍
LG Gerald
Eine Frage:
Warum Dezimalzahlen am Schluss?
Mit Brüchen ist das so viel nachvollziehbarer und sauber. 😌
MfG
Ist das nicht egal? Man weiß ja, dass 10,5² = 10 • 11 + 0,25 = 110,25.
Aber ich hatte auch mit 441/4 = (21/2)² gerechnet.
h²-3h-108=0, die Diskriminante D=9-4*1*108= 441, und h=(3+√441)/2= (3+21)/2=12 LE
Nur eine kleine Randbemerkung zum Schwierigkeitsgrad der Aufgabe:
Vor rund 30 Jahren waren Aufgaben dieses Typus (zumindest in Ba-Wü) Standard bei den damals durchgeführten zentralen Prüfungen nach der zehnten(!) Klasse des Gymnasiums ("Zentrale Klassenarbeiten") und - in ggf. etwas "entschärfter" Form - auch in der Realschulabschlußprüfung.
Daraus möge jeder seine eigenen Schlüsse bzgl. der Entwicklung des Anforderungsniveaus in den letzten Jahrzehnten ziehen.
Das ist sosososo krass und interessant zu wissen! Heute bin ich froh, wenn die 10er in ihrer Prüfung nicht mit der Formel für den Quader versuchen das Volumen vom Kegel auszurechnen. Leider kein Scherz sondern vor ein paar Tagen tatsächlich in einer Klassenarbeit vorgekommen, die ich korrigieren musste... Bei sowas könnte ich heulen!! 😭😭😭
PS: Bist du Lehrer, Mischka?
@@magdaliebtmathe Jap, ertappt! 😂 Aber ich arbeite seit gut zehn Jahren nicht mehr in diesem Beruf, unter anderem (aber nicht nur...), weil ich keinerlei Lust mehr hatte, dabei zuzusehen (oder mitzuwirken), wie ein ehedem recht ordentlich funktionierendes Bildungssystem getreu dem Motto: "Fördern, fördern, fördern, aber nur niemals fordern!" systematisch in die Tonne getreten wird. Und es wurde mir irgendwann auch zu dumm, (auch) manchem Kollegen ostentativ erklären zu müssen, daß es wohl ein Recht auf Bildung, jedoch kein Recht auf ein Abitur oder einen anderweitigen Schulabschluß gibt... 😉 Insofern ist Dein Bericht von der zu korrigierenden KA zwar natürlich erschreckend, aber was Du sagst, überrascht mich nicht.
Da Du meine Einlassung bezüglich des Schwierigkeitsgrades der vorgestellten Aufgabe durchaus interessant fandest, möchte ich an dieser Stelle einfach noch ein paar "Schlagworte" (ohne jeglichen Anspruch auf Vollständigkeit) beisteuern, was früher im Abi mal "state of the art" war, was ein Mathe-LK-Schüler so rund um 1990 in seiner Prüfung beherrschen mußte/sollte:
Da gab es so knuffige Dinge wie gebrochenrationale Funktionen (gerne auch mal mit einer Fallunterscheidung nach einem Scharparameter, ob eine Definitionslücke eine Polstelle oder eine Stelle hebbarer Unstetigkeit ist), Wurzel-, Logarithmus- und Betragsfunktionen, auch in Kombination miteinander, natürlich Exponentialfunktionen, Produktintegration und Integration vermittels Substitution (natürlich auch nicht linear!). Es gab in der analytischen Geometrie Kugeln, Tangentialkegel und Affingeometrie mit ein Wenig Eigenwert- und Eigenraumraumtheorie (auch hier beliebt wieder die Fallunterscheidungen nach einem Scharparameter, welcher Abbildungstyp wann vorliegt), aber auch die Konstruktion (!) invarianter Rechtwinkelpaare. Bis etwa 1985 war auch die lineare Algebra prüfungsrelevant, insbesondere der Begriff des Vektorraums und des Skalarproduktes; gerne wurde da irgendeine wilde multiplikative Verknüpfung von zwei Vektoren (nicht zwingend bezüglich der Standardbasis!) definiert, von der zu zeigen war, daß es sich hierbei tatsächlich um ein Skalarprodukt handelt. Und wer anstelle der analytischen Geometrie das Thema Stochastik hatte, mußte sich nicht nur mit Binomial- und Normalverteilung auskennen (alles natürlich noch mit mathematischen Tafelwerken!), sonder auch ein- und zweiseitige Signifikanztests durchführen können (also sowohl mit dem beschreibenden, als auch dem beurteilenden Zweig umgehen können).
