［数学B］特性方程式の意味と背景

[@らん-e8b]

3項間漸化式の入り方好きだ
9:53

[@kikunao21]

基本から判り、いつ見てもありがたい。無理せず長く続けてほしい。

[@ニクニク-l7l]

先生「まず、この二つをaと置きます」
クラス全員「？？？？？？？？？」

[@りらん-j1y]

まったく同じ空気味わいました笑

[@ファイロン]

成り立ちを知ることは更なる理解に繋がるので非常に為になる動画ですね

[@사나-t2o]

自分数学の先生も特性方程式教える時いきなり an+1 とan をα‬とおくからスタートして自分の頭の中が大混乱したの思い出した笑
え、同値じゃないよね？？？なに‪α‬ってどこからきたの？？？なんでこれでてきんの？？？みたいな

[@森悠真-r2r]

それですよ
先生に聞いても、同値じゃないと置き換えれないという固定概念は捨てろ、みたいなよくわからない返しをされました、、

[@jalmar40298]

@@森悠真-r2r そうだよ　文字で置き換えるのは人の勝手で同値変形とか関係ない
そもそも「変形」でもないしな

[@masamasa6005]

@@森悠真-r2r わけのわからない返しは、先生として落第だと思います。

[@y.-_-.y]

@@森悠真-r2r その固定観念を捨てたら何でもアリになっちゃうじゃんw

[@沖縄在住受験生]

これな、うちの先生も「これはなんでか俺もわかんないww」みたいな言ってたわ、だからクラスで1番数学できた俺がなんでなのか証明するっていう気持ちいい流れがあったw

[@Creamdev]

分かりやすかったです。暗記ではなく本質を知ることの重要さは身にしみて感じているので、このような授業はありがたいです。これからも頑張ってください！！

[@Atsu_Gake]

これを授業で触れてあげないのは流石にひどい

[@むにむにえる]

漸化式は最初は特性方程式抜きで教えるべきだと思う。漸化式の典型問題は暗記だけじゃなくてほぼ同じ発想で問題が成り立っていることを理解させるべき。

[@大東文化大学医学部医]

むにむにえるα ほんそれ

[@くろむ-h6k]

無駄のない、綺麗な解説、綺麗な板書。数学って美しいなぁと思います。

[@2718e]

授業で覚えろ！！と言われたけど、流石に納得がいかないから青チャートの解説で特性方程式の意味を知れた時は感動。ただただ天才だなと思いました

[@ウォーターフェアリー]

4:10 ここでは、2行目の式を整理するよりも、
(1行目の式)－(2行目の式)
の計算をした方がわかりやすい気がする
そうしたら、α＝Pα＋qの形がすぐに出てきて、学校で教わるやり方とリンクさせやすくなると思う

[@currystephen930]

ヲータフェアリー そっちの方がわかりやすいですね！

[@やこう-b6d]

これこれ。これを学校の補習で担任じゃない先生に教えてもらって
「んなるほどぉぉおぉぉぉ！！」
ってなっためっちゃわかりやすい

[@神田-b6d]

こういった詳しい説明が教科書で記述されていないから、ただただ丸暗記するだけになるのでは?

[@かいし-i7p]

私はa_{n+1}=a_nと置ける場合---即ちnを整数に拡張した場合にn→∞またはn→-∞でa_nが一定値に収束するならば、その値をαと置いて解くことができると解釈してました。
実際にnを実数に拡張して考えると、一般項は指数関数を縦軸方向に平行移動した形になっていて、その移動した値はαと一致します。なのでa_{n+1}-α=p(a_n-α)と置けることは、平行移動した影響をキャンセルした式として非常に納得できました。拡張したnは後で戻せばいい訳ですし。
この考えが高校生のときに思いついた私なりの特性方程式の意味の理解なのですが、なにか不足はあるでしょうか？
専攻が数学科ではないので意見をもらえると嬉しいです。

[@shirokuroX02]

授業では触れなかったところなので嬉しいです。

[@アドルクリスティン-j3c]

これを見て，高校で教わってないぞとか，最初に教えろとかって憤慨してる人。授業の手順はそんなに単純じゃない。本質を語りすぎてクラスの大部分が魂の抜けた状態になったうえで，君だけがウンウンと納得してても，その授業は「失敗」だ。
あと，他の人も触れているが，この内容は特性方程式の「意味」としては不十分。

[@aiueo7780]

そもそも教えるべき数学の範囲が広い一方、授業時間が少ないから扱うのは困難だろうね…。授業以外で各自が自主的に勉強するしかない

[@おんたりおん]

