와우와우와우!! 정말 제가 모르는건 다 있는 채널답습니다!!! 이제 수학개념 검색할때마다 이 채널의 영상이 나왔으면 하고 기대하게 돼요 ㅋㅋㅋ 그런데.. 오늘은 저를 이해시키는데 실패하셨어요... 하아.. 문과따리 수학공부하느라 가랭이 찢어질거같네요^^ 저는 선행지식을 이해하기 위한 선행지식도 필요하거든요.. 하지만 저는 자코비안을 정복하고 말것입니다.... 다시 올게요! 항상 감사합니다!
@@AngeloYeo 헐 저 완전 이해했어요ㅠㅠ 역시 필요한 공부보다 궁금한 공부가 더 재밌네요!! 이걸 꼭 알아야하는건 아니었지만 덕분에 제가 뭘 하고있는건지 더 선명해졌습니다!! 많이 알수록 많은게 보이네요 정말ㅎㅎ 공짜로 보기 미안할정도의 강의입니다 시험공부중인데 합격하면 꼭 후원하러 올게요!!ㅠㅠㅠ 감사합니다 진짜
안녕하세요. 자코비안은 영상에서 말씀드린 성질에 따라 일반적인 적분으로 계산하기 힘든 형태의 도형의 면적/부피 등을 구하는데 사용됩니다. 혹은 좌표계 변환에 따른 궤적의 계산에도 사용될 수 있습니다. 가령 다관절 로봇 연구에서 기초적으로 사용되는 개념이 자코비안이라고 할 수 있습니다
안녕하세요. dA는 미소면적이라고 부르는 것입니다. 즉, Cartesian coordinate에서 만들 수 있는 가장 작은 면적을 말하는 것인데요. 가장 작은 면적을 얻을 수 있는 유일한 방법은 가장 작은 단위 길이 두 가지를 이용해 곱하는 것 밖에는 없습니다 ㅎ 그래서 x, y 방향의 미소길이 두 개(dx, dy)를 곱해 미소 면적을 얻을 수 있다고 보는 것입니다. 설명 부족하다고 느끼시거나 잘 이해안되시는 부분 있으시면 말씀해주세요~~
비선형변환이란 말은 전에는 들어 보지도 못했습니다 공돌이님 동영상에서 극좌표계의 경우 자코비안 행렬을 곱하면 정사각형으로 구성된 세계가 방사선처럼 뻗어나가는 직선과 계속 확산되는 동심원들이 교차되는 극좌표계 세계로 변하던데 그 모습이 환상이었습니다 각각의 개별적 정사각형이 극사각형으로 바뀌는 것은 알았는데 행렬을 곱해서 전체세계 자체가 그렇게 변했다는 것은 처음 알았어요 구면좌표계에서의 세계의 변환도 그림이 그려지더군요 그런데 극좌표계, 구면좌표계의 경우 약간 공부를 해서 극좌표계는 극한과 부채꼴 면적구하기로 개별적 미소극사각형 면적을 구할 수 있고 구면좌표계는 개별적 미소 극육면체 부피 구하기가 무려 3가지 방법이 있더군요 구면좌표계 개념으로 라디안 호도법을 사용해 부피 구하기 벡터 내적, 외적을 사용해 부피 구하기 그리고 지나치게 과정이 복잡하지만 부채꼴을 x축을 중심으로 돌려 쐐기라는 것의 부피를 구하는 방법 그런 식으로 다 구하다 보니 자코비안 행렬의 가치를 못 느꼈어요 (이미 알고 있는 공식을 행렬로 표기만 했구나 하고) 그런데 선형대수학을 약간이라도 알고 극좌표계, 구면좌표계 자코비안 행렬을 보니까 함수의 x축 성분 ,y축성분, z축성분을 각각 u , v, w 라는 원인변수들로 편미분한 것을 행렬 표현으로 나열해 주면 그 행렬식이 원래세계와 변화된 세계의 차이를 없애 균형이 잡히게 하는데 "이것은 선형변환 때 ad - bc 행렬식이 두 세계의 차이값을 보정하는 것과 너무 비슷하다 ...... 그렇다면 자코비안 행렬이라는 것은 원래 처음부터 존재하고 있었던 수학영역일까 이미 여러가지 방법으로 극사각형이나 극육면체 부피 구하는 공식을 만들어 놓고 그것을 단지 행렬로 모양만 예쁘게 한 것이 자코비안 행렬이 아니고 원래부터 정사각형 세계를 방사선과 동심원의 극좌표계로 바꾸는 이런 행렬변환이 있었던 것일까 원래부터 정육면체 세계를 방사선과 동심구의 구면좌표계로 바꾸는 이런 행렬변환이 있었던 것일까 그렇지 않고서야 선형변환 때처럼 행렬식이 두 세계의 차이를 보정하는 역할을 하는 일이 여기서도 공교롭게도 발생할 수가 ... 이런 의문이 들었습니다 이 동영상으로 자코비안 행렬과 비선형변환의 개념도 알았고 친근감도 가는데 이 의문은 남아 있네요 ??? ..... ^^
음... 자코비안 행렬이 진짜 말하고 싶은것은 비선형변환을 국소적으로나마 선형적인 변환으로 근사시켜 보자는 것입니다. 그래서 비선형적으로 생긴 물체의 부피나 넓이를 구할 때 자코비안 행렬을 이용해 "지금의 결과가 이렇게 선형변환된 결과로 보자"라고 한다면 행렬식을 이용해 단위 면적의 변화 비율만큼을 곱해주는 것과 같은 효과가 나타나는 것입니다. 좀 더 자세한 내용은 제 블로그를 한번 더 참고해주시면 좋을 것 같습니다. 옛날 영상에서 담지 못했던 내용들이 블로그에는 갱신되어 있습니다. 아마 자코비안 행렬 영상도 한번 더 재촬영해야하지 않을까 그렇게 생각합니다.
