[ENG SUB] Canada Math Olympiad geometry

This is a math Olympiad problem explaining how the intersection of a circumcircle bisects a line segment. It looks simple, but it’s quite challenging, haha
www.flaticon.c...
#math #olympiad #canada #geometry

[@changseobkim4954]

이렇게 생각해봤습니다
우선 삼각형BEF의 외심을 O, CE와 원의 교점을 P라 하고 P가 CE의 중점, 즉 M임을 보이겠습니다
각CEB는 ㅠ/2 - 세타입니다
(각ACE=각ECD:=세타)
그러면 각 POB=ㅠ-2세타입니다
각POB는 각CEB의 중심각이니까요
한편 삼각형OFB는 이등변삼각형이고,
각OBF=2세타니까
각BOF=ㅠ-4세타입니다
따라서
각POF=각POB-각BOF=2세타이므로
각POF=각OFB=2세타인데
이 두 각은 엇각 관계이므로
PO와 FB는 평행합니다
즉, 두 직선은 모두 EF와 수직이고,
특히 PO는 EF를 수직이등분합니다
(삼각형OEF가 이등변삼각형)
그러면 삼각형 CEF의 관점에서 중점연결정리에 의해 P는 M일 수밖에 없습니다

[@崔允豪]

∠ACB가 왜 직각이죠? 직각임을 보여야 할 텐데요.
혹시 문제의 조건을 누락하셨나요?
시작하자마자 직각삼각형 ABC라고 하시는 것 같은데...
(그러면 시간 낭비에 헛고생이;;)

[@joohyungsuh1483]

문제 조건입니다.

[@崔允豪]

@@joohyungsuh1483 그러니까 그 조건이 썸네일에도 문제 시작시 그림에도 없어서 저런 형태의 모양새가 결정되지 않기에 고민했다는 겁니다. (썸네일만 보고 도전했다가 고생했다는 뜻이죠.)

[@joohyungsuh1483]

@@崔允豪 맞아요ㅠㅠ

[@ss-bb9uj]

사실 문제 풀이 순서를 따지자면 EMB가 직각이어야 하는 것을 먼저 확인하고, EMB가 직각이 되려면 CBE가 이등변 삼각형이어야함을 생각해서 각BCM = 각BEM 인지를 확인하는 흐름으로 가는 게 자연스럽죠. 목적의식 없이 각을 체크하다보니 각BCM = 각BEM을 먼저 확인하는 것보단...

[@pakejames2788]

정답지용 풀이죠 ㅎㅎ

[@joohyungsuh1483]

[다른 증명]
직각삼각형 BEF의 외심을 O라 하면, O는 EB의 중점이다.
또한, M은 EC의 중점이므로 중점 연결 정리에 의해 OM // BC이다.
(각 EMO)=(각 ECB)=90-a=(각 MEO)이므로 OM=OE
따라서, OM=OE=OF=OB => M, E, F, B는 한 원 위에 있다.
이 풀이도 각계산을 통해 이등변삼각형임을 밝혔기에 위 풀이와 본질적으로 크게 다르지 않습니다.

[@salut3719]

각B=각ACD=각CMF
따라서 내대각 정리에 의해 한원위에 존재.

[@캐소드]

생긴 것부터가 BCE의 수심이랑 B, M이 일직선상에 놓일 것 같은 느낌이 드네요

[@salut3719]

일직선 맞습니다. 이등변삼각형BCE의 수직 이등분선이죠. 수심을 H라 하면 HC=HE, HF=HD 입니다.