Falls Dich die Erwartungen des damaligen Bildungsplans genauer interessieren, kannst Du einen Blick in die alten "Lambacher Schweizer"- Bücher (Leistungskurs, in den Neuauflagen bzw. -bearbeitungen ab etwa 1987 bis ca. 1994) für die damalige gymnasiale Oberstufe (Klasse 11 und Jgst. 12/13) werfen; das sind die Bücher, mit dem karierten Cover (in lila, braun und grün). Ich gehe davon aus, daß noch ein paar verstaubte Exemplare an Deiner Schule vorhanden sein werden... 😂
Liebes Grüßle 👋
@@mischkastegi7964
Wahrscheinlich machen sie wirklich heute etwas weniger, was auch damit zusammenhängt, dass meistens ein halbes Jahr weniger zum Abitur reicht, d. h. die 13. Klasse wegfällt. Es gibt diese uralte Einstellung "ja früher war alles besser, und die Jugend von heute ist dumm, faul und frech", aber nach meiner Beobachtung sind die Anforderungen am Gymnasium nicht soviel anders als in den 1970ern. Es werden allerdings mehr 1,0 Noten vergeben. All das Zeug, Analysis, Skalarprodukt, Hypothesentest, das kam vor 5 Jahren im _Grundkurs_ Mathe vor.
Im Jahr 2008 geisterte der "Oktaeder des Grauens" durch die Medien, weil es sich um eine angeblich zu schwierige Abituraufgabe in Mathe (in NRW) handelte. Ok, ist auch schon wieder 14 Jahre her. Ich fand die Aufgabe (trotz Mathe-Studium) nicht gerade trivial, vor allem musste man das ja relativ schnell lösen können. Da nützen einem auch keine Kenntnisse in höherer Algebra oder Funktionalanalysis.
@@miloszforman6270 Da muß ich in Teilen leider widersprechen.
Im Folgenden beziehe ich mich übeigens stets auf das Schulsystem und den Bildungsplan Baden-Württembergs.
Die Verkürzung der Gesamtschulzeit um ein Jahr bedeutet ja nicht, daß ein komplettes Jahr bei der Vorbereitung auf das Abitur in den letzten beiden Jahre fehlt.
Früher lag die schriftliche Abiturprüfung unmittelbar nach den Weihnachtsferien; die Prüfungen wurden ab etwa 10.01. als Abschluß der Jgst. 13/1 geschrieben. Heute finden diese im Wesentlichen im letzten April-Drittel statt. Um die Osterferien bereinigt ist das ziemlich exakt drei Monate später. Bringt man nun noch die Zeit der damals letzten Sommerferien zwischen den Jgst. 12 und 13 (Ferienzeit incl. Aus- und Anlaufphase des jeweiligen Schuljahres rund zwei Monate) in Abzug, ergibt sich eine effektive Verkürzung um etwa sieben Monate. Darüber hinaus war ja bei der Einführung des G8 seinerzeit davon die Rede, daß sich die Kürzungen im Bildungsplan nicht auf die vormals abiturrelevanten Themen beziehen und sich die damals neu eingeführten "Kernkompetenzfächer" am Niveau des ehemaligen LK orientieren sollten.
