どうして球の表面積は円の面積の4倍なの？

[@user-bw4yi2ii5p]

球の表面積が、円の面積の丁度4倍になるの美しい

[@user-gb8xu6ll6x]

球に限った話ではない、から、おもろくなる。

[@ppe3994]

求め方であって、「理由」ではない

[@user-mh5gu9qt1j]

これが全て

[@user-bj2zo8bs8e]

仮定と結論の自明さが全く変わらんので、特に理解しやすくなったわけでもない

[@user-jh5kb7md1q]

だれか詳しく教えて

[@So-fh6xc]

2個目のコメントを解説するなら「理解しやすくなった」とは「仮定の自明性（当たり前感）」と「結論の自明性」で比べて結論の方が自明性が高いと言えること
「1+1=2」は私達が「当たり前」だと思う算数の問題だが「1+2=3」や以降の足し算はその当たり前をもとに考えられている。
この場合1+1=2があることで1+2=3が求められるから「仮定をもとにした結論」というのが成り立つ。
ここまでが2番目のコメの解説？
コメ主は
今回の問題は仮定を使わなくても結論が求められるから「理由じゃない」と言ったのではないかと…
体積が4πr^2になる「理由」はx^2+y^2=r^2っていう円の方程式の4分の1（90℃の扇形）を「回転させる公式（数学3）」を使うことで導ける…はず…？
x^2+y^2=r^2(^は累乗記号とする)
をyについて解いて
・積分範囲を0からπ
・積分する関数をx≧0,y≧0で考える
・積分した体積を2倍する
と考えれば求められるはず

[@glaceonlover5887]

球の体積は積分によって求めることが出来るという前提をこの動画では明示されていないが、その前提を認めた上では、表面積はこの動画のように求められる。
また、後半で言っている一般の図形では厳密には凸な図形に限定いたときのみ正しい。

[@kapibara6737]

求め方はすごい分かりやすかったが、なぜ影の4倍になるのかという理由は分からんかった。

[@DocHololistener]

ちょうど４倍ということで、微積分の過程を踏まずに上手いこと説明する方法があっても良さそうだと期待しますよね ...
ただ、球面が可展面でない以上 やはり避けて通れないのだろうと 諦観しています

[@user-kd4vu8qd7u]

球の表面積を説明する動画は球の体積を使い、球の体積を説明する動画は球の表面積を使う。

[@fate7092]

球の体積の説明で表面積って使うんですか？

[@user-kd4vu8qd7u]

@@fate7092
使ってない動画もあるけど、使っている動画多いですよ。

[@user-bo4pw2cp5g]

@@fate7092
球の中の小さい四角錐を考え、四角錐を無限に細かくすると四角錐の底面はほぼ平面になる。全て埋めると底面の合計は球の表面積4πr^2に等しくなる。
この四角錐の体積の合計を考えると、高さは半径に等しくなるので1/3×r×4πr^2=4/3×πr^3となる。体積の合計は球の体積に等しいので、級の体積の公式は4/3×πr^3となる。

[@akirasogabe4889]

​@@fate7092
球の表面積を半径で積分すると体積になります。

[@kon4konq984]

断面積で積分すれば体積は求まる

[@user-zl6oz1yc7d]

体積を利用します
微分します
以上

[@Pokemon_maggyo]

体積の公式が成り立つ証明をしないといけないね
2重積分しましょう

[@user-sn1lx8ox6p]

解析的に計算した結果じゃなくて図形的に意味があるかどうかの話だと思うよ

[@user-kp6cs4el2w]

この内容で動画作ったらコメ欄荒れそうだな…

[@appelbaum2034]

これはたまたまじゃない？
体積を微分して表面積になるの意味わからん

[@mokkymultiple]

@@appelbaum2034どっちかって言えば表面積を積分すると体積になるって考えると分かりやすいかも
球の表面積を0からrまで全部足していけば図形的にはミルフィーユみたいに球になるよねって感じ

[@veronica3181]

体積利用するなら微分でええねん

[@sim_mikan]

体積求める時に表面積使った記憶があるのは私だけ？

[@f-km7er]

すごいと思ったけどよく考えたら影の面積の平均とかどうやって測るんだよ

[@waiwai._.26]

期待値説ないですか？

[@user-bc5ng5kh7p]

​@@waiwai._.26何百くらいやったらあとは期待値やな

[@komusasabi]

