@@tativ6840 I don't think you understand this video. The way of doing math is the same everywhere in the world. Or Perhaps Russia dosen't follow the rule or standard of the world.
Negative remainder(음수 나머지) 관 련 내 용 입 니 다 . 더 자 세 한 내 용 은 number theory 를 살 펴 봐 야 하 는 데 ... 그 것 까 지 야 ... 예를 들어, 9 ÷ 4 = (4 × 2) + 1 = (4 × 3) - 2 입니다. 몫의 값에 따라 나머지의 값이 달라집니다. 이런 경우 어떤 기준이 필요하다... 이 거 죠. -------- 1st example 9 ÷ 4 = 2.25 입니다. 이걸 다시 표현하면 9 = 4 × 2.25 가 됩니다. 9 = 4 × 2.25 에서 0이 아닌 나머지(r)를 표현하려면 9 = 4 × [ ] + r 이 되어야 합니다. 눈치 빠르신 분들은 [ ] < 2.25 라는 것을 알아채셨을 겁니다. 9 = 4 × [ 2 ] + 1 즉, 나머지 1이 생성되기 위해선 4 × 2.25 보다 적은 4 × 2 가 되어야 한다는 겁니다. 경험적으로 & 결론적으로 볼 때, 이 원칙이 다음과 같은 연산들에도 그대로 적용됩니다. -------- 2nd example 9 ÷ (-4) = -2.25 9 = (-4) × [ ] + r [ ]. 따라서 [ ]은 -3 이 됩니다. 1st example에서의 원칙이 적용됨. 9 = (-4) × (-3) + (-3)
수학학원 원장입니다. 이번 영상은 수학을 재밌게 가르치자는 취지는 이해하고있으나 엄밀하게 수학공부를 제대로하는 학생들을 위해 댓글을 답니다. 포인트는 "나머지 정리의 정의에 의해 나머지는 음수가 될수 없습니다." 나눗셈 정리에 따르면 양의 정수 제수 B와 임의의 정수 피제수 A에 대해, A=BQ+R을 만족시키는 유일한 정수 Q와 0≤R
동의합니다. 정수론에서는 제수와 나머지를 양의 정수로 정의하고 있기 때문에 음수로 나누는 경우는 정의되지 않는 것으로 이해하고 있습니다. 이런 연유로 컴퓨터 프로그램마다 음수로 나눈 나머지를 구할때 계산 결과가 제각각 입니다. 깨봉님이 임의로 생각하시는 의견을 방송하신 건 아닐텐 데 어떤 근거로 주장하시는 건지 궁금합니다.
수학을 가시화하고 설명을 쉽게 하시니 어려워서 다가오지못하는 사람에게는 도움이 될것같습니다. 몇개 보고 감동적이기 까지합니다. 근데 저는 수학을 공부할때 (지금은 학생이아니라서 걍 취미로 하지만.) 엄밀한 설명을 더 중요하게 생각하는데....(좀 재미없더라도.) 깨봉님의 설명을 보고 수학적언어와 일상언어가 혼돈되어서 살짝 머리가 어지러움을 느껴서 그냥 재미있는 수학정도로 넘어가려 합니다. 어떤수를 나눌 때 몫과 나머지로 표기하는 건 양수끼리는 자연스러운데. 설명도 쉽고 가시화도 쉽고 그리고 그 때 나온 발상들이니까.....음수ㄲ리 나누기나 나누려는 수가 음수일 때는 개념이 모호해진다고 생각합니다. 그것을 음각 양각 블록으로 가시화시키는 설명은 대단합니다. 저도 누군가에게 음수나누기설명을 그렇게 해야겠다는 생각을 합니다. 설명의 엄밀성을 생각하는 저에게는 난해한게.... 어떤 수를 다른 수로 나눌 때 몫과 나머지의 개념으로 설명하면 y / x = 몫(a)....나머지(b) 즉 y= ax+b 이렇게 표시가 되겠지요 나머지는 나누려는 수(x)보다 작은 수가 되어야겠지요. 나머지가 있던가(있다..!!) 나누어 떨어지던가(0) 그런데 그 나머지가(b) 나누려는 수(x)보다 작은 수여야한다. 건 상식적이고 영상의 설명에서도 언급이 되는데 모호하게 설명이 되서 순간 멍했습니다. '작은수인데 0에서부터..' 이런식으로 설명은 하는데 이건 어디까지는 양수일 때는 자연스러운데 .. 음수로 갑자기 덮어씌우기처럼 되어 이해는 빠른데 ..'엇! 이상하네. ' 일단 설명이 깔끔은 하니까...이해하는 데는 문제는 없으니까. .넘어가지만, 계속 머리에 맴도네요. 나누려는 수 x가 -4인데 나머지가 -3이다라면. -3은 -4보다 큰 수 잖아요. 나머지가 더 큰 수가 나오기 때문에 음수나누기는 개념이 간단하지않다고 생각해요. 음수연산은 수학사에서도 개념이 확립된 건 늦은편이잖아요. 양수끼리 연산처럼 개념이 깔끔하지 않아서 설명의 주의를 요한다고 생각합니다. 그러니 저도 학생 때는 음수가 들어간 식은 걍 부호따로 계산하고 양수끼리의 연산으로 해서 답내는 방식으로 배웠던 것 같은데. 음.. 몫 나머지의 개념으로 파악하니...가시화까지해서 보기는 좋은데. 머리가 어지러워지네요. 8 나누기 3은 큰 수롤 작은 수로 나누니 아주 깔끔하게 몫과 나머지 즉 2 2 가 생기는데 -8 나누기 -3 은 작은 수를 큰 수로 나누니 몫과 나머지 개념이 흔들리는 거 아닌지. 다시 양수로 돌아가서 3 나누기 8은 몫은 0 나머지 3으로 나오지만. 8나누기 -3을 몫이 -3 나머지가 1 (또는 몫 -2 나머지 2) 진짜 이렇게 말할 수 있나요? 연산이야 가능하지만. 나머지가 나누려는 수보다 큰 수다..여기서 논리의 모순이 생기니까요 음수의 특수성을 생각하면 말하기가 어려워지는 듯요 차라리 10을 3으로 나누는데 상식적인 개념의 답은 몫이 3이고 나머지가 1 하지만 몫이 4고 나머지가 -2 이렇게 써도 또는 몫이 2 나머지가 4 이렇게 쓰는것과 매한가지니까요. 일단 연산을하면 y=ax+b로 하면 다 성립은 하지만. 몫과 나머지를 그렇게 써서 개념을 모호하게 흔들어 버리는 효과지요. (100나누기 2하라고했더니 몫은 50 나머지0이라고 쓰지않고 몫 40 나머지 20 이렇게쓰고 맞다고하면 장땡이니까요. 나누어떨어진다고 안해도되고 나머지가 나누려는 수 2보다 큰것을 허용해버리니까요. ) 음수나누기개념은 설명하기쉽고 직관적으로 이해하기쉬워도 맞는 설명같지가않습니다. 저만그렇게 생각하는것같지는않네요 요아래 비슷한 덧글이 있는거보니..