@@AngeloYeo " 지금의 결과가 이렇게 선형변환된 결과로 보자 " 그 설명 속에 놀라운 비밀과 해답이 있는 것 같습니다 아주 미세한 영역에서는 선형변환처럼 직선이 되다는 것과 그리가 선형변환처럼 행렬식이 값의 차이를 보정하는 역할을 한다는 것 그리고 세계자체를 변화시킨다는 것 이 모든 것을 우연이라고 주장한다는 것이 오히려 비정상이라는 생각이 듭니다 지금의 결과가 이렇게 선형변환된 결과로 보자 " 수학적, 과학적 모든 위대한 발견은 이렇게 가정하는 사고에서 시작되었음을 알고 있습니다 과거에 동영상의 그림과 글씨가 세련되지 못한 것과 그때는 제 능력으로 무리라는 두 가지 이유로 소홀했던 동영상인데 다시 보니 정말 큰 보물인 것 같습니다 ~~~~ 감사합니다 ^^ ( ) ^^ ~~~~~
@@AngeloYeo 너무 집요하다고 생각하겠지만 공돌이님 동영상도 보고 설명도 들으니 자코비안 행렬에 대해 나름대로 감이 옵니다 벡터 내적외적이니 기하와 미적분이니 온갖 어려운 방법을 써서 극좌표계적분이나 구면좌표계적분을 해 놓고 그 결과를 단지 예쁘게 행렬로 표기한 것이 자코비안 행렬이 아니라 원래부터 편미분원소들로 행렬을 만들어서 그 행렬로 극좌표계적분이나 구면좌표계적분을 하는 자코비안행렬이 원래부터 있었다는 것 "이 결과를 선형변환 행렬변환이 확장된 것으로 보자" 고 하셨는데 " 제곱해서 (-1) 되는 그런 수가 있다고 보자 " 하고 수학자들이 가정한 것과 같은 접근방식같아요 동영상에서 정사각형 세계가 자코비안행렬에 의해 방사선과 동심원이 교차하는 극좌표계로 세계로 변화되고 원래 세계에서 가로 5칸 세로 8칸 간 그 정사각형은 변화된 세계에서 가로 5칸 세로 8칸 간 그 극사각형으로 대응되니까 이것은 완전히 선형변환 때와 원리가 같고 행렬식이 두 세계의 차이값을 보정하는 것도 선형변환 때와 원리가 같고 그러니 원래부터 이런 행렬변환이 있었는데 이걸 도저히 받아들이기 어려워서 "힘들게 극좌표계적분, 구면좌표계적분 다 해 놓고 단지 행렬로 예쁘게 표현한 것이 자코비안 행렬일 뿐이다 " 라고 계속 그 행렬변환을 받아들이기 거부하는 것은 옛날사람들이 음수나 허수를 안 받아 들일려고 계속 거부한 것과 같다는 생각이 들었어요 그리고 자코비안 행렬을 받아 들이면 단순히 2, 3차원 뿐만 아니라 4차원 , 5차원 , 6차원 , .............. 모든 차원에서 적분을 하는 법칙을 얻는 결과가 된다는 그런 생각도 들었구요 너무 집요하다고 생각하겠지만 공돌이님 동영상이 그만큼 사고를 풍부하게 만드는 힘이 있다는 증거도 되지 않을까요 ~~ ^^ ( ) ^^ 행렬이 숫자원소로만 구성된 선형변환을 알고 다시 행렬이 편미분된 변수원소로 구성된 비선형변환을 알게 되니 굉장히 기분이 좋습니다 ~~ ㅎ ^^
교양수학 미적분 후반부에 구의 부피를 구하는 구면좌표계 적분 평행육면체 부피를 구하는데 스칼라삼중곱이라는 게 나오더라구요 두 벡터를 외적해서 평행육면체 밑면적을 구하고 (평행사변형) 다시 나머지 한 벡터와 내적해서 평행육면체 부피를 구하는 스칼라삼중곱 (사실은 공돌이님이 면적분에서 설명한 원리들) 그런데 그 스칼라삼중곱이라는 것을 3×3 야코비안 행렬로 표현해 놓은 것은 책에서 봤는데 스칼라삼중곱과 야코비안 행렬이 서로가 행과 열이 반대로 된 모양이라 과거에 끙끙 앓았습니다 그래서 두 가지 스타일의 3×3 행렬식을 숫자로 계산도 해 보고 문자로도 계산해 보니 어쨌든 결과는 같게 나왔는데 그럼에도 불구하고 이유와 원리를 모르니 계속 답답했습니다 "스칼라3중곱과 야코비안행렬이 왜 서로 행과 열이 바뀌어 있나 ?......" 공돌이님 선형대수학 동영상을 보면서 해답이 눈에 들어오더라구요 "아 .... 비선형변환으로 평행육면체 부피를 구하면 스칼라삼중곱과는 행과 열이 바뀌어 나오는구나 ........ 그리고 선형대수학 기초과정에 , 전치행렬과 원래행렬은 서로 행렬식이 같다는 계산법칙이 있어서 스칼라삼중곱과 야코비안행렬이 행과 열이 바뀌어 있어도 행렬식 계산결과는 동일하구나 ...." 공돌이님 동영상을 통해 선형대수학을 공부를 하니까 못 보던 세계가 보이더라구요 ^^ 그리고 행렬식이란 것이 왜 존재하며 (보정목적) 4×4 , 5×5 , 6×6 , ... 이런 행렬식까지 필요가 있나 ?...... 그리고 행렬식 계산을 그렇게 정의하는 이유는 ? ... 이런 것도 감이 오더라구요 9차원 초입방평행육면체라면 8차원까지를 그 초입방체의 밑변으로 보고 나머지 한 벡터를 내적한다 ........ (그래서 행렬식 계산 원리가 그럴 것이다 ...) 삼중적분을 기하학적으로 이해를 못해 애를 먹은 적이 있기 때문에 , 5차원, 6차원, 7차원 초입방체가 얼마든지 있을 수 있고 그래서 행렬식도 계속 차원이 확장될 수 있다 ... 공돌이님 선형대수학 동영상을 계속 보니 시야가 넓어지고 못보던 세계가 보이더라구요 !!!!!! 야코비안 행렬에 계속 집착한 것도 이유가 있었습니다 그런데 치환적분, 이항분포 , 다양한 종류의 미분방정식 풀이 다양한 종류의 적분 ... 이렇게 수요가 많은 분야를 안 다루니 찾는 사람은 한정된 것 같아요 (남의 일에 감놔라 배추 놔라 하는 것은 주제 넘지만 ....... ^^) 야코비안 행렬을 보니 3차원까지는 벡터나 미적분으로 가능해도 차원이 계속 확장되면 행렬의 도움이 절대적으로 필요하다 .... 이런 걸 느끼게 되더라구요 선형대수학 동영상이 정말 많은 도움이 되었습니다 ~~ (그 속에 신비의 세계가 있다는 것을 알면서도 어려우니까 이제 좀 두렵더라구요 ;; ㅎㅎ)
노성용님 안녕하세요 ^^ 자코비안 영상에 벌써 댓글을 몇개씩 남겨주셨네요 ㅎㅎ 일단, 스칼라 삼중곱의 행렬식과 자코비안의 행렬식의 행과 열이 뒤집힌 것은 열벡터를 기준으로 행렬을 구성하는 방법을 선택한 것이냐 행벡터를 기준으로 행렬을 구성하는 방법을 선택한 것인가에 따른 차이인 것으로 보입니다 ㅎㅎ 하지만 말씀하신대로 어떤 방법으로 행렬을 구성하더라도 행렬식의 크기는 같은 값이 나오기 때문에 얻어지는 결과값은 문제가 없지요 ㅎㅎ 이제는 선형대수학 실력이 일취월장 하신 것 같습니다 ㅎㅎ 예전의 이해도에 비해서 한층 더 업그레이드 된 이해력을 갖게 되셨네요 ㅎㅎ 말씀하시는 것들만 들어봐도 이전과 많은 격차가 보입니다. ㅎㅎ 그리고, 수요가 있는 영상의 제작에 관해서 말씀하셨는데, 충분히 의미있는 제안이라고 생각합니다 ㅎㅎ 원래 이 채널은 제 취미의 일환으로(?) 만들어졌던 채널인데, 대부분이 제가 표면적인 내용 보다 더 깊은 것들을 이해한 경우에만 영상으로 올리고 있었습니다. 그러다보니 아무래도 수요가 있는 영상 위주로 만들지는 않았지요... ㅎㅎ 지금도 그런 목적은 크게 변하지 않았지만, 말씀하신대로 수요가 있는 조금 더 기초적인 부분에 대해서도 설명드릴 영상을 만드는게 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ 최근에는 블로그에 진짜 기초 통계학과 미분 방정식 내용들을 글로 정리해서 올리고 있습니다 아마 어느정도 틀이 잡히면 영상으로도 만들겠지요 ㅎㅎ 매번 봐주셔서 감사합니다 :) 식사라도 한번 하면 좋을 것 같다는 생각도 드네요! 오늘도 좋은하루 되세요!! ^^
@@AngeloYeo 선형대수학을 공돌이님 동영상을 통해 공부하지 않았다면 전치행렬 비선형변환 이런 개념들이 없어서 야코비안 행렬의 궁금증에 대한 아무런 해답도 얻지 못했을 거예요 글을 길게 쓰는 사람이 도리어 성격은 내성적이라 만나는 것을 적극 내켜 하는 편은 아니구요 꾸준히 동영상 보며 공부하고 성원하겠습니다 ^^ 네이버의 이런저런 블로그에서 이변수함수 기초는 배웠으나 스토크스정리 , 발산정리 , 라플라스방정식 , 야코비안 행렬 , 선형대수기초 제대로 된 수학은 공돌이님 동영상에서 배운것 같아요 수학동영상 중에서는 최고인듯 !!!!!! (어지간한 다른 곳 동영상들도 다 보았지만 .....)
3차원 공간으로 확장시킨 자코비안 행렬에 관해 알고 싶습니다 100 010 001 이런 (3×3) 행렬에 abc def ghi 이런 (3×3) 행렬을 곱한 결과는 (1,0,0) 기저 벡터가 (a,d,g) 기저 벡터로 변하고 (0,1,0) 기저 벡터가 (b,e,h) 기저 벡터로 변하고 (0,0,1) 기저 벡터가 (c,f,i) 기저 벡터로 변하고 실제로 이렇게 되는 것일까요 ? 공돌이님 동영상에서 10 01 행렬에 ab cd 행렬을 곱한 결과는 2차원 공간에서 (1,0)기저벡터를 (a,c)기저벡터로 (0,1)기저벡터를 (b,d)기저벡터로 변환시킨다는 것을 배웠기 때문에 3차원 공간에서도 그렇게 될 거라는 생각이 들었습니다 만약 성립한다면 그 증명은 계산이 좀 복잡해지는 건가요 ?
