【むずかしい】防衛医科大学校2024年度数学第5問

[@みふゆもあ]

誘導を無視して解きました😊
AH=1,HC=√3として、
BH=tan40°,HE=BHtan20°から、
HE=tan20°tan40°.
∴ tan∠CEH=(√3)/(tan20°tan40°).
tan40°=tan(30°+10°),tan20°=tan(30°-10°),
tan10°=t,tan30°=sとして正接の加法定理により
tan20°tan40°
=(ss-tt)/(1-sstt)=(1-3tt)/(3-tt).
また、正接の3倍角の公式により
tan30°=(√3)/3=(3t-ttt)/(1-3tt).
これら2式から
tan∠CEH=(√3)×(√3)/3t=1/t.
t=tan10°であるので
tan∠CEH=tan80°, ∴∠CEH=80°.
この関係式（(√3)/(tan20°tan40°)=tan80°）を使うことで、問題の式の値は
(tan50°tan70°)/(tan60°tan80°)
=(tan30°)/(tan20°tan40°tan80°)=1/3.

[@nakaken88-math]

コメントありがとうございます！ tan10°=tとおいて考えるのは、前半部分を解く上では自然な発想なんですが、tan30°もtを使って表すという方針が思いつきにくいんですよね。。。（値がわかっているものをわざわざ文字で表さないといけないので）

[@karyu_otomo]

直線CEのさきに直線引くだけで解けました。

[@nakaken88-math]

コメントありがとうございます。もしよければどうやって解いたのか、教えていただけますか？