Allerdings gebe ich gerne zu, daß sich durch die (unsinnige!) Einführung des G8 viele Inhalte in niedrigere Klassenstufen verschoben haben und dadurch viele Schüler bezüglich ihrer persönlichen Entwicklung und geistigen Reife objektiv schlichtweg überfordert sind. Gerade in diesem Lebensalter kann ein halbes oder sogar ganzes Jahr einen himmelweiten Unterschied ausmachen.
Da ich nun seit geraumer Zeit aus dem "Unterrichts-Milieu" raus bin, wollte ich unlängst überprufen, ob mein Eindruck, daß sich das Niveau signifikant nach unten gelevelt hatte, tatsächlich den Gegebenheiten entsprach oder ob dies nur einer größeren Routine geschuldet war. Daher führte ich vor rd. zwei Jahren einen Selbstversuch durch:
Ich habe alle mir zur Verfügung stehenden alten Prüfungsaufgaben (Lk, Haupttermin) (und das sind tatsächlich ALLE Aufgaben an 1980/1981 bis Mitte der 1990-er, teilweise auch noch aus der zweiten Hälfte der 1970-er) durchgerechnet und anschließend die aktuellen Prüfungen bis Ende der 2020-er (des inzwischen wieder eingeführten "Leistungsfachs" und auch diejenigen aus dem offiziellen Fundus). Und ich darf verraten, mein Eindruck hat sich voll umfänglich bestätigt.
Ich kann jedem nur zur Durchführung eines solchen erhellenden Selbstversuches raten, in der Hoffnung, daß die alten Aufgaben noch irgendwo zur Verfügung stehen; im Zweifel kann ich sie gerne zur Verfügung stellen.
Übrigens bin ich nicht der Ansicht, daß die Jugend von heute dümmer sei als früher. Sie wird nur dümmer gehalten. Sie wäre a priori wohl auch nicht fauler, aber sie wird dazu erzogen! Und das ist keine Kritik an den Lehrern, ich weiß, das viele gerne deutlich mehr fordern würden, aber es nicht (mehr) dürfen...
Das Ergebnis hiervon sehr ich regelmäß in meiner jetzigen Arbeit, wo auch die Sichtung und Einarbeitung von Bewerbern und neuen Mitarbeitern zu meinen Aufgaben zählt. Gerade die jungen Aushilfen, Abiturienten, FHR-Schüler, Studenten sind oft nicht in der Lage oder Willens, insgesamt einfache Aufgaben nach einem detaillierten Plan vollständig, gewissenhaft und zuverlässig abzuarbeiten. Und sollte es der Betrieb dann wagen, sich nicht ausschließlich um die Wünsche und Vorstellungen dieser jungen, "hochgebildeten" Menschen zu drehen, passiert regelmäßig das Folgende: Zunächst werden Arbeitsanweisungen konsequent ignoriert, dann laufen kurzfristige Krankmeldungen wegen kleinster Wehwehchen ein und schließlich kommt die Kündigung (per WhatsApp...) - natürlich stets sofort, ohne Einhaltung irgendwelcher Fristen.
Das ist inzwischen leider traurige, tägliche Realität.
10:10: Tatsächlich gibt es für Binome dritten Grades vier binomische Formeln: dreimal plus, dreimal minus, zweimal plus und einmal minus und einmal plus und zweimal minus:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)² • (a - b) = a³ + a²b - ab² - b³
(a + b) • (a - b)² = a³ - a²b - ab² + b³
Perfekt.
Den Ansatz hatte ich auch, aber auf die zentrische Streckung bin ich nicht gekommen… 😅
Aber mit dem Tipp konnte ich es dann auch lösen :)
Mein Lösungsweg sah so aus:
Mit Strahlensatz lässt sich folgende Formel zeigen: V'/V=h'³/h³ (wobei V das Gesamtvolumen mit Höhe h und V' ein Teilvolumen mit h' ist)
Sei V das Gesamtvolumen und W das Wasservolumen und h die Höhe der Pyramide.
