Mannigfaltigkeit bildlich erklärt! (inkl. Karte, Atlas, Orientierung, ...)
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- Опубликовано: 19 янв 2014
- Alles über Mannigfaltigkeiten anschaulich erklärt! Inklusive Karte, Atlas, Orientierung, Homöomorphismus und dem Möbius-Band.
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#Mannigfaltigkeit
danke für das bildliche beispiel mit der Erde, ich hatte bisher keine ahnung was die mannigfaltigkeit aussagt oder ist. Du hast es mir aber auf simple art und weise näher gebracht!
Kannst du ein Video zu Tensoren machen: also
1) was ist das „intuitiv“
2) woran denkt ein Physiker und wie ist das im mathematischen konkret
3) wie spielt das tensorprodukt in diese Vorstellung des Physikers rein?
So ein Video wäre supercool!
Deine Videos sind echt genial!
Mathe versuchen intuitiv zu erklären ist echt eine Sparte die echt erstrebenswert ist einfach klasse 👍🏽
Tensoren sind Elemente eines Tensorraums.
Ende
wert Sie sind eingestellt!
Definition: Tensoren sind mathematische Objekte, die sich wie Tensoren transformieren lassen. q.e.d.
Wow das war eine brillante Erklärung! Vielen Dank für deine Mühen!
Sehr gutes Video, danke für diese super anschauliche Erklärung.
als mir damals als wir Untermannigfaltigkeiten gemacht haben mir der Begriff Karte und Atlas näher gebracht wurden, dachte ich meine Vorstellung als realer Atlas bzw. Karte wäre sehr "lax" aber eigentlich ist es eine gute Möglichkeit es sich vorzustellen, interessantes Video ich werde mal mir diesen Kanal näher anschauen! :)
Echt super Erklärung. Es hat mir viel geholfen. danke ^^!
Das ist ein genialer Kanal. Super!!!!!!
danke extrem hilfreich!
Danke! Dieses Video ist ein von dem besten.
Super erklärt - Danke! Wäre es möglich, ein Video zu Faser-, Vektor- und Tangentialbündel zu machen? Das wäre Klasse!
Sehr gute Intuition danke
Echt super Video! Danke!
+TziLakriZa Danke für das Feedback :) Wenn du immer frisch auf dem
Laufenden bleiben willst (neue Videos oder Artikel und Kurse von meiner
Website), dann empfehle ich dir meinen Newsletter! Darüber kannst du mir
auch immer direkt ne Mail schreiben und du bekommst ein PDF mit den 7
häufigsten Mathe-Floskeln dazu ;)
Findest du alles auf der Website (siehe Video-Beschreibung). Würde mich freuen von dir zu hören :)
Super !!!! Danke
Kannst du ein Video über den Elementarteiler Satz machen ? :)
Danke
Wäre es möglich, ein Video zu machen, wo "die allgemeinsten Konzepte" der Mathematik vorgestellt werden, also so etwas, das echt jenseits von Gut und Böse und man dort "alles" machen kann, was man will (z.B. sich eine "neue Mathematik erstellen oder so)?
Wenn ich dich richtig verstehe, solltest du dich mit Kategorientheorie beschäftigen. Das ist im Prinzip Meta-Mathematik
krasse Nummer dein Kanal! Auch wenn man schon mitten im Studium ist gibts hier ne Menge "aha" Momente
Sehr schön, das freut mich natürlich umso mehr :-) Danke für das Feedback!
Hallo Markus, Ich beginne jetzt mathe zu studieren und habe mir schon alle videos angeschaut die du so hochgeladen hast und war begeistert :) ich denke auch dass ich mir die Ana1 und LinAlg 1 Kurse von dir kaufe
Noch eine Frage: Ist diese Mannigfaltigkeit nur von einem n-dimensionalen Vektorraum in einen (n-1)-dimensionalen VR möglich oder kann man da beliebige `Dimensionssprünge`machen? (nur so aus Interesse gefragt)
Danke dir und weiter so :)
+Matthias Landes Hey Matthias, schön von dir zu hören und danke für die Frage :)
Vorsicht! Die Mannigfaltigkeit ist erstmal selbst kein Vektorraum oder darin enthalten! Im Video kann man sich die Erde zwar als Teil des 3-dimensionalen Raums vorstellen (und könnte man natürlich auch so definieren), jedoch wird ein (formaler) Vektorraum für die Mannigfaltigkeit selbst nur bei den "Karten" benötigt, aber nicht beim "Gesamtkonstrukt" selbst.
