Можно сделать вывод.1) Любая прямая, проходящая через центр квадрата, делит его площадь пополам. 2) Любые два перпендикулярных луча, выходящие из центра квадрата, ограничивают 1/4 его площади.
У меня редко получается здесь решить задачи. Поставил на паузу, смотрел, смотрел, и понял, что S в любом случае равна 1/4 площади малого квадрата, неважно, какой величины большой квадрат. И даже сокрушался, что скорее всего неверно решил, ибо за 30 лет забыл почти все формулы. И вот ведь правильно! Так счастлив был!
Сделала скрин рисунка. Дорисовала перпендикуляры от центра маленького квадрата к его сторонам. Долго и восхищенно любовалась полученной картиной. На столько долго, что обратила внимание на образовавшиеся маленькие треугольнички, у которых одна сторона одинакова, ибо является перпендикуляром от центра к стороне квадрата и по определению не может быть разной, а еще один угол прямой. Они, сколько я помню, тоже не отличаются один от другого. Тут в памяти всплыли смутные воспоминания про противолежашие углы, которые одинаковы, но для этого должны быть расположены где-то на прямой. Прямая - это, конечно, 180 градусов, но с прямыми углами примерно та же фигня. Только надо следить, чтобы углы были именно противолежащими, а не прилежащими. Но вроде в данном случае все совпадает как надо. Значит у нас есть два треугольника равные по стороне и двум углам. И мы можем беспалева заменить один другим. И получить аккуратную четвертушку маленького квадрата, у коей и надо вычислить площадь. Ну а дальше у нас два пути. Или посчитать площадь маленького квадрата и поделить ее на 4, или взять половину его стороны и умножить на нее же. Тут уж кому как проще. На всякий случай проверила оба варианта. (3х3)/4=2,25 или (3/2)*(3/2)=2,25. Совпадает.
Из середины малого квадрата опускаем перпендикуляры на правую и нижнюю сторону. Два прямоугольных треугольника равны, т.к. один катет 1.5 , а острые углы имеют попарно перпендикулярные стороны. Следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата, состоящего из левого треугольника и части искомой фигуры.
Просто докрутить квадрат так, чтобы 2 стороны пересекали углы квадрата и образовывался прямоугольный равнобедренный треугольник. Находим диагональ квадрата (3 корня из 2)помножив сторону квадрата на корень из двух, а отсюда находим катеты треугольника(1,5 корней из двух). По формуле площади прямоугольного треугольника получаем: 1/2*1,5 корней из 2* 1,5 корней из 2= 1/2*2,25*2=2,25
Да уж решил тем же способом, не понимая про конгруэнтность просто повернув квадрат чтобы получить маленький квадрат со сторонами 1,5. Хотя я поворачивал квадрат до пересечения сторон квадрата под углом 90 и ещё поворачивал на 45, интуитивно было что-то, но доказывать самому себе было лень
Конгруэнтность - это просто термин в геометрии, который был в школьном учебнике, если не ошибаюсь, Колмогорова. Во введённом в 80-е годы учебнике Погорелова термин "конгруэнтность" уже не используется, вместо него просто сказали бы "фигуры равны", имея в виду именно полное совпадение контуров при наложении. Отличие только в том, что у Колмогорова "равенство" означало полную идентичность (совпадение всех точек двух фигур в пространстве), то есть два квадрата со стороной 3 см, расположенные на расстоянии друг от друга или просто не совпадающие по положению у Погорелова считались равными, а у Колмогорова - только конгруэнтными. Иными словами, если существует хоть одна точка, принадлежащая фигуре А, но не принадлежащая фигуре В, то по Колмогорову эти фигуры не равны. Но могут быть конгруэнтны, если перемещением можно полностью наложить одну фигуру на другую - и они полностью совпадут.
Нижняя сторона малого квадрата поделится тоже в соотношении 1:2. Если провести диагональ в искомом четырехугольнике, то получим 2 полностью определенных тр-ка. Далее просто. 1*2/2=1; 1^2+2^2=5; 5/2=2.5 ; 2.5/2=1.25; 1.25+1=2.25
У меня почему-то сразу мысленно провелась линия от точки 1 до противоположного пересечения. Получилось 2 треугольника. Первый явно прямоугольный равнобедренный, второй прямоугольный с катетами 1 и 2. У второго сразу находим площадь S=½(1×2)=1 и гипотенузу (корень из 1²+2²)=корень из 5. У первого со вторым гипотенуза общая, к тому же первый равнобедренный, поэтому высота - это половина гипотенузы и равна ½корня из 5. Отсюда площадь первого ½корня из 5 умножаем на корень из 5 и всё делим на 2, получаем S=1,25. Прибавляем площадь второго S=1 и получаем площадь фигуры S=2,25. Вроде намного сложнее, но, думаю, что если это я решил в уме за минуту, то значит тоже имеет место быть.
Соединила точки пересечения квадратов. Получились два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, один из которых равнобедренный. Усложнила решение.
Поездил по собеседованиям на инженера. Никаких подобных задач не было, хотя я решаю егэ по математике (а такие задачи там всегда есть). Сказал, что знаю математику и сопромат. После того, как говорил, что хочу зарплату от 100 тысяч на руки, мне отказывали. Забил на этих инженеров и пошёл устроился на программиста за 150 тысяч)
Ключевой момент в этой задаче - большой квадрат растет одним углом из центра маленького. По сему, повернем большой квадрат так чтобы в маленьком получился еще более мелкий со стороной 1,5. Возводим в квадрат и имеем 2,25. Спасибо за задачу!