=>W/V=(h-3)³/h³ und
(V-W)/V=999/h³
1-W/V=999/h³
W/V=1-999/h³
Also: (h-3)³/h³=1-999/h³
(h-3)³=h³-999
Der Rest sah genauso aus, wie bei dir im Video.
Wenn man setzt h1= 999^(1/3) ,h = unbekannte Pyramidenhöhe,dann erhält man die Gleichung (h1/h)^3 =1 - ((h -3)/h)^3 .Man bekommt eine quadratische Gleichung mit den Lösungen h= 12 und h = -9 . Die Lösung ist also h = 12.
Respekt!!! Hast du die Aufgabe selbst komponiert?
Yesss, hat ewig gedauert 🤣🙈. Aber das ist jetzt neben Pilze sammeln echt eins meiner liebsten Hobbies: Aufgaben „komponieren“. Next Level im Vergleich zu Aufgaben rechnen, muss ich zugeben 🤣🙈😅.
@@magdaliebtmathe Ja, tatsächlich stellt das Komponieren von Aufgaben die größere Herausforderung dar. Daher hier noch ein Vorschlag für eine Zusatzaufgabe zu dem hier gestellten Problem (für echte Profis): Wäre es möglich gewesen, für beide Teilhöhen eine natürliche Zahl vorzugeben und trotzdem eine natürliche Zahl als Lösung für die Gesamthöhe zu erhalten?
@@magdaliebtmathe Bitte die nächste Symphonie, Maestra Magda! Bravissima!!
@@unknownidentity2846 Ohhh, da ist jemand vom Fach. 😍
Das wollte ich tatsächlich anfangs gern. Aaaaaber man kommt dann während des Komponierens irgendwann auf die Frage, ob a^3 + b^3 = c^3 eine diophantische Gleichung ist, sprich ob eine integer solution existiert. Und darauf hatte Fermat eine enttäuschende Antwort….. 😭😉
@@eckhardfriauf Sehr gern und sehr bald kommt mehr! 😃😃🎶
PS: Hab seit letzter Woche wieder mit Akkordeon angefangen. 🤩
Ist die p/q Formel neu? Zu meiner Schulzeit ( im letzten Jahrtausend) nie was davon gehört…
Es gibt zwei Formeln zum lösen quadratischer Funktionen. Die abc-Formel und die pq-Formel. Letztere ist eine Vereinfachung der abc-Formel für a = 1.
Bei ax² + bx + c = 0 bekommt man x = [- b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Für den Fall, dass a = 1 ist, vereinfach sich das Ganze auf x = - b/2 ± √[(b/2)² - c)], und statt der Buchstaben b und c verwendet man p und q wie bei den Hypotenusenabschnitten, deshalb pq-Formel. Diese gilt als allgemein besserzu merken, kommt aber mit dem Nachteil, dass man die Funktion erst auf die Form x² + px + q = 0 bringen muss.
Noch eine Bemerkung : die selbe Antwort würde man erhalten , wenn es eine beliebige Pyramide wäre ( schief und irgend eine Grundfläche ),oder auch
ein beliebiger Kegel.
Natürlich, weil die Figuren ja immer ähnlich zueinander sind. Und ein Kegel ist ja eine Pyramide mit Kreis als Grundfläche. Würde auch mit einer elliptischen Grundfläche funktionieren
Ich hätte einfach 3 + 3.Wrzl(999) als Höhe genommen hehe
Das Ding mit der Streckung ist der Kasus Knacktus. Bzw: Hauptsache, die Flächeninhalte der Querschnittsflächen (als Grundflächen der Teil-Körper mit geringerer Höhe) sind proportional zum Quadrat der Höhe des jeweiligen Teil-Körpers. Welche Formen diese Flächen haben und ob sie alle quadratisch sind, spielt gar keine Rolle. Wenn der Körper eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist, sind diese Querschnittsflächen aber natürlich einander ähnlich, und dass es sich um gestreckte Maße handelt, fällt sofort (bzw. besonders leicht) ins Auge.
