공집합을 원소로 가지는 집합 (고등학교 수학 교과 | 집합론 | 수리철학 | 수학의 기초론)

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고등학교 수학교과를 공부하다보면 집합이라는 주제를 맞이하게 됩니다. 그리고 집합을 열심히 공부하다보면 공집합을 원소로 가지는 희한한 집합을 가끔씩 볼 수가 있습니다. 도대체 이 집합들은 무엇일까요?
지금은 집합이라는 것이 고등학교 교과에, 더 구체적으로는 1학년 2학기에 나오는 주제이지만 예전에는 중학교 1학년 1학기 첫 단원, 그리고 고등학교 1학년 1학기 첫 단원에 나왔었습니다.
집합이라는 것이 수학에 등장한 것이 19세기 후반인데, 이렇게 중요하게 다루어졌던 이유는 무엇일까요?
이번 영상을 통해 어쩌면 오랫동안 마음에 품고 있었던 집합에 대한 궁금증을 풀어드리고자 합니다.
#공집합 #집합 #고등학교수학교과

[@intoyourcompany]

감사합니다

[@Siaaissisi]

0이라는 대상을 0:=∅={}라 정의했다는 것은 {0}은 {{}}과 같아, {0}:=1이 되나요?
영상 재밌게 봤어요!
아 그리고 자연수에 대한 폰노이만의 정의가
∅의 멱집합 관계 같은데 맞나요?

[@mathandenglish]

넵 맞습니다. 1 := { { } } = { 0 } 이라고 하는 편이 더 맞겠습니다 ^^ (결국 같은 말이지만요)

[@Siaaissisi]

{{}}=0이라면,
0={}인가요? 0:={}인가요?
답변 감사합니다!

[@mathandenglish]

@@Siaaissisi 0 := { } (공집합) 이고, 1 := { 0 } = { { } } 입니다. := 기호는 정의를 나타내는 표현이지만 또 한편으로 등호이기도 합니다. 사실 등호의 사용 규칙이라는 것도 있습니다. 1) Reflexive axiom, 2) Symmetry axiom, 3) Transitive axiom, 4) Substitution axiom 인데, 기회가 되면 한번 영상을 제작해보려고 합니다.

[@jin-whoanlee7412]

공리라고 하면 따질 수 없는, 따질 필요도 없이 당연히 참이라고 여겨지는 명제라고만 생각했는데,, 그 공리가 수학자의 신념일 수 있다니,, 와우 충격적이네요. 제가 고딩시절 첫단원으로 집합을 배웠었는데 너무 동의하기 힘들고 받아들이기 힘들었던 이유를 이제는 알 것 같네요. 좋은 내용 공유해주셔서 정말 감사합니다.

[@mathandenglish]

네 저도 동감합니다. 사실 저도 고등학교 때까지 그랬습니다. 사실 대학에서도 수학의 역사/철학을 공부하지 않았다면 끝까지 몰랐을테지만, 그 뭔가 부자연스러움에 대한 의심이 저를 여기까지 이끌었습니다 ^^

[@user-dz8ki9mr4h]

감사합니다! 왜 집합에 공집합과 다른 원소들이 같이 들어있을수 있는지 궁금했는데 집합을 포함한 집합으로 보면 되는거였네여

[@jin-whoanlee7412]

지극히 개인적인 질문인데,, 대학에서 수학을 전공하면 어떤 직업을 가질 수 있을까요? 적당히 평범하게 살 수 있을까요?

[@mathandenglish]

수학과 다른 것(공학, 경제학)을 같이 전공하면 할 게 많아지지만, 수학만 전공해서 그 전공을 살린다면 사실상 선택의 폭이 넓지는 않은 것 같습니다. 거의 대부분이 수학자(대학교수, 연구원)가 되거나, 학교교사/학원강사, 그리고 최근에는 금융권/보험회사 쪽으로 많이 가게 되는 것 같습니다. ^^

[@jin-whoanlee7412]

@@mathandenglish 제가 늦은 나이에 다시 대학을 가려고 준비중인데, 전공선택에 많은 참고가 되었습니다. 감사해요.