пошёл по длинному пути 1) понял, что как ни вращай лучи с углом в 90°, если они из центра квадрата - они всегда будут входить в его стороны с одинаковыми углами, а значит, и делить стороны будут одинаково, следовательно, малый отрезок на нижней стороне малого квадрата равен единице 2) разбил искомую зону на два прямоугольных треугольника: с катетами 2х1 (на основе отрезков от сторон малого квадрата) и NxN (длина лучей из центра) 3) желая найти N прикинул, что можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром к нижней стороне малого квадрата из центра, отрезком от луча N и получившимся отрезком на нижней стороне малого квадрата (закрашенный треугольник на видосе). Вышли катеты 1.5 и 0.5, гипотенуза N = √2.5 4) выходит, площадь одного из задуманных треугольников 1*2/2=1, а второго √2.5*√2.5/2=1.25 5) суммарно же S = 1 + 1.25 = 2.25 а потом увидел объяснение с видео и приуныл х)
Площадь закрашеной фигуры не зависит от размера стороны большого квадрата. Она даже не зависит от угла его поворота. Четверть от площади маленького квадрата. 3*3*0,25
Прикольная задача. У меня ответ созрел сразу из предположения с подобием треугольников. Но это интуитивный ответ. А хотелось получить математическое объяснение, что площадь не изменилась.
забыли уточнить что есть ещё избыточные данные - это размер большого кв. но его сторона должна быть больше или равная половине диагонали малого кв. иначе рисунок не получится
А у меня почему то другое решение всплыло: нашел половинку гипотенузы (она же радиус описанной окружности), провел радиус из центра в нижнюю правую вершину и посчитал площади двух треугольников (площадь равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними). Так как у нас квадрат, то там угол будет 45 градусов. Ну и затем сложил площади - ответ тот же 2.25 :)
Если кто не понял, о это задача для собеседование на инженерОв. А инженЕрам дают, как правило, задачи по их специальности. Причём, даже без решения в цифрах - достаточно понимания хода решения задачи.
Проще простого. Провести диагональ - получатся два треугольника.У одного основание 1, у другого 2, высота у обоих 1,5. вычисляем - площадь равна 2,25. Размеры большого квадрата не имеют никакого значения.
Чуток иначе. Решил устно. Построил две полудиагонали, доказал равенство закрашенного и незакрашенного (два угла и сторона) и получил четверть от площади.
Так сразу видно: как ни поворачивай, всё рано будет четверть от малого квадрата. А 1, 2 и 4 даны для отвода глаз. Если сторона второго квадрата будет больше, чем 1,5√2, площадь перекрытия будет четвертью при любом угле поворота.
@@Дмитрий-т7ю5ь да, но стоит изменить условие,такое как вместо большого квадрата со стороной 4 будет маленький со стороной 2 к примеру, ну или чуть меньше (главное больше 1.5 и меньше корня из 4.5) то может образоваться маленький треугольник нижний правый, который может не относиться к искомой площади, и уже к этому варианту как раз нужны те два значения отрезков 1 и 2. И тогда уже задача будет не такой уж и простой.
В задаче имеются лишние данные, для решения задачи достаточно знать площадь малого квадрата (или сторону малого квадрата), и тот факт, что угол большого квадрата, совпадающий с углом 4-хугольника с искомой площадью, берёт начало в центре малого квадрата. Остальные сведения с цифрами 1, 2, 4 являются ненужными.
Как не вращай "большой" квадрат вокруг центра малого, площадь пересечения остается неизменной. При установке параллельно соответствующих сторон квадратов становится ясно, что фигурой пересечения стал квадрат со стороной 1,5. Фсе
Я достроил диагонали маленького квадрата. Одна из них поделила искомую область на 2 треугольника. Дальше через равенство треугольников по стороне и двум углам доказываем, что отделённая диагональю правая нижняя часть маленького квадрата состоит из двух пар равных треугольников, значит сумма площади одной пары - половина от половины площади маленького квадрата. То есть 9/4 Красивая задача, мне понравилось
Дорисуем ещё 3 больших квадрата и мысленно повращаем и станет понятно что все 4 больших квадрата одинаковую площадь занимают в маленьком (например при повороте всех фигуры на 90 градусов фигура совпадёт с исходной). Ответ: четверть маленького 3*3/4
Можно провести диагональ из центра маленького квадрата в правый нижний угол, разделив искомую фигуру на два треугольника. И найти площадь каждого из них через полупроизведение катетов и синуса угла между ними
Площадь искомой фигуры состоит из 2-х прямоугольных треугольников со сторонами 0,5 и 1,5 и одного прямоугольника со сторонами 1 и 1,5. Тогда площадь искомой фигуры 1.5×1, 5=2, 25.
Тоже самое без вращения, разделить малый квадрат диагоналями. И тогда видно, что углы сдвига большого квадрата от диагоналей равны и значит искомая площадь равна четверти площади малого квадрата
Попытался найти через угол и быстро осознал, что треугольник дополняет до квадрата, ну а площадь квадрата со стороной 1,5 найти очень просто. ~ 40 сек на решение.
Гениально. У меня такая особенность, что я всегда усложняю простые задачи. Ещё со школы. И здесь я искал через периметр. При чём я увидел, что два треугольника равны, но не увидел, что равны все 4 части 😁
А я увидел решение через площадь трапеции))). Доказательство конгруентности тоже хромает: "мы видим", легко увидеть и тд. То же самое что и сказали бы учителя у которых нет времени объяснять))
А можно ли (как математики это очень любят делать) обобщить данный результат? То есть: Вывести некое правило, для каких геометрических фигур A с некой точкой (назовем ее условно центром) p будет справедливо, что два перпендикулярных луча из этой точки всегда вырежут ровно четверть площади фигуры? Можно ли как-то классифицировать фигуры, для которых такое будет справедливо? Например, это справедливо (как мы увидели) для квадрата. Также очевидно для круга. А вот для прямоугольника уже нет ... Как насчет любого правильного многоугольника? И есть ли еще такие фигуры?