Wenn man die PQ Formel benutzt, und somit Brüche unter der Wurzel hat, dann erkennt man die schöne Quadratzahl nicht so leicht.
Und warum soll man zwei Formeln lernen, wenn es eine auch tut? Deshalb benutze ich grundsätzlich immer die ABC Formel, auch wenn A=1 ist.
Dann bleibt man hier bei ganzen Zahlen und kriegt h = (3 ± sqrt(9 + 432))/2. Und wenn man vermutet, dass 441 eine Quadratzahl ist, kann man die Wurzel auch ohne Taschenrechner ermitteln, indem man einfach loslegt und sie in ihre Primfaktoren zerlegt, nämlich 3, 3, 7, 7. Also kriegen wir (3+21)/2 = 12.
Nicht unerwähnt bleiben sollte die Tatsache, dass s nicht konkret aufzulösen geht. Die Lösungsmenge ist Null bis Unendlich reell. Deswegen bin ich mir nicht sicher, ob es ganz sauber war bei 8:31 durch s² zu teilen. Dabei riskierst du ganz offensichtlich eine Division durch 0!
Naja, in dem Fall wäre die Pyramide eine Linie.
@@christianbohning7391 Das eigentliche Problem ist aber, dass h dann nicht definiert ist Ganz genau eben wegen Division durch 0.
Es geht hier um einen konkreten Fall mit einem konkreten Körper der natürlich ein s>0 hat, weil die Pyramide sonst nicht existent wäre, daher ist das legitim.
Nein, denn dann hätte die Pyramide keine Grundfläche und damit das Volumen Null. Aber abgesehen davon bin ich bei meinem Lösungsansatz davon ausgegangen, dass die Pyramiden ähnlich zueinander sind und s damit in einem festen Verhältnis zu h steht. Dann kann man V = 1/3 s²h ändern in V = kh³, wobei k eine Konstante ist, die sowohl das Verhältnis zwischen s und h als auch die Teilung durch 3 (Unterschied zwischen Quader und Pyramide) berücksichtigt. Und dann sieht man schon, dass s > 0 sein muss, weil wir sonst kein festes Verhältnis zu h bilden könnten.
Bin ich jetzt vollkommen neben der Spur? Ich dachte, wenn die Pyramiden gleich sind, dann sind sie auch im gedrehten Zustand gleich. Dann ist das Volumen (kleine Pyramide links) gleich dem Volumen (kleine Pyramide rechts). Äquivalent
zum Pyramidenstumph. Also auch zu den jeweiligen Höhen. Also Höhe Stumpf links gleich Höhe Stumpf rechts. Weil Gesamthöhe links gleich Gesamthöhe rechts. Wäre dann nicht etwa die Gesamthöhe links h= 3+ (dritte Wurzel von 999), wie auch Gesamthöhe rechts h = (dritte Wurzel von 999) + 3 ?
Außerdem, wenn wir jetzt wissen, daß bei Pyramide links Gesamthöhe 12 ist und Höhe Stumpf 3, dann ist die Höhe der kleinen Pyramide = 9. Daraus folgt Gesamthöhe rechts auch gleich 12 und somit Höhe Stumpf gleich 12 minus (dritte Wurzel von 999).
[ Und kann man nicht auch die dritte Wurzel von 999 ziehen? Nein, denn dann käme wohl eine Zahl heraus mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma. ] Somit also nicht 9!?
Was stimmt denn nun an der Rechnung nicht? Zumal geometisch gesehen Pyramide rechts gespiegelt zu Pyramide links ist und zwar über ihren Spitzpunkt.
_"Bin ich jetzt vollkommen neben der Spur?"_
Ja. Das blau gefüllte Volumen links ist gleich dem Volumen des Pyramidenstumpfes rechts, nicht gleich der leeren (kleinen) Pyramide rechts.
Hm - wenn Höhe 1 = "3" und Höhe 2 ~= "10", dann ist Höhe (ges.) ~= "13" - bingo! - das ist doch verdammt nahe an dem realen Ergebnis "12"!