깨봉에 반하는 이야기지만, 코딩을 한다면, 9 ÷ -4 = -3 ... -3 우선, 실수 계산을 해서 값을 구한 후, (9) ÷ (-4) = (-2.25) 결과의 정수 부분을 '가까운 작은 정수 값 찾기' 하면, 몫은 -2.25 => -3 이 됩니다. 이후, 계산을 통해 나머지를 구합니다. (9) - (-4 x -3) = -3 나머지는 -3 이 됩니다. -9 ÷ 4 = -3 ... 3 우선, 실수 계산을 해서 값을 구한 후, (-9) ÷ (4) = (-2.25) 결과의 정수 부분을 '가까운 작은 정수 값 찾기' 하면, 몫은 -2.25 => -3 이 됩니다. 이후, 계산을 통해 나머지를 구합니다. (-9) - (4 x -3) = 3 나머지는 3 이 됩니다. 일반적으로 정수의 나눗셈은 임의의 두 정수 a, b (≠0)에 대하여, a = b × q + r (a - dividend, b - diveder , q-quotient , [q] - q's absolute value , r-reminder ) 나머지의 범위를 0 ≤ r ＜ [q] 라고 정의하는데, 그럼 또 다른 이야기 됩니다 ^^
박사님. 엑셀에서 똑같은 수를 가지고 몫과 나머지를 구했더니 엑셀에서 는 9,4,2,1 로 모두가 양수일 때는 맞는데 9,-4,-2,-3과 -9,4,-2,3이라고 틀린 답을 주고 또 다시 -9,-4,2,-1이라은 답을 주네요.. 궁굼해서 비쥬얼 스튜디오로 똑같이 계산해보니 9,4,2,1 과 9,-4,-2,1 과 -9,4,-2,-1과 -9,-4,2,-1 이라고 답을 주는데 엑셀의 답이 틀린 것은 확실히 이해가 되는데 비쥬얼 스튜디오로 계산한 것은 맞는 것도 같고 아닌것도 같은데... 아니면 박사님도 맞고 양쪽 다 맞는 것인가요? 원리상 보면 비주얼 스튜디오도 수적으로는 맞기는 하던데요. 그리고 수직선에 점을 찍으면 수학 천재라고 에서 박사님은 수평선을 그어놓고 왜 그걸 수직선이라고 하시는지 궁굼합니다. 수직선은 선이 두개 있을때 직각으로 교차해야 그 중에 하나를 수직선이라고 해야 하는 것은 아닌지? 헷갈립니다. 명쾌한 답변 부탁 드립니다. 아주 재미는 있는데 ... 어쩌다 한 번씩 잘 이해가 안되는 것도..ㅎㅎㅎ
일단 첫번째. 컴퓨터로 이진법의 나눗셈을 하는 경우 나머지가 나누어지는 수의 부호를 따라갑니다. 따라서 이 알고리즘을 사용할 경우 비주얼 스튜디오의 답이 맞는거죠. 엑셀의 답은 나머지만 맞춘 것으로 추정되네요 그리고 두번째. 그 수직선은 박사님께서 사용하신 수직선과 한자가 다릅니다. 당신이 생각하고 계신 수직선은 직각으로 교차하는 직선으로 드리울 수(垂)를 쓰는데, 영상에서 언급된 수직선은 그냥 실수를 직선상의 좌표로 표시한 것으로서 셀 수(数)를 사용합니다.
2^(1/2)은 2의 제곱근. 즉, x^2=2인 x값을 의미합니다. 루트 2(square root 2)는 제곱근 2와 같은 말로 보시면 됩니다. 즉, 루트 4 = 2 입니다. 4^(1/2) 은 +2, -2 두 개의 값이 됩니다. 그러나 고등학교 지수법칙에서는 4^(1/2) = +2로 약속하게됩니다.(고등학교에서 음의 지수, 유리수 지수, 실수 지수의 정의는 계산도 중요하지만 지수함수 그래프의 이해를 돕기 위한 소개이며, 미적분에서의 활용을 위하여 도입됩니다.)
나눗셈의 몫과 나머지에서 나름 몇 가지 체계로 정의할 수 있습니다. ①나머지가 0이상, 나누는 수의 절대값 미만으로 정의하는 방법. ②몫과 나머지를 (0을 포함하여) 부호가 같게 정의하는 방법. ③깨봉수학에서 하는 방법. 하지만 보통 보편적으로 수학의 정수론에서 ①의 방법을 택하고 있기에, 깨봉수학 이번 강의는 보편성을 잃고 있습니다.
