Gut gemacht 👍 Bezüglich der Metrik ist der Riemann'sche Raum nur ein Prähilbertraum. Viele Begriffe und Eigenschaften sind oft schwer voneinander zu unterscheiden. Weil es auch überschneidungen gibt. So kann der Euklidische Raum als eine Teilmende des Riemannschen Raums gesehen werden. Riemannscher Raum ist ein Teil der Riemann Geometrie mit folgenden Eigenschaften: • Die kürseste Strecke zwischen zwei Punkten kann krumm sein. • die Summe der Winkel geschlossener Streckenzüge kann sich vergrößern. Zb Dreieck mehr als 180° • Parallelverschiebung kann zu Verdrehung führen. Und hängt vom Weg ab. • Die Metrik der Ort und die Lage sind nicht linear im Zusammenhang. Aber durch Tensoren oder Funktionen eindeutig im Zusammenhang. Ich weiche etwas von den allgemeinen bestimmenden Erklärungen ab. Also etwas weicher formuliert. Damit möchte ich aber eine allgemeinere Richtigkeit bewahren. In viele Beschreibungen wird die Mannigfaltigkeit unterschiedlich interpretiert. Oft werden die Karten, der Atlas, die Tangentenräume vermischt. Wenn man weiß was gemeint ist kann man sich diese Schlamperei erlauben. Den Lernenden verwirren diese. Viele Begriffe die irgendwie Gemeinsamkeiten haben müssen. Aber welche gehört zu welchen Begriff und welche als Bindeglied zu zwei Begriffen ist die Schwierigkeit beim lernen. Und dann kommt der Formalismus und die praktische Berechnung noch dazu. Wirklich gute Erklärungen habe ich auch nicht gefunden. Und es ist auch gar nicht leicht eine gute Erklärung zu finden. Weil das Thema sehr schnell komplex wird. Da fällt schon mal die Norm, Abstand, inneres Produkt,... beiläufig als Begriffe, die ihrerseits eine Vorlesung füllen. Und all das sollte ohne Interpretation (=Vorstellung) erfasst werden um allgemeine Gültigkeit zu bewahren. Denn die Mannigfaltigkeit soll ja nicht auf die Geometrie beschränkt bleiben. Jegliche physikalische Realitäten und abstrakte Mathematik soll damit auch gemeint sein dürfen. Zb ein Produktionsprozess, Elektronik,... Letztlichbist es etwas kinderleichts. Nur die Spielregen sind langwirrig bis alle verstanden wurden. LG Sven Windpassinger
In der Betrachtung als Fläche, hast du recht. Als Steckenzug - Funktionskurve die nicht differenzierbar ist, stimmt deine Aussage nicht. Da er nicht von einer Fläche gesprochen hat, war seine Erklärung schon gut. Man muss es erst mal besser machen. Probier es und du wirst merken wieviele Fehler sich schnell mal unbemerkt einschleichen können. Und wenn man noch verschiedene Ideen von außen als Bedingung einschließt, wird eine Erklärung und die Bemühung damit nur vereitelt. LG
Nein. Generell eben nicht. Im Spezialfall kann es aber schon so sein. Die Topographie ist nur die Aufzeichnung in einer Karte der Topologie. Also bereits auf ebenen gebogenes Abbild. Da stimmt es. Aber das ist keine Mannigfaltigkeit. Nur die Karte. Stell dir den Unterschied folgendermaßen vor. Ein Zylinder ist zwar krumm aber eben: Rollst du den Zylinder auf hast du eine Ebene. Daraus kanst du ein Origami bauen. Eine Kugel kannst du nicht eben aufrollen. Es bleiben Dellen. Ebnest du diese mit Gewallt reißen die bereits gespannten Teile auf. Macht man dies systematisch mit wenigsten Ungenauigkeiten, erhölst du zb die Darstellungen der Erde in einem Atlas. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die Karten im Atlas haben aber immer Verzerrungen. In den Überlappungsbereichen sind sich die karten so ähnlich, sodass ein Kartenwechsel stattfinden kann. Damit bist du aber in einen anderen Vektorraum gewchselt. In einer nicht ebenen krummlinigen Geometrie (allgemeinere Fall) ist Origami nicht möglich ohne das Papier zu zereißen! War meine Antwort hilfreich? LG Sven Windpassinger
Weil in der Ecke nicht differenzierbar. In der Topologie (ein konzept Mannigfaltikeiten mit den bekannten Mitteln der Mathematik berechnen zu können) die notwendige Forderung besteht, ohne beschränkung differenzieren zu können. Also mit jeder Karte geht das beim viereck nicht. Mit speziellen mehreren Karten geht es schon. Aber die Topologie mit der der Riemannsche Raum hier beschrieben wird ist eine allgemein gültige Erklärung. Also eine Karte (stell es dir wie ein Schattenbild vor. Kann auch schräg sein) kann das Viereck abbilden. Und du kannst es auch berechnen. Aber differenzieren kannst du das viereck nicht. Im Original genausowenig wie auf der Karte. War die Antwort zufriedenstellend? LG Sven Windpassinger
Gut gemacht 👍
Bezüglich der Metrik ist der Riemann'sche Raum nur ein Prähilbertraum.
Viele Begriffe und Eigenschaften sind oft schwer voneinander zu unterscheiden. Weil es auch überschneidungen gibt. So kann der Euklidische Raum als eine Teilmende des Riemannschen Raums gesehen werden.