А что, в геометрии нет никаких законов прямых проходящих через центр квадрата? Просто тут всё через подобие сторон и углов решается - по два прямых угла (в центре и углах квадрата) и по два на параллельных сторонах с пересекающей их прямой. А к четырем углам четырёхугольника одной стороны хватит, чтоб подобие доказать.
Решил задачу за 30 секунд. Дорисовал до большого квадрата ещё три таких же. И понял что как их не вращай вокруг центра малого квадрата он всегда будет поделён на 4 равные части
Решил: Соединил отрезком точки пересечения сторон квадратов - получил 2 прямоугольных треугольника: первый, с катетами длиной 2 и 1 (гипотенуза равна корень из 5), второй равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равное гипотенузе первого, т.е. корень из 5. Вычислил площади: S1=(1+2)/2=1, S2=5/4. Искомая площадь: S1+S2=9/4. ВУАЛЯ! Потом глянул ответ и понял какой я долбанавт :)))))
верно, почти, нужно всего лишь убедиться что сторона того квадрата должна быть больше корня из 4.5. Иначе бы он мог при повороте не вписываться в квадрат со стороной 3. Красивее было бы поставить такое условие, чтобы тот квадрат оказался меньше и не вписывался. Тогда пригодились бы все данные
Вообще к черту большой квадрат. На малом рассмотрим четырехугольники, созданные прямыми (то есть пунктирами). Элементарно, Ватсон, они подобны и более того, равны. То есть, площадь каждого составляет 1/4 от площади малого квадрата. Все.
У меня получается 2,25. Верно. Я увидел в фигуре прямоугольник 1,5 на 1, и два прямоугольных треугольника с катетами 1,5 и 0,5. Суммарная площадь 1,5*1 + 2*0,5*1,5*0,5=2,25
А я увидел трапециюс основаниями 1 и 1,5, и высотой 1,5, и прямоугольных треугольника с катетами 1,5 и 0,5. Суммарная площадь ((1,5+1)/2)*1,5 + 0,5*1,5*0,5=2,25
@@nikolaygolosin5616 Из рисунка невозможно догадаться. Об этом сказано на моменте 0:22 Из рисунка вообще много о чем нельзя утверждать уверенно. Например откуда мы знаем, что это квадраты, а не ромбы, например. Это уже словами поясняется, дается в условии задачи.
А теперь возьмём более общую задачу: Пусть нам известна площать малого квадрата и равна s, а площадь большого квадрата равна S. Чему равна площадь пересечения квадратов? S(Q1) = s S(Q2) = S S(Q1×Q2) - ?
Я не понял зачем нам дана сторона большого квадрата и отношения 1 и 2... Мы тупо крутим диагонали вокруг цента и как бы мы их не поставили , всегда получим одинаковые площади между ними. И так понятно , что если мы от центра будем вырезать 1/4 ломоть , то площадь которую мы вырежем будет 1/4. Если бы это был треугольник, то вырезать надо было бы тремя линиями, пятиугольник пятью линиями и т.д.
Поставил на паузу и сходу решил также , но подумал что то легко, и решил проверить найти все четыре стороны четырехугольника применив для площади формулу брахмабупты, но для начала взял теорему пифагора что бы найти одну из сторон гипотенузы она же и одна из сторон четырехугольника и ответ у меня получился совсем другой нежели первый, мне 50 я учился на 3.5 но мне моих знаний всегда не хватает что бы обьяснить такие парадоксы , сасми проверте найти четыре стороны не геометрически а алгебраически. и далее найти четырехугольник по формуле брахмабупты
А не проще было второй (большой квадрат) довращать так, чтобы искомая площадь приобрела квадратную форму. А потом, зная, что сторона квадратика равна радиусу вписанной окружности, то есть 1/2 стороны первого квадрата, найти искомую площадь?
Какое-то усложнение с конгруэнтными фигурами. Провел два перпендикуляра из центра (направо и вниз) и понял, что по двум углам и стороне получившиеся треугольники одинаковые, значит площадь фигуры = 1/4 площади малого квадрата.
@@ira_555, полностью согласен с комментарием выше: для решения подобной задачи не обязательно вводить понятие конгруэнтности, решение должно быть простым: действительно, опустить перпендикуляры на две стороны, доказать равенство 2 прямоугольных треугольников по катету и острому углу (кстати, автор этот доказал при доказательстве конгруэнтности), а затем получается, что площадь заштрихованной фигуры не отличается от площади четвертинки квадрата: уберите верхний заштрихованный треугольник и добавьте левый незаштрихованный, но равный ему, получится квадрат со стороной 3/2, его площадь равна площади искомой фигуры.
@@АндрейГлушко-у5й Да никто и не "вводил" понятие конгруэнтности, этим школьным термином пользуются люди, закончившие школу не позднее середины 80-х годов, и означает он именно что фигуры совпадут при наложении, т.е. одинаковые по форме и размерам. Позднее вместо "конгруэнтны" в учебниках стали использовать понятие "равны". Для мне, например, фраза "фигуры конгруэнтны" звучит совершенно естественно, так в школе учили.
@@ira_555 не цепляйтесь к словам, надо соответствовать не древним учебникам, а тому, что и так понятно. Смысл моего комментария повторю: решение здесь можно описать простыми словами, не надо выпендриваться
Тут лишние данные, касаясь центра малого большой квадрат может пересекать малый В ЛЮБОМ месте, при этом общая площадь останется неизменной: половина стороны малого 1,5 в квадрате = 2,25
А я решила совсем по-другому.Если точка вращения в центре,значит площадь будет одна четвертая от всей площади маленького квадрата. Половина стороны -1,5. Сторон четыре.1,5 умножить на 1,5 будет 2,25.
@@СветланаА-б3е Я опечаталась, 1,5 умножить на 1,5. Площадь квадрата умножение двух сторон,а если умножить на 4 ,то это периметр.Спасибо что обратили внимание. Я просто не внимательно напечатала.