나눗셈에서 중요한건 나눠지는 수나 몫이나 나머지가 아닌 나누는 수 입니다. 나누는 수가 양수일땐 음수를 나머지로 가질 수 없고 음수로 나눌때는 양수를 나머지로 가질수없다고 보는 약속인듯 하네요. 고등학교 1학년 나머지정리 부분에서 중요하게 다루는 부분이니 그때가서 한번 더 이 영상을 보시면 큰 도움 될것입니다
제가 개발한 더 쉬운 방법이 있습니다. 수직선에서 생각하는 것인데요. 9÷(-4)를 예로 들겠습니다. 1.수직선에서 9에 점을 찍어 놓습니다. 2. 이제 0에서부터 아래쪽으로 4칸씩 이동을 합니다. 세번이동하면 (-4) ×3이 되어 -12에 위치할 것입니다. 3. (-4) ×3= -12에 위치한 걸 확인했다면, 이제 (-4) ×(-3)을 하면 어떻게 될까요? 반대쪽으로 +12에 위치할 것입니다. 4. +12에서 아랫쪽으로 세칸 내려가면 9입니다. 세칸 내려간다는 것은 나머지가 (-3)이 된다는 뜻입니다. 5. 결국 9는 (-4)가 (-3)번 곱해지고 나머지가 (-3)이 되는 수입니다. 6.정리. 9÷(-4)= 몫 (-3)...나머지 (-3) 7. 검산식. (-4)× (-3)+ (-3)= 9
영상은 무슨 소린 줄 알겠는데 음수로 나눈다는 것을 개념을 못잡겠네요. 아..두통올라그래...영상은 단지 양수와 음수를 네모와 별로 치환하고 별로 나눌때 나머지는 별이어야 한다는 규칙을 정하고 만족시키려는 거 같은데.. 나머지의 몫이 음수라는 개념이 안잡힘. 음수로 나누든 뭘로 나누든 나눗셈의 몫은 항상 양수여야 하지 않을까?
음수가 추상적인 개념이라 헷갈릴만 합니다 나눗셈의 의미는 피제수에서 제수가 차지하는 비율 , 피제수를 제수로 분할 했을 때 한 묶음의 양 이죠(포함제 등분제라고도 합니다.) 즉 9÷-4를 예로 들면 -4라는 양을 9라는 양에 최대 몇번 채워넣을 수 있냐 라는 겁니다. 한번 채워넣어 볼까요? 아무것도 없는 0에서 -4를 1번 채워넣으면 -4가 됩니다. 식으로 하면 -4x1 두번 채워넣으면 -4×2 통에 물을 채운다고 생각하고 그 수위를 구한다고하면 빈 통에 물을 붇는 만큼 물이 차는게 아니라 오리려 통이 커지는 꼴이죠(여기서 통은 9이고 물이 -4이겠네요) 통을 채워하야 하는데 한번넣을 때마다 오히려 통이 커지니(수위가 낮아지니) 거꾸로 넣어봅시다(여기서 음수와 양수 차이는 개수가아닌 방향이란 걸 알 수 있습니다) 다시 0에서 -4라는 양을 1번 채웠을 때 오히려 넣어야할 물이 많아졌으니 그 반대로 채워봅시다. 음수는 거꾸로, 반대방향의 개념입니다. 그라서 0에서 -4를 거꾸로1번(이걸 -1번이라 하죠) 채우면 4라는 양이 됩니다. -4×-1 거꾸로 두번 채우면 -2×-4=8 최대한 채운 것이 됐네요 수학은 무모순인 모든 상황이 성립하니 모든 상황을 현실과 연결지어 생각하면 이해가 어려운게 당연합니다 백만원의 빚과 백원의 빚을 곱하였더니 1억원의 이득이 되는게 말이되냐는 19세기 프랑스 작가 스탕달의 말도 있죠 (정확히는 500프랑과 오백만 프랑입니다) 그만큼 당대 지식인도 헷갈려했던 개념입니다. 모바일이라 설명이 들쑥날쑥이네여 도움됐길 바랍니다.
제가 처음부터 차근차근 보지 않았습니다만, 나머지의 정의가 문제네요. 1) 영상 : 나머지를 "나누는 수보다 '적어야' 한다(0포함)"고 정의하면 (영상자막에도 이렇게 나오네요) - 그럼 나누는 수가 -4이면 이보다 작은 수는 -3,-2,-1,0 ??? 저 나머지는 모두 -4보다 크죠? 즉 -5,-6,-7 .... 등이 되어야 합니다. 그런데 결과는 -4보다 큰 '-3,-2,-1,0'이 되어 버리죠. 정의와 결과가 상충합니다. 2) 제 의견 : "나머지는 항상 나누는 수의 절대값보다 작은 '자연수'여야 한다(0포함)" (우리가 처음 나누기를 배웠을 때, 자연수 ÷ 자연수에서 나머지는 나누는 수보다 작은 자연수(0포함)이다.를 영상처럼 음의 정수까지 확장하지만 나머지는 0포함 자연수라는 걸 그대로 가져오기 위해 저렇게 길고 복잡하게 쓴 겁니다.) -나누는 수가 4 or -4이면, 나머지는 4와 -4의 절대값보다 작은 0,1,2,3 중에 하나가 된다고 정의한 겁니다. -이럴 때 정답은 9÷(-4) = -2...1 -9÷4 = -3...3 -9÷(-4) = 3...3이 되겠네요. 그리고 어떤 방식이든 저 그림 그리지 말고, 우리가 아는 나누기 방식으로 해 보세요 단, 몫과 나머지는 음수일 수 있다는 생각으로 하면 위 1),2) 두가지 정답이 다 나옵니다.(각각의 정의만 '생각'하면서 풀면)
의견을 말씀하시는데는 적어도 일반적 풀이와 견해가 바탕이 되어야 하지 않을까요. 고1 나머지정리에서 양수로 나누면 나머지가 음수가 되면 안된다고 음수의 나머지값을 양수로 변환시키는 풀이는 왠만한 고등학생은 다 알고있습니다. 지금 주는 설명은 그와 반대되는 음수로 나눌때의 나머지는 양수가 되면 안된다는 이야기인데 굳이 본인만의 상식으로 들이대는건 스스로의 부족함을 증명하는 꼴 밖에 안되죠
1) 그냥 강의자분이 말실수를 한 것입니다. 나누는 수보다 1작아야 한다고 라고 말씀하셨지만, 실제론 그렇게 하지 않았습니다. 말꼬투리잡는것 밖에 안된다고 봅니다. 2) 강의자분은 음수나머지가 가능하다고 하고 계산을 진행하였지만, 댓글 다신분은 음수 나머지가 불가능하다고 가정하고 계산을 하였습니다. ->당연히 결과가 다릅니다. 차라리 음수 나머지가 불가능한 이유를 말하는게 나았을것 같습니다.
