교수님 질문이 있습니다. 00:05:41 에서 미분방정식의 해가 다음과 같은 형태가 되려면 상수계수(coefficient)여야 하지 않나 싶습니다. 제가 공학수학에서 미분방정식에 대해서 배울 때도 그렇고, 다른 여러 공학수학을 참조해봤지만 상수계수가 아닌 선형미방을 푸는 경우는 코시-오일러 같은 특수한 형식이거나 이미 알려진 해를 통해 다른 해를 유도해서 일반해를 구하는 계수저하법 정도 밖에 없는 것 같습니다. 그런데 다른 건 상수지만 V_p(x)는 위치에 따라 변하는 함수가 아닌가요? 그렇다면 해가 단순히 저렇게는 안구해지는 것 같은데 아니면 혹시 V_p를 상수 퍼텐셜로 가정된 건가요?
교수님 안녕하세요 질좋은 강의 정말 잘듣고있습니다. 질문이 있어서 댓글남깁니다 3:20초에 1차 미분방정식 푸는것과 5:20초에 2차 미분방정식 푸는것을 직접 혼자 풀어봤는데 잘 안풀리더라구요.. 저부분 슈뢰딩거 미분방정식 푸는방법 강의는 따로 없는건가요?? 아니면 직접 안풀어보고 결과만 기억해도 되는건가요??
우선, 좋은 강의 감사합니다. 강의를 듣다보니 질문이 생겨서 질문드립니다! 1) 슈뢰딩거 방정식에서 공간에 대한 항들만 몰아놓고 미분방정식을 풀 때, 임의의 값 에타(에너지)가 공간에 대한 함수가 아닌 상수여야만 2계 상수계수 미분방정식의 해가 저렇게 나올 수 있을 것 같습니다. 그런데 전자의 에너지가 시간과 위치에 대한 함수가 아니라 고정된 상수 값이라는 것이 저의 상식으론 이해가 잘 가지 않습니다. 이것은 전자의 에너지가 시간과 공간에 상관없는 상수일 것이라고 가정을 한 것인가요? 2) 슈뢰딩거 방정식을 일반적인 경우에서 풀어주실 때, 전자의 에너지가 상수일 것이라고 가정하신 것이고 실제로는 전자의 에너지가 위치에 대한 함수라면 이는 비선형 미분방정식으로 다른 해법을 적용해야할 것으로 보입니다. 실제로 이 비선형 미분방정식을 풀면 전파상수 k가 동일하게 전자와 전자가 놓인 공간의 에너지와 관련된 값으로 나오나요?(전자의 에너지를 상수로 놓고 풀었을 때와 동일한 식이요.) 감사합니다.
1) 네 맞습니다. 그냥 가정입니다. 이 가정이 없으면, 슈뢰딩거 방정식을 손으로(analytical 하게) 풀어서 해를 구할 수 없습니다. 즉 강의의 내용은, 가장 단순한 상황에 대해서만 슈뢰딩거방정식의 해를 구해보는 것입니다. 2) 질문한 내용은, 정확히는 모르겠습니다. 제가 학생 때 배웠던 양자역학 내용으로는 (저도 물리학과 출신은 아니라 기초 수준의 양자역학만 배웠습니다), 비선형 미분방정식을 근사해서 푸는 몇몇 방법이 있다고 까지만 배웠고, 실제로 해를 유도해본적은 없습니다 (아마도 대학원 수준의 양자역학에서는 배우지 않을까 생각되네요). 아무튼 제 생각에도 질문한것처럼, 실제 전자의 전파상수가 위치나 시간에 대한 함수가 될 것이지만, 이것을 analytical 하게 표현하기는 어렵지 않을까 생각합니다.
교수님, 앞 강 불확정성 원리에서는 전자의 운동량과 위치는 각각, 동시에 정확히 얻어낼 수 없다고 해주셨었는데 이번 강의 내용인 자유공간이라는 특수한 상황의 자유전자에선 위치의 불확정성이 무한대라 전자의 역학적 에너지를 알아내면 운동량은 구할 수 있다 이렇게 이해하면 아직까진 바르게 이해한 것이 맞나요??