Сторона большего квадрата 4 дана, чтобы показать, что 4 больше половины диагонали малого квадрата. Если бы сторона большего квадрата была меньше половины диагонали меньшего квадрата, но больше 3, то решение было бы другим
А такой вариант в принципе исключён, так как половина диагонали маленького квадрата равно три корня из двух,то есть приблизительно 2,12 . Поэтому сторона второго квадрата не может быть одновременно быть больше 3 и меньше 2,12 ...
Видео еще не смотрел. Чертеж не полный. Без словесного пояснения непонятно, что угол большого квадрата совпадает с центром маленького квадрата. Нет никакого обозначения. А если совпадает, то цифра 4 у большого квадрата лишняя. Она в задаче не участвует. Площадь пересечения равна четверти площади маленького квадрата. Это можно увидеть через равенство треугольников, проведя два луча из центра маленького квадрата в его углы.
Не, это все конечно интересно и познавательно, но хотелось бы видеть решение в лоб - просто рассчитать, зная соотношение деления стороны квадрата 1 к 2. Т.е. без всяких хаков и измышлений - просто тупо посчитать. Это то же было бы интересно.
Как не вращай, все равно будет четверть! можно даже вместо малого квадрата представить круг! А стороны большего квадрата могут быть любыми: хоть 3, хоть 4 , хоть 5..!
![Лента Мёбиуса - кому вообще нужна топология? [3Blue1Brown]](/img/1.gif)
Можно сделать вывод.1) Любая прямая, проходящая через центр квадрата, делит его площадь пополам. 2) Любые два перпендикулярных луча, выходящие из центра квадрата, ограничивают 1/4 его площади.
2.25
вот площадь
Заспойлерил. Всё ясно стало сразу
чем докажеш !?
Слишком легко когда по центру квадрата центр окружности.
@@КостянтинКравченко-т7э опытным путем можно проверить.
Смотрю, учусь, вспоминаю. Мне, уже пожилому, бальзам на душу такие задачки, ведь я сам был когда-то на коне. Каналу- лайк.
У меня редко получается здесь решить задачи. Поставил на паузу, смотрел, смотрел, и понял, что S в любом случае равна 1/4 площади малого квадрата, неважно, какой величины большой квадрат. И даже сокрушался, что скорее всего неверно решил, ибо за 30 лет забыл почти все формулы. И вот ведь правильно! Так счастлив был!
Сделала скрин рисунка. Дорисовала перпендикуляры от центра маленького квадрата к его сторонам. Долго и восхищенно любовалась полученной картиной. На столько долго, что обратила внимание на образовавшиеся маленькие треугольнички, у которых одна сторона одинакова, ибо является перпендикуляром от центра к стороне квадрата и по определению не может быть разной, а еще один угол прямой. Они, сколько я помню, тоже не отличаются один от другого. Тут в памяти всплыли смутные воспоминания про противолежашие углы, которые одинаковы, но для этого должны быть расположены где-то на прямой. Прямая - это, конечно, 180 градусов, но с прямыми углами примерно та же фигня. Только надо следить, чтобы углы были именно противолежащими, а не прилежащими. Но вроде в данном случае все совпадает как надо. Значит у нас есть два треугольника равные по стороне и двум углам. И мы можем беспалева заменить один другим. И получить аккуратную четвертушку маленького квадрата, у коей и надо вычислить площадь.
Ну а дальше у нас два пути. Или посчитать площадь маленького квадрата и поделить ее на 4, или взять половину его стороны и умножить на нее же. Тут уж кому как проще. На всякий случай проверила оба варианта. (3х3)/4=2,25 или (3/2)*(3/2)=2,25. Совпадает.
Автору
После процедуры мысленного перенесения треугольничка, сторона малого квадратика равна 1,5
А его площадь 1,5*1,5=2,25
Вот вся конгруэнтность
Из середины малого квадрата опускаем перпендикуляры на правую и нижнюю сторону. Два прямоугольных треугольника равны, т.к. один катет 1.5 , а острые углы имеют попарно перпендикулярные стороны. Следовательно, площадь искомой фигуры равна площади квадрата, состоящего из левого треугольника и части искомой фигуры.
И что с неочевидностью конгруэнтности? У четырехугольников достраиваемых две стороны и три угла равны.
Просто докрутить квадрат так, чтобы 2 стороны пересекали углы квадрата и образовывался прямоугольный равнобедренный треугольник. Находим диагональ квадрата (3 корня из 2)помножив сторону квадрата на корень из двух, а отсюда находим катеты треугольника(1,5 корней из двух). По формуле площади прямоугольного треугольника получаем:
1/2*1,5 корней из 2* 1,5 корней из 2= 1/2*2,25*2=2,25
Крест, помещённый в центр любой симметричной фигуры с четным числом углов, делит её на 4 конгруэнтные части.
Думал что быстро, решил) посмотрел дальше и оказалось можно еще быстрее)
Да уж решил тем же способом, не понимая про конгруэнтность просто повернув квадрат чтобы получить маленький квадрат со сторонами 1,5.
Хотя я поворачивал квадрат до пересечения сторон квадрата под углом 90 и ещё поворачивал на 45, интуитивно было что-то, но доказывать самому себе было лень
Конгруэнтность - это просто термин в геометрии, который был в школьном учебнике, если не ошибаюсь, Колмогорова. Во введённом в 80-е годы учебнике Погорелова термин "конгруэнтность" уже не используется, вместо него просто сказали бы "фигуры равны", имея в виду именно полное совпадение контуров при наложении. Отличие только в том, что у Колмогорова "равенство" означало полную идентичность (совпадение всех точек двух фигур в пространстве), то есть два квадрата со стороной 3 см, расположенные на расстоянии друг от друга или просто не совпадающие по положению у Погорелова считались равными, а у Колмогорова - только конгруэнтными. Иными словами, если существует хоть одна точка, принадлежащая фигуре А, но не принадлежащая фигуре В, то по Колмогорову эти фигуры не равны. Но могут быть конгруэнтны, если перемещением можно полностью наложить одну фигуру на другую - и они полностью совпадут.