1. 깨봉수학이 기본적으로 초등수학 교육 컨텐츠라는 점(깨봉수학 웹사이트의 과정도 그렇고(킨더 주니어 메이저 어쩌고) 이 영상의 태그란에도 '초등수학'이 되어 있고) 2. 위를 고려해보면 초등수학 내에서 이 문제를 다루든가 아니면 초등수학을 넘어서는 범위라 하더라도 초등수학에서 응용할 수 있게 미리 나머지의 정의나 범위를 다르게 확정해놓고 영상을 진행하든가 해야 하는데 뭐 어떻게든 대~단한 것처럼 어그로 한 번 끌어보려고 또 유별 호들갑 엄청 떠는거 진짜 너무 짜증나네요
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나누기를 쉽게 설명하기 위한 것이
이를 분수로 표현하였을 때이다.
말로 표현할 필요가 없는 저울이 된다.
9 ÷ -4 = -4분의 9 = - (4분의 9)
-9 ÷ -4 = -4분의 -9 = 4분의 9
수학을 이렇게 쉽게 가르치는 분은 처음이예요 짱👍👍👍
안녕 저 는 러시아사라밉니다. In Russia we do it another way.
9:4=2.25
9:-4=-2.25
-9:4=-2.25
-9:-4=2.25
(+) +(-) =(-)
(+) +(+) =(+)
(-) +(-) =(+)
@@tativ6840 I don't think you understand this video. The way of doing math is the same everywhere in the world. Or Perhaps Russia dosen't follow the rule or standard of the world.
Negative remainder(음수 나머지) 관 련 내 용 입 니 다 . 더 자 세 한 내 용 은 number theory 를 살 펴 봐 야 하 는 데 ... 그 것 까 지 야 ...
예를 들어, 9 ÷ 4 = (4 × 2) + 1
= (4 × 3) - 2 입니다. 몫의 값에 따라 나머지의 값이 달라집니다. 이런 경우 어떤 기준이 필요하다... 이 거 죠.
-------- 1st example
9 ÷ 4 = 2.25 입니다. 이걸 다시 표현하면 9 = 4 × 2.25 가 됩니다.
9 = 4 × 2.25 에서 0이 아닌 나머지(r)를 표현하려면
9 = 4 × [ ] + r 이 되어야 합니다. 눈치 빠르신 분들은 [ ] < 2.25 라는 것을 알아채셨을 겁니다.
9 = 4 × [ 2 ] + 1 즉, 나머지 1이 생성되기 위해선 4 × 2.25 보다 적은 4 × 2 가 되어야 한다는 겁니다.
경험적으로 & 결론적으로 볼 때, 이 원칙이 다음과 같은 연산들에도 그대로 적용됩니다.
-------- 2nd example
9 ÷ (-4) = -2.25
9 = (-4) × [ ] + r [ ]. 따라서 [ ]은 -3 이 됩니다. 1st example에서의 원칙이 적용됨.
9 = (-4) × (-3) + (-3)
분모와 부호가 같은것은 몫이 아니라 나머지입니다!
그렇네요. 하나하나 그림 그려서 나누어야 되나 라고 생각했다가 이런 방식으로 하면 금방 답 나오겠네요.감사합니다.
이것이 제대로 된 설명이라고 생각합니다. 깨봉 선생님의 설명은 이걸 시각화로 설명하고 계신것.
코딩테스트 문제를 풀다가 나머지 개념에 대해 헷갈려서 박사님 강의를 들었는데 개념 이해가 너무 잘되었습니다.
자바 기준으로는 9 % -4가 몫 -2 나머지가 1이지만, 박사님께서 가르쳐 주신 개념은 비슷하여 이해하는데 불편함이 없었습니다.
새해 복 많이 받으세요!
명강의 입니다.
학생들이 이강의를 많이 봤으면 좋겠네요.
기초가 탄탄해지는 .
수학학원 원장입니다. 이번 영상은 수학을 재밌게 가르치자는 취지는 이해하고있으나
엄밀하게 수학공부를 제대로하는 학생들을 위해 댓글을 답니다.
포인트는 "나머지 정리의 정의에 의해 나머지는 음수가 될수 없습니다."
나눗셈 정리에 따르면 양의 정수 제수 B와 임의의 정수 피제수 A에 대해, A=BQ+R을 만족시키는 유일한 정수 Q와 0≤R
그러면 피제수가 양의 정수이고 제수가 음의정수인 모든 식에서 나머지는 정의할 수 없다 가 되나요? 나머지 범주를 그렇게 규정한 이유가 뭔지 궁금하네요
안녕하세요.깨봉을 보고있는 초등학생인데요,오늘 설명하신 것 중에 나머지가 0미만인 수가 있었습니다.그런데 제가 알고 있는 나머지는 몫이 n이고 나머지가 m일때 0
동의합니다. 정수론에서는 제수와 나머지를 양의 정수로 정의하고 있기 때문에 음수로 나누는 경우는 정의되지 않는 것으로 이해하고 있습니다. 이런 연유로 컴퓨터 프로그램마다 음수로 나눈 나머지를 구할때 계산 결과가 제각각 입니다. 깨봉님이 임의로 생각하시는 의견을 방송하신 건 아닐텐 데 어떤 근거로 주장하시는 건지 궁금합니다.
수학이 철학적으로 접근이 되면 너무 재미가 있습니다...
오십대 후반에 전기기사자격증을 따기위해 전기공학을 공부하는 사람인데 교수님강의에 큰 도움을 받고 있습니다...
고맙습니다...
수포자였던 예비대학생입니다! 선생님 덕분에 수학을 보다 쉽게 이해할 수 있었습니다 감사합니다!
