먼저 가능한 표본평균들이 모두 모인 집단을 생각해야겠죠 이 집단을 A라 합시다 이 집단의 평균이 모평균 mu 분산이 sigma^2/n 이신 것은 알고 계실 것입니다. 집단 A의 평균은 모평균 mu이고 X_bar는 집단 A의 원소 중 하나이죠. 즉 해당 식은 집단 A에서 평균 - 변량의 제곱 즉 편차의 제곱입니다. 여기에 앞의 Expectation이 씌워지게 되면 편차의 제곱의 평균이 되므로 집단 A의 분산과 같아지게 됩니다. 따라서 sigma^2/n 이 나오게됩니다.
좋은 강의올려 주셔서 감사합니다. 그런데 두번째 설명에서, 표본평균때문에 표본분산의 자유도가 감소한다고 수많은 교재와 인터넷강의에서 설명하고 있는데, 이것은 완전히 틀린 설명입니다. 표본분산이 n-1의 자유도를 갖는 카이제곱분포가 되는 것은 "회전변환"때문입니다. 예를 들어 표본의 크기가 3일때 표본분산의 식을 풀어보면 회전된 원기둥의 방정식이 됩니다. 3변수 표준정규분포는 완전한 구모양으로 분포되므로, 표본분산을 역회전변환을 시켜서 xy평면위의 원기둥으로 바꿀수 있습니다. 여기서 3변수 표준정규분포함수를 변수 z 에 대해 적분하면 2변수 x,y만 갖는 표본정규분포가 됩니다. 그래서 3변수 표본분산(원기둥)과 표준정규분포(3차원구)를 2변수 표본분산(2차원 원)과 표준정규분포(2차원 원)로 간략화 시킬수 있기 때문에 자유도가 2가 되는 것입니다. 정리하면 표본분산의 식이 항상 회전변환된 식이기 때문에 역회전변환을 해서 한차원 낮은 공간으로 변수를 "항상"줄일 수있기 때문입니다. 일반적인 증명은 Laplace Transform (혹은 Moment Generating function)을 이용해서 증명하는 데 이 증명의 핵심이 회전변환입니다. 통계학이 난해하다 보니 인터넷과 교재에서 너무나 잘못된 설명이 많이 있는데, 조금이라도 올바르면서도 쉽고 재미있는 통계학이 되는데 도움이 되기를 바랍니다.
자세한 설명 감사합니다.
같은 주제로 설명한 영상중에 제일 이해하기 쉬웠습니다. 감사합니다. 구독 좋아요 누르고 갑니다.
이해하기 쉽게 알려주셔서 좋아요. 특히 이 설명처럼 깊이와 측면이 다른 3가지로 다양하게 설명 해주시는 것 정말 큰 도움됩니다.
안녕하세요.
도움이 되신다니 다행입니다 ^^
댓글 감사합니다.
13:18 에 측정치에서 평균을 뺀 값의 기댓값이 왜 분산이 되는지,, 이해가 잘 안갑니다. 기댓값에 대해 어떻게 이해되어야 할까요?
먼저 가능한 표본평균들이 모두 모인 집단을 생각해야겠죠 이 집단을 A라 합시다
이 집단의 평균이 모평균 mu 분산이 sigma^2/n
이신 것은 알고 계실 것입니다.
집단 A의 평균은 모평균 mu이고
X_bar는 집단 A의 원소 중 하나이죠.
즉 해당 식은 집단 A에서 평균 - 변량의 제곱 즉 편차의 제곱입니다.
여기에 앞의 Expectation이 씌워지게 되면
편차의 제곱의 평균이 되므로
집단 A의 분산과 같아지게 됩니다. 따라서 sigma^2/n 이 나오게됩니다.
아하 ~! 이해가 가네요. 증명 감사합니다.
10:42 에서 왜 Xi 가 표본평균이 되는건가요? 아무나 꼭 좀 알려주세요..ㅠㅠ 막혀있는데 너무 답답합니다.
x^bar=(sigma xi)/n 이라는 x^bar 의 정의에서 sigma xi= n* x^bar 가 된 것입니다. sigma 와 xi 를 같이 계산한 것입니다.
이런 증명이나 풀이법이 절실했는데, 정말 감사드립니다. 앞으로도 좋은 영상 기대하겠습니다!! 구독하고 갑니다~!
세가지 방법으로 설명해주셔서 감사합니다 :)
각각에 해당하는 기댓값이 왜 u가 되어야 하나요?!
좋은 강의올려 주셔서 감사합니다. 그런데 두번째 설명에서, 표본평균때문에 표본분산의 자유도가 감소한다고 수많은 교재와 인터넷강의에서 설명하고 있는데, 이것은 완전히 틀린 설명입니다. 표본분산이 n-1의 자유도를 갖는 카이제곱분포가 되는 것은 "회전변환"때문입니다. 예를 들어 표본의 크기가 3일때 표본분산의 식을 풀어보면 회전된 원기둥의 방정식이 됩니다. 3변수 표준정규분포는 완전한 구모양으로 분포되므로, 표본분산을 역회전변환을 시켜서 xy평면위의 원기둥으로 바꿀수 있습니다. 여기서 3변수 표준정규분포함수를 변수 z 에 대해 적분하면 2변수 x,y만 갖는 표본정규분포가 됩니다. 그래서 3변수 표본분산(원기둥)과 표준정규분포(3차원구)를 2변수 표본분산(2차원 원)과 표준정규분포(2차원 원)로 간략화 시킬수 있기 때문에 자유도가 2가 되는 것입니다. 정리하면 표본분산의 식이 항상 회전변환된 식이기 때문에 역회전변환을 해서 한차원 낮은 공간으로 변수를 "항상"줄일 수있기 때문입니다. 일반적인 증명은 Laplace Transform (혹은 Moment Generating function)을 이용해서 증명하는 데 이 증명의 핵심이 회전변환입니다.
통계학이 난해하다 보니 인터넷과 교재에서 너무나 잘못된 설명이 많이 있는데, 조금이라도 올바르면서도 쉽고 재미있는 통계학이 되는데 도움이 되기를 바랍니다.
안녕하세요.
좋은 의견 감사합니다.
@@ksnoh의견이라 함은 어느 한 쪽의 설명이 완전히 맞고 완전히 틀린 것은 아니라는 말씀이신가요?
감사합니다! 확률과통계과목에서 배우는 과정을 다시금 복기시키는 기회가 되었네요!
안녕하세요.
복기가 되셔서 다행입니다.
글 남겨주셔서 감사합니다.^^