Нижняя сторона малого квадрата поделится тоже в соотношении 1:2. Если провести диагональ в искомом четырехугольнике, то получим 2 полностью определенных тр-ка. Далее просто. 1*2/2=1; 1^2+2^2=5; 5/2=2.5 ; 2.5/2=1.25; 1.25+1=2.25
У меня почему-то сразу мысленно провелась линия от точки 1 до противоположного пересечения. Получилось 2 треугольника. Первый явно прямоугольный равнобедренный, второй прямоугольный с катетами 1 и 2. У второго сразу находим площадь S=½(1×2)=1 и гипотенузу (корень из 1²+2²)=корень из 5. У первого со вторым гипотенуза общая, к тому же первый равнобедренный, поэтому высота - это половина гипотенузы и равна ½корня из 5. Отсюда площадь первого ½корня из 5 умножаем на корень из 5 и всё делим на 2, получаем S=1,25. Прибавляем площадь второго S=1 и получаем площадь фигуры S=2,25.
Вроде намного сложнее, но, думаю, что если это я решил в уме за минуту, то значит тоже имеет место быть.
Соединила точки пересечения квадратов. Получились два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, один из которых равнобедренный. Усложнила решение.
Поездил по собеседованиям на инженера. Никаких подобных задач не было, хотя я решаю егэ по математике (а такие задачи там всегда есть). Сказал, что знаю математику и сопромат.
После того, как говорил, что хочу зарплату от 100 тысяч на руки, мне отказывали. Забил на этих инженеров и пошёл устроился на программиста за 150 тысяч)
Это когда было?
Вчера во сне)
Как правило для менеджеров слишком умные подчинённые не нужны.
А потом проснулся
Не дают у нас инженереам 100к. Главным инженерам дают, а обычным нет.
Ключевой момент в этой задаче - большой квадрат растет одним углом из центра маленького. По сему, повернем большой квадрат так чтобы в маленьком получился еще более мелкий со стороной 1,5. Возводим в квадрат и имеем 2,25. Спасибо за задачу!
Увидел, что что площадь 1/4 я за 2 минуты, как это доказать?!
Если не доказано, то это всего лишь предположение.
пошёл по длинному пути
1) понял, что как ни вращай лучи с углом в 90°, если они из центра квадрата - они всегда будут входить в его стороны с одинаковыми углами, а значит, и делить стороны будут одинаково, следовательно, малый отрезок на нижней стороне малого квадрата равен единице
2) разбил искомую зону на два прямоугольных треугольника: с катетами 2х1 (на основе отрезков от сторон малого квадрата) и NxN (длина лучей из центра)
3) желая найти N прикинул, что можно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, образованного перпендикуляром к нижней стороне малого квадрата из центра, отрезком от луча N и получившимся отрезком на нижней стороне малого квадрата (закрашенный треугольник на видосе). Вышли катеты 1.5 и 0.5, гипотенуза N = √2.5
4) выходит, площадь одного из задуманных треугольников 1*2/2=1, а второго √2.5*√2.5/2=1.25
5) суммарно же S = 1 + 1.25 = 2.25
а потом увидел объяснение с видео и приуныл х)
Площадь закрашеной фигуры не зависит от размера стороны большого квадрата. Она даже не зависит от угла его поворота.
Четверть от площади маленького квадрата.
3*3*0,25
Прикольная задача. У меня ответ созрел сразу из предположения с подобием треугольников. Но это интуитивный ответ. А хотелось получить математическое объяснение, что площадь не изменилась.
Про "нетрудно видеть" прям в яблочко)))
забыли уточнить что есть ещё избыточные данные - это размер большого кв. но его сторона должна быть больше или равная половине диагонали малого кв. иначе рисунок не получится
А у меня почему то другое решение всплыло: нашел половинку гипотенузы (она же радиус описанной окружности), провел радиус из центра в нижнюю правую вершину и посчитал площади двух треугольников (площадь равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними). Так как у нас квадрат, то там угол будет 45 градусов. Ну и затем сложил площади - ответ тот же 2.25 :)
Оригинальное решение. Лайк. По-любому.
Если кто не понял, о это задача для собеседование на инженерОв. А инженЕрам дают, как правило, задачи по их специальности. Причём, даже без решения в цифрах - достаточно понимания хода решения задачи.
Проще простого. Провести диагональ - получатся два треугольника.У одного основание 1, у другого 2, высота у обоих 1,5. вычисляем - площадь равна 2,25.
Размеры большого квадрата не имеют никакого значения.
Чуток иначе. Решил устно. Построил две полудиагонали, доказал равенство закрашенного и незакрашенного (два угла и сторона) и получил четверть от площади.
Так сразу видно: как ни поворачивай, всё рано будет четверть от малого квадрата. А 1, 2 и 4 даны для отвода глаз. Если сторона второго квадрата будет больше, чем 1,5√2, площадь перекрытия будет четвертью при любом угле поворота.
Да, нужна только сторона малого квадрата,а остальные данные избыточны, чего не должно быть в нормальном условии задачи
@@Дмитрий-т7ю5ь да, но стоит изменить условие,такое как вместо большого квадрата со стороной 4 будет маленький со стороной 2 к примеру, ну или чуть меньше (главное больше 1.5 и меньше корня из 4.5) то может образоваться маленький треугольник нижний правый, который может не относиться к искомой площади, и уже к этому варианту как раз нужны те два значения отрезков 1 и 2. И тогда уже задача будет не такой уж и простой.