수직선에 놓고 해봐도 재밌네요 ㅎㅎ
역시 깨봉은 생각하게 만들어줘요
음수로 나눌때 나머지를 정의하는 방법은 여러가지 방법이 있습니다. 그리고 이것이 고등학교 수학 과정은 아니기 때문에 대학교 정수론 과정에서나 나오니 참고 바랍니다. 나머지는 0 또는 양수(나누는 수의 절댓값 보다 작은)로 정의하기도 합니다. 참고 바랍니다.
수학을 가시화하고 설명을 쉽게 하시니 어려워서 다가오지못하는 사람에게는 도움이 될것같습니다. 몇개 보고 감동적이기 까지합니다.
근데 저는 수학을 공부할때 (지금은 학생이아니라서 걍 취미로 하지만.)
엄밀한 설명을 더 중요하게 생각하는데....(좀 재미없더라도.)
깨봉님의 설명을 보고 수학적언어와 일상언어가 혼돈되어서 살짝 머리가 어지러움을 느껴서
그냥 재미있는 수학정도로 넘어가려 합니다.
어떤수를 나눌 때 몫과 나머지로 표기하는 건 양수끼리는 자연스러운데. 설명도 쉽고 가시화도 쉽고
그리고 그 때 나온 발상들이니까.....음수ㄲ리 나누기나 나누려는 수가 음수일 때는 개념이 모호해진다고 생각합니다. 그것을 음각 양각 블록으로 가시화시키는 설명은 대단합니다.
저도 누군가에게 음수나누기설명을 그렇게 해야겠다는 생각을 합니다.
설명의 엄밀성을 생각하는 저에게는 난해한게....
어떤 수를 다른 수로 나눌 때 몫과 나머지의 개념으로 설명하면 y / x = 몫(a)....나머지(b)
즉 y= ax+b 이렇게 표시가 되겠지요
나머지는 나누려는 수(x)보다 작은 수가 되어야겠지요. 나머지가 있던가(있다..!!) 나누어 떨어지던가(0)
그런데 그 나머지가(b) 나누려는 수(x)보다 작은 수여야한다. 건 상식적이고
영상의 설명에서도 언급이 되는데 모호하게 설명이 되서 순간 멍했습니다. '작은수인데 0에서부터..'
이런식으로 설명은 하는데 이건 어디까지는 양수일 때는 자연스러운데 .. 음수로 갑자기 덮어씌우기처럼 되어 이해는 빠른데 ..'엇! 이상하네. ' 일단 설명이 깔끔은 하니까...이해하는 데는 문제는 없으니까. .넘어가지만, 계속 머리에 맴도네요.
나누려는 수 x가 -4인데 나머지가 -3이다라면.
-3은 -4보다 큰 수 잖아요. 나머지가 더 큰 수가 나오기 때문에
음수나누기는 개념이 간단하지않다고 생각해요.
음수연산은 수학사에서도 개념이 확립된 건 늦은편이잖아요.
양수끼리 연산처럼 개념이 깔끔하지 않아서 설명의 주의를 요한다고 생각합니다.
그러니 저도 학생 때는 음수가 들어간 식은 걍 부호따로 계산하고 양수끼리의 연산으로 해서 답내는
방식으로 배웠던 것 같은데. 음.. 몫 나머지의 개념으로 파악하니...가시화까지해서 보기는 좋은데.
머리가 어지러워지네요.
8 나누기 3은 큰 수롤 작은 수로 나누니 아주 깔끔하게 몫과 나머지 즉 2 2 가 생기는데
-8 나누기 -3 은 작은 수를 큰 수로 나누니 몫과 나머지 개념이 흔들리는 거 아닌지.
다시 양수로 돌아가서
3 나누기 8은 몫은 0 나머지 3으로 나오지만.
8나누기 -3을 몫이 -3 나머지가 1 (또는 몫 -2 나머지 2)
진짜 이렇게 말할 수 있나요? 연산이야 가능하지만.
나머지가 나누려는 수보다 큰 수다..여기서 논리의 모순이 생기니까요 음수의 특수성을 생각하면
말하기가 어려워지는 듯요
차라리 10을 3으로 나누는데 상식적인 개념의 답은 몫이 3이고 나머지가 1
하지만 몫이 4고 나머지가 -2 이렇게 써도 또는 몫이 2 나머지가 4 이렇게
쓰는것과 매한가지니까요.
일단 연산을하면 y=ax+b로 하면 다 성립은 하지만. 몫과 나머지를
그렇게 써서 개념을 모호하게 흔들어 버리는 효과지요. (100나누기 2하라고했더니 몫은 50 나머지0이라고 쓰지않고 몫 40 나머지 20 이렇게쓰고 맞다고하면 장땡이니까요. 나누어떨어진다고 안해도되고 나머지가 나누려는 수 2보다 큰것을 허용해버리니까요. )
음수나누기개념은 설명하기쉽고 직관적으로 이해하기쉬워도 맞는 설명같지가않습니다.
저만그렇게 생각하는것같지는않네요 요아래 비슷한 덧글이 있는거보니..
진짜 신기합니다. 학생 때 들었으면 이걸 이해했을까 상상해봅니다(생각이 안나서 다시 영상보고 댓글을 남겨요)
이걸보고 고딩때 배운 나머지 정리에 대해 이해를 하게 되었습니다
깨봉에 반하는 이야기지만,
코딩을 한다면,
9 ÷ -4 = -3 ... -3
우선, 실수 계산을 해서 값을 구한 후, (9) ÷ (-4) = (-2.25)
결과의 정수 부분을 '가까운 작은 정수 값 찾기' 하면,
몫은 -2.25 => -3 이 됩니다.
이후, 계산을 통해 나머지를 구합니다. (9) - (-4 x -3) = -3
나머지는 -3 이 됩니다.
-9 ÷ 4 = -3 ... 3
우선, 실수 계산을 해서 값을 구한 후, (-9) ÷ (4) = (-2.25)
결과의 정수 부분을 '가까운 작은 정수 값 찾기' 하면,
몫은 -2.25 => -3 이 됩니다.