物体の回転を制御するパラメータを３つ入れて、それぞれの面積をそのパラメータの関数として、３重積分して、パラメータを動かす範囲の体積で割る。
ちなみに平均速度は時間というパラメータ（実数）で割る。時間の場合は１変数だが、
３次元の物体の回転はｘ方向ｙ方向ｚ方向か原点からの距離、緯度、経度（極形式の場合）の３変数。
だと思われる。もちろん、ランダムに向き決めて十分なサンプル数で割る期待値をとると離散的な期待値の近似値として使える。
統計の正規分布などを学ぶと連続値の確率の計算をするには、密度関数の積分として学び、
更に期待値の定義も密度関数が絡んだ積分によることを学ぶ。

[@moroha10085]

まとめると、乱数でも求められるけど、多分角度を変数とするような影の面積関数を考えて積分したほうが良いよってことと、モンテカルロ法でするなら角度は飛び飛びの値じゃないから、確率密度と積分を使った特殊な方法になっちゃうかもねって言うことかな？

[@komusasabi]

乱数を使った計算は、近似値。
連続な多次元な確率分布に従った（例：多変量正規分布）確率変数の期待値は密度関数を用いた積分で定義しますよね？
この動画では回転に相当するパラメータを入れて、そのパラメータを多次元の一様分布に従わせて、そのときの影の面積の値の関数を積分しているのではないでしょうか？ということをいいました。

[@azuma3520]

循環論法にならないの？

[@user-ij2nn7bi8d]

積分の次元を落とすガウスの定理っていうのがあってだな

[@Elizabeth-Y_LY]

体積の証明が抜けてますね

[@yomibito_sirazu]

正確には全ての立体ではなく、凸閉曲面にのみ成り立つんだったような？
証明が中々エレガントで面白い現象のうちの一つですね

[@user-hy1if4yz4q]

循環論法過ぎる

[@user-qu7ki1cj5w]

レリエルは極薄ATフィールドに像を投影しているだけなので、影(実体)としましま(像)が同じですね

[@basakmi]

なっつ。レリエル使徒で1番好きだった

[@switch-stop]

影の話でちょうどエヴァ思い出したわ

[@hu72365hucty]

1/4球の表面を変形したら円になるって事だよな。

[@inazuchi500]

球の体積を半径について微分(d/dr)したらそのまま表面積になるのね。逆の積分も然りだけど
全て原点から同じ距離で構成されてるっていう大前提があるからなのかね。

[@user-cu3wx3qm4v]

上からみた円、下から見た円、右から、左からそれぞれ見た円の足し算と見ると面白い。

[@user-xg2cb8hu6x]

3次元が2次元を内包しているのがわかりそう

[@megane_megane]

途中から耳がどっかに行ってた

[@user-hk4ir8mk1b]

「どんな立体も」？凹みがあってもなるのか？って思ったけどやっぱならないのか（？）
影じゃその凹みの有無は区別できないよね

[@YsDark1027]

昔の謎が今解けた
表面積の2次元と三次元で関係なにか関係ないかなぁとは思ってたけど平均をとるのかぁと納得した

[@user-lu8zu7ol8h]

いや、これ影の平均取るって時点で球の話に戻ってる

[@YsDark1027]

所詮高1の知識なんで間違ってたらすいません
2次元を基準に考えたら円の場合は4倍、立方体は6倍になるのは分かる
この動画の場合は投影だから3次元を基準に考えてるのかな？と思った

[@user-lu8zu7ol8h]

@@YsDark1027 すみません、言葉足らずで食い違ってしまったかも…
影の平均を取るためには3次元物体を様々な方向に回転させる必要があり、その3次元物体の平均は球になると思ったので、「影を平均する」という操作を行うと結局は球の話に戻ってると考えました。

[@YsDark1027]

あ、たしかにそうですね(ﾟ∀ﾟ)
自分の頭が足りてなかったですw
たしかに同じ円形なら4倍になりますわな

[@のーまるぱーそん]

次元を一つあげるんだから、積分しなきゃ損だろう？
∫4πr²dr=4/3πr³+C
r=0の時上の式は0になるのでC=0である
よって球の体積V= 4/3πr³

[@googleluna8575]

たまにたまたま……黙ります

[@noia1202]

やっぱ数学は面白いなぁ

[@enporio_jojo]

球を四角錐で計算するとそこの部分が平らだから面積も体積もおかしくなるのでは？

[@user-ww3jt7kb9m]

