was ist wenn man einfach genau die gleiche Menge nimmt also das offene Intervall von 0 bis 1, wäre das dann nicht eine offene Teilüberdeckung aus endlichen Gliedern, oder ist dieses offene Intevervall keine Teilmenge von diesen unendlich vielen (müsste es doch eigentlich sein, da es genau die gleich Menge ist wenn man all diese unendlich vielen intervalle vereinigt?) Ansonsten sehr gute Erklärung
Wenn ich deine Frage richtig verstehe würde ich es so beantworten: Das Schlüsselwort is hier ‚jede‘ offene Abdeckung. Also kann man beispielsweise beim ersten Beispiel (Der kompakten Menge) keine offene Abdeckung ohne die grünen Bereiche machen, beim Zweiten allerdings schon. Eine einzige solche Abdeckung reicht schon, da dann das ‚jede’ nicht mehr zutrifft. Du kannst somit eigentlich nur schwer direkt beweisen dass eine Menge kompakt ist und ein Beweis durch Kontraposition oder Widerspruch ist empfehlenswerter.
@@shinysteve9965 Hi, danke für die Antwort. Ich meinte damit, dass die Menge des Offenen Intervalls von 0 bis 1 das endliche Teilsystem ist, welches es dann zu jeder offenen Überdeckung geben müsste. In seinem Video hat er ja als Beispiel einfach genau die gleiche Menge genommen, und diese dann mit diesem Grenzwert definiert, ich frage mich jetzt, wenn ich nun wieder genau die gleiche Menge nehme, nur halt ohne den Grenzwert, ob es dann nicht eine endliche Teilüberdeckung sein müsste. Und diese endliche Teilüberdeckung müsste man sich ja zu jeder Menge denken können, da es ja genau die Menge ist. (Ich hoffe du verstehst was ich meine, finde es schwierig sowas über die Komments zu erklären, aber wahrscheinlich habe ich dort irgendwo einen Denkfehler)
Ich denke, dass das Problem dabei ist, dass das Intervall, in deinem Fall (0,1), nicht in jeder offenen Überdeckung von (0,1) entfallen ist. So könnte man zum Beispiel (0,1) auch mit (-¼,¼)U(0,½)U(¼,¾)U(½,1)U(¾,1¼)U... überdecken. Diese offene Überdeckung hat zwar eine endliche Teilüberdeckung von (0,1), was nicht der Fall sein müsste, da (0,1) als offenes Intervall nicht kompakt ist. Diese offene Überdeckung enthält dann aber beispielsweise nicht (0,1) selbst. Eine Teilüberdeckung ist zudem nicht eine Teilmenge all der Überdeckungsmengen sondern eine Überdeckung, bestehend aus endlich vielen dieser Überdeckungsmengen. LG
was ist wenn man einfach genau die gleiche Menge nimmt also das offene Intervall von 0 bis 1, wäre das dann nicht eine offene Teilüberdeckung aus endlichen Gliedern, oder ist dieses offene Intevervall keine Teilmenge von diesen unendlich vielen (müsste es doch eigentlich sein, da es genau die gleich Menge ist wenn man all diese unendlich vielen intervalle vereinigt?)
Ansonsten sehr gute Erklärung
Wenn ich deine Frage richtig verstehe würde ich es so beantworten:
Das Schlüsselwort is hier ‚jede‘ offene Abdeckung. Also kann man beispielsweise beim ersten Beispiel (Der kompakten Menge) keine offene Abdeckung ohne die grünen Bereiche machen, beim Zweiten allerdings schon. Eine einzige solche Abdeckung reicht schon, da dann das ‚jede’ nicht mehr zutrifft. Du kannst somit eigentlich nur schwer direkt beweisen dass eine Menge kompakt ist und ein Beweis durch Kontraposition oder Widerspruch ist empfehlenswerter.
@@shinysteve9965 Hi, danke für die Antwort. Ich meinte damit, dass die Menge des Offenen Intervalls von 0 bis 1 das endliche Teilsystem ist, welches es dann zu jeder offenen Überdeckung geben müsste. In seinem Video hat er ja als Beispiel einfach genau die gleiche Menge genommen, und diese dann mit diesem Grenzwert definiert, ich frage mich jetzt, wenn ich nun wieder genau die gleiche Menge nehme, nur halt ohne den Grenzwert, ob es dann nicht eine endliche Teilüberdeckung sein müsste. Und diese endliche Teilüberdeckung müsste man sich ja zu jeder Menge denken können, da es ja genau die Menge ist. (Ich hoffe du verstehst was ich meine, finde es schwierig sowas über die Komments zu erklären, aber wahrscheinlich habe ich dort irgendwo einen Denkfehler)
Ich denke, dass das Problem dabei ist, dass das Intervall, in deinem Fall (0,1), nicht in jeder offenen Überdeckung von (0,1) entfallen ist. So könnte man zum Beispiel (0,1) auch mit (-¼,¼)U(0,½)U(¼,¾)U(½,1)U(¾,1¼)U... überdecken. Diese offene Überdeckung hat zwar eine endliche Teilüberdeckung von (0,1), was nicht der Fall sein müsste, da (0,1) als offenes Intervall nicht kompakt ist. Diese offene Überdeckung enthält dann aber beispielsweise nicht (0,1) selbst. Eine Teilüberdeckung ist zudem nicht eine Teilmenge all der Überdeckungsmengen sondern eine Überdeckung, bestehend aus endlich vielen dieser Überdeckungsmengen. LG