안녕하세요. 네 맞는 말씀이십니다. 3차원이고, 100차원이고 상관없이 자코비안 행렬은 말씀신대로 작동합니다. 위키피디아의 야코비 행렬을 보시면 n차원에서 m 차원으로 변하는 선형변환에 대한 자코비안 행렬이 그려져 있는데요. 사실, 차원의 크기에 상관없이 추상화는 얼마든지 가능합니다! ^^ (다만, 무한 차원에 대해서는 여전히 자코비안을 생각할 수 있는건지는 잘 모르겠습니다.)
흰색 배경이 눈이 아파서 검은색으로 바꿔서 쓰고 있습니다ㅠㅠ ㅎ MATLAB schemer 이용하시면 됩니다 ^^ 아래의 링크 참고해주세용 ㅎ blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=matlablove&logNo=221157460393&categoryNo=24&parentCategoryNo=0&viewDate=¤tPage=1&postListTopCurrentPage=1&from=postView
안녕하세요. 제 나름대로는 비선형 변환을 시켜줄 때 공간이 늘어나는 면적만큼 적분시에 보정해줘야한다는 취지로 말씀드렸는데요... 다시 말해서, 비선형변환(여기서는 직교좌표계에서 극좌표계로 변환)을 선형변환으로 근사시켜서 생각해봤을 때 늘어나는 넓이의 비율이 변환 후 원점에서 떨어진 거리와 같다는 것이죠... 혹시 어떤 부분이 설명이 부족했는지 한번만 더 말씀해주실 수 있으신가요 ?
안녕하세요. 자코비안 행렬이라는 것이 두 좌표계 간의 미소 변화의 변환 관계를 설명한다고 볼 수 있습니다. 다만 이 변환 관계는 실제로는 비선형적이지만 선형적으로 근사시킨 것이기 때문에 선형 변환인 행렬이 '변환 관계'를 서술하는데 사용된다고 할 수 있습니다. 위키독스의 글에서는 (x,y)좌표계와 (u,v) 좌표계 간의 변환 관계에 대해서 알아보고자 한다고 상정하고 글을 서술했는데요. 그렇게 되면 du와 dx간의 관계와 dv, dy 간의 관계는 두 좌표계 간의 미소 변화의 변환 관계는 자코비안으로 쓸 수 있으니까 dx =Jdu 혹은 dy = Jdv가 성립될 것 같습니다.... 혹시 다른 방식의 설명이 필요하시다면 댓글 한번 더 달아주세요~
@@AngeloYeo 으 구면좌표계라고 하면 안되는군요 ㅠㅠ 영상에서 나온 식을 그대로 써본것입니다! 25:31에 나온 식에서 2말고 r까지라고 대입하면 계산식이 ½r * r * 2π= r²π 인데 21:48 에서 보면 넓이가 lJl * dθ * dr = r * dθ * dr 인데 dθ=2π 이고 dr=r 이면 lJl = ½r 가 나오게 느껴져서 제가 멍청해서 ㅠㅠ 이해가 안 되고 있네요
@@윤호준-q7f 음 dθ=2π, dr=r과 같이 대입해서 볼 순 없어요~ dθ는 각도의 매우 작은 변화를 의미하는 것이기 때문입니다...그리고 자코비안도 영상에서 보셨던 것 처럼 매우 작은 변화에 대해서만 선형화 시켜놓아 만들어둔 행렬이기 때문에 말씀하셨던 것과 같이 대입하면 안됩니다 ㅠ
교과서와 참고서는 자코비안 행렬이라는 것이 있으니 암기해라는 식인데 이 동영상은 자코비안 행렬이 어떻게 탄생했는지 기원과 탄생의 비밀이 나와 있어 충격 받았습니다 극소의 영역에 선형변환과 미분의 연쇄법칙을 도입해서 자코비안 행렬을 유도하는 것 환상이었습니다 선형변환과 자코비안 행렬은 도저히 관계가 없을 것 같은데 결국 자코비안 행렬은 선형변환의 확장이라는 것 !!!!!!!!!!!!!! 미적분이라는 분야와는 다른 선형대수학 분야가 확실히 존재하는군요 .... ㄷㄷㄷ ...... 기적의 동영상 정말 감사합니다 !!!!!!! 이 동영상은 별도의 동영상으로 제작해서 조회수를 좀 올려야겠습니다 ^^
안녕하세요... 훌륭한 질문이십니다. Jacobian 행렬의 의미를 다시 생각해보면 어찌되었건 비선형 적인 변환을 선형적으로 바꿔주는 것이고, 이 때 필요한 것은 입력 벡터 공간으로부터 선택된 벡터 하나와 이로부터 얻게되는 출력 벡터 공간 상의 벡터입니다. 또 한편, 영공간의 의미에 대해 다시 생각해본다면 입력 벡터 중 행렬을 통과시켰을 때 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모두 모인 곳이라고 할 수 있겠는데요. Jacobian이 많이 이용되는 분야는 로보틱스이니 이것과 관련된 예시를 들어 설명드리자면, 가령 입력 벡터는 사람이 로봇을 조종하는 리모컨(?) 혹은 조이스틱으로부터 들어오는 값이라고 할 수 있습니다. 또, 출력 벡터는 실제 로봇의 움직임을 표현한 것 (가령, x, y, z 방향으로의 속도와 x, y, z 방향으로의 각속도...) 이라고 할 수 있겠습니다. 이 때 ,Jacobian은 입력(조이스틱)과 출력(로봇의 움직임)에 대한 비선형적일 수 있는 변환을 선형적으로 근사시켜 놓은 것이라고 할 수 있겠네요. 그렇다면 자코비안 행렬의 영공간이 가지는 의미는 다음과 같습니다. "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것" 정도라고 말입니다. (입력 패턴을 모두 벡터화 시킬 수 있다면 이것을 모두 모아둔 것은 벡터 공간이 되겠지요?)
@@AngeloYeo 로봇 움직임으로 예를 들어주셔서 너무 감사드립니다. "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것"이라고 설명을 해주셨는데, 그 말은 직진 방향으로 나아가는 로봇에 영공간으로 가는 입력을 가하면, 그 로봇은 그 입력에 상관없이 계속해서 직선으로 가게 된다는 말씀인가요? 영공간은 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모인 공간으로 알고는 있지만, 이 0들이 모인 공간이 로봇의 움직임에 어떠한 상태를 나타내는지 잘 이해가 되지가 않습니다. 다만, 제가 드는 생각은 "출력이 0이되면 로봇이 아예 안움직이지 않을까?" 아니면 "영공간은 행공간의 transpose 공간이라 알고 있는데, 이것은 로봇의 상태를 어떻게 나타낼까?" 입니다. 영공간, 자코비안 등 말하는 개념들은 알겠지만, 이러한 개념을 로봇의 움직임이나 상태(e.g., 팔의 위치)에 적용하여 생각하기가 어렵습니다. 혹시 이에 대해 좀 더 설명해주실 수 있나요?