решаема ли задача, если убрать условие про совпадение вершины большого квадрата с центром малого? И какие данные тогда необходимы для решения?
Нет, не решаема. Нужно еще одно любое значение для однозначного ответа - например расстояние от угла до точки пересечения с второй стороной.
9/4. Решил в уме через треугольники. Потом дошло, что есть лишняя инфа: сторона большого квадрата.
инфа то как раз не лишняя, если бы сторона была меньше 2 то при повороте несложно заметить квадрат бы просто напросто не вписывался
Задача, как сказано, с собеседований на инженерОв. Не на те собеседования я, видимо, ходил, будучи инженером.
В задаче имеются лишние данные, для решения задачи достаточно знать площадь малого квадрата (или сторону малого квадрата), и тот факт, что угол большого квадрата, совпадающий с углом 4-хугольника с искомой площадью, берёт начало в центре малого квадрата.
Остальные сведения с цифрами 1, 2, 4 являются ненужными.
А если вершина второго квадрата упирается не в центр первого🤷
Є важливий нюанс. Потрібно довести, що половина діагоналі квадрата з стороною 3 менша за сторону квадрата 4. Це просто, але це обовязкова умова.
Как не вращай "большой" квадрат вокруг центра малого, площадь пересечения остается неизменной. При установке параллельно соответствующих сторон квадратов становится ясно, что фигурой пересечения стал квадрат со стороной 1,5. Фсе
Я достроил диагонали маленького квадрата. Одна из них поделила искомую область на 2 треугольника. Дальше через равенство треугольников по стороне и двум углам доказываем, что отделённая диагональю правая нижняя часть маленького квадрата состоит из двух пар равных треугольников, значит сумма площади одной пары - половина от половины площади маленького квадрата. То есть 9/4
Красивая задача, мне понравилось
Мгновенно. Площадь - четверть площади маленького квадрата.
Строим прямоугольник 2×1.5=3, два малых равных треугольника сверху и слева от искомой фигуры 0,5×1,5=0,75, площадь 3,0-0,75=2,25
Не бывает таких задач на собеседование инженера, это вообще не инженерная задача
Дорисуем ещё 3 больших квадрата и мысленно повращаем и станет понятно что все 4 больших квадрата одинаковую площадь занимают в маленьком (например при повороте всех фигуры на 90 градусов фигура совпадёт с исходной). Ответ: четверть маленького 3*3/4
По картинке не понятно, что вершина в центре. Это единственное, что надо для решения.
Можно провести диагональ из центра маленького квадрата в правый нижний угол, разделив искомую фигуру на два треугольника. И найти площадь каждого из них через полупроизведение катетов и синуса угла между ними
Можно вообще взять интеграл
Я так и решал, только ответ другой выходит почему-то
@@ПетрСергеич-т2т у меня ответ совпал))
@@BLUEDOGSTUDIO Я пересчитал, тоже совпало
Площадь искомой фигуры состоит из 2-х прямоугольных треугольников со сторонами 0,5 и 1,5 и одного прямоугольника со сторонами 1 и 1,5.
Тогда площадь искомой фигуры 1.5×1, 5=2, 25.
Довольно простая, догадался сразу, опять же было бы странно если бы не догадался, мат-мех всё-таки закончил, хоть и давно :D
Просто повернуть большой квадрат до прямого угла, будет 1.5. 1.5 в квадрате будет ответ.
Я не математик. Но мысленно прокрутил большой квадрат по часовой стрелке не отрывая его угол от центра малого. Увидел цифру 3 :) и умножил 1.5*1.5
откуда уверенность что можно свободно вращать?
Точно так же
@@xaero59, а что мешает? Ведь в видео сказано, что большой квадрат вращали именно так
Тоже самое без вращения, разделить малый квадрат диагоналями. И тогда видно, что углы сдвига большого квадрата от диагоналей равны и значит искомая площадь равна четверти площади малого квадрата
@@АлексейХристенко-м3вв смысле что мешает? в геометрии не принято делать, что-то просто потому что ничего не мешает, нужно обоснование
Нужно дорисовать 3 больших квадрата, и видно по рисунку, что получились четыре одинаковых заштрихованых четырёхугольника, и делить на 4.
Попытался найти через угол и быстро осознал, что треугольник дополняет до квадрата, ну а площадь квадрата со стороной 1,5 найти очень просто. ~ 40 сек на решение.
Гениально. У меня такая особенность, что я всегда усложняю простые задачи. Ещё со школы. И здесь я искал через периметр. При чём я увидел, что два треугольника равны, но не увидел, что равны все 4 части 😁
очень жаль вас
А я увидел решение через площадь трапеции))).
Доказательство конгруентности тоже хромает: "мы видим", легко увидеть и тд. То же самое что и сказали бы учителя у которых нет времени объяснять))
А можно ли (как математики это очень любят делать) обобщить данный результат? То есть: Вывести некое правило, для каких геометрических фигур A с некой точкой (назовем ее условно центром) p будет справедливо, что два перпендикулярных луча из этой точки всегда вырежут ровно четверть площади фигуры? Можно ли как-то классифицировать фигуры, для которых такое будет справедливо? Например, это справедливо (как мы увидели) для квадрата. Также очевидно для круга. А вот для прямоугольника уже нет ... Как насчет любого правильного многоугольника? И есть ли еще такие фигуры?
Если фигура обладает осевой симметрией порядка 4n, две перпендикулярные прямые через ось симметрии будут разбивать её на четыре равные фигуры.
А что, в геометрии нет никаких законов прямых проходящих через центр квадрата?
Просто тут всё через подобие сторон и углов решается - по два прямых угла (в центре и углах квадрата) и по два на параллельных сторонах с пересекающей их прямой. А к четырем углам четырёхугольника одной стороны хватит, чтоб подобие доказать.
