Ich habe beim Probieren eine schöne Lösung gefunden. Eine Zahl mit THZE (Tausender, Hunderter, usw.) kann man ja schreiben als THZE= T*1000+H*100+Z*10+E. Umgeformt: TZHE= (T*999+H*99+Z*9) + T+H+Z+E = 9*(T*111+H*11+Z) + Quersumme. Für einen Teiler x gilt THZE:x= (9:x)*(T*111+H*11+Z) + QS:x , Der erste Summand ist für x=3 und 9 immer eine ganze Zahl, es kommt also nur auf die QS an.
Super und entspannte Erklärung! Bei der gleichen Analogie, wenn man 33 hat, hat man doch bei den Einern ein Rest von Null und bei den Zehnern auch einen Rest von Null, wenn man diese Jeweils durch 3 teilt. Wieso addiert man aber hier trotzdem 3 + 3?
Es gibt für jede Zahl eine "gewichtete" Quersummenregel zur Teilbarkeit. Die "Gewichtungsfaktoren" sind (von rechts nach links) bei 2: 1 000... 3: 111... 4: 12 000... 5: 1 000... 6: 1 444 ... 7: 132645 132645... 8: 124 000 ... 9: 111 ... etc...
Die Teilbarkeitsregel für 11 (alternierende Quersumme) ist sogar unabhängig von der verwendeten Basis, da 11 immer genau 1 größer als die Basis B ist. Und grundsätzlich gilt in jeder Basis B: Eine Zahl ist genau dann durch B-1 (und alle Teiler von B-1) teilbar, wenn ihre Quersumme durch B-1 (bzw. den Teiler von B-1) teilbar ist. Im Fall der Basis 10 trifft das also auf die 9 und die 3 zu (sowie trivialer Weise auf die 1), würden wir beispielsweise als Basis 13 nehmen (was möglicherweise nicht besonders schlau ist, aber warum nicht), hätten wir eine Quersummenregel für 1 (trivial), 2, 3, 4, 6 und C (also 12 dezimal).
Ein praktisch relevanteres Beispiel könnte die Basis 16 sein, hier haben wir eine Quersummenregel für 1 (trivial), 3, 5 und F (15 dezimal). Interessant finde ich hierbei insbesondere, dass wir dem Hexadezimalsystem immer eine gewisse Nähe zum Binärsystem andichten, da die Umrechnung so einfach ist, die Teilbarkeitsregeln aber gänzlich verschieden sind: im Binärsystem ist eine Zahl durch 3 (11)teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 3 teilbar ist, während sie im Hexadezimalsystem durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Für die Teilbarkeit durch 5 im Binärsystem (101) lässt sich das direkt anwenden: Zahl nach Hex konvertieren (Vierergruppenregel) und dort die Quersumme bilden und prüfen ob diese durch 5 teilbar ist.
Warum soll 1242 Gummibärchen auf drei Personen aufteilen, wenn ich sie alle haben kann? 😂 Auch wenn ich wahrscheinlich Bauchweh bekommen würde, wenn ich alle direkt aufessen würde 😅
Ich habe beim Probieren eine schöne Lösung gefunden. Eine Zahl mit THZE (Tausender, Hunderter, usw.) kann man ja schreiben als THZE= T*1000+H*100+Z*10+E. Umgeformt: TZHE= (T*999+H*99+Z*9) + T+H+Z+E = 9*(T*111+H*11+Z) + Quersumme. Für einen Teiler x gilt THZE:x= (9:x)*(T*111+H*11+Z) + QS:x , Der erste Summand ist für x=3 und 9 immer eine ganze Zahl, es kommt also nur auf die QS an.
Super und entspannte Erklärung!
Bei der gleichen Analogie, wenn man 33 hat, hat man doch bei den Einern ein Rest von Null und bei den Zehnern auch einen Rest von Null, wenn man diese Jeweils durch 3 teilt. Wieso addiert man aber hier trotzdem 3 + 3?
Es gibt für jede Zahl eine "gewichtete" Quersummenregel zur Teilbarkeit.
Die "Gewichtungsfaktoren" sind (von rechts nach links) bei
2: 1 000...
3: 111...
4: 12 000...
5: 1 000...
6: 1 444 ...
7: 132645 132645...
8: 124 000 ...
9: 111 ...
etc...
Die Teilbarkeitsregel für 11 (alternierende Quersumme) ist sogar unabhängig von der verwendeten Basis, da 11 immer genau 1 größer als die Basis B ist.
Und grundsätzlich gilt in jeder Basis B: Eine Zahl ist genau dann durch B-1 (und alle Teiler von B-1) teilbar, wenn ihre Quersumme durch B-1 (bzw. den Teiler von B-1) teilbar ist. Im Fall der Basis 10 trifft das also auf die 9 und die 3 zu (sowie trivialer Weise auf die 1), würden wir beispielsweise als Basis 13 nehmen (was möglicherweise nicht besonders schlau ist, aber warum nicht), hätten wir eine Quersummenregel für 1 (trivial), 2, 3, 4, 6 und C (also 12 dezimal).
Ein praktisch relevanteres Beispiel könnte die Basis 16 sein, hier haben wir eine Quersummenregel für 1 (trivial), 3, 5 und F (15 dezimal). Interessant finde ich hierbei insbesondere, dass wir dem Hexadezimalsystem immer eine gewisse Nähe zum Binärsystem andichten, da die Umrechnung so einfach ist, die Teilbarkeitsregeln aber gänzlich verschieden sind: im Binärsystem ist eine Zahl durch 3 (11)teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 3 teilbar ist, während sie im Hexadezimalsystem durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Für die Teilbarkeit durch 5 im Binärsystem (101) lässt sich das direkt anwenden: Zahl nach Hex konvertieren (Vierergruppenregel) und dort die Quersumme bilden und prüfen ob diese durch 5 teilbar ist.
Danke für die schöne Erklärung, hatte danach leider extrem Lust auf die Tüte Haribo im Schrank 😋😋
Und hast du widerstanden?
Herr Spannagel,ich hatte sie mit einer anderen Frisur in Erinnerung.....
Darum bezieht sich die Erinnerung auch immer auf die Vergangenheit.
Jaa, früher war einfach alles besser ! Ach, Ich freu mich so auf früher !
Warum soll 1242 Gummibärchen auf drei Personen aufteilen, wenn ich sie alle haben kann? 😂 Auch wenn ich wahrscheinlich Bauchweh bekommen würde, wenn ich alle direkt aufessen würde 😅
Ich mich auch 😂😂
Gute Frage! 😂
Hab mal gelesen, dass es auch Teilbarkeitsregeln für z.B. 7 gibt, kann mich aber nicht mehr an die Methoden erinnern.
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