Riemannscher Raum ist ein Teil der Riemann Geometrie mit folgenden Eigenschaften:
• Die kürseste Strecke zwischen zwei Punkten kann krumm sein.
• die Summe der Winkel geschlossener Streckenzüge kann sich vergrößern. Zb Dreieck mehr als 180°
• Parallelverschiebung kann zu Verdrehung führen. Und hängt vom Weg ab.
• Die Metrik der Ort und die Lage sind nicht linear im Zusammenhang. Aber durch Tensoren oder Funktionen eindeutig im Zusammenhang.
Ich weiche etwas von den allgemeinen bestimmenden Erklärungen ab. Also etwas weicher formuliert. Damit möchte ich aber eine allgemeinere Richtigkeit bewahren.
In viele Beschreibungen wird die Mannigfaltigkeit unterschiedlich interpretiert.
Oft werden die Karten, der Atlas, die Tangentenräume vermischt.
Wenn man weiß was gemeint ist kann man sich diese Schlamperei erlauben. Den Lernenden verwirren diese. Viele Begriffe die irgendwie Gemeinsamkeiten haben müssen. Aber welche gehört zu welchen Begriff und welche als Bindeglied zu zwei Begriffen ist die Schwierigkeit beim lernen.
Und dann kommt der Formalismus und die praktische Berechnung noch dazu.
Wirklich gute Erklärungen habe ich auch nicht gefunden.
Und es ist auch gar nicht leicht eine gute Erklärung zu finden. Weil das Thema sehr schnell komplex wird.
Da fällt schon mal die Norm, Abstand, inneres Produkt,... beiläufig als Begriffe, die ihrerseits eine Vorlesung füllen.
Und all das sollte ohne Interpretation (=Vorstellung) erfasst werden um allgemeine Gültigkeit zu bewahren.
Denn die Mannigfaltigkeit soll ja nicht auf die Geometrie beschränkt bleiben. Jegliche physikalische Realitäten und abstrakte Mathematik soll damit auch gemeint sein dürfen. Zb ein Produktionsprozess, Elektronik,...
Letztlichbist es etwas kinderleichts. Nur die Spielregen sind langwirrig bis alle verstanden wurden.
LG
Sven Windpassinger
Es mit komplett schwarzem Bildschirm zu präsentieren ist ein steiler Move, 👍😎
Never mind bei minimaler Bildschirmhelligkeit sah ich nix, lol
Wut? Das Quadrat ist dann einfach eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Diese vereinfachte Darstellung hinkt.
In der Betrachtung als Fläche, hast du recht.
Als Steckenzug - Funktionskurve die nicht differenzierbar ist, stimmt deine Aussage nicht.
Da er nicht von einer Fläche gesprochen hat, war seine Erklärung schon gut.
Man muss es erst mal besser machen.
Probier es und du wirst merken wieviele Fehler sich schnell mal unbemerkt einschleichen können.
Und wenn man noch verschiedene Ideen von außen als Bedingung einschließt, wird eine Erklärung und die Bemühung damit nur vereitelt.
LG
Frage ist in der Topographie die Form der Fläche nicht egal solange man nicht "Schneiden" muß? Und ist Topographie das Origami der Mathematik?
Nein. Generell eben nicht. Im Spezialfall kann es aber schon so sein.
Die Topographie ist nur die Aufzeichnung in einer Karte der Topologie. Also bereits auf ebenen gebogenes Abbild. Da stimmt es. Aber das ist keine Mannigfaltigkeit. Nur die Karte.
Stell dir den Unterschied folgendermaßen vor.
Ein Zylinder ist zwar krumm aber eben: Rollst du den Zylinder auf hast du eine Ebene. Daraus kanst du ein Origami bauen.
Eine Kugel kannst du nicht eben aufrollen. Es bleiben Dellen. Ebnest du diese mit Gewallt reißen die bereits gespannten Teile auf.
Macht man dies systematisch mit wenigsten Ungenauigkeiten, erhölst du zb die Darstellungen der Erde in einem Atlas. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die Karten im Atlas haben aber immer Verzerrungen. In den Überlappungsbereichen sind sich die karten so ähnlich, sodass ein Kartenwechsel stattfinden kann. Damit bist du aber in einen anderen Vektorraum gewchselt.
In einer nicht ebenen krummlinigen Geometrie (allgemeinere Fall) ist Origami nicht möglich ohne das Papier zu zereißen!
War meine Antwort hilfreich?
LG
Sven Windpassinger
Das mit dem Quadrart hab ich nicht richtig verstanden. Warum ist das keine differenzierbare Mannigfaltgkeit?
Weil in der Ecke nicht differenzierbar.
In der Topologie (ein konzept Mannigfaltikeiten mit den bekannten Mitteln der Mathematik berechnen zu können) die notwendige Forderung besteht, ohne beschränkung differenzieren zu können.
Also mit jeder Karte geht das beim viereck nicht.
Mit speziellen mehreren Karten geht es schon.
Aber die Topologie mit der der Riemannsche Raum hier beschrieben wird ist eine allgemein gültige Erklärung.
Also eine Karte (stell es dir wie ein Schattenbild vor. Kann auch schräg sein) kann das Viereck abbilden. Und du kannst es auch berechnen. Aber differenzieren kannst du das viereck nicht. Im Original genausowenig wie auf der Karte.
War die Antwort zufriedenstellend?
LG
Sven Windpassinger