Решил задачу за 30 секунд. Дорисовал до большого квадрата ещё три таких же. И понял что как их не вращай вокруг центра малого квадрата он всегда будет поделён на 4 равные части
Решил: Соединил отрезком точки пересечения сторон квадратов - получил 2 прямоугольных треугольника: первый, с катетами длиной 2 и 1 (гипотенуза равна корень из 5), второй равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой равное гипотенузе первого, т.е. корень из 5. Вычислил площади: S1=(1+2)/2=1, S2=5/4. Искомая площадь: S1+S2=9/4. ВУАЛЯ!
Потом глянул ответ и понял какой я долбанавт :)))))
На самом деле, в большом квадрате не имеет значения количество сантиметров - это лишнее условие
Простая но красивая задача. Быстро и легко решается в уме, длина большого квадрата почти не нужна .
верно, почти, нужно всего лишь убедиться что сторона того квадрата должна быть больше корня из 4.5. Иначе бы он мог при повороте не вписываться в квадрат со стороной 3. Красивее было бы поставить такое условие, чтобы тот квадрат оказался меньше и не вписывался. Тогда пригодились бы все данные
повернуть большой квадрат так,чтобы его стороны были перпендикулярны сторонам малого квадрата и далее все ясно
Вообще к черту большой квадрат. На малом рассмотрим четырехугольники, созданные прямыми (то есть пунктирами). Элементарно, Ватсон, они подобны и более того, равны. То есть, площадь каждого составляет 1/4 от площади малого квадрата. Все.
У меня получается 2,25. Верно. Я увидел в фигуре прямоугольник 1,5 на 1, и два прямоугольных треугольника с катетами 1,5 и 0,5. Суммарная площадь 1,5*1 + 2*0,5*1,5*0,5=2,25
А я увидел трапециюс основаниями 1 и 1,5, и высотой 1,5, и прямоугольных треугольника с катетами 1,5 и 0,5. Суммарная площадь ((1,5+1)/2)*1,5 + 0,5*1,5*0,5=2,25
А как из рисунка догадаться, что вершина большего квадрата находится в центре меньшего ?
это же по условию
@@alexeyeglazov "Какова площадь фигуры, по которой перекрываются оба квадрата?" - не вижу. Лишь из рисунка строить предположения ?
@@nikolaygolosin5616 Из рисунка невозможно догадаться. Об этом сказано на моменте 0:22
Из рисунка вообще много о чем нельзя утверждать уверенно. Например откуда мы знаем, что это квадраты, а не ромбы, например. Это уже словами поясняется, дается в условии задачи.
@@alexeyeglazov Понял, спасибо. Жаль, что на рисунке всё не обозначили сразу. Было бы здорово давать задачу одной картинкой
@@nikolaygolosin5616 Я тоже не сразу понял.
Длина стороны большого квадрата тоже избыточное условие
А теперь возьмём более общую задачу: Пусть нам известна площать малого квадрата и равна s, а площадь большого квадрата равна S. Чему равна площадь пересечения квадратов?
S(Q1) = s
S(Q2) = S
S(Q1×Q2) - ?
если зеленые треугольники равны, то и искомая площадь равна площади квадрата (четверти большого 3х3) , остальное все лишнее
Да можно же повернуть огромный квадрат так чтобы маленький квадрат поделился на 4 одинаковые фигуры и просто делим плошадь маленького на 4
@@kairat_nurtas_667 надо ещё доказать, что при повороте площадь пересечения не изменится
@@СветланаА-б3е ну это же квадрат и там все стороны равны и их углы 90° и то если решать и тем и тем же способом то будет одинаковый ответ
Не имеет значения на сколько повернут второй квадрат он отсекает от первого четвертую часть
Я не понял зачем нам дана сторона большого квадрата и отношения 1 и 2...
Мы тупо крутим диагонали вокруг цента и как бы мы их не поставили , всегда получим одинаковые площади между ними.
И так понятно , что если мы от центра будем вырезать 1/4 ломоть , то площадь которую мы вырежем будет 1/4.
Если бы это был треугольник, то вырезать надо было бы тремя линиями, пятиугольник пятью линиями и т.д.
Поставил на паузу и сходу решил также , но подумал что то легко, и решил проверить найти все четыре стороны четырехугольника применив для площади формулу брахмабупты, но для начала взял теорему пифагора что бы найти одну из сторон гипотенузы она же и одна из сторон четырехугольника и ответ у меня получился совсем другой нежели первый, мне 50 я учился на 3.5 но мне моих знаний всегда не хватает что бы обьяснить такие парадоксы , сасми проверте найти четыре стороны не геометрически а алгебраически. и далее найти четырехугольник по формуле брахмабупты
А, вы, такой умный, наверное в школу не ходили, и знания геометрии получили не от "тупых" учителей в школе, а впитали с молоком матери?
А не проще было второй (большой квадрат) довращать так, чтобы искомая площадь приобрела квадратную форму. А потом, зная, что сторона квадратика равна радиусу вписанной окружности, то есть 1/2 стороны первого квадрата, найти искомую площадь?
по-моему ваше решение проще. я тоже так сделал. не надо никакие 4 конгруэнтных фигуры додумывать
Какое-то усложнение с конгруэнтными фигурами. Провел два перпендикуляра из центра (направо и вниз) и понял, что по двум углам и стороне получившиеся треугольники одинаковые, значит площадь фигуры = 1/4 площади малого квадрата.
Так "конгруэнтные" - это и есть "одинаковые по форме и размеру".