アドルクリスティン
そんな浅い授業ってやる意味あるんですかね？
いやあるんですけど…

[@しかしか-j1w]

おんたりおん 自己完結してますやん

[@pcphn7975]

@@aiueo7780 狭いぞ。

[@hitsuki_karasuyama]

やるなら一般にn項間漸化式の特性方程式はn-1次式になるところまで証明して

[@clarinet9127]

マジで助かりました。anとan+1は違う値に決まってるのに、なんでどっちもαに置き換えられるのかサッパリ分からなかった。「たまたまこの形」という言い回しが凄くストンと落ちました。

[@taokumura]

「α=pα+q」は「特性方程式」とは呼びません
2階の漸化式については「特定方程式」と呼びますが、1階は「特性方程式」とは呼びません
理由は微分方程式から来ています

[@秋-d4j]

厳密には平行移動するための式ですからね。自分は特解方程式と呼んでいますが、ここまでこの特性方程式という言葉が広まった以上(例えば青チャートでも特性方程式)、受験生に合わせてそう呼んだ方がむしろ為になるのかも知れません(余計な混乱を防ぐため)。みんながみんな、数学科を目指すをわけではないのですから。

[@taokumura]

悪貨は良貨を駆逐するですね。数学を知らない教育者が広めてしまいました。「特解方程式」というのは分かります。「α=pα+q」が{α、α、α・・・}という定数数列を特殊解として求めることに他ならないですからね。「特性方程式の意味と背景」というからにはそこまで突っ込んで欲しかったです。

[@けーけー-j6w]

わかりやすいです！

[@まつとー-d4e]

もとの漸化式と一致するのはたまたまなのか…？そこだけ疑問が残る。

[@佐々木さん-j7t]

ここで一致してなかったら普段の変形めんどくさ過ぎますねw

[@aaabbbcccddd777]

教え方がうまい❗大学の研究者になって、最先端の数学を分かりやすく教えて欲しい。

[@pklrwz4396]

特性方程式とは、線形代数で固有値を求めるときに使う固有方程式のことでしょうか。
その意味であるなら、三項間漸化式を行列を用いて表したとき、x^2+px+q=0　は固有方程式になるので特性方程式と呼んで問題ないと思うのですが、二項間漸化式のα＝pα+q　を特性方程式と呼ぶのは間違いなのではないでしょうか。
二項間漸化式のα＝pα+q　は初期条件a1を無視した時の漸化式の特殊解（定数数列）を求める式であって、特性方程式と呼ぶのはおかしくないでしょうか。この二項間漸化式のα＝pα+qは、二階線形非同次微分方程式を同次微分方程式に還元するときに使う考え方と同じような考えで出てきた式と解釈するのが正しいと思うのですがいかがでしょうか。
私自身もあいまいなので、気が向きましたらご教授ください。

[@yk5310]

古賀さんではありませんが・・・
私も同じような視点をもっています。
非斉次の線形漸化式は、線形変換ではなくアフィン変換で表現されます。
アフィン変換は、不動点が存在するときそれを原点とする座標系をとる（平行移動する）ことで線形変換とみなすことができます。
この観点で、非斉次の二項間漸化式で"特性方程式"とよばれるものは、アフィン変換の不動点を求める方程式であると解釈するのが適当ではないでしょうか。
三項間以上の非斉次な漸化式では、不動点を求める"特性方程式"と、特性方程式（固有方程式）の両方を解くことになりますね。

[@crue028]

MTさんという人が同じことを動画で言ってますね
MTさんの特性方程式に関する動画を見てみて下さい

[@KAZU-uz3vu]

高校時代この特性方程式の意味を塾で教わってて、学校では唐突にαに置き換えて解けと言われた記憶があるので、当時、学校教育…そんなもんなんかと思ってしまったんだよな
自分の良くないところで、良くわからないものは使いたくないから当時この理屈でずっと解いてた
もちろん学校には素晴らしい先生方たくさんいらっしゃるんだけどね
当時教わったその先生も何回か教えてて生徒の様子を見てきたときに、この方が生徒の正答率が高いと思っての、その方法だったのかもしれない。

[@後方腕組みガンギマリわからせおじ]

うちの崇拝されてる数学の先生はこれ教えてくれました、が、俺は何故か寝てました
なんで？

[@TAKA-dw6mn]

数学が面白く感じる

[@もちもち-t2e]

ありがたいです！

[@ttadashi6958]

