【二項係数の攻略】合否を分けた1行入試問題（慶應義塾大）

[@mattchan10]

大学受験からは少し脱線しますが、二項分布の確率分布からの期待値分散の求め方とほぼ同様ですね

[@ojamesi8683]

別解を思いついたので共有します（微分を考えないやり方です）。以下、nCk をBinom(n,k)と表記します。
まず二項係数を階乗の積で表すことにより
Σ[k=0,n] k Binom(n,k)
= Σ[k=0,n] k n!/{ k! (n-k)!}
= Σ[k=1,n] n (n-1)!/{ (k-1)! (n-k)!}
= n Σ[k=1,n] Binom(n-1,k-1)
= n 2^(n-1)
となります。同様な考えはΣ[k=0,n] k(k-1) Binom(n,k) の計算にも応用でき、この値は n(n-1) 2^(n-2) となります。したがって
与式
= Σ[k=0,n] {k(k-1)+2k} Binom(n,k)
= Σ[k=0,n] k(k-1)Binom(n,k) + 2 Σ[k=0,n] k Binom(n,k)
= n 2^(n-1) + 2 n(n-1) 2^(n-2)
= 2^(n-2) n (n+3)
と求めることができます。ちなみにMisson問題についても「1/(k+1) を使って(nの式)×二項係数の形にする」意識で変形するとうまく行きます。

[@なそ-m1x]

こっちが定石だと思ってたから微分の解法知らなかった😢

[@medjed_kk]

微分とかより真っ先に↓を思いついた
(nCk)(kCr)=(nCr)(n-rCk-r)を用いると
k(k+1)nCk
=k(k-1)nCk+2k(nCk)
=2(nCk)(kC2)+2(kC1)(nCk)
=2(nC2)(n-2Ck-2)
+2(nC1)(n-1Ck-1)
=n(n-1)(n-2Ck-2)+2n(n-1Ck-1)
よって
Σ[k=0,n]k(k+1)nCk
=0×1×nC0+1×2×nC1+Σ[k=2,n]{n(n-1)(n-2Ck-2)+2n(n-1Ck-1)}
=2n+n(n-1)2^(n-2)+2n×2^(n-1)-2n
={n(n-1)+4n}2^(n-2)
=n(n+3)2^(n-2)

[@山本-h2f]

数式をTeXで作成するとサムネがより美しく見えますよ！

[@mathseeker2718]

解けました。
k(k+1)をkとk-1で表すことができるかどうか、あとは二項係数に慣れているかどうかの問題ですね！

[@くま-j2p5b]

宿題のやつは積分するのかな？

[@illumina6057]

k nCkなら階乗で表すだけでnを外に出せるので、k(kｰ1)+2kにすれば普通に計算できる

[@00_second]

xかけて2回微分してx=1代入でできませんかね？2項係数とk(k+1)を見たらΣnCk x^(k+1) とその2階微分Σk(k+1) nCk x^(k-1) が思いつくので。

[@kjn2142]

(n+1)C(k+1)=nCk+nC(k+1)
から求めるのもありだね
受験生はコンビネーションの式変形有名なもの2つを覚えておこうね(上のやつがひとつ)

[@愛してるゴンザレス]

ベルヌーイ数みたいやな

[@____._.imomgmg]

ｍｅｍｏ
nが出てきたら検算する
まずは具体的に考える
使おうが使わまいがしっかり考えてあげて、実験や検算に使える
困ったら原理原則に基づく(公式をしっかり書く)
代入なのか微分なのか それ以外か