안녕하세요. 1. "직진 방향으로 나아가는 로봇에 영공간으로 가는 입력을 가하면, 그 로봇은 그 입력에 상관없이 계속해서 직선으로 가게 된다는 말씀인가요?" 라는 질문에 대해서. 일단은 출력으로서의 로봇의 움직임을 어떻게 표현해줄 것인가에 달린 문제라고 볼 수 있습니다. 만약 로봇의 움직임(출력)을 x, y, z 방향으로의 가속도(혹은 힘)으로 표현한다면 말씀해주신 대로 출력값이 모두 0이니(즉, 모든 방향에 대한 가속도가 0이기 때문에) 입력에 관계 없이 계속해서 직선으로 가게 될 수 있겠죠. 제가 잠깐 확인해본 결과로는 보통은 로봇의 움직임에 대한 출력은 x, y, z 축 3방향 속도와 3방향에 대한 각속도로 표현합니다. 그래서 ... 어떻게 출력값을 놓느냐에 따라서 말씀하신대로 등속도 운동을 할 수도 있을 것이고, 만약 제가 말씀드린대로 출력을 설정하면 로봇이 동작을 멈출 수도 있겠지요. 다시 한번 말씀드리지만 자코비안은 입력과 출력의 비선형적일 수 있는 관계를 선형적으로 근사한 것입니다. 2. "영공간은 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모인 공간으로 알고는 있지만, 이 0들이 모인 공간이 로봇의 움직임에 어떠한 상태를 나타내는지 잘 이해가 되지가 않습니다"라는 질문에 대해서. 질문이 모호합니다. "이 0들이 모인 공간"이라고 칭하신게 만약 영공간에 대해 말씀하신 것이라면 그것은 영공간에 대한 이해가 잘못되었다는 것을 말합니다. 영공간은 입력 벡터에 관한 얘기입니다. 또, 만약 "이 0들이 모인 공간"이 열공간과 left null space의 교집합인 영벡터에 대한 얘기라면 위의 1번에서 말씀드린 바와 같이 출력을 어떻게 놓는가에 따라 달라지는 문제가 될 것입니다. 같은 내용이니 굳이 반복하지는 않겠습니다. 3. "영공간은 행공간의 transpose 공간이라 알고 있는데, 이것은 로봇의 상태를 어떻게 나타낼까?" 라는 질문에 대해서. 영공간과 로봇의 상태는 직접적으로 관계가 없습니다. 다만, 영공간에 포함되어 있는 벡터로 입력을 가했을 때 로봇에서 출력되는 출력값이 모두 0이라는 것 만 말씀드릴 수 있습니다. 그리고 이 과정에서 행렬(여기서는 자코비안 행렬)이 함수처럼 입력과 출력을 매개하지요. 굳이 자코비안의 개념을 도입해 생각하려고 하지는 마시고, 이 경우에는 일반적인 행렬의 영공간에 대해 생각하는 것이 좋아보입니다. 그런데, 영공간이 행공간의 transpose space라는 것이 어떤 의미인지 제가 잘 몰라서 그러는데, 혹시 가능하다면 추가 설명좀 부탁드립니다.
@@AngeloYeo 친절한 답변 진심으로 감사드립니다. 행공간과 영공간이 서로 직교한다는 것을 전치와 헷깔렸습니다. 오정보 죄송합니다. 설명해주신 "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것" 에 대해 조금 더 설명해 주시면 진심으로 감사드리겠습니다. 왜 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴이 되는지 머리속에 잘 그려지지가 않습니다.
음... 왜냐면 영공간 안에 들어있는 벡터들은 선형변환 시에 쪼그라들어서 모두 0이 되어 출력되기 때문입니다... 혹시 제 영상 중 4개 주요부분 공간에 대한 관계 편을 보시면 좀 더 도움이 되지 않을까 싶은데요... 좀 더 솔직히 말씀드리자면 구체적으로 어떤 부분에서 막히시는지가 제가 잘 모르겠습니다. ㅠㅠ
2시간 뒤에 시험인데 이거 보고 0점은 면할 수 있을것 같습니다. 감사합니다
진짜.. 20년 넘게 가르친 교수님도 저를 가르치는건 실패했는데 재야의 공학도가 저를 구원하셨다.
저런... ㅠㅠ 이번 기회에 도움 많이 되셨길 바랍니다 ㅎ
공돌이님은 설명 천재가 확실합니다.
제 남은 꿈에 믾은 도움을 주시고 계십니다 ㅎㅎ 정말 감사드립니다
이렇게 완벽한 설명, 완벽한 매트랩구현은 처음봅니다... 교수 그 이상으로 설명을 잘하시네요. 혹시 매트랩공부는 어떻게 하셨나요? 동영상을 보니 매트랩을 잘하고 싶은 욕구가 샘솟네요!
안녕하세요. 격한 칭찬 감사드려요 ^^~ 매트랩은 대학원에서 연구할때 필요해 독학했고 회사에 입사해서도 꾸준히 사용해오고 있는 원툴입니다 ㅎ 그래서 다시 말하자면 필요에 의해서 공부하게 되었습니다 ㅎ
엄청 쉽게 잘 설명해주셨어요. 감사합니다.
과학기술부가 이분을 몇억대 연봉으로 계약해서, 영상만 만들게 하는게, 어디 bk프로젝트에 몇천억 쓰는것보다 미래세대 과학기술 발전에 더 도움이 될듯 합니다 😂
감탄하면서 봤습니다. 블로그두요! 감사합니다.
지금 모델링 공부하는데 vector 칼큘러스랑 미분방정식을 듣지 않은 상태라 고전하고 있었는데 다변수미적분학의 기초 재생목록이랑 대응되는 수학노트 보면서 공부하고있어요! 정말 도움이 많이 되고 있습니다ㅠㅜ 감사해요!!
설명이 가히 경이적입니다!😊
설명 john na 잘하시네요. 바로 이해되어버렸습니다. 감사합니다 형님.
원통좌표계에서 구좌표계로의 자코비안 행렬식은 r이 나오는데 그러면
dV=rdrdθdφ 가 되는데 이게 무슨 의미인지 모르겠어요..
유한요소 공부하다가 질문이 있어서 댓글남깁니다
x(-a,a), y(-b,b) 축을 제타(-1,~1),에타(-1,1) 축으로 전환시킬때
자코비안 행렬의 크기를 무조건 곱해야한다고
이해하는게 맞을까요?..
감사합니다 ❤
지금도 보고계시나요? 혹시 직교좌표계를 복소평면으로도 변환할수 있나요?
좋은 내용 감사합니다. 이해가 잘 되네요
선생님. 제가 이해한 게 맞는지 모르겠어요. '비선형변환을 국소적인 부분, 특정한 점에서는 선형으로 볼 수 있는데 그 지점으로부터 멀어질수록 오차가 생기고 그 오차를 보충해주기 위한 게 자코비안이다.'로 봐도 괜찮을까요
간결하고, 핵심적인 부분 설명 감사합니다.
안녕하세요! 공돌이님의 영상 도움이 많이 됩니당!
그런데 질문이 있어서요, 17:35 변형시켜 얻어낸 평행사변형의 넓이가 왜 dxdy 인가요?
국소적으로 보게된다면 dx를 밑변으로 했을 때, dy를 높이로 간주할 수 있기 때문인가요?
dx, dy로 구성된 determinant라고 보는게 좀 더 정확한 표현일 것 같습니다~ 혼란을 드려서 죄송합니다!
선형대에서 배웠던 자코비안 잘 몰랐었는데 감사드립니다!
대박이에요 설명 감사합니다~
와우와우와우!! 정말 제가 모르는건 다 있는 채널답습니다!!! 이제 수학개념 검색할때마다 이 채널의 영상이 나왔으면 하고 기대하게 돼요 ㅋㅋㅋ 그런데.. 오늘은 저를 이해시키는데 실패하셨어요... 하아.. 문과따리 수학공부하느라 가랭이 찢어질거같네요^^ 저는 선행지식을 이해하기 위한 선행지식도 필요하거든요.. 하지만 저는 자코비안을 정복하고 말것입니다.... 다시 올게요! 항상 감사합니다!
ㅋㅋㅋ유쾌하시네요 자코비안은 미분과 선형대수학이 만나는 교차점이라 많은 선행지식이 필요합니다 ㅎㅎ
차근히 다시한번 기초를 쌓고 오시면 분명 이해하실 수 있으실거에요~
@@AngeloYeo 헐 저 완전 이해했어요ㅠㅠ 역시 필요한 공부보다 궁금한 공부가 더 재밌네요!! 이걸 꼭 알아야하는건 아니었지만 덕분에 제가 뭘 하고있는건지 더 선명해졌습니다!! 많이 알수록 많은게 보이네요 정말ㅎㅎ 공짜로 보기 미안할정도의 강의입니다 시험공부중인데 합격하면 꼭 후원하러 올게요!!ㅠㅠㅠ 감사합니다 진짜
껄껄 필요한 공부보다 궁금한 공부가 더 재밌다니 공감입니다. 저도 그런것들이 하도 많아가지고... 이것저것 기웃기웃... 열공하시고 좋은 결과 얻으시길 바랍니다 ㅎㅎ
정말 최고입니다!