교수님, 전자가 갇혀 있을 때와 밖에 돌아 다닐때 다른 공식을 쓰는데 그 이유가 뭔가요? 그리고 자유전자 일때는 potential energy를 0으로 가정하고 풀이를 진행하셨는데 그렇다는 것은 갇혀있을 때를 해석한 것이니깐 삼각함수를 이용한 공식으로 풀이를 해야하는 거 아닌가요? exponential 형태는 우물을 빠져 나갔을때 이용하는 풀이 아닌가요?
다른 공식을 쓰는 이유는 수식을 정리하기 더 쉬워지기 때문입니다. 바꿔서 해도 결과는 동일한데, 수식 정리가 더 복잡해 집니다. 주변 potential energy 가 0 이라는 뜻은 전자의 파동을 방해할 수 있는 요소가 전혀 없다는 뜻이며, 따라서 파동은 아무런 감쇄없이 이동할 수 있는 상황입니다. 반면, 갇혀있는 상황이라는 것은 이 다음 강의인 infinite potential well 같은 경우처럼 전자의 파동이 특정 영역에 국한되는 상황을 뜻합니다.
안녕하세요 교수님 운동량과 위치 관계에 질문이 있습니다. 강의에서 free electron에서 +x direction을 가정했을때 프사이를 제곱하면 A제곱 즉 상수가 나옵니다. 하지만 여기서는 k의 값이 정해졌든 안 정해졌든 제곱을 하니까 i는 서로 없어져서 프사이의 제곱은 상수가 나오는걸로 해석이 가능한데.. 그럼 결국 운동량이 정해져있든 안정해져있는든 상관없이 위치는 무조건 결정이 안된다라고 생각할 수 있는데 이러면 안되잖아요? 그럼 프사이를 A의항 하나로만 표현한다(+x direction으로 이동한다)는 것이 k값을 정해지게 만들어서 운동량이 정해졌다고 생각해야 하는건가요?
아 죄송합니다 제가 잠깐 혼동하고 있었던것 같습니다. 자유공간에서 자유전자라는 특별한 상황일때 psi=Ae^j(kx-wt)+Be^-j(kx+wt)라는 식을 구할 수 있고 이때 k가 정해지므로 운동량 p의 값도 정확히 구해지고 따라서 x의 값은 정확히 구할 수 없다. 이렇게 이해하면 될까요?
확률밀도함수를 구하는 과정에서 프사이와 그 컨쥬게이트값의 곱을 손으로 구해보았는데 A^2+B^2+AB(e^j2kx+e^-j2kx)값이 나왔습니다 근데 프사이의 크기의 제곱은 A^2+B^2인데 뭔가 모순이 생긴 것 같아 혼란스럽네요 이론적으로 conjugate와 원본 곱이 크기의 제곱이었다는 것은 기억이 나는데 직접 손으로 풀어보니 혼란스럽습니다. 혹시 제가 풀이한 부분의 모순을 알 것 같으시다면... 알려주세요 영상 잘 보고 있습니다 감사합니다
@@DevicePhysics @Sungho Kim 몇가지 추가적으로 궁금한점이 있습니다. 일단은 Ψ가 공간에 관한 함수 ψ와 time에 관한 함수 Φ로 분리되는데 이때 Φ가 complex sinusoidal한 해를 갖는 것은 이해가 가고 이때 지수의 η/h_bar가 time domain에서 각주파수 역할을 하는것도 이해가 됩니다. 그런데 이 각주파수가 전자의 파동의 각주파수 ω와 같다는 근거가 궁금하네요. 08:00 그리고 Vp가 전위이면 E-Vp에서 서로 차원이 다르지 않나요??
@@ventus7382 첫번째 질문은 의미가 잘 이해되지 않습니다. 본인은 어떻게 생각하는지 포함해서 다시 질문 바랍니다. 두번째 질문은, 전위가 '전기적 위치에너지' 이기 때문에 에너지 단위 입니다. 이것도 왜 차원이 다르다고 생각하는지 본인 생각을 포함해서 다시 질문 바랍니다.
