Число Пи: вывод формулы Бэйли-Боруэйна-Плаффа
HTML-код
- Опубликовано: 21 окт 2023
- В этом видео будем получать известную формулу Бэйли-Боруэйна-Плаффа: покажем, что сумма такого ряда равна числу пи.
В этом видео разбирается метод вычисления константы пи с помощью другой формулы: • Число Пи: как найти ег...
Здесь есть деление многочленов столбиком: • Неопределенный интегра...
А в этом видео на канале "математический мирок" @FrolovSergei найден, получаемый в видео интеграл, другим способом: • Как найти определённый...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Не, так неправильно, вместо: "Перепробовав кучу раз и получилось" нужно говорить: "Очивидно, что эти две скобки стоит перемножить".
Нет, надо проще: "очевидно, подинтегральное выражение равно..." и "очевидно, интеграл равен... " 🤓
@@maxm33 ну тогда с козырей "после элементарных преобразований получаем"
@@Ihor_Semenenko вот! Или "несложных" )
Кажется, в "Физики шутят" или еще где-то было "руководство" по написанию научных статей, и там совет навроде "пишите кратко: если у вас много выкладок - убираете 2 страницы из них, заменяя..." (одной из фраз из предыдущих сообщений или подобных) 🙂
@@maxm33 у меня это воспоминания со врменем переросшие в ночные кошмары, гидравлику нам читали до диффуров, а механику грунтов до теории упругости - и там было такое часто: очевидно, путем простыйших преобразований, элементароно..... Только научился интегрировать, а тут на тебе .
10:58 "Как о нём можно сразу догадаться? Да никак."
Это всё, что надо знать про математику🙂
Ахахахах я прочитал этот комментарий,а потом ждал этого времени в видосе)) это очень забавно прозвучало))
Пересматривая старые видео, очень приятно обращать внимание на то, как растёт качество видео)
Однако, пересматривать не менее интересно
Красотень! Вот за такое люблю математику!
Спасибо за интересную, познавательную лекцию.
Это было МОЩНО!!!!!!!!!!
Класс, продолжай в том же духе!
Спасибо вам!
Вспомнил видео с интегралом, и заметил что можно перемножить.
А вообще, как учили великие:
"Очевидно, что нам необходимо перемножить эти скобки, доказательство необходимости предоставляется читателю в качестве несложного упражнения"
Мне так даже лектор по вышке в вузе говорил))
Перемножать не нужно, можно разложить полученное. 14:40
@@AbusaYYoudnA конечно. Я же и говорю, что я все это проделывал. В итоге просто из кучи вариантов посмотрел, как компактнее получить нужный результат
@@Hmath И так можно. 50 лет назад, когда я учился в универе, преподавательница по матану говорила: Таня сразу видит путь к решению, Лёша лбом прошибает, а вы ждете готовенькое решение.
Таня училась в матклассе, а я в сельской школе.
Смотрю Ваши выпуски, чтобы внуков доучивать, а то стал программистом и математику запустил. Спасибо.
@@HmathНужный результат в случае представления дроби суммой элементарных, можно было сократив числитель и знаменатель на общий делитель с помощью несложного алгоритма Эвклида или "в лоб".
Попробуйте найти гиперобъём или же объём какой нибудь интересной 4-х мерной фигуры(например: тор клиффорда или конет(4д конус))
Еще на стадии 7:39 было видно, что на t^2+1 можно сократить. Я ждал сокращения до самого конца и оно наконец наступило
Суперское видео! Кстати я бы на Вашем месте при преобразовании числителя-многочлена дроби на 9:17 (с учётом корня x = 1) разложил его по схеме Горнера, она правда проще)
не все знают, что за "схема Горнера" :) я в школе знал, а потом благополучно забыл и не пользовался. Так столбиком нагляднее :)
Класс
Еще, я подсел
Спасибо за видос, а есть видос про функции Бесселя, откуда оно берутся с чем их едят и там ещё какие то вещи связанные с ней, упрощённые функции вроде есть или чёт такого
диф. уравнение Бесселя: ruclips.net/video/aHwMU_B7bPk/видео.html
сумма ряда с функциями Бесселя: ruclips.net/video/1FAKH4dXr5w/видео.html
интеграл с функцией Бесселя: ruclips.net/video/JF1ikXax5rk/видео.html
системного изложения нет.
В итоге получили, что число пи равно -4arctg(-1). А величайшие умы математиков столетиями бились, вычисляя приближённое значение числа пи. Этакие соревнования были, кто точнее вычислит.
Это доказательство того, что сумма исходного ряда равна π.
@@NXN-QUXT Hmath немножко не довел дело до конца. Для особо одаренньіх нужно бьіло сократить два последних логарифма и убрать два минуса в оставшемся вьіражении, поскольку функции арктангенс нечетная относительно аргумент (за счет входящего в него синуса). Кстати, все прекрасно илюстрируется в геометрии (теория на практике). Арктангенс Пи/4 и арктангенс 3 Пи/4 практически соответсвуют значениям икса +1 и - 1 на единичной окружности. Полунериод Пи/2 не входит в счет 3Пи/4,, поскольку общий зеак минус (-1) показьівает что угол находится в противофазе (e^{-jx}).
недооценил я интеграл от 1/(1+t^4) хотя первая строка на 8:18 все равно немного проще берется -не надо хитрых сокращений искать.
да я по разному пробовал - меньше не получалось решение.