박수 와... 대단해. 이 원리를 이해했다니 너무 감사
도움 되었다니 다행입니다 :)
이집 강의 맛있게 잘하네요
진짜 소름돋게 잘 설명해주셨어요. 감사합니다.
와우 감사합니다 ^^~
Jacobian Matrix가 Linear Transform으로써의 의미말고
matrix 자체로의 성질이나 그런게 어떤게있을까요
안녕하세요. 자코비안은 영상에서 말씀드린 성질에 따라 일반적인 적분으로 계산하기 힘든 형태의 도형의 면적/부피 등을 구하는데 사용됩니다. 혹은 좌표계 변환에 따른 궤적의 계산에도 사용될 수 있습니다. 가령 다관절 로봇 연구에서 기초적으로 사용되는 개념이 자코비안이라고 할 수 있습니다
개쩔어요 ㅠㅠ 나중에 라이브 여시면 후원하겠습니다! 정말 감사합니다!
ㅎㅎ 재밌게 봐주셔서 감사합니다~~
공돌이님 좋은 강의 감사합니다. 궁금한 부분이 24:35에서 dA = dx*dy라고 하셨는데 왜 이렇게 되는지 모르겠습니다ㅜㅜ
안녕하세요. dA는 미소면적이라고 부르는 것입니다. 즉, Cartesian coordinate에서 만들 수 있는 가장 작은 면적을 말하는 것인데요. 가장 작은 면적을 얻을 수 있는 유일한 방법은 가장 작은 단위 길이 두 가지를 이용해 곱하는 것 밖에는 없습니다 ㅎ 그래서 x, y 방향의 미소길이 두 개(dx, dy)를 곱해 미소 면적을 얻을 수 있다고 보는 것입니다. 설명 부족하다고 느끼시거나 잘 이해안되시는 부분 있으시면 말씀해주세요~~
공돌이의 수학정리노트 오오 빠른 답변 감사해요! 그렇다면 미소면적이라 불리는 제일 작은 면적을 적분범위만큼 더해서 넓이를 구하는 것으로 이해하면 될까요?
잘 이해하신 것 같습니다 ~~
비선형변환이란 말은 전에는
들어 보지도 못했습니다
공돌이님 동영상에서
극좌표계의 경우
자코비안 행렬을 곱하면
정사각형으로 구성된 세계가
방사선처럼 뻗어나가는 직선과
계속 확산되는 동심원들이 교차되는
극좌표계 세계로 변하던데
그 모습이 환상이었습니다
각각의 개별적 정사각형이
극사각형으로 바뀌는 것은 알았는데
행렬을 곱해서
전체세계 자체가 그렇게 변했다는 것은
처음 알았어요
구면좌표계에서의
세계의 변환도 그림이 그려지더군요
그런데
극좌표계, 구면좌표계의 경우
약간 공부를 해서
극좌표계는
극한과 부채꼴 면적구하기로
개별적 미소극사각형 면적을 구할 수 있고
구면좌표계는
개별적 미소 극육면체 부피 구하기가
무려 3가지 방법이 있더군요
구면좌표계 개념으로
라디안 호도법을 사용해 부피 구하기
벡터 내적, 외적을 사용해 부피 구하기
그리고
지나치게 과정이 복잡하지만
부채꼴을 x축을 중심으로 돌려
쐐기라는 것의 부피를 구하는 방법
그런 식으로 다 구하다 보니
자코비안 행렬의 가치를 못 느꼈어요
(이미 알고 있는 공식을
행렬로 표기만 했구나 하고)
그런데
선형대수학을 약간이라도 알고
극좌표계, 구면좌표계
자코비안 행렬을 보니까
함수의 x축 성분 ,y축성분, z축성분을
각각
u , v, w 라는 원인변수들로 편미분한 것을
행렬 표현으로 나열해 주면
그 행렬식이
원래세계와 변화된 세계의
차이를 없애 균형이 잡히게 하는데
"이것은 선형변환 때
ad - bc
행렬식이
두 세계의 차이값을 보정하는 것과
너무 비슷하다 ......
그렇다면
자코비안 행렬이라는 것은
원래 처음부터
존재하고 있었던 수학영역일까
이미
여러가지 방법으로
극사각형이나 극육면체 부피 구하는
공식을 만들어 놓고
그것을 단지 행렬로 모양만 예쁘게 한 것이 자코비안 행렬이 아니고
원래부터
정사각형 세계를
방사선과 동심원의 극좌표계로 바꾸는
이런 행렬변환이 있었던 것일까
원래부터
정육면체 세계를
방사선과 동심구의 구면좌표계로 바꾸는
이런 행렬변환이 있었던 것일까
그렇지 않고서야
선형변환 때처럼
행렬식이 두 세계의 차이를 보정하는
역할을 하는 일이
여기서도 공교롭게도 발생할 수가 ...
이런 의문이 들었습니다
이 동영상으로
자코비안 행렬과 비선형변환의
개념도 알았고 친근감도 가는데
이 의문은 남아 있네요 ??? ..... ^^
음... 자코비안 행렬이 진짜 말하고 싶은것은 비선형변환을 국소적으로나마 선형적인 변환으로 근사시켜 보자는 것입니다.
그래서 비선형적으로 생긴 물체의 부피나 넓이를 구할 때 자코비안 행렬을 이용해 "지금의 결과가 이렇게 선형변환된 결과로 보자"라고 한다면 행렬식을 이용해 단위 면적의 변화 비율만큼을 곱해주는 것과 같은 효과가 나타나는 것입니다.
좀 더 자세한 내용은 제 블로그를 한번 더 참고해주시면 좋을 것 같습니다. 옛날 영상에서 담지 못했던 내용들이 블로그에는 갱신되어 있습니다.
아마 자코비안 행렬 영상도 한번 더 재촬영해야하지 않을까 그렇게 생각합니다.
@@AngeloYeo " 지금의 결과가
이렇게 선형변환된 결과로 보자 "
그 설명 속에 놀라운 비밀과 해답이 있는
것 같습니다
아주 미세한 영역에서는
선형변환처럼 직선이 되다는 것과
그리가
선형변환처럼
행렬식이 값의 차이를 보정하는
역할을 한다는 것
그리고
세계자체를 변화시킨다는 것
이 모든 것을
우연이라고 주장한다는 것이
오히려 비정상이라는 생각이 듭니다
지금의 결과가
이렇게 선형변환된 결과로 보자 "
수학적, 과학적 모든 위대한 발견은
이렇게 가정하는
사고에서 시작되었음을 알고 있습니다
과거에
동영상의 그림과 글씨가
세련되지 못한 것과
그때는
제 능력으로 무리라는 두 가지 이유로
소홀했던 동영상인데
다시 보니
정말 큰 보물인 것 같습니다 ~~~~
감사합니다 ^^ ( ) ^^ ~~~~~
말씀하신 부분 중 많은 부분이 공감되네요 ㅎ 자코비안 행렬은 다변수미적분과 선형대수를 연결해주는 작아보이지만 그 의미가 매우 큰 연결고리입니다 ^^~
@@AngeloYeo 너무 집요하다고 생각하겠지만
공돌이님 동영상도 보고 설명도 들으니
자코비안 행렬에 대해
나름대로 감이 옵니다
벡터 내적외적이니 기하와 미적분이니
온갖 어려운 방법을 써서
극좌표계적분이나
구면좌표계적분을 해 놓고
그 결과를 단지 예쁘게 행렬로
표기한 것이 자코비안 행렬이 아니라
원래부터
편미분원소들로 행렬을 만들어서
그 행렬로
극좌표계적분이나 구면좌표계적분을
하는
자코비안행렬이 원래부터 있었다는 것
"이 결과를 선형변환 행렬변환이
확장된 것으로 보자"
고 하셨는데
" 제곱해서 (-1) 되는 그런 수가
있다고 보자 " 하고
수학자들이 가정한 것과 같은
접근방식같아요
동영상에서
정사각형 세계가 자코비안행렬에 의해
방사선과 동심원이 교차하는
극좌표계로 세계로 변화되고
원래 세계에서
가로 5칸 세로 8칸 간 그 정사각형은
변화된 세계에서
가로 5칸 세로 8칸 간 그 극사각형으로
대응되니까
이것은
완전히 선형변환 때와 원리가 같고
행렬식이
두 세계의 차이값을 보정하는 것도
선형변환 때와 원리가 같고
그러니
원래부터 이런 행렬변환이 있었는데
이걸 도저히 받아들이기 어려워서
"힘들게
극좌표계적분, 구면좌표계적분 다 해 놓고
단지 행렬로 예쁘게 표현한 것이
자코비안 행렬일 뿐이다 " 라고
계속
그 행렬변환을 받아들이기
거부하는 것은
옛날사람들이
음수나 허수를 안 받아 들일려고
계속 거부한 것과 같다는 생각이 들었어요
그리고
자코비안 행렬을 받아 들이면
단순히 2, 3차원 뿐만 아니라
4차원 , 5차원 , 6차원 , ..............