@@DevicePhysics 첫번째 질문은 파동 방정식을 풀면서 구해진 Φ(t)의 각주파수가 전자의 파동의 각주파수와 같다는 근거가 궁금합니다. separation constant를 η로 두고 Φ(t)를 구했고 이것이 복소지수를 갖는 파동의 형태를 띠는데 이 파동의 각주파수가 전자의 파동의 각주파수 ω와 같다고 놓고 넘어가는 과정이 이해가 안갑니다.. 왜 같아야 하는거죠?? 전기적 위치에너지가 전압으로 단위가 V아닌가요? 거기에 전자이면 전자의 전하량 q를 곱해야 에너지 단위가 되는 것으로 알고 있습니다.
@@ventus7382 1. 이미 변수분리를 가정할 때, 전자의 파동함수에서 시간에 따라 변하는 부분은 Φ(t) 에 전부 포함된다고 가정한 것입니다. 따라서 나중에 ψ(x) 와 Φ(t) 를 곱해서 전자의 파동함수를 구할 때, 시간에 따라 변하는 각주파수 성분도 Φ(t) 로 부터 결정된다고 가정하는 것입니다. 2. Vp 도 [J] 이나 [eV] 단위로 변환하여 대입해 줍니다.
교수님 좋은 강의 감사드립니다. 저는 화학공학부에 재학 중인데 교수님 덕분에 전자공학부의 전공 강의를 들을 수 있어 너무 기쁩니다..! 질문 드리고 싶은 내용은, 자유공간에서 전자의 위치를 추정할 때, 전자의 E를 안다면 운동량을 알 수 있고, 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 의해 위치 정보는 알 수 없다고 하신 점이 살짝 이해가 가지 않아 질문 드립니다. 식을 유도하는 과정 중에 E를 특정하는 과정은 따로 없었던 것 아닌가요..? 아니면 위 논리와 순서를 바꿔 자유공간이라는 가정 하에 전자의 위치 정보는 알 수 없으니, 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 의해 운동량 정보는 구할 수 있다. (단, 전자의 E를 아는 경우) 라고 이해하는 것이 적절한가요?? 정리) 확률밀도함수가 상수인 이유는 전자 E를 특정해 운동량 정보를 알아냈기 때문이 아니라 자유공간이라는 가정 때문인가요?
정확한 지적입니다. 사실 이 과목에서는 짧은 시간안에 제대로 된 수식전개과정 없이 불확정성 원리와 파동함수를 해석하는 방법을 설명하려다 보니, 많은 개념적인 부분들이 생략되어 있습니다. 그리고 댓글안에서 정확히 설명하기도 불가능 합니다. 따라서 보다 정확하게 알고 싶다면 양자역학 교재들을 참고해 보는 것을 추천합니다. 간단히라도 답변하자면, 확률밀도함수가 상수가 나왔기 때문에, 전구간(-무한대 ~ +무한대)에서 적분하면 1 이 될 수 없습니다. 즉, 파동함수가 normalization 이 되지 못하며, 다시 말하면 슈뢰딩거 방정식의 해가 되지 못합니다. 그래서 실제로는, 이렇게 자유공간 전구간에 걸쳐 전자의 파동(강의자료에 나온것과 같은) 자체가 형성될 수 없습니다 (wave packet 이라 불리는 형태로 존재하게 됩니다). 따라서 전자의 에너지E 도 실제로는 고정된 값을 가지지 못합니다 (위치, 운동량처럼 어떤 확률적 분포를 가지게 됩니다). 제가 여기서 E가 결정된다고 가정했던 이유는, 자유전자를 해석한 결과와 앞에서 배운 불확정성원리를 가볍게라도 연결시켜보려고 했던 것이었습니다. 사실 정확히 두 내용을 연결하려면 많은 양자역학적 이해 과정이 필요합니다.