曲面か平面か分からなくなるほど細かくしたら同等に扱えるってことやろ
そもそもこれ以外にも証明方法は山ほどあるからこの証明方法が間違ってたら他も全部ダメになるからそれは有り得ない

[@enporio_jojo]

@@user-ww3jt7kb9m
調べた限り一緒に扱ってますね…
腑に落ちないけど納得するしか無いでしょうね( ´～｀)
やはり数学は難しいです

[@Remtaro95]

円の場合、非常に多くの扇形に分割して・・・中略・・・扇形を二等辺三角形とみなしても問題ないわけで、
それを3次元に拡張したと考えられますね。

[@user-wg8hi1dn2v]

@@enporio_jojo実際にはこの動画の比較にならないほど細かく、というか無限に小さい四角錐を考えるので、近似ではなく完全に一致します。
1=0.999…が真に成り立つのと同じことです。
ただし「限りなく小さく」という極限の考え方自体曖昧さを含んでいるので、恐らくそこが引っかかりますよね。(限りなく小さくしても必ず誤差はあるだろうと)
これについては主にε-δ論法を用いると、数学的に厳密な定義ができます。
なので無限小の円錐の総和は球の表面積と同値です。

[@aquacrown9654]

基本的に曲がったものはすごくちっちゃい真っ直ぐの集まりで考えるのが曲面や曲線の理論
難しいから誤魔化してるだけと思いきや、そもそも曲がっている状態をちゃんと理解しようとすると結局真っ直ぐが必要になる
定規なしで世界を測ることはできない

[@wowwow7620]

どんな立体の表面積も、って事は無いでしょ
抉れていたら表面積は増えるけど影の面積は増えないよ

[@user-ww3jt7kb9m]

話の趣旨を理解する能力限りなく低そう

[@user-dq3ht9st5h]

凸立体ってことぐらい察しろよ。

[@mukade_100legs]

​@@user-dq3ht9st5hどんな立体もと言っちゃってる以上この疑問はしゃーなしやで

[@yeye5418]

​@@user-dq3ht9st5h数学における「察する」ってなんやw

[@user-dq3ht9st5h]

@@yeye5418
・『S』と言われただけで、それが面積の文字であることを理解すること。
・『Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F＝0』と言われただけで、2直線などの特殊なケースは除外して考えるのだなと理解すること。
・『∫ f(x)dx＝〜』と言われただけで、f(x)が実数ℝ上で連続かつ微分可能ないわゆる『行儀の良い関数』であることを理解すること

[@ARAK9990]

キングクルールが出してくるようなトゲ鉄球みたいな場合でも４倍ですか?

[@user-ln9qi4xx9t]

半円の弧を゙1回転させたら球体の表面積と理解してる。

[@yudai_baseball]

マイキー「あ、一橋や」

[@しぶさわの息子です]

文系が文系に説明するのね

[@Luna-ld1ci]

細かい四角錐に分けた物が球である→分かる
そのため1/3rsを無限に足した物が球→分かる
つまり1/3r(s+s+…)になる→分かる
だから球の表面積は4πr²になる→( ᐛ)ﾊﾞﾅﾅ

[@100EIZO]

とりあえず私には、1分足らずで理解するのは不可能だった

[@nikuzumenopiman]

平均とる考えはハッとしたわ

[@user-rd6bm8ce2x]

逆に1％の人がコレ知ってるのか……

[@sena-2867]

半径で積分するだけでは…

[@777imatti]

影の4倍って不思議!

[@YuYu37758]

3青1茶で使われてた画像とか図そのまま使ってない？

[@user-nn2wy2un7k]

ディラックの海

[@kewyoyo]

4次元の球(?)なら表体積は8πr³になりそう

[@user-zo7zz3gl1v]

直交する二つの円を無限個のリングに分割して重ならないように広げる、こうすることで三次元的にどこから見ても円である球が完成するはずです

[@shogoshigeta6696]

これって逆向きに球の体積を求めるときに使う話では？

[@QRCODE-MAN]

月に写った地球の影の大きさに4掛けたら表面積わかる？？？

[@plan813]

体積をrで微分、でも良いのかな？

[@user-sh8tu6oh1t]

2^2で4なんですか?
錐体が1/3になる理由を問いたい…

[@gunman951]

なるほど、わからん

[@user-lo7pl8du2d]

射影幾何学みたいなやつなのかな

[@goheaven-denpa]

球の体積を微分したらなんか表面積になるんだけど、なんか関係あんのかなぁ？

[@user-eg5gn2ji7z]

すげぇΣ(ﾟДﾟ)ｽｹﾞｪ!!