70歳になってやっとわかった。これどうしても当時意味が分からなかった。

[@fs4269]

極限の話かと思った

[@しゃむねこ-j3j]

sakuragiさくらぎ 同じく

[@y8e-k2n]

最初にとうひとうさにしたいってことで①の形を習って、そのあとに実は特性方程式ってのがあるけど大学内容以前じゃその本質を理解する事はできないから、少なくとも受験数学では特性方程式なんて糞食らえって言われたから、正直漸化式の問題解くとき特性方程式なんて気にしてない

[@vyamam]

他の動画も見ましたが、説明が上手ですね。こういう理解は難問にぶつかった時に役立つと思います。こういう動画を通じて、数学科に興味を持つ学生が増えるといいなぁ、とおじさん数学修士は思います。
受験に関係ないけど、無限集合の話とかやる予定はありませんか? :-)

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録👏。【a(n+1)＝p･a(n)＋q 🔜 ‪α‬＝p･‪α‬＋q を用いて { a(n)－‪α‬ } が 公比p の等比数列に
なっていることを利用して解く】■
【a(n+2)＋p･a(n+1)＋q･a(n)＝0 🔜 x²＋px+q＝0 の解 x=‪α‬, β を用いて { a(n+1}－‪α‬･a(n) }が
公比βの、 { a(n+1}－‪β‬･a(n) } が 公比‪α‬の等比数列になっていることを利用して解く】■ 🙏
🔴{ a(n+1) ＝ p･a(n)＋q } ▬ { a(n+1) －‪α‬ ＝p･{ a(n)－‪α‬ ) } ＝ ‪α‬＝p･‪α‬＋q (特性方程式)

[@squp4173]

有難い。

[@たかたか-j9x]

分数型漸化式も特性方程式で解けますよね!
でも、なぜAnをxと置き換えてよいかわからない。

[@ぱんぱんさらだぱん]

置き換えるというか、初期条件を無視して｛an｝の定数数列を考えてる

[@くんたー-u7b]

いや最高

[@jif7707]

なるほど、このプロセスで生まれたのか

[@またあんど]

僕のクラスの数学担当もこれに関しては触れずに機械的なやり方しか教えていませんでした(私はすでに背景を知っていたので担当の先生がさらに嫌いになりました笑)

[@spid7367]

ただよびにコメントばっかするやんって思ってたけど(すみません)
動画めちゃめちゃ分かりやすい。
ありがとうございます感謝〜

[@Xx_P_xX]

固有値

[@フェルマー-y6d]

何気なく使ってたけどこういうことだったんか(まだ見終わってない

[@yatabeatsuo774]

したがって、定数の形の特殊解を見つけるための方程式であって、
いわゆる固有多項式を意味する特性方程式という言葉遣いは、中学高校独自の趣味の悪い言葉遣いですね。

[@njikiri5987]

特性方程式のりαに置き換える理由が分かり、理解が深まった。学校の暗記数学は面白くない。

[@poke-mon]

α=a∞

[@555holon]

式変形の手順を説明してるだけにしか見えないなあ。
「特性方程式の意味」というからにはαは「それを漸化式の初項とするとすべての項がαとなるような数」であるとか「αをクッションにすると＋qは相殺されp倍だけが適用される」という数列の直観的な変化を具体例で確認したほうがいいと思うけど。

[@黒子テツヤ-v2o]

もっと具体的に説明してほしいです。

[@555holon]

a₁＝3、a[n+1]＝10a[n]－9の漸化式で項を５個くらい書き並べれば見えやすいかと。
初項から特性方程式の解を分離して3＝2＋1と変形して漸化式に入れていくと、1が－9を吸収する盾のような働きをしてるのがわかると思います。

[@黒子テツヤ-v2o]

M T ありがとうございます。

[@ああ-p4r8h]

皆さん超わかる高校数学ってご存知ですか？ひどいですよ。あのチャンネルは

[@한국어의이름이라면강]

ああ いやあいつ発言臭いもん

[@やっぷやぷ]

圏論難しい それは草

[@びんおん]

いや、最初の入りとして良いチャンネルだと思いますけどね。自分は超わかる高校数学➡参考書➡Masaki Koga[数学解説]ていう順番で学習していますけど、結構効率いいですよ。入口広く出口狭く。

[@びんおん]

@@田中-c6j 最近はそのチャンネルは使ってませんね。「数学力向上チャンネル」というチャンネルが神過ぎてｗ

[@びんおん]