안녕하세요 교수님. 강의 정말 잘 듣고 있습니다! 자유공간에서 전자의 파동을 분석하는 과정에서 질문이 있습니다. 1. 자유공간이라서 Vp(x) = 0인 것은 이해가 갑니다. 하지만 그 후에 전자의 위치에너지인 Ep까지 0으로 처리하셨는데 Vp 와 Ep가 의미하는 바가 같나요? 저는 Vp가 공간의 위치에너지이고 Ep는 전자의 위치에너지라고 이해했었는데 잘못된 이해한 것 같아서 질문드립니다. 2. 또 다른 질문인데요. +x방향으로 진행하는 자유전자의 움직임을 이야기하실때 Ek가 특정(?)되어 파수 k도 특정이 되었고 또 운동량 p가 특정되어 불확정성의 원리에 의해 위치를 알 수 없게 된다고 하셨습니다. 그런데 어느 부분이나 가정에서 Ek를 특정하게 된 것인지 궁금합니다. +x방향으로 진행한다는 부분이 그런건가요?
1. Vp(x) 와 Ep 는 같지 않습니다. 위치에너지라는 단어에서 '위치' 라는 글자 때문에, 항상 공간상의 위치와 관련된 것으로 오해하기 쉬운데, 영어 단어인 potential energy = 잠재되어(내재되어) 있는 에너지 로 이해하면 조금 더 이해하기 쉽습니다. 정확히는, 어떠한 복원력이 작용하는 상황에서 위치에너지가 정의됩니다. 예를 들어, 지구 중력에 의해 높이 있는 물체가 아래쪽으로 다시 떨어지려고 할 때, 이 복원력을 거스를 때 필요한 에너지가 위치에너지 입니다. 다만 중력이 아니라 다른 힘에 의해서도 위치에너지는 정의될 수 있습니다. 즉, 전기력에 의한 전기적 위치에너지, 탄성력에 의한 탄성 위치 에너지 등등이 정의될 수 있습니다. 자유전자의 경우, 주변에 전자에게 영향을 주는 주변 요소가 전혀 없는 상황을 가정합니다. 따라서 전자가 위치한 상황에서의 위치에너지 Vp(x)=0 이 되고, 전자도 주변으로부터 어떠한 힘(복원력)을 받지 않게 되므로 전자의 위치에너지 Ep 도 0 이 됩니다. 2. 전자의 에너지가 고정된 상황을 가정한 것입니다. 만약 전자의 에너지 E 가 어떤 상수값을 가진다면, E = Ek 이므로, 우리가 유도한 식 Ek = (hbar*k)^2/2m 에 의해 k 값이 하나의 상수값으로 고정됩니다. 따라서 p = hbar*k 식에 의해 운동량 값도 어떤 상수값으로 고정됩니다.
![[물리전자공학|2.6] #무한전위우물 #infinite potential well #에너지상태의 양자화](http://i.ytimg.com/vi/but69982MW0/mqdefault.jpg)
![[물리전자공학|2.6] #무한전위우물 #infinite potential well #에너지상태의 양자화](/img/tr.png)
![[물리전자공학|2.4] #불확정성의 원리 #슈뢰딩거 방정식 #파동방정식 #파동함수 #확률적 해석](http://i.ytimg.com/vi/BSTQphLVJ-c/mqdefault.jpg)
![[물리전자공학|3.1] #크로니-페니 모델 #에너지밴드의 생성 원리 #conduction band #valence band #bandgap](http://i.ytimg.com/vi/KZcVoVjouVk/mqdefault.jpg)
![[물리전자공학|3.2] #반도체 해석에 홀(hole)의 개념이 필요한 이유 #전자와 홀의 에너지 #direct & indirect bandgap](/img/1.gif)
안녕하세요 교수님 진짜 빛과 소금 같은 강의를 무료로 풀어주시다니..너무너무너무 감사합니다
열심히 듣고 있긴 한데.. 형..아니 교수님 너무 해맑게 설명하시는 거 아닙니까..전 넘 어려운데 ㅜㅜ
역시 어렵군요...
이번 강의도 잘 들었습니다. 감사합니다.
현업 반도체 엔지니어입니다. 소자 sim을 위해 기초공부중인데 너무 좋은 강의네요 감사합니다. 뒷 강의까지 듣고 다시 들으니 더욱 이해가 되네요.