@@ira_555, полностью согласен с комментарием выше: для решения подобной задачи не обязательно вводить понятие конгруэнтности, решение должно быть простым: действительно, опустить перпендикуляры на две стороны, доказать равенство 2 прямоугольных треугольников по катету и острому углу (кстати, автор этот доказал при доказательстве конгруэнтности), а затем получается, что площадь заштрихованной фигуры не отличается от площади четвертинки квадрата: уберите верхний заштрихованный треугольник и добавьте левый незаштрихованный, но равный ему, получится квадрат со стороной 3/2, его площадь равна площади искомой фигуры.
@@АндрейГлушко-у5й Да никто и не "вводил" понятие конгруэнтности, этим школьным термином пользуются люди, закончившие школу не позднее середины 80-х годов, и означает он именно что фигуры совпадут при наложении, т.е. одинаковые по форме и размерам. Позднее вместо "конгруэнтны" в учебниках стали использовать понятие "равны". Для мне, например, фраза "фигуры конгруэнтны" звучит совершенно естественно, так в школе учили.
@@ira_555 не цепляйтесь к словам, надо соответствовать не древним учебникам, а тому, что и так понятно. Смысл моего комментария повторю: решение здесь можно описать простыми словами, не надо выпендриваться
@@АндрейГлушко-у5й никто не выпендривался. Просто слово конгруэнтность сложновато для произношения🙃
Тут лишние данные, касаясь центра малого большой квадрат может пересекать малый В ЛЮБОМ месте, при этом общая площадь останется неизменной: половина стороны малого 1,5 в квадрате = 2,25
Задача инженера - не навредить, а остальное решаемо.
И квадрат со стороной 4- тоже для заморочки, да хоть 17- всё равно угол у квадрата прямой...
Решил, спасибо
В уме решается. Много лишних данных это чтобы запутать? 3/2=1.5. 1.5х1.50= 2.25
А я решила совсем по-другому.Если точка вращения в центре,значит площадь будет одна четвертая от всей площади маленького квадрата. Половина стороны -1,5. Сторон четыре.1,5 умножить на 1,5 будет 2,25.
1,5 умножить на 4 не будет 2,25
А то что площадь квадрата делится на 4, надо доказать
@@СветланаА-б3е Я опечаталась, 1,5 умножить на 1,5. Площадь квадрата умножение двух сторон,а если умножить на 4 ,то это периметр.Спасибо что обратили внимание. Я просто не внимательно напечатала.
Сторона большего квадрата 4 дана, чтобы показать, что 4 больше половины диагонали малого квадрата. Если бы сторона большего квадрата была меньше половины диагонали меньшего квадрата, но больше 3, то решение было бы другим
А такой вариант в принципе исключён, так как половина диагонали маленького квадрата равно три корня из двух,то есть приблизительно 2,12 . Поэтому сторона второго квадрата не может быть одновременно быть больше 3 и меньше 2,12 ...
@@ФаридК-г6ц оговорилась, конечно же, не 3, а 1,5.
Уж насколько я не силён в геометрии, но тут сразу видно, что площадь это (3/2)^2=2,25
Видео еще не смотрел.
Чертеж не полный.
Без словесного пояснения непонятно, что угол большого квадрата совпадает с центром маленького квадрата. Нет никакого обозначения.
А если совпадает, то цифра 4 у большого квадрата лишняя. Она в задаче не участвует.
Площадь пересечения равна четверти площади маленького квадрата.
Это можно увидеть через равенство треугольников, проведя два луча из центра маленького квадрата в его углы.
легко! даже сам офигел когда за 5 сек порешал!
Ура, у меня получилось!
Не, это все конечно интересно и познавательно, но хотелось бы видеть решение в лоб - просто рассчитать, зная соотношение деления стороны квадрата 1 к 2. Т.е. без всяких хаков и измышлений - просто тупо посчитать. Это то же было бы интересно.
Решил сразу, что надо площадь маленького 3 х 3 = 9, разделить на четыре.
Как не вращай, все равно будет четверть! можно даже вместо малого квадрата представить круг! А стороны большего квадрата могут быть любыми: хоть 3, хоть 4 , хоть 5..!
А 2, может ?
@@ВоваЦыганов-ф8г 2 уже не может, будет нарушено условие, что квадрат "большой" по отношению к первому.
А от 2 большого квадрата?
Опять кривое превью, у нас параллелограмм или зачем ты тогда обозначил избыточные данные?
Сторона маленького квадрата равна 1,5, площадь квадрата, соответственно равна 1,5 в квадрате, т.е 2,25.
3:54 осталось доказать конгруентность малых зелёных трехугольничков 😁😆😅🤣😂
Лишняя информация: длины отрезков 1 и 2, а также размер большого квадрата 4. Площадь равна 9/4.
Первый раз подобную задачу решил - да, первое что было - тупо линии продлил, потом катеты и пошло/поехало…
Я повернула квадрат, чтобы получить квадратик со стороной 1,5
1,5*1,5 - и есть ответ к задаче изи пизи, решил иначе - еще более просто
Да, но только все равно надо было доказать, как к этому прийти 😉👍
опять лишние данные... или возможен что ли какой то другой набор цифр... вместо три.... например десять...
"не сложная, как обычно" -ага конечно не сложная
треугольники равны,значит s=1,5*1,5=2,25
Очень просто для инженера
это устно решается
будет равно четверти маленького квадрата
ответ: 9/4
Непонятно, зачем в принципе в задаче даны значения 1 и 2, для решения это вообще не нужно:)
На 36 секунде остановил и решил...
Х сторона малого квадрата. берем х в квадрат и делим на 4. Решается как геометрическая задача. Можно доказать , но и так видно.
И тем не менее надо доказать
Математичка в 6 классе: НЕТ, ТЫ ДОКАЖИ, ПОЧЕМУ ДОСТРАИВАЕМЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ, НЕТ, ЭТО НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ОЧЕВИДНО!
По стороне и двум прилежащим углам
Не слабовата задачка для инженера?
В самый раз
Начертить диагонали малого квадрата, и всё видно будет