@@田中-c6j ruclips.net/video/LeS-juw6sAY/видео.html

[@やこう-b6d]

無料で見て良いんかこれ？

[@kingsos4108]

そのひとかたまりが理解出来ないひとが、大半の高校生なのです。また、３項間の所の説明もこのスピードの解説なら、正直途中の移行の式変形について行けないし、解と係数の関係で思考停止になります。理解出来と言っている人は、数学が出来る部類の人達ですよ。

[@屋敷大和-g8n]

ただ覚えるだけだった30年來の疑問が氷解。こういう風に教えてくれてもよさそうなのに高校や予備校の先生は教えてくれなかったのだよ。先生運って大切。ネットでKoga先生の授業が誰でも見られる現代はほんとしあわせ。

[@No-iu4tm]

初めの変形でqはどこにいったんですか？

[@あさげ-q9m]

他の受験生に見られたくない、、、

[@lovetm1142]

字、ちっちゃい！！

[@yurikosakomoto9956]

4:10

[@user-user-diffuser]

特殊解とか固有方程式とかの話かと思って開いたら違った

[@裏切りおじさん]

わろた なんでその話だと思ったのか

[@user-user-diffuser]

裏切りおじさん
学部の数学科を修了している方なら微分方程式論は確実に習っているはずで、そこで線形微分方程式と線形漸化式とのアナロジーは耳にするものだと思います。京大で数学を熱心に学んでいる古賀さんなら尚更です。
であれば、前半で出てきた二項間漸化式の"特性方程式"は特殊解を求める操作に他ならないことや、後半の三項間漸化式の特性方程式は前半のものとは別で、ある線形写像の固有方程式そのものであることが説明されてもいいと思います。
大学の内容を高校生向けにどう説明するのか期待していたら純高校生向けな説明だったって感じです。これはこれできれいにまとまった説明ですがね。

[@36500]

ぬさもとりあえず どーゆーイキリ？

[@ぱんぱんさらだぱん]

ぬさもとりあえず
塾の先生の説明が死ぬほどわかりやすかったんだけど多分その話だと思う

[@leaves99]

こんなの学校で教えてもらっていないというコメントが多いがそんなことありうるのか？

[@rug01pinkish9]

70で数学は草

[@fullyou8428]

「これを授業で教えて貰えなかったか〜」とか「授業で先生言わなかった〜」って言ってる人たちへ
正直こんなのは知らなくてもいいと思う。「なんでこうなるの??」って思う人だけが数学の先生の所へ聞きに行けばいいと思う(答えられる先生は少ないと思うが…)
極論をいえば1+1＝2 がなんで成り立つの??って思う人がいる(エジソンのように) 小学校で1+1＝2になることの証明は習いましたか?? ほぼ100%の小学生が証明方法を知らないはずです。算数や数学はある程度暗記が大事だと思います。古賀先生が言ってる様に理屈を全て知っている必要なんてないんですよ。ましてや授業で扱う必要なんてない。疑問に思った人だけが知っておけばいい。

[@s0h3i2k0i]

そもそも特性方程式という呼び方がどうかという話もありますが、意味、背景は一体どこで説明しているのでしょうか？理由もなく与えられた結果に向かってただひたすら帳尻合わせの計算をグダグダやっているだけですね。せっかく題材としてはとてもおもしろいものなのに残念です。

[@efgabcd8232]

私も同じことを思った

[@user-cc6gd9uc6m]

3:40 付近で普通に説明してるけど

[@s0h3i2k0i]

タケタカ それはただの結果ありきの式変形で意味ではないです

[@s0h3i2k0i]

efg abcd ですよね

[@user-cc6gd9uc6m]

8:28 辺りで言ってますけど、たまたまうまく解ける方法が発見できたというのが背景ではないでしょうか。
そもそも数学において全ての解法にはそこに至る合理的理由があると考えるとこ自体が視野の狭い考えだと思いますが。
例えば、微分方程式の解法とかも発見的なものだと思います。ラマヌジャンの数式とかも。

[@tyvenom6352]

Twitterフォロバされないので低評価

[@aiueo7780]

理由で草生えた

[@やっぷやぷ]

器小さ過ぎて草

[@jalmar40298]

チャンネル名からして無能感漂う
現役じゃない高校生のほうが稀、普通の高校生が数学の解説をする有難味が特にない

[@tyvenom6352]

@@jalmar40298 ただの自己満&同校への人向け&自分の理解力が深まる これくらいだしべつにあなたにありがたいとおもわれたいとはおもわんよ。