Schwache Gruppenaxiome
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- Опубликовано: 4 июл 2024
- 🧑🏫Heutiges Thema: Man kann den Begriff Gruppe auch mit Hilfe von schwachen Axiomen definieren - danke an Thomas Blankenheim für den Hinweis!
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Wow, ich fühle mich geehrt. Danke für die Erwähnung meines Namens!😀
Und genau das macht den Herrn Spannagel so sympathisch: Anstatt wie viele andere Dozierende stupide sein Programm durchzuziehen und auf seinen akademischen Grad zu plädieren, ist er offen für neue Möglichkeiten, zieht dann wissenschaftliche Literatur zu Rate und gibt ihm vorher unbekannte wissenschaftliche Erkenntnisse an seine Studierenden weiter. Absolut genialer Dozent, davon gibt es in dem Format viel zu wenige. Grandios!
Vielleicht etwas ähnlich Interessantes: Für einen Ring (R,+,*) fordert man oft (s. z.B. Wikipedia), dass (R,+) eine abelsche Gruppe sein soll. Das muss man aber eigentlich gar nicht machen, da die Kommutativität bereits aus der Forderung der Distributivität im Ring gefolgert werden kann.
Dazu kenne ich eine nette Verständnisfrage: Man kann leicht zeigen, dass eine Funktion mit nicht-leeren Definitionsbereich genau dann injektiv ist, wenn sie ein Linksinverses besitzt, also eine Funktion g existiert mit gf=id.
Sei nun M eine nicht-endliche Menge. Bildet die Menge aller injektiven Funktionen von M nach M mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe?
Nein. Betrachte als Beispiel für M die Menge aller natürlichen Zahlen. Die Abbildung, die jedem Element von M ihr Doppeltes zuordnet, ist injektiv, hat aber kein inverses Element. Denn eine solche inverse Abbildung nähme auf der Teilmenge aller geraden natürlichen Zahlen bereits alle natürlichen Zahlen als Funktionswerte an. Wenn Du nun zusätzlich für die ungeraden Zahlen Funktionswerte festlegen willst, geht automatisch die Injektivität verloren. Also haben wir keine Gruppe.
Tatsächlich ist die Menge aller injektiven Abbildungen von einem unendlichen M in sich selbst niemals eine Gruppe, da es dann immer eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung in der Menge gibt, und die hat dann kein inverses Element.
Für eine endliche, nicht leere Menge M ist die Menge aller injektiven Abbildungen von M nach M dagegen immer eine Gruppe.
Das alles steht nicht im Widerspruch zu dem Satz, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie eine Linksinverse besitzt, denn diese muss nicht injektiv sein!