[@mathandenglish]

@@jin-whoanlee7412 그러시군요, 새롭게 도전하시는 것을 응원합니다 ^^ 만약에 제가 올린 내용과 같은 부분을 공부하시고 싶으시면, 수학과에 가셔도 거의 도움이 안 되실 수도 있습니다. 수학과에 가시면 정의를 분명히 하는 것에 대해서는 배울 수 있는데, 그 의미나 이런 것들은 거의 생각하지 않거든요. 수학과목을 조금 듣거나 아니면 부전공으로 하시는 방법도 있습니다^^

[@thinker--]

요약: 그냥 이렇게 만들었는데 외워 걍ㅋㅋㅋ

[@mathandenglish]

앗 그렇게까지는 ㅋㅋ

[@db-ep6hy]

근데 집합은 조건을 만족하는 원소의 모임인데 공집합도 조건이 있어야 하는데 0을 공집합으로 정의한다는거는 모든어떠한조건을 가정하더라도 그 조건에 만족하는 원소가 없다는게 공집합의 의미고 그게곧 0의 정의가되는건가요?
그러면 어떤조건을 가정해도 원소가없다는 의미가 공집합의 의미가 맞다면 그냥 0의 의미와 상통하기에 0을 공집합으로 정의하는건가요?
그리고 집합론에서 자연수의정의는 자연수의 연산의 특성 자연수들의 서로가 다름 크기비교 같은 우리가 상식적으로 아는 자연수의 특성들만을 논리적으로 설명하기위해 인위적으로 정의한것에 불과한것인가요 그러면 공집합을 0으로 정의한다는것은 그 둘이 수학체계안에서 완전하 같은대상이라는 뜻이아니라 임시적인 정의인건가요?

[@mathandenglish]

일단 질문이 굉장히 훌륭하십니다. 제가 마음에 드실 만한 대답을 할 수 있을지 모르겠지만 최선을 다해 대답해보자면 다음과 같습니다.
일단 집합이라는 대상자체가 굉장히 인위적인 대상입니다. 특별히 19세기 말 집합이 등장한 계기가 무한집합 (이것 역시 인위적인 개념)을 다루기 위함입니다. 사실 당시에 무한이라는 대상 때문에 굉장히 많은 역설과 모순이 발생하고 있었고, 수학자들은 무한의 문제를 제대로 다룰 뿐만 아니라, 이것을 계기로 수학의 기초, 소위 말해 '수란 무엇인가?'의 문제부터 확실하게 다지고자 했습니다. 이것을 위해 크게 4가지 학파가 있었는데, 러셀과 프레게의 논리주의, 브라우워의 직관주의 학파, 힐베트르의 형식주의, 그리고 제일 마지막에 등장한 것이 체르멜로 프렝켈의 집합론입니다. 현재 수학의 주류 기초론이 바로 집합론인 것이죠.
수학의 기초가 집합론이라는 이야기는 결국 모든 수학적 대상을 집합으로 표현한다는 이야기입니다. 결국 자연수 역시도 집합으로 표현하게 된 것인데, 사실 이 부분에 대해 불편한 감정을 가지는 사람(수학자들 포함)도 많습니다. 자연수라는 굉장히 '자연스러운' 대상을 '인위적인' 집합으로 정의한다는 것이 매우 어색한 것이니까요. 말씀하신대로 자연수에서의 '자연스러운 성질들'을 집합을 이용해서 논리적으로 끼워맞춘것이라고 보아도 무방하다고 생각하고 있습니다. 그만큼 수학은 논리적 엄밀함이 그 어떤 것보다 절대시, 아니 거의 신성시되는 학문이라는 것은 반증해주는 것이 아닐까 합니다.
이 집합론적 수학에서 공집합을 0으로 정의하는 것은 임시적인 정의는 아닙니다. 정말 말 그대로 공집합은 0이고, 모든 대상들(자연수, 함수 등등)도 다 집합으로 정의가 되어있지만 누구도 일상적인 수학문제를 풀 때, 그렇게 인위적인 대상을 들먹이지는 않는 것이죠. 왜 공집합을 0으로 정의했는지는 언제까지나 정의한 사람의 마음이기에 알 수는 없지만, 아무래도 아무것도 없다라는 0이라는 개념을 표현하기에 가장 적절해서 그러지 않았을까 추측할 뿐입니다.
마지막으로 첫번째 주신 질문에 대한 답을 드리자면, 제가 집합론에서는 모든 것이 집합이라고 하였는데, 집합들을 가지고 또 다른 집합을 생성하는 법칙, 다시 말해 공리 역시도 모두 집합에 대한 것입니다. 말씀하신 부분, "어떤 집합이 있을 때, 그 집합 안에서 어떤 성질을 만족하는 집합이 존재한다."는 그 중의 하나인 '분류공리'입니다. 공집합의 존재는 그것과는 분리하여, '공집합 공리', 즉 "공집합은 존재한다"라는 공리를 통해 그 존재성을 보장하고 있지만, 어떤 사람들은 '공집합 공리'를 '무한집합' 공리와 '분류공리'로부터 유도하기도 한다고 합니다.
답변이 조금이라도 도움이 되었으면 좋겠습니다 ^^