Also - für den Hausgebrauch reicht mir das... ;-) 10 sek. Überschlag gegen 12 min. Erklärung! 🙂
Das ist aber nur Zufall. Je weiter das Flüssigkeitsvolumen vom Gesamtvolumen abweicht, desto größe ist der Fehler.
Diese Aufgabe war mir jetzt irgendwie zu hoch. Zwar sind es am Schluss nur 12 cm, aber eben doch zu hoch. Moment, vielleicht sind es ja auch 12 Meter; das würde zumindest erklären, warum mir die Aufgabe zu hoch war.
Ich hätte jetzt instinktiv den Faktor 1/3 von Anfang an weggelassen in der Erwartung, dass er sich rauskürzt. Auch war mir bewusst, dass die Fläche sich linear zur Höhe verhält. Und so hätte ich jetzt die beiden Gleichungen wie folgt einander gegenübergestellt:
(h - 3)³ = h³ - (h - 999¹/³)³
Aber diese "Kurve" war wohl doch etwas zu direkt. 😜 Na ja, so langsam schwant mir jetzt auch, warum das nicht stimmen kann: Es hat etwas damit zu tun, dass s und h im konkreten Beispiel eben nicht gleich gross sind und s nicht linear, sondern quadratisch wächst oder schrumpft. Na ja, vielleicht klappt es nächstes Mal wieder...
PS: h² - 3h - 108 = 0 lässt sich sehr gut faktorisieren zu (h + 9)(h - 12) = 0 (so kann man sich die p-q-Formel sparen)
Auch die Quadratische Ergänzung sei ergänzend ins Spiel gebracht:
h² - 3h - 108 = 0 h² - 2*h*1,5 + 2,25 - 108 = 2,25 (h - 1,5)² = 110,25 h - 1,5 = +/- 10,5 etc. ... Die Faktorisierug ist m.E. jedoch hier am elegantesten. Und zu '12 Meter`': ein Schweizer sieht diese Pyramide halt vor lauter Bergen nicht.
Die 1/3 kürzt sich heraus, genau wie das Verhältnis von Seitenlänge der Grundfläche zur Höhe. Deshalb kann man direkt mit h³ ~ V rechnen.
@@Nikioko Du meinst, ich hätte demnach aufs gleiche Resultat kommen müssen?
@@eckhardfriauf Ja, das mit den Bergen wird wohl der Grund sein. Der Niesen am Thunersee sieht ja auch aus wie eine und trägt nicht umsonst den Übernahmen "Schweizer Pyramide".
@@Waldlaeufer70 Frage: Was ist der Unterschied zwischen der Schweizer Pyramide und der Magda-Pyramide?
Antwort: Dritte Wurzel aus 13.177.701.928 vs Zweite Wurzel aus 144. Der Gipfel der Mathemalbernheit?
7:39 die Stelle war nicht nachvollziehbar. (Verdreifachen und die 3x 1/3 sind weg.. Okay, und warum?!)
Falls sich der Kanal auch an (ungeübte) Lernwillige richtet wäre ggf. etwas mehr Sorgfalt und Mitnahme angebracht.
Weil auf beiden Seiten der Gleichung 1/3 steht, und das kürzt sich weg. Das Volumen einer Pyramide ist immer Gh/3, und wenn auf beiden Seiten der Gleichung Volumina von Pyramiden (oder anderer zueinander ähnlicher geometrische Figuren) stehen, kürzen sich solche konstanten Faktoren raus.
@@Nikioko
Danke. Jetzt wo Du es sagst.
Also: 1) 1/3 auf je einer Seite kürzen (wie man es kennt. Es verbleibt 1/3 "auf der rechten Seite vom =" 2) Beide Seiten durch 3, wodurch nur die linke Seite geteilt wird, und rechts kann man es (ohne Rechnung) wegkürzen. // Ich fand und finde es schade wenn man Schritte aus lässt, seien diese auch für einen selbst ganz klar. (Gute Lehrer und "normale" Lehrer..) Denn manchmal "hängt man eben" irgendwo, und kann dann nicht mehr folgen. // VG
@@ralflaola2173 Naja, das ist natürlich grundsätzlich recht so, aber andererseits ist das ja schon eine Aufgabe auf einem Niveau auf dem man diesen Sachverhalt als bekannt vorraussetzen darf.