[@hiroya1192]

球の体積を微分すると表面積になるのはなぜ？n次元球でも同じ?

[@panipani-]

最初から最後まで何言ってるかわかんない😊

[@user-im1ze3je8v]

素人質問で恐縮ですが…

[@Hai-iro-Watch]

あぁ…理解出来る内容が来た🥲ﾖﾛｺﾝﾃﾞﾏｽ

[@tak_pooh9652]

ではなぜ球の体積が4πr³/3になるのか？
様々な方法があるがここでは球の表面積が4πr²になる事を利用しよう以下略

[@sympa5805]

なんで円の体積が4/3πr^3なのかを説明しないと意味無いような

[@user-sq5qw9vm6t]

99%の母数は何？人類？

[@user-ux3wr9ps3e]

それってたまたまでしょ
球だけにってか？

[@soichiropaul]

それってたまたまでしょ？　球だけにな

[@RT-2PM]

タマタマ

[@user-gb8xu6ll6x]

ほっこりしました

[@ittousaiBL]

皆さん地獄の空気でさようなら

[@user-vj4jm2fr9d]

円周長を求める式が2πr
円周長とは平面的に切り取った球の表面積の一部である。
円周長を直径を中心に回転させると球の表面積になる。
この広がりを得るために、直交する2r(直径)を掛けると平面だった円周長に面が生まれる。
2r×2r×π=4πr²
みたいな理解をしていたのだが、ダメなのか？

[@user-vv2ub7bt7f]

円周に2rかける計算だとイメージしにくい。(筒になってしまう)
回転させて表面にする操作は、半回転分を積分するのが一般的だと思う。

[@user-vj4jm2fr9d]

@@user-vv2ub7bt7f
あー、やっぱりそうなのかorz
円周に2rを掛けると円柱になりそうってイメージは何となくわかるんだけどね。
式的に
2πr×2πr=4π²r²(円周に円周を掛ける)
とかなら球になるって言われても「あぁ、なるほど？」ってなりそうだけど。
実際はπ1つ掛けただけ、別の言い方だと「底の円周に高さを掛けただけ」(2πr×2r=4πr²)で球の表面積になるから、なんだそれとは思うよなぁ。
ただ、これは個人的なことで申し訳無いけど、微積周辺がどうも理解できてない人間なもんで、回避して理解しようとするとこうなってしまうという。
まぁ、微積で理数系に挫折した人間の戯れ言だと笑って欲しい。
またちょっと数学勉強し直してみようかなぁ。

[@user-vv2ub7bt7f]

@@user-vj4jm2fr9d 微分の定義は微小量割る微小量で、xを増やした時にyがどれだけ増えるかです。球体の径をほんのわずかに増やした場合、増える体積は表面積になります。だから体積の微分が表面積です。
逆に言うと、タマネギのような表面積を全部集めると体積になります。これが積分。
表面積ではなくて別の切り方でも積分は作れるので、上手くイメージ出来る切り方があればその式も作れるかもしれません。

[@mizmori9106]

そりゃあ昔から球の体積をrで微分したら面積になると思っていました。
もっと直感的な説明をくださいな。

[@user-io5oj3kh8k]

これはまず本当に四角錐に近似可能か議論しなきゃダメじゃね？

[@user-dq3ht9st5h]

近似可能ってなに？(笑)
別にどんな図形だろうと、近似は可能でしょ。

[@user-io5oj3kh8k]

@@user-dq3ht9st5h じゃあ君は正20角形を円に近似するのかい？そういうこと、近似可能かどうかは全く自明でない。

[@user-dq3ht9st5h]

@@user-io5oj3kh8k
円を正20角形で近似できるか？
うん、もちろん出来るよ。かなり精度の良い近似だね。

[@ta1523]

​@@user-dq3ht9st5h
ガチガ○ジかな？
こういうやつはワイエルシュトラス関数とかに対しても「微分可能」って言っちゃうんだろうな

[@user-io5oj3kh8k]

以上です裁判官（月曜から夜更かし風）

[@shinjiyoshizawa9355]

なるほどわからん

[@kitiku_robot]

球だけにタマタマでしょ？てか

[@user-ux1ll4vu4l]