Im Gegenteil: Die Erde im Video ist eben genau das: eine Mannigfaltigkeit. Was auch nur heißt: Eine Menge von Punkten mit gewissen Eigenschaften (genauso wie ein Vektorraum eben eine Menge von Punkten mit anderen gewissen Eigenschaften ist).
Zurück zu deiner Frage: Es gibt also gar nicht zwei Dimensionszahlen, die man vergleichen könnte (in deiner Frage meintest du ja Dimension n und Dimension n-1), sondern es gibt quasi immer nur die Dimension des Vektorraums, den die Karten beschreiben.
Und hier gibt es, wie du dir sicher vorstellen kannst, beliebige Möglichkeiten ;) Es gibt Mannigfaltigkeiten für jede Dimension (1,2,3,4, ...). Wobei die Dimension sich auch hier wieder nur auf die Dimension der Karten zu dieser Mannigfaltigkeit bezieht.
Ich hoffe ich habe es nicht zu verwirrend formuliert. Ist es jetzt klarer?
+Math Intuition Aha! Jetzt hab ich ne ganz andere Sicht auf die ganze Sache :) Ja ich bin dann mal gespannt wann das bei mir dran kommt^^ Danke dass du so schnell geantwortet hast :) du gibst dir echt mühe
@@matthiaslandes1010 und, wie lief das Studium?
Worin unterscheiden sich Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten aus der Analysis 2? Würde mich freuen, wenn dazu (explizit über Untermannigfaltigkeiten) ein Video kommen würde...Klausur steht nächste woche Freitag an :)
Stell dir einen Donut vor (2-dimensionale Mannigfaltigkeit). Dieser enthält verschiedene "Kreise" (wenn du zum Beispiel mit einer Ebene schneidest), welche eine 1-dimensionale Unter-Mannigfaltigkeit bilden.
Ist so ähnlich bei Vektorräumen und Untervektorräumen: Das erste steht erstmal für sich und bildet "deine Welt" / "deine Leinwand", während bei einem Unter... ein Teil dieser Leinwand betrachtet wird, die aber natürlich für sich gesehen auch ein ... (z.B. Vektorraum / Mf) Ist.
Tolle Videos! Könntest du mal eines zur Topologie machen?
Klar :-) auch wenn es wohl ein wenig dauern wird ...
Meinst du das Fachgebiet Topologie allgemein oder die Definition einer Topologie?
Math Intuition kommt das Video noch?;)
Das hier ist ja auch Topologie
die Eigenschaften mathematischer Strukturen sind unter stetigen Verformungen gleich .
Wirklich genial kannst du ein Video über fourieranalysis machen
Lol ich glaube das ist denkbar weit weg von der Algebra
Kannst du vielleicht ein Video zum Thema K-Algebra machen? Ich kann das irgendwie nicht in Zusammenhang mit Gruppen, Ringen, etc. bringen. Wikipedia sagt was von Bilinearität, was mir aber auch nicht weiterhilft... Vielleicht kann es mir auch sonst wer in den Kommentaren erklären. Danke!
Hey Anny, hier dazu ein paar Zeilen: Eine Algebra ist die Kombination aus Vektorraum und Ring. Bestes Beispiel dafür sind Matrizen, die kannst du als "Vektor" in einem Vektorraum auffassen (stell dir dafür vor, dass man alle Spalten einer Matrix untereinander statt nebeneinander platziert, dann hast du einen Vektor) und du kannst Matrizen multiplizieren. Anderes Beispiel: Jeder Körper K ist ein 1-dimensionaler K-Vektorraum (enthält also quasi nur Vektoren mit einem Eintrag) und es gibt darin eine Multiplikation.
super video,
könntest du noch die Untermanngifgaltigkeit kurz erklären
Eine Untermannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit, die Teil einer größeren Mannigfaltigkeit ist. Stell dir zum Beispiel den Äquator einer Sphäre (Erdoberfläche) vor.