이후, 계산을 통해 나머지를 구합니다. (-9) - (4 x -3) = 3
나머지는 3 이 됩니다.
일반적으로 정수의 나눗셈은 임의의 두 정수 a, b (≠0)에 대하여, a = b × q + r
(a - dividend, b - diveder , q-quotient , [q] - q's absolute value , r-reminder )
나머지의 범위를 0 ≤ r ＜ [q] 라고 정의하는데,
그럼 또 다른 이야기 됩니다 ^^
1. 양수 나머지 1이 남았을 때 몫은 -1를 곱해서 그림으로 나갔는데 나머지는 왜 못나가는가?
2. 양수 나머지1이 남았을 때 음각에서 뽑아서 올리는데 음각은 갑자기 어디서 온거며 왜 뽑아서 올리는가?
Temporary remainder보다 Psuedo-reminder 정도가 어떨까요?
설마 이미 있는 용어인가?
박사님. 엑셀에서 똑같은 수를 가지고 몫과 나머지를 구했더니 엑셀에서 는 9,4,2,1 로 모두가 양수일 때는 맞는데 9,-4,-2,-3과 -9,4,-2,3이라고 틀린 답을 주고 또 다시 -9,-4,2,-1이라은 답을 주네요.. 궁굼해서 비쥬얼 스튜디오로 똑같이 계산해보니 9,4,2,1 과 9,-4,-2,1 과 -9,4,-2,-1과 -9,-4,2,-1 이라고 답을 주는데 엑셀의 답이 틀린 것은 확실히 이해가 되는데 비쥬얼 스튜디오로 계산한 것은 맞는 것도 같고 아닌것도 같은데... 아니면 박사님도 맞고 양쪽 다 맞는 것인가요? 원리상 보면 비주얼 스튜디오도 수적으로는 맞기는 하던데요.
그리고 수직선에 점을 찍으면 수학 천재라고 에서 박사님은 수평선을 그어놓고 왜 그걸 수직선이라고 하시는지 궁굼합니다. 수직선은 선이 두개 있을때 직각으로 교차해야 그 중에 하나를 수직선이라고 해야 하는 것은 아닌지? 헷갈립니다. 명쾌한 답변 부탁 드립니다. 아주 재미는 있는데 ... 어쩌다 한 번씩 잘 이해가 안되는 것도..ㅎㅎㅎ
일단 첫번째. 컴퓨터로 이진법의 나눗셈을 하는 경우 나머지가 나누어지는 수의 부호를 따라갑니다. 따라서 이 알고리즘을 사용할 경우 비주얼 스튜디오의 답이 맞는거죠. 엑셀의 답은 나머지만 맞춘 것으로 추정되네요
그리고 두번째. 그 수직선은 박사님께서 사용하신 수직선과 한자가 다릅니다. 당신이 생각하고 계신 수직선은 직각으로 교차하는 직선으로 드리울 수(垂)를 쓰는데, 영상에서 언급된 수직선은 그냥 실수를 직선상의 좌표로 표시한 것으로서 셀 수(数)를 사용합니다.
매주 n요일에 해당하는 날짜를 뽑는 코드를 짜다가 -2%7 = 5 인 게 이해하기 어려워서 검색해서 왔습니다. 강의 감사합니다. 덕분에 이해가 잘 되었어요!!
질문이요~^^
설명 중에 나머지는 0에서부터 나누는 수보다 1작은 수라고 했는데, 나누는 수가 음수일 경우에는 그 말이 틀린 듯 한데요;;
확인 부탁드립니다~~
절대값으로 보고요 하나 큰수로 하면 유일성이 없어요
나머지 문제뿐만 아니라 모든 수학은 정의가 중요한데 이건 논리는 맞지만 현재 수학과정의 정의와는 다른 듯 싶네요.
어쨌건 좋은 영상들 감사합니다
값은 같지만 문제가 다르다고 하신거 인정합니다. 그렇다면 루트2와 2^1/2 은 같은건가요? 다른건가요? 또 루트4는 2가 맞나요? 아닌가요?
2^(1/2)은 2의 제곱근. 즉, x^2=2인 x값을 의미합니다.
루트 2(square root 2)는 제곱근 2와 같은 말로 보시면 됩니다.
즉, 루트 4 = 2 입니다. 4^(1/2) 은 +2, -2 두 개의 값이 됩니다. 그러나 고등학교 지수법칙에서는 4^(1/2) = +2로 약속하게됩니다.(고등학교에서 음의 지수, 유리수 지수, 실수 지수의 정의는 계산도 중요하지만 지수함수 그래프의 이해를 돕기 위한 소개이며, 미적분에서의 활용을 위하여 도입됩니다.)
이건 1번 보고 완벽하게 이해했다.
내나이 50세, 수학이 이렇게 재미 있었던가??
우와 지렸다 뒤집는개념 참신하네요
오 대박 신박해요 ㅋㅋ 이미지로 보니까 바로 이해가 가네요.
0:43 명쟝면
Visualize, 귀찮게 왜하나 했는데, 이유를 알았습니다.
나눗셈의 몫과 나머지에서 나름 몇 가지 체계로 정의할 수 있습니다.
①나머지가 0이상, 나누는 수의 절대값 미만으로 정의하는 방법.
②몫과 나머지를 (0을 포함하여) 부호가 같게 정의하는 방법. ③깨봉수학에서 하는 방법.
하지만 보통 보편적으로 수학의 정수론에서 ①의 방법을 택하고 있기에, 깨봉수학 이번 강의는 보편성을 잃고 있습니다.
영어 위키피디아 remainder 항목에 따르면 나머지의 r 범위를 (0
또 하나 배웠어요. 감사합니다.
9÷-4할때 쏵쏵쏵 큐브가 뒤집어서 -3번 된다는게 이해가 안돼요.오른쪽에 나누어줄게 9개인데말이죠ㅠㅠ
그런데 9÷-4를 할 때 나머지 1을 음각큐브와 모양이 다르다고 왜 못갖고오나요
나머지는 어차피 그냥 남는 거니까 상관 없는 것 같은데...