@@ralflaola2173 Zur Klärung: bei 7:33 steht vereinfacht die Gleichung 1/3 x = 1/3 y - 1/3 z.
Da kann man zunächst das Distributivgesetz anwenden: 1/3 x = 1/3 (y - z).
Und danach kann man dann auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren (oder durch 1/3 teilen), damit das 1/3 rausfällt: x = y - z
Magda hat das nur in einem Schritt gemacht und ist direkt von 1/3 x = 1/3 y - 1/3 z zu x = y - z gegangen.
@@TigruArdavi Kann sein, aber der Rest war logisch nachvollziehbar und wurde kommuniziert. Auch wenn ich die sog. binom. Formeln und pq nicht drauf habe ist es nachvollziehbar dass es sich um eine Regel handelt* die bestätigt funktioniert. Und das schöne für mich war zu erkennen dass ich heute Mathematik verstehe, es eigentlich schön und schlüssig ist. Einfach nur eine spezielle Art zu denken. Letztlich darf man sich nur nicht verschreiben. (Das war zu Schulzeiten anders. Und deshalb bin ich wohl "etwas sauer" wenn man Rechen-Schritte! nicht deutlich und stringent kommuniziert.) // Es gibt Leute die brauchen eine gewisse Aufgeräumtheit um zu funktionieren, dann wird alles relativ einfach. (Nungut "genug der Tränen" : )
*höhere Mathematik ist wenn man solche Regeln auch logisch, vor dem inneren Auge, nachvollziehen kann. Eine ganz andere Liga, als die Begabung sich nur der Anwendungen erinnern zu können (Nachahmung. Wie Labormäuse die durch Übung den kürzesten Weg zum Käse finden.)
Lösung:
Die Formel für das Volumen einer quadratische Pyramide mit der Grundseite a und der Höhe h ist: VP = a²*h/3
Das Volumen der Flüssigkeit sei V. Dann ist die umgedrehte Pyramide gefüllt mit:
(1) V = b²*(h-3)/3, wobei b mit dem Strahlensatz zu berechnen ist. Es gilt:
(2) b/a = (h-3)/h ⟹ (2a) b = a*(h-3)/h |(2a) in (1) ergibt:
(1a) V = [a*(h-3)/h]²*(h-3)/3 = a²/(3h²)*(h-3)³
Die aufrechte Pyramide ist ebenfalls gefüllt mit V:
(3) V = a²*h/3-c²*³√999/3, wobei c mit dem Strahlensatz zu berechnen ist. Es gilt: (4) c/a = ³√999/h ⟹ (4a) c = a*³√999)/h |(4a) in (3) ergibt:
(3a) V = a²*h/3-[a*³√999)/h]²*³√999/3 = a²*h/3-a²/(3h²)*999
Es muss sein: (1a) = (3a) ⟹
a²/(3h²)*(h-3)³ = a²*h/3-a²/(3h²)*999 |*3h²/a² ⟹
(h-3)³ = h³-999 ⟹
(h²-6h+9)*(h-3) = h³-999 ⟹
h³-9h²+27h-27 = h³-999 |-h³+999 ⟹
-9h²+27h+972 = 0 |/(-9) ⟹
h²-3h-108 = 0 |p-q-Formel ⟹
h1/2 = 3/2±√(9/4+108) = 3/2±√(9/4+432/4) = 3/2±√(441/4) = 3/2±21/2 ⟹
h1 = 3/2+21/2 = 24/2 = 12 und h2 = 3/2-21/2 = -18/2 = -9 entfällt, da negativ
Die Pyramide ist also 12 Längeneinheiten hoch.