모든 차원에서
적분을 하는 법칙을 얻는 결과가 된다는
그런 생각도 들었구요
너무 집요하다고 생각하겠지만
공돌이님 동영상이
그만큼
사고를 풍부하게 만드는 힘이 있다는
증거도 되지 않을까요 ~~
^^ ( ) ^^
행렬이 숫자원소로만 구성된
선형변환을 알고
다시
행렬이 편미분된 변수원소로 구성된
비선형변환을 알게 되니
굉장히 기분이 좋습니다 ~~ ㅎ ^^
교양수학 미적분 후반부에
구의 부피를 구하는 구면좌표계 적분
평행육면체 부피를 구하는데
스칼라삼중곱이라는 게 나오더라구요
두 벡터를 외적해서
평행육면체 밑면적을 구하고 (평행사변형)
다시
나머지 한 벡터와 내적해서
평행육면체 부피를 구하는 스칼라삼중곱
(사실은
공돌이님이 면적분에서 설명한 원리들)
그런데
그 스칼라삼중곱이라는 것을
3×3 야코비안 행렬로 표현해 놓은 것은
책에서 봤는데
스칼라삼중곱과 야코비안 행렬이
서로가
행과 열이 반대로 된 모양이라
과거에 끙끙 앓았습니다
그래서 두 가지 스타일의 3×3 행렬식을
숫자로 계산도 해 보고
문자로도 계산해 보니
어쨌든 결과는 같게 나왔는데
그럼에도 불구하고
이유와 원리를 모르니 계속 답답했습니다
"스칼라3중곱과 야코비안행렬이
왜 서로 행과 열이 바뀌어 있나 ?......"
공돌이님 선형대수학 동영상을 보면서
해답이 눈에 들어오더라구요
"아 ....
비선형변환으로 평행육면체 부피를 구하면
스칼라삼중곱과는
행과 열이 바뀌어 나오는구나 ........
그리고
선형대수학 기초과정에 ,
전치행렬과 원래행렬은 서로
행렬식이 같다는 계산법칙이 있어서
스칼라삼중곱과 야코비안행렬이
행과 열이 바뀌어 있어도
행렬식 계산결과는 동일하구나 ...."
공돌이님 동영상을 통해
선형대수학을 공부를 하니까
못 보던 세계가 보이더라구요 ^^
그리고
행렬식이란 것이 왜 존재하며 (보정목적)
4×4 , 5×5 , 6×6 , ...
이런 행렬식까지 필요가 있나 ?......
그리고
행렬식 계산을 그렇게 정의하는 이유는 ? ...
이런 것도 감이 오더라구요
9차원 초입방평행육면체라면
8차원까지를
그 초입방체의 밑변으로 보고
나머지 한 벡터를 내적한다 ........
(그래서
행렬식 계산 원리가 그럴 것이다 ...)
삼중적분을 기하학적으로 이해를 못해
애를 먹은 적이 있기 때문에 ,
5차원, 6차원, 7차원
초입방체가 얼마든지 있을 수 있고
그래서
행렬식도 계속 차원이 확장될 수 있다 ...
공돌이님 선형대수학 동영상을
계속 보니
시야가 넓어지고
못보던 세계가 보이더라구요 !!!!!!
야코비안 행렬에
계속 집착한 것도 이유가 있었습니다
그런데
치환적분, 이항분포 ,
다양한 종류의 미분방정식 풀이
다양한 종류의 적분 ...
이렇게 수요가 많은 분야를 안 다루니
찾는 사람은 한정된 것 같아요
(남의 일에 감놔라 배추 놔라
하는 것은 주제 넘지만 ....... ^^)
야코비안 행렬을 보니
3차원까지는
벡터나 미적분으로 가능해도
차원이 계속 확장되면
행렬의 도움이 절대적으로 필요하다 ....
이런 걸 느끼게 되더라구요
선형대수학 동영상이 정말 많은
도움이 되었습니다 ~~
(그 속에 신비의 세계가 있다는 것을
알면서도
어려우니까 이제 좀 두렵더라구요 ;; ㅎㅎ)
노성용님 안녕하세요 ^^
자코비안 영상에 벌써 댓글을 몇개씩 남겨주셨네요 ㅎㅎ
일단, 스칼라 삼중곱의 행렬식과 자코비안의 행렬식의 행과 열이 뒤집힌 것은 열벡터를 기준으로 행렬을 구성하는 방법을 선택한 것이냐 행벡터를 기준으로 행렬을 구성하는 방법을 선택한 것인가에 따른 차이인 것으로 보입니다 ㅎㅎ 하지만 말씀하신대로 어떤 방법으로 행렬을 구성하더라도 행렬식의 크기는 같은 값이 나오기 때문에 얻어지는 결과값은 문제가 없지요 ㅎㅎ
이제는 선형대수학 실력이 일취월장 하신 것 같습니다 ㅎㅎ 예전의 이해도에 비해서 한층 더 업그레이드 된 이해력을 갖게 되셨네요 ㅎㅎ 말씀하시는 것들만 들어봐도 이전과 많은 격차가 보입니다. ㅎㅎ
그리고, 수요가 있는 영상의 제작에 관해서 말씀하셨는데, 충분히 의미있는 제안이라고 생각합니다 ㅎㅎ 원래 이 채널은 제 취미의 일환으로(?) 만들어졌던 채널인데, 대부분이 제가 표면적인 내용 보다 더 깊은 것들을 이해한 경우에만 영상으로 올리고 있었습니다. 그러다보니 아무래도 수요가 있는 영상 위주로 만들지는 않았지요... ㅎㅎ 지금도 그런 목적은 크게 변하지 않았지만, 말씀하신대로 수요가 있는 조금 더 기초적인 부분에 대해서도 설명드릴 영상을 만드는게 좋을 것 같습니다 ㅎㅎ 최근에는 블로그에 진짜 기초 통계학과 미분 방정식 내용들을 글로 정리해서 올리고 있습니다 아마 어느정도 틀이 잡히면 영상으로도 만들겠지요 ㅎㅎ
매번 봐주셔서 감사합니다 :) 식사라도 한번 하면 좋을 것 같다는 생각도 드네요!
오늘도 좋은하루 되세요!! ^^
@@AngeloYeo 선형대수학을 공돌이님
동영상을 통해 공부하지 않았다면
전치행렬
비선형변환
이런 개념들이 없어서
야코비안 행렬의 궁금증에 대한
아무런 해답도 얻지 못했을
거예요
글을 길게 쓰는 사람이
도리어 성격은 내성적이라
만나는 것을 적극 내켜 하는 편은 아니구요
꾸준히 동영상 보며
공부하고 성원하겠습니다 ^^
네이버의 이런저런 블로그에서
이변수함수 기초는 배웠으나
스토크스정리 , 발산정리 , 라플라스방정식 ,
야코비안 행렬 , 선형대수기초
제대로 된 수학은
공돌이님 동영상에서 배운것 같아요
수학동영상 중에서는 최고인듯 !!!!!!
(어지간한 다른 곳
동영상들도 다 보았지만 .....)