К сОпло/соплО, кОмплексное/комплЕксное, углУбить и т.п. добавилось корнЯ вместо кОрня.
13:20 можно было не продолжать эту процедуру. 4х^3-4 это разность кубов и оттуда как раз можно получить скобку х-1
на 11:50 разве нельзя было разделить по схеме Горнера и по теореме Безу в остатке вышло бы 0? мне кажется так было бы быстрее, но кому как!
А нельзя еще на (х-1) сократить?
12:15 можно схемой Горнера
Вы упомянули, что эта формула позволяет вычислить какую-то порядковую цифру. А, можете рассказать, как именно?,
не планирую.
тут есть немного: en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula
и тут:
ru.wikipedia.org/wiki/Spigot-%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC
там вычислений всё равно много. Если нужно найти миллионную цифру числа пи, то все равно складывать не меньше миллиона слагаемых. Скорость достигается за счет того, что все вычисления не нужно вести с точностью до миллионного знака (как нужно было бы, если бы хотели получить все миллион цифр числа пи), а достаточно обычной точности в несколько десятков знаков.
@@Hmath все равно спасибо
Во-первых, формула предназначена для 16-ричной системы счисления. Для десятичной нужна другая формула.
Во-вторых, она не считает порядковую цифру, а скорее позволяет быстро пропустить первые N цифр. Причём "быстро" - это для компьютера: чтобы добраться до миллионной цифры нужно посчитать около миллиона слагаемых. Выгода формулы в том, что слагаемые эти довольно маленькие (опять же - для компьютера)
Процедура такая:
- Домножим формулу на 16^n. Это эквивалентно сдвигу точки на N шестнадцатеричных цифр вправо. Если мы сможем как-то избавиться от целой части - мы "пропустим" первые N цифр
- После домножения, 1/16^k превратится в 16^(n-k). Когда K большое, всё слагаемое меньше 1 и у него нет целой части.
- Когда K маленькое - у слагаемого есть целая часть, нам надо её убрать. Дробная часть деления A/B всегда равна (остаток(A)/B). Вместо того, чтобы делить 16^(n-k) на (8k+1), (8k+4), (8k+5), (8k+6) мы можем посчитать остаток и разделить его.
- Остаток произведения равен произведению остатков. Поэтому чтобы посчитать остаток от 16^(n-k) нам не обязательно считать всё число - мы можем на любом этапе заменить множители на их остатки. Остаток от степени можно посчитать быстрым возведением в степень за 2log_2(n-k) умножений.
- Осталось полученные остатки разделить и сложить между собой - после этого мы можем начать считать N+1 цифру.
10:36 именно такие моменты порой отбивают желание занимается математикой. Ты можешь перебрать бесятки преобразований, пока не найдешь то самое, которое упрощает решение.
Именно такие моменты как раз и увеличивают желание заниматься математикой, так как ты после долгого, тяжёлого пути наконец нашёл ключ к победе
эм, вообще там можно это действие рационализировать, типо можно просто найти общую формулу корней для многочлена 4-ой степени, а после уже разложить как многочлен в числителе тот на его состовляющие, так и 2 нижних многочлена в знаменателе, крч на самом деле тут просто это муторно всё подводить и делать, при том что там скорее всего ещё и комплексные корни получатся, но вообще, как раз таки сложное с первого взгляда очень сильно всегда двигало математику как дисциплину вперёд, хотя взять в пример Великую теорему Ферма, которая повлекла за собой сверх сильное развитие теории чисел, да и просто нехер заниматься математикой если сдаёшься на пол-пути
именно такие моменты и отличают человека, которому хочется заниматься математикой, от человека, кому это не нравится
Не вижу ничего неестественного в перемножении скобок :). Посчитаем НОД многочленов в числителе и знаменателе - он и будем тем многочленом четвертой степени, который мы в последствии сократим. Можно проще - после разложения знаменателя на множители попробуем "в столбик" делить на них числитель. Но, возможно, Вы и так делали что-то из этого, раз знали, какие скобки перемножать
конечно, я все это делал. Я ж говорю, что так в разы длиннее решение и более нудное :) когда я скобки перемножал, я уже знал, что все потом сократится. Так быстрее было прийти к нужному результату.
А есть какой нибудь подобный способ для поиска суммы ряда для 1/(n^n). Этот ряд довольно быстро сходится
Все Вам хочется Филдза или миллион за реальную часть дзета-функции))
Нет. Просто интересно
нет, но этот ряд связан с интегралом 1/x^x :)
ruclips.net/video/CQZkqyNAq8o/видео.html
@@HmathСпасибо!!!!
Так это скорее доказательство, а не вывод формулы
Не знаменатели, а числителиии 6:02
И чем это отличается от деления столбиком...😅
меньше места занимает и быстрее
А как этот ряд придумали?
на компе подобрали :) и это еще почти 30 лет назад провернули
@@Hmath , вот людям заняться было нечем
@@usovskieekstremaly точно, занимаются всякой фигней, зачем этот прогресс нужен
Что-то я всё равно не понимаю, как Бэйли, Боруэйн и Плафф пришли к этой формуле. Колдовство какое-то
на компе подобрали коэффициенты. Когда есть готовая формула и понятно к чему стремиться - её потом проще доказать.
есть 2 книги, где про всякие интересные задачки описано, в том числе их подходы.
1) Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century
2) Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery
Jonathan Borwein, David Bailey
Не корнЯ, а кОрня!
Очень важное замечание
тюююю, значит, доказательство неверно? Жаль