Teorema Chino del Residuo/Resto: Sistemas de Ecuaciones de Congruencia Lineales
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- Опубликовано: 19 сен 2024
- Encuentra la solución general del siguiente sistema de ecuaciones:
x ≡ 2 mód 9
x ≡ 4 mód 10
x ≡ 8 mód 11
Congruencia módulo m: Inverso multiplicativo: Definición & Ejercicio Resuelto:
• Congruencia módulo m: ...
Sistemas de Ecuaciones de Congruencia Lineales: Ejercicio Resuelto 2
• Sistemas de Ecuaciones...
Buenas Samuel Chung , lo primero agradecerte este vídeo, estaba rondando distintos vídeos en los que pasaban cosas por alto y por fin he encontrando los dos vídeos este y el del link para entenderlo todo ... me ha gustado el método y me preguntaba si funciona para todos los casos o es posible que haciendo divisiones la yi sea un número tan grande que nunca llegue a el por la cuenta de la vieja , no se si me estoy explicando.
Hola, Manuel. Gracias por comentar. Voy a intentar responder tu pregunta mediante dos comentarios:
Primero, yi es el inverso modular que existe cuando el coeficiente de x y el módulo son coprimos. Cuando yi es un número muy grande, para encontrarlo, se utiliza el algoritmo de Euclides en su forma extendida, como lo explico en el video correspondiente.
Segundo, la aplicación directa del Teorema Chino del Residuo sólo se hace a fin de entender el Teorema y su demostración. Existen procedimientos más eficientes (como lo comento en el video) que aplican el Teorema, pero de forma indirecta. Cuando los módulos son pequeños, se puede resolver el sistema por inspección. En caso de que los módulos sean (muy) grandes se pueden reescribir las congruencias como ecuaciones diofantinas (diofánticas), lo que permite hallar la solución de manera, relativamente fácil.
Saludos.
@@samuelchung8960 entendido por eso para este ejemplo tengo que calcular y1 ,y2 , y3 que son respectivamente 110yi+ 9a=1. , 99y2+10y2=1. , 90y3+11c=1?
Hola, te hago una pregunta.. tengo una consigna en la que me piden todos los número de tres cifras tal que todas sean pares y sean consecutivas. Está bien plantear 2x =..., (2x+2)=..., etc?
¿Cada cifra de cada número debe ser par:
222, 224, 226, 228...
o es suficiente con que solo los números sean pares:
110, 112, 114, 116, 118, 120...?
¿Se debe plantear como una ecuación de congruencia o se puede plantear de cualquier modo?
@@samuelchung8960 Todas las cifras que me forman al número de tres cifras deben ser par y consecutivas entre si, por ejemplo: 246, 468, etc.. lo tengo que plantear como una ecuación de congruencia, y otra condición es que si al número lo divido por 3, 5 y 7, en todos los casos me tiene que dar resto 1.
Me parece que no existen números de tres dígitos pares (la condición "consecutivos" es innecesaria) que al dividirse entre 3, 5 y 7 dejen residuo 1.
Por inspección,
El conjunto de enteros positivos pares formados por tres dígitos pares contiene 100 elementos:
25 números entre 200 (incluído) y 300 (no incluído)
25 números entre 400 (incluído) y 500 (no incluído)
25 números entre 600 (incluído) y 700 (no incluído)
25 números entre 800 (incluído) y 900 (no incluído)
Hagamos el siguiente análisis:
Los primeros 25 enteros pares formados por tres dígitos pares son:
200, 202, 204, 206, 208
220, 222, 224, 226, 228
240, 242, 244, 246, 248
260, 262, 264, 266, 268
280, 282, 284, 286, 288
Si tomamos, por ejemplo, 286 y aplicamos los teoremas de la divisibilidad, tenemos
286 - 1 = 285
285 es múltiplo de 5 y de 3, pero no de 7. Es decir, 286 deja residuo 1 cuando se divide entre 5 y 3. Pero cuando se divide entre 7 el residuo es 5.
Si verificáramos los 100 elementos del conjunto, me parece que ninguno cumple con las dos condiciones.
Por lo tanto, lo que tendríamos que intentar demostrar es que tal número no existe.
@@samuelchung8960 Ahhh genial, muchísimas gracias por su ayuda!
De nada. Si tienes alguna otra pregunta, duda o propuesta de video, coméntalo.
por favor porque la respuesta que multiplicada por un entero t
Porque la solución de una ecuación de congruencia (o sistema de ecuaciones de congruencia, así como las ecuaciones diofánticas) es, en realidad, un conjunto de soluciones. Es por eso que se necesita incluir un parámetro, que puede ser cualquier letra o símbolo.
Te invito a que veas los videos sobre ecuaciones de congruencia, para que entiendas mejor el tema. Te dejo el link de uno de ellos:
Ecuaciones de congruencia Lineales Ejercicio resuelto 1:
ruclips.net/video/v0o9VeMKBhU/видео.html
@@samuelchung8960 muchisimas gracias
Por el método chino simplificado tendríamos:
x = 2(°9)
x = 4(°10)
x = 8(°11)
mcm (°9,°10,°11 )= 990
ahora partiendo de :
x = 110 + 99 + 90 debemos llegar a x = 2(°9) + 4(°10) + 8(°11)
x = 2(°9) + 9(°10) + 2(°11)
x = 2(°9) + 9(°10)*9 + 2(°11)*4
x = 2(°9) + 1(°10) + 8(°11)
x = 2(°9) + 1(°10)*4 + 8(°11)
x = 2(°9) + 4(°10) + 8(°11)
todas las operaciones ejecutadas se consideran al final
x = 110 + 99*9*4 + 90*4 = 4034
dividiendo entre 990
que queda finalmente como
x = 74 +990k
que es la solución pedida
Por un tablero modular tendremos también el mismo resultado
A. M. °M. M^-1 AMM^-1
x=2(°9) 2. 110. 2. - 110
x=4(°10) 4. 99. 9. 9. 3564
x=8(°11) 8. 90. 2. 6. 4320
MCM(°9,°10,°11)=990k. 7994
x= 7994 + 990k
x = 74 + 990k
zzzzzzzzzzzzzz