ふーんなるほど？わからん。

[@takonasu614]

心配あーるにって覚えてたな

[@user-bh9id8ku5v]

途中で獄門殭出てきて草

[@user-gm6tq7do4y]

はえー

[@botenuko]

どんな立体もの説明がちょっと間違ってる言い方
自分の影が夕日で伸び切ったとき図ってみればわかる

[@user-dj8sb8kg8l]

何言ってるか分からんし・・・

[@FREED_N-ONE]

うーん分からん

[@user-ji8sb3hg8y]

おっそうだな

[@flytakesi7478]

いや普通に球を上、下、右、左から見たらその面積ってそれぞれπr^2やろ。ほな4倍やん。
補足】まず、球を半分にした半球を考える。
これを上から押し潰して円にしたらその面積はπr^2。
でもその円を紙だと考えたら、紙の横（暑さ）の面積も考慮しなければならない。
ならば、球を今度は正面から縦に半分にした半球を考える。そして、右側の半球なら右側から押し潰して円にすれば、その面積は円となる。
同様にして、左側面と下側面も考えたら、πr^2となるのは当然。
補足2】そもそも面積ってのは2次元だから、ベクトルが２つしかないから、どのように複雑な立体を考えようと、2方向のプラスとマイナス（x軸なら、プラス方向が左でマイナス方向が右）だけ考えれば言い訳で、2×2=4になる訳だな。

[@user-ww3jt7kb9m]

こいつの証明方法むちゃくちゃ過ぎて草
まず半球を押し潰したらその分円は大きくなるから半径も変わるし、
なんで違う方向から押し潰したら厚さを考慮したことに出来るのかもわからないし、
なぜ円を斜めとか他の方向から見る必要は無いのかもわからない
根本的なこととか挙げ出すとキリがないから一旦ここで止めるけど、自分の言ってる方法で実際に証明してみたら？
あまりにも意味わからんこと言ってて何言ってるのか全くわからんで

[@flytakesi7478]

@@user-ww3jt7kb9m 押し潰して円広がるのって「体積」やで？笑
「表面積」なら上から押し潰したら円になるで。
まずお前が体積も表面積も分かってないってことが証明出来たよ。お疲れ様〜🙏

[@user-ww3jt7kb9m]

@@flytakesi7478 ？？？
日本語がおかしくて何言ってんのか理解できん
『押し潰して円広がるのって「体積」やで？』
まずこれが何言ってんのかわからん
君の日本語がまともなら余裕で反論できるけど、そもそも文章がおかしいから会話を成立させること自体できないんやが
まあこんな意味わからん証明方法持ってくる時点で頭がアレなんは想像出来てたけど
てか自分で自分のコメントに高評価やばいな

[@user-tokotoko334]

数学で「その円を紙だとしたら」とかいう表現が出るの面白すぎるだろ

[@user-ge5tv1vm6j]

全然説明になってないぞ。
論証力大丈夫か？

[@user-er9gc5mb8t]

ようするに立体の影の面積と表面積の比率が一緒なのか

[@user-dr8rj1ng3e]

それってあなたの感想ですよね アダムの歩いてすぐそうやって何にも反論するんですけど なんかそういうデータあるんですか

[@KO-ez8qx]

じゃあ、1辺が1mの正方形が作る影の面積の平均値も1/4で、それを4倍すると1になって正方形の面積になるってことだよね？その法則が次元を変えても成り立つなら表面積の公式として認めてやってもいいよ

[@KiKi_RaRa]

影って立体に光を当てたときにできるものなのに、奥行き0の正方形の影ってどう定義するの？

[@KO-ez8qx]

@@KiKi_RaRa 平面に光当てても影できるだろ

[@KiKi_RaRa]

@@KO-ez8qx
それ平面じゃなくて薄っぺらい立体じゃない？
そもそも光は奥行きないと当てれないんだから二次元で影なんてものを考えること自体ナンセンスでしょ

[@KO-ez8qx]

@@KiKi_RaRa 奥行ゼロでも面はあるだろ。面があれば光を遮断できるから影できるじゃん。

[@KiKi_RaRa]

@@KO-ez8qx
じゃあその光は一体どこから当てるのよ
手前も奥も存在しないんだから光を当てようがないでしょ

[@user-zg5mv6qg2g]

昔教えてもらった野球ボールを展開して考えろってのが凄く分かりやすかった

[@tagomagotagomago]

なるほど、わからん