아하...^^ 잘 이해했습니다 ㅎㅎ
선형대수 이해하시는데 제 영상들이 도움이 많이 되었다고 하시니 기분 좋으네요 😁😁
노성용님~ 이번에도 또 후원해주시다니~! 감사합니다 😍
와 저 진짜 댓글 안 다는데 형님 사랑합니다
열심히 공부중인 초보중에도 초보입니다만 이렇게 이해시켜주셔서 정말 감사드립니다 그런데 영상에 있는 코드를 따라 써서 매트랩으로 실행시켰을 때 my_nonlin_func가 인식할 수 없다고 뜨더라구요 이건 어떻게 해야할까요?ㅠㅠ
해당함수를 다운 받으시고 실행하시는 스크립트랑 같은 경로에 넣어주세요. 그런 다음에 원래의 스크립트를 실행하면 실행 될 겁니다
그래도 어려우시면 매스웍스 기술지원팀에 연락해주세요
정말 감사합니다!!
감사합니다
관심있게 봐주셔서 감사합니다 ^^
J행렬과 J행렬식을 이용해서 영국과 한반도 면적을 구해서 비교해보는 활동해보면 재밌을 것 같아요.
3차원 공간으로 확장시킨
자코비안 행렬에 관해 알고 싶습니다
100
010
001
이런 (3×3) 행렬에
abc
def
ghi
이런 (3×3) 행렬을 곱한 결과는
(1,0,0) 기저 벡터가
(a,d,g) 기저 벡터로 변하고
(0,1,0) 기저 벡터가
(b,e,h) 기저 벡터로 변하고
(0,0,1) 기저 벡터가
(c,f,i) 기저 벡터로 변하고
실제로 이렇게 되는 것일까요 ?
공돌이님 동영상에서
10
01
행렬에
ab
cd
행렬을 곱한 결과는
2차원 공간에서
(1,0)기저벡터를 (a,c)기저벡터로
(0,1)기저벡터를 (b,d)기저벡터로
변환시킨다는 것을 배웠기 때문에
3차원 공간에서도
그렇게 될 거라는 생각이 들었습니다
만약 성립한다면
그 증명은 계산이 좀 복잡해지는 건가요 ?
안녕하세요.
네 맞는 말씀이십니다. 3차원이고, 100차원이고 상관없이 자코비안 행렬은 말씀신대로 작동합니다.
위키피디아의 야코비 행렬을 보시면 n차원에서 m 차원으로 변하는 선형변환에 대한 자코비안 행렬이 그려져 있는데요.
사실, 차원의 크기에 상관없이 추상화는 얼마든지 가능합니다! ^^
(다만, 무한 차원에 대해서는 여전히 자코비안을 생각할 수 있는건지는 잘 모르겠습니다.)
@@AngeloYeo 친절한 설명 감사합니다 ㅎ ^~^
형님 dxdy는 직사각형이아닌데 왜넓이가되는거죠?
질문의 의도를 잘 모르겠습니다. 조금만 더 자세하게 설명 부탁드립니다. 또 의문이 생긴 영상의 시점을 알려주시면 더 도움될 것 같습니다.
18:00에 dxdy=[J]dudv 라고하셨는데 [J]dudv가 평행사변형의 넓이이고 dxdy는 직사각형인데 왜 같다고 써있나요?
매트랩 배경이 까만색이네요!! 우왕... 멋있... 어떻게 바꿔요?
흰색 배경이 눈이 아파서 검은색으로 바꿔서 쓰고 있습니다ㅠㅠ ㅎ
MATLAB schemer 이용하시면 됩니다 ^^
아래의 링크 참고해주세용 ㅎ
blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=matlablove&logNo=221157460393&categoryNo=24&parentCategoryNo=0&viewDate=¤tPage=1&postListTopCurrentPage=1&from=postView
@@AngeloYeo 오오 감사합니당
진짜 미쳤다 바로 이해했다 ㄷㄷ
형
미분 적분 스칼라
기하와벡터
너무 어렵지만 꼭 필요해요
전 어디서 부터 봐야 될까요?
안녕하세요. 어떤 목적으로 공부하려고 하시는지, 그리고 얼마나 시간이 주어져있는지 등에 따라서 많이 다를 것 같습니다. 공부하시려는 분야의 선배에게 문의하시는 것이 더 좋지 않을까 생각됩니다 ^^
자코비안 r로 듬성듬성한 부분을 보정해줘야 한다고 하셨는데 좀더 보충설명 가능 할까요??
안녕하세요. 제 나름대로는 비선형 변환을 시켜줄 때 공간이 늘어나는 면적만큼 적분시에 보정해줘야한다는 취지로 말씀드렸는데요... 다시 말해서, 비선형변환(여기서는 직교좌표계에서 극좌표계로 변환)을 선형변환으로 근사시켜서 생각해봤을 때 늘어나는 넓이의 비율이 변환 후 원점에서 떨어진 거리와 같다는 것이죠... 혹시 어떤 부분이 설명이 부족했는지 한번만 더 말씀해주실 수 있으신가요 ?
9시간 뒤 공학미적분학 시험..이거 보고 A+받아오겠습니다 감사합니다
옴마 이제 곧이겠네요...화이팅입니다~!
여기에 글 올려서 죄송한데 위키독스에서 올리신 야코비언행렬관련내용들 중에
dx=Jdu와 dy=Jdv가 왜 성립이 되는지 이해가 안되서 그러는데 혹시 자세하게 알수 있을까요?
안녕하세요. 자코비안 행렬이라는 것이 두 좌표계 간의 미소 변화의 변환 관계를 설명한다고 볼 수 있습니다. 다만 이 변환 관계는 실제로는 비선형적이지만 선형적으로 근사시킨 것이기 때문에 선형 변환인 행렬이 '변환 관계'를 서술하는데 사용된다고 할 수 있습니다.
위키독스의 글에서는 (x,y)좌표계와 (u,v) 좌표계 간의 변환 관계에 대해서 알아보고자 한다고 상정하고 글을 서술했는데요. 그렇게 되면 du와 dx간의 관계와 dv, dy 간의 관계는 두 좌표계 간의 미소 변화의 변환 관계는 자코비안으로 쓸 수 있으니까 dx =Jdu 혹은 dy = Jdv가 성립될 것 같습니다....
혹시 다른 방식의 설명이 필요하시다면 댓글 한번 더 달아주세요~
도서관서 듣던 문돌이 기립박수 치고 갑니다...
어려운걸 들으시네요... 감사합니다 😊
👍👍👍
🙇♂️🙇♂️🙇♂️
이런게 생략돼잇엇구나..
오랜만에 다시 기하 좀 파 볼려고 했는데,,, 어렵네요 ㅋㅋ
익숙해지시는데 시간이 걸리는 것 뿐일거에요!! 화이팅입니다
공부하는데 많은 도움이 되었습니다
도움 되셨다니 다행입니다 ^^
극좌표계에서 넓이가 r*2π 인 것을 구면좌표계로 변환시키면 r²π 가 나오는데 여기서 극좌표에서 구면좌표계로 넘어갈때 야코비 값이 r 인데 식으로보면 r * 2π= ½r * r * 2π 이니깐 야코비 값이 ½r 으로 보이는데 잘 이해를 못하겠어요ㅠㅠ
안녕하세요. 극좌표계는 2차원 공간에서 사용할 수 있는 좌표계이고 구면좌표계는 3차원 공간에서 사용할 수 있는 좌표계인데... 어떤 것을 의미하시는지 잘 모르겠습니다. 두 좌표계 간에 변환이 어떤 의미가 있을까요?
@@AngeloYeo 으 구면좌표계라고 하면 안되는군요 ㅠㅠ 영상에서 나온 식을 그대로 써본것입니다! 25:31에 나온 식에서 2말고 r까지라고 대입하면 계산식이 ½r * r * 2π= r²π 인데 21:48 에서 보면 넓이가 lJl * dθ * dr = r * dθ * dr 인데 dθ=2π 이고 dr=r 이면 lJl = ½r 가 나오게 느껴져서 제가 멍청해서 ㅠㅠ 이해가 안 되고 있네요
@@윤호준-q7f 음 dθ=2π, dr=r과 같이 대입해서 볼 순 없어요~ dθ는 각도의 매우 작은 변화를 의미하는 것이기 때문입니다...그리고 자코비안도 영상에서 보셨던 것 처럼 매우 작은 변화에 대해서만 선형화 시켜놓아 만들어둔 행렬이기 때문에 말씀하셨던 것과 같이 대입하면 안됩니다 ㅠ
@@AngeloYeo 그렇군요 ㅠㅠ 답변 감사합니다~!!