Die Aussage, dass "auf jeden Fall Information verloren geht" würde ich so jetzt nicht unterstreichen. Schließlich kann die Krümmung ja durch differenzierbare Karten berücksichtigt werden
Man kann eine geschlossene Kurve in R³ in R Abbilden. Wie nennt man so eine "doppelte" Mannigfaltigkeit?
+Thiemo Krebsbach Da bin ich leider überfragt ;)
5:07 Da sagst du, dass das Objekt nicht so aussieht wie ein R hoch n also R hoch eine beliebige Zahl. Aber eine Kugel ist doch dreidimensional also R hoch 3. Entweder ch hab da was falsch verstanden oder etwas stimmt da nicht
Luenko K guter hinweis, da hab ich mich etwas unklar ausgedrückt: eine kugel lässt sich natürlich als teil des R^3 beschreiben - ist aber niemals der ganze R^3, das meinte ich. Aber wenn man die oberfläche der kugel heranzoomt, dann sieht alles plötzlich genau so aus wie ein verbogener R^2, also eine ebene.
6:05 "Lokal sieht meine Erdoberfläche aus wie eine Ebene"
Wusste ich's doch, die Erde ist flach 😂
sehr sehr gut erklärt, chapeau! Wieso können die Professoren das nicht mal im Ansatz so einfach erklären?
AncientFiend17 Weil sich die nicht in das Unverständnis der Schüler und Studenten hineinversetzen können. Wobei ich mit "die" auf keinen Fall alle Professoren meine, ein paar gute gibt es schon ;)
Weil viele von uns leider unverständlich bleiben wollen. Ja, ich gebe zu: die Angst vieler meiner Kollegen ist verständlich zu sein. So wie ein Magier, der Angst hat unterzugehen, wenn man den Zauber genau durchschaut. Manche meiner Kollegen haben aber einfach nicht genug Zeit und wollen sich mehr der Forschung als dem detaillierten Unterricht widmen.
In der Uni geht es nicht nur darum, die Intuition zu vermitteln (was zugegebenermaßen einige Profs gerne vergessen), sondern klare eindeutige Definitionen zu geben mit denen man dann rigoros Sätze formulieren und beweisen kann. Dieser Kanal hier ist gut geeignet, um die Motivationen hinter mathematischen Konzepten zu erklären und eine Vorstellung davon zu geben, aber nicht um letztendlich professionell Mathematik zu betreiben. Dafür muss man sich dann doch den ganzen Formelkram antun, auch wenn es mithilfe der Intuition sicherlich einfacher ist.
Hallo. Super Erklärung auf jedenfall! (Nur so Nebenbei: Mathe ist ziemlich easy würde man nur die ganzen prestige Begriffe weglassen...)
Also: Kleine Frage -> Warum ist im Beispiel der Erde denn nur immer ein kleiner Teil "verformbar"? Ich kann doch einfach die gesamte Hohlkugel (Uns interessiert ja nur die Oberflöche hierbei) Aufklappen (Wird ja auch gemacht -> Weltkarte)?
MFG.
+Smocaholic21 Bei jeder Weltkarte hast du allerdings immer ein Problem: Entweder gibt es Teile darauf doppelt oder du hast Verzerrung ;) Das liegt eben genau daran, dass nicht alle Informationen vom 3-dimensionalen ins 2-dimensionale OHNE VERLUST übertragen werden können. Daher nimmt man immer nur Teile davon.
Die Karten die wir von der Erde kennen, sind nicht stetig, 2 Punkte ganz am Rand (westen und osten) sind auf der Karte weit voneinander entfernt und auf der Erde nach aneinander. Um dieses Problem zu lösen braucht es 2 Karten. Die reichen auch aus, nimm einfach eine für jede Hemisphähre
Abonniert!
Gute Wahl ;)
ok🤔
Hmm lecker Wurst aus Teig
Danke
Sehr gern!