또 (-4)×(-2)+1도 9로 되는데...
나눗셈에서 중요한건 나눠지는 수나 몫이나 나머지가 아닌 나누는 수 입니다.
나누는 수가 양수일땐 음수를 나머지로 가질 수 없고 음수로 나눌때는 양수를 나머지로 가질수없다고 보는 약속인듯 하네요.
고등학교 1학년 나머지정리 부분에서 중요하게 다루는 부분이니 그때가서 한번 더 이 영상을 보시면 큰 도움 될것입니다
감사합니다
깨봉큐브로 만들면 좋겠어요 깨봉수학에 쥬니어 배울때요
와 이거였군요!
멋진 아이디어인데..
최초 정의(약속)부터 했으면 해요.
그리고 항상 교육과정 맞춰서 비교해서 설명해 주셨으면 합니다.
현행교육과정에서는 나머지를 양수쪽에서만 정의를 내리고 있습니다.
제가 개발한 더 쉬운 방법이 있습니다.
수직선에서 생각하는 것인데요.
9÷(-4)를 예로 들겠습니다.
1.수직선에서 9에 점을 찍어 놓습니다.
2. 이제 0에서부터 아래쪽으로 4칸씩 이동을 합니다.
세번이동하면 (-4) ×3이 되어 -12에 위치할 것입니다.
3. (-4) ×3= -12에 위치한 걸 확인했다면, 이제 (-4) ×(-3)을 하면 어떻게 될까요?
반대쪽으로 +12에 위치할 것입니다.
4. +12에서 아랫쪽으로 세칸 내려가면 9입니다. 세칸 내려간다는 것은 나머지가 (-3)이 된다는 뜻입니다.
5. 결국 9는 (-4)가 (-3)번 곱해지고 나머지가 (-3)이 되는 수입니다.
6.정리. 9÷(-4)= 몫 (-3)...나머지 (-3)
7. 검산식. (-4)× (-3)+ (-3)= 9
깊은 감동을 주는 훌륭한 강의였습니다. 어른이다 보니.. 양각, 음각의 표현보다는 논리적인 수직선 표현이 더 맘에 드네요..
몫과 나머지...상용로그를 배우면 지표와 가수가 비슷함
난 저 개념을 배운적이 없어서 그런지 이해불가
음각큐브는 획기적 입니다
JAVA로 9 / -4랑 9 % -4를 하면 왜 -2, 1이 나올까요?
컴퓨터 나눗셈 알고리즘은 나머지의 부호가 나누어지는 수를 따라가도록 정의되어 있어서 그렇습니다
자산중 부채를 마이너스로 보면 쉬울듯
영상은 무슨 소린 줄 알겠는데 음수로 나눈다는 것을 개념을 못잡겠네요. 아..두통올라그래...영상은 단지 양수와 음수를 네모와 별로 치환하고 별로 나눌때 나머지는 별이어야 한다는 규칙을 정하고 만족시키려는 거 같은데.. 나머지의 몫이 음수라는 개념이 안잡힘. 음수로 나누든 뭘로 나누든 나눗셈의 몫은 항상 양수여야 하지 않을까?
음수가 추상적인 개념이라 헷갈릴만 합니다
나눗셈의 의미는 피제수에서 제수가 차지하는 비율 , 피제수를 제수로 분할 했을 때 한 묶음의 양 이죠(포함제 등분제라고도 합니다.)
즉 9÷-4를 예로 들면
-4라는 양을 9라는 양에 최대 몇번 채워넣을 수 있냐 라는 겁니다.
한번 채워넣어 볼까요?
아무것도 없는 0에서 -4를 1번 채워넣으면
-4가 됩니다. 식으로 하면 -4x1
두번 채워넣으면 -4×2
통에 물을 채운다고 생각하고 그 수위를 구한다고하면 빈 통에 물을 붇는 만큼 물이 차는게 아니라 오리려 통이 커지는 꼴이죠(여기서 통은 9이고 물이 -4이겠네요)
통을 채워하야 하는데 한번넣을 때마다 오히려 통이 커지니(수위가 낮아지니) 거꾸로 넣어봅시다(여기서 음수와 양수 차이는 개수가아닌 방향이란 걸 알 수 있습니다)
다시 0에서 -4라는 양을 1번 채웠을 때 오히려 넣어야할 물이 많아졌으니 그 반대로 채워봅시다.
음수는 거꾸로, 반대방향의 개념입니다.
그라서 0에서 -4를 거꾸로1번(이걸 -1번이라 하죠) 채우면 4라는 양이 됩니다.
-4×-1
거꾸로 두번 채우면 -2×-4=8
최대한 채운 것이 됐네요
수학은 무모순인 모든 상황이 성립하니
모든 상황을 현실과 연결지어 생각하면 이해가 어려운게 당연합니다
백만원의 빚과 백원의 빚을 곱하였더니
1억원의 이득이 되는게 말이되냐는
19세기 프랑스 작가 스탕달의 말도 있죠 (정확히는 500프랑과 오백만 프랑입니다)
그만큼 당대 지식인도 헷갈려했던 개념입니다.
모바일이라 설명이 들쑥날쑥이네여 도움됐길 바랍니다.
수학을 이렇게 배웠어야하는건데ㅜㅜ
9나누기 -4는 -2.25 아닌가요? -???? 이해가 안 되네요…
실수 나눗셈에선 그렇게 되겠죠. 여기서 다루는 것은 정수 나눗셈입니다.
5분 부터는 햇갈 려요
허수의 나눗셈은 조금 다름...3
나머지 쓰는 나누기는 초딩때 배우고 음수는 중딩 때 배우고 이게 왜 인수분해에 도움이 되는지도 모르겠다..
제가 처음부터 차근차근 보지 않았습니다만,
나머지의 정의가 문제네요.
1) 영상 : 나머지를 "나누는 수보다 '적어야' 한다(0포함)"고 정의하면
(영상자막에도 이렇게 나오네요)
- 그럼 나누는 수가 -4이면 이보다 작은 수는 -3,-2,-1,0 ???