교과서와 참고서는
자코비안 행렬이라는 것이 있으니
암기해라는 식인데
이 동영상은
자코비안 행렬이 어떻게 탄생했는지
기원과 탄생의 비밀이 나와 있어
충격 받았습니다
극소의 영역에
선형변환과 미분의 연쇄법칙을 도입해서
자코비안 행렬을 유도하는 것
환상이었습니다
선형변환과 자코비안 행렬은
도저히 관계가 없을 것 같은데
결국
자코비안 행렬은
선형변환의 확장이라는 것 !!!!!!!!!!!!!!
미적분이라는 분야와는 다른
선형대수학 분야가 확실히 존재하는군요
.... ㄷㄷㄷ ......
기적의 동영상 정말 감사합니다 !!!!!!!
이 동영상은
별도의 동영상으로 제작해서
조회수를 좀 올려야겠습니다 ^^
여러번 영상 봐주시는 것 같습니다^^~ 오랜만입니다 노성용님 ㅎㅎ 매번 너무 잘 이해해주셔서 영상 올린 저로써는 너무 뿌듯합니다 ㅎㅎ
개어엽메
야, 코... 몇수 앞을 내다본겁니까 야코비 행님....
...소난다...
호우 야코비안꿀잼
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 필요한 지식은 세가지에요.. 아니 실제로는 네가지에요. 일단 세가지? 네? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 커엽
갓공돌이를 국회로!
자코비안 행렬의 영공간은 어떤 의미를 가지나요?
안녕하세요... 훌륭한 질문이십니다.
Jacobian 행렬의 의미를 다시 생각해보면 어찌되었건 비선형 적인 변환을 선형적으로 바꿔주는 것이고, 이 때 필요한 것은 입력 벡터 공간으로부터 선택된 벡터 하나와 이로부터 얻게되는 출력 벡터 공간 상의 벡터입니다.
또 한편, 영공간의 의미에 대해 다시 생각해본다면 입력 벡터 중 행렬을 통과시켰을 때 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모두 모인 곳이라고 할 수 있겠는데요.
Jacobian이 많이 이용되는 분야는 로보틱스이니 이것과 관련된 예시를 들어 설명드리자면, 가령 입력 벡터는 사람이 로봇을 조종하는 리모컨(?) 혹은 조이스틱으로부터 들어오는 값이라고 할 수 있습니다. 또, 출력 벡터는 실제 로봇의 움직임을 표현한 것 (가령, x, y, z 방향으로의 속도와 x, y, z 방향으로의 각속도...) 이라고 할 수 있겠습니다. 이 때 ,Jacobian은 입력(조이스틱)과 출력(로봇의 움직임)에 대한 비선형적일 수 있는 변환을 선형적으로 근사시켜 놓은 것이라고 할 수 있겠네요.
그렇다면 자코비안 행렬의 영공간이 가지는 의미는 다음과 같습니다. "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것" 정도라고 말입니다. (입력 패턴을 모두 벡터화 시킬 수 있다면 이것을 모두 모아둔 것은 벡터 공간이 되겠지요?)
@@AngeloYeo 로봇 움직임으로 예를 들어주셔서 너무 감사드립니다. "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것"이라고 설명을 해주셨는데, 그 말은 직진 방향으로 나아가는 로봇에 영공간으로 가는 입력을 가하면, 그 로봇은 그 입력에 상관없이 계속해서 직선으로 가게 된다는 말씀인가요? 영공간은 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모인 공간으로 알고는 있지만, 이 0들이 모인 공간이 로봇의 움직임에 어떠한 상태를 나타내는지 잘 이해가 되지가 않습니다. 다만, 제가 드는 생각은 "출력이 0이되면 로봇이 아예 안움직이지 않을까?" 아니면 "영공간은 행공간의 transpose 공간이라 알고 있는데, 이것은 로봇의 상태를 어떻게 나타낼까?" 입니다. 영공간, 자코비안 등 말하는 개념들은 알겠지만, 이러한 개념을 로봇의 움직임이나 상태(e.g., 팔의 위치)에 적용하여 생각하기가 어렵습니다. 혹시 이에 대해 좀 더 설명해주실 수 있나요?
안녕하세요.
1. "직진 방향으로 나아가는 로봇에 영공간으로 가는 입력을 가하면, 그 로봇은 그 입력에 상관없이 계속해서 직선으로 가게 된다는 말씀인가요?" 라는 질문에 대해서. 일단은 출력으로서의 로봇의 움직임을 어떻게 표현해줄 것인가에 달린 문제라고 볼 수 있습니다. 만약 로봇의 움직임(출력)을 x, y, z 방향으로의 가속도(혹은 힘)으로 표현한다면 말씀해주신 대로 출력값이 모두 0이니(즉, 모든 방향에 대한 가속도가 0이기 때문에) 입력에 관계 없이 계속해서 직선으로 가게 될 수 있겠죠.
제가 잠깐 확인해본 결과로는 보통은 로봇의 움직임에 대한 출력은 x, y, z 축 3방향 속도와 3방향에 대한 각속도로 표현합니다. 그래서 ... 어떻게 출력값을 놓느냐에 따라서 말씀하신대로 등속도 운동을 할 수도 있을 것이고, 만약 제가 말씀드린대로 출력을 설정하면 로봇이 동작을 멈출 수도 있겠지요.
다시 한번 말씀드리지만 자코비안은 입력과 출력의 비선형적일 수 있는 관계를 선형적으로 근사한 것입니다.
2. "영공간은 0을 얻게 되는 입력벡터들이 모인 공간으로 알고는 있지만, 이 0들이 모인 공간이 로봇의 움직임에 어떠한 상태를 나타내는지 잘 이해가 되지가 않습니다"라는 질문에 대해서. 질문이 모호합니다. "이 0들이 모인 공간"이라고 칭하신게 만약 영공간에 대해 말씀하신 것이라면 그것은 영공간에 대한 이해가 잘못되었다는 것을 말합니다. 영공간은 입력 벡터에 관한 얘기입니다. 또, 만약 "이 0들이 모인 공간"이 열공간과 left null space의 교집합인 영벡터에 대한 얘기라면 위의 1번에서 말씀드린 바와 같이 출력을 어떻게 놓는가에 따라 달라지는 문제가 될 것입니다. 같은 내용이니 굳이 반복하지는 않겠습니다.
3. "영공간은 행공간의 transpose 공간이라 알고 있는데, 이것은 로봇의 상태를 어떻게 나타낼까?" 라는 질문에 대해서. 영공간과 로봇의 상태는 직접적으로 관계가 없습니다. 다만, 영공간에 포함되어 있는 벡터로 입력을 가했을 때 로봇에서 출력되는 출력값이 모두 0이라는 것 만 말씀드릴 수 있습니다. 그리고 이 과정에서 행렬(여기서는 자코비안 행렬)이 함수처럼 입력과 출력을 매개하지요.
굳이 자코비안의 개념을 도입해 생각하려고 하지는 마시고, 이 경우에는 일반적인 행렬의 영공간에 대해 생각하는 것이 좋아보입니다. 그런데, 영공간이 행공간의 transpose space라는 것이 어떤 의미인지 제가 잘 몰라서 그러는데, 혹시 가능하다면 추가 설명좀 부탁드립니다.
@@AngeloYeo 친절한 답변 진심으로 감사드립니다. 행공간과 영공간이 서로 직교한다는 것을 전치와 헷깔렸습니다. 오정보 죄송합니다. 설명해주신 "조이스틱의 움직임 중 로봇의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴들을 모아둔 것" 에 대해 조금 더 설명해 주시면 진심으로 감사드리겠습니다. 왜 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 입력 패턴이 되는지 머리속에 잘 그려지지가 않습니다.
음... 왜냐면 영공간 안에 들어있는 벡터들은 선형변환 시에 쪼그라들어서 모두 0이 되어 출력되기 때문입니다...
혹시 제 영상 중 4개 주요부분 공간에 대한 관계 편을 보시면 좀 더 도움이 되지 않을까 싶은데요...
좀 더 솔직히 말씀드리자면 구체적으로 어떤 부분에서 막히시는지가 제가 잘 모르겠습니다. ㅠㅠ