저 나머지는 모두 -4보다 크죠? 즉 -5,-6,-7 .... 등이 되어야 합니다.
그런데 결과는 -4보다 큰 '-3,-2,-1,0'이 되어 버리죠.
정의와 결과가 상충합니다.
2) 제 의견 : "나머지는 항상 나누는 수의 절대값보다 작은 '자연수'여야 한다(0포함)"
(우리가 처음 나누기를 배웠을 때, 자연수 ÷ 자연수에서 나머지는 나누는 수보다 작은 자연수(0포함)이다.를
영상처럼 음의 정수까지 확장하지만 나머지는 0포함 자연수라는 걸 그대로 가져오기 위해 저렇게 길고 복잡하게 쓴 겁니다.)
-나누는 수가 4 or -4이면, 나머지는 4와 -4의 절대값보다 작은 0,1,2,3 중에 하나가 된다고 정의한 겁니다.
-이럴 때 정답은
9÷(-4) = -2...1
-9÷4 = -3...3
-9÷(-4) = 3...3이 되겠네요.
그리고 어떤 방식이든
저 그림 그리지 말고, 우리가 아는 나누기 방식으로 해 보세요
단, 몫과 나머지는 음수일 수 있다는 생각으로 하면
위 1),2) 두가지 정답이 다 나옵니다.(각각의 정의만 '생각'하면서 풀면)
0을 기준으로 입니다. 그게 말씀하시는 절대값인거죠.. 표현을 작다라고 했을 뿐
의견을 말씀하시는데는 적어도 일반적 풀이와 견해가 바탕이 되어야 하지 않을까요. 고1 나머지정리에서 양수로 나누면 나머지가 음수가 되면 안된다고 음수의 나머지값을 양수로 변환시키는 풀이는 왠만한 고등학생은 다 알고있습니다. 지금 주는 설명은 그와 반대되는 음수로 나눌때의 나머지는 양수가 되면 안된다는 이야기인데 굳이 본인만의 상식으로 들이대는건 스스로의 부족함을 증명하는 꼴 밖에 안되죠
@@whateverchatgpt 그걸 또 인신공격하시네.
제 의견을 말하기 전,
영상의(자막포함) 내용이 앞뒤가 안 맞다고 시작한 건데 ㅠ
1) 그냥 강의자분이 말실수를 한 것입니다. 나누는 수보다 1작아야 한다고 라고 말씀하셨지만, 실제론 그렇게 하지 않았습니다. 말꼬투리잡는것 밖에 안된다고 봅니다.
2) 강의자분은 음수나머지가 가능하다고 하고 계산을 진행하였지만, 댓글 다신분은 음수 나머지가 불가능하다고 가정하고 계산을 하였습니다.
->당연히 결과가 다릅니다.
차라리 음수 나머지가 불가능한 이유를 말하는게 나았을것 같습니다.
수학도 절대적이라고 생각했는데 약속도 제대로 지켜지지 않네. 정수론에는 나머지가 양수인데 나머지가 음수로 표현되는 거 보고 수학이 더 싫어졌다.
잘 모르겠어요.이해가 되지않아요.ㅠㅠ
1. 깨봉수학이 기본적으로 초등수학 교육 컨텐츠라는 점(깨봉수학 웹사이트의 과정도 그렇고(킨더 주니어 메이저 어쩌고) 이 영상의 태그란에도 '초등수학'이 되어 있고)
2. 위를 고려해보면 초등수학 내에서 이 문제를 다루든가 아니면 초등수학을 넘어서는 범위라 하더라도 초등수학에서 응용할 수 있게 미리 나머지의 정의나 범위를 다르게 확정해놓고 영상을 진행하든가 해야 하는데
뭐 어떻게든 대~단한 것처럼 어그로 한 번 끌어보려고 또 유별 호들갑 엄청 떠는거 진짜 너무 짜증나네요
10:56 이미 한번 더 간거에요 (나누어 떨어져야 하니까)
+1 ,-1을 큐브로 설명해주셨는데, 관련 영상 링크 부탁드립니다
ruclips.net/video/KI376xSj8LM/видео.html 이 영상입니다
케뵹
나머지가 음수여도 되요?
저도 나머지는 음수가 안되는것으로 알고 있는데 받기 힘드네요...
듀얼리즘에 근거하면 가능해요.
자연수야...남죠,,?
부채(빚)를 나누는 것이라고 생각하면 됩니다.
-9=-4×2-1
안녕하세요
이게 이렇게 어려운 문제였구나...
나누는수와 나머지는 절대적인 관계가 있어서 나누는수를 바꿔선 안된다.
좋은강의인건 맞는데 이거 본다고 이해된다는건 착각일뿐이다 고수가 쉽게 설명한다고 쉽게보이는 착시현상 일뿐이다 저걸 자기걸로 체화시키는게 필요하다 실제로 문제내면 대부분 모를것이다 적용도 안될것이다 그래서 공식이 존재하고 편법이 있는거다 재미는 있다고 본다
맞아요. 수학은 어차피 확장이라 자연수일때는 그림으로 이해하고 음수일때는 수학의 성질을 이용해서 확장하면 되죠.
모든걸 그림으로 이해하는건 어려움
본인이 이해를 못 하니 다른 사람에게도 적용 하는 것 자체가
돌대가리
이번건 좀이상한데
존경이란말도 부족한 분이십니다^^♡
-9
나머지0
저는더이게어려워요ㅡ다
안녕 저 는 러시아사라밉니다. In Russia we do it another way.
9:4=2.25
9:-4=-2.25
-9:4=-2.25
-9:-4=2.25
(+) +(-) =(-)
(+) +(+) =(+)
(-) +(-) =(+)
You mean multiplication right?
@@taeyann6153 I count differently.
9:4=2, 1/4
1/4 from 100=25.
and it turns out 2.25
최소 고등수학까지는 도움되는게 없슴.
너무 설명이 헷갈림 두서없슨
불필요한 것에 에너지 낭비하기는 1등인듯.
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