강의 정말 깔끔하게 잘하시네요... 전공 공부 중에 이해가 안되는 검색하다가 들어오게 됐는데 매 강의마다 강의력에 놀라고 있습니다. 이런 양질의 강의들 유튜브에 올려주셔서 너무 감사합니다 ㅜㅜ
다음 시간 빨리 올려주세여 현기증 난단 말예용
아니... 왜 이렇게 똑똑해요...????
파동함수를 이끌어내는 부분을 전자기학에서 배웠던 것 같은데, 너무 어려워서 결국 이해를 포기했던 기억이 나네요.. 하지만 교수님께서 반도체 강의에 필요한 내용만을 정리해 주셨으니 이 부분은 강의를 반복해서 들으며 꼭 이해해보도록 하겠습니다! 항상 좋은 강의 감사합니다.
한 대여섯번쯤 듣고 나니까 이해되네요.. 설명 잘하신다 감삼다감삼다
교수님 질문이 있습니다.
00:05:41 에서 미분방정식의 해가 다음과 같은 형태가 되려면 상수계수(coefficient)여야 하지 않나 싶습니다.
제가 공학수학에서 미분방정식에 대해서 배울 때도 그렇고, 다른 여러 공학수학을 참조해봤지만 상수계수가 아닌 선형미방을 푸는 경우는 코시-오일러 같은 특수한 형식이거나 이미 알려진 해를 통해 다른 해를 유도해서 일반해를 구하는 계수저하법 정도 밖에 없는 것 같습니다.
그런데 다른 건 상수지만 V_p(x)는 위치에 따라 변하는 함수가 아닌가요? 그렇다면 해가 단순히 저렇게는 안구해지는 것 같은데 아니면 혹시 V_p를 상수 퍼텐셜로 가정된 건가요?
네 맞습니다. 이 강의에서는 상수인 경우에 대해서만 다룹니다.
감사합니다
교수님 안녕하세요 질좋은 강의 정말 잘듣고있습니다. 질문이 있어서 댓글남깁니다
3:20초에 1차 미분방정식 푸는것과
5:20초에 2차 미분방정식 푸는것을 직접 혼자 풀어봤는데 잘 안풀리더라구요..
저부분 슈뢰딩거 미분방정식 푸는방법 강의는 따로 없는건가요??
아니면 직접 안풀어보고 결과만 기억해도 되는건가요??
공업수학 시간에 배웠을겁니다. 공업수학 교재를 다시 찾아보세요. 미분방정식 푸는 방법은 몰라도 강의를 이해하는데는 큰 무리는 없습니다.
답변감사합니다!!
제가 교수님 강의
물리전자공학,기초반도체공학 이렇게 정주행 하려고 하는데 미분방정식을 몰라도 저 두 과목 이해하는데는 큰 무리가 없을까요?
@@TV-lf2nf 미분방정식을 직접풀어야 하는 상황은 거의 없지만 공식 유도과정에는 자주 나옵니다. 다만 풀기 어려운 미분방정식이 나오는것은 아닙니다. 이공계 학생이라면 미분방정식은 기본상식같은것이니 미리 숙지하고 강의를 보는게 좋습니다.
1차미분방정식 2차미분방정식 이정도만 풀면 공식유도를 이해하는데는 충분할까요?? 바쁘신와중에 상세한 답변 정말 너무 감사드립니다!!
@@TV-lf2nf 미분방정식을 푸는 기술(방법)들은 몰라도 큰 무리 없고, 미분/적분 하는 것만 정확히 할 줄 알면 강의를 이해하는데는 충분합니다.
교수님 각 진동수에서 E를 따질 때 W를 -n/h로 보아야 하지 않을까라는 궁금증이 생깁니다. - 진동수를 쓰지 않음을 감안하고 그냥 부호를 빼고 따진 것인지요 궁금합니다! 항상 좋은 강의 유튜브에올려주셔서 감사합니다.
강의에서는 exp^(jwt) 함수로 파동을 표현하였는데, exp^(-jwt) 로도 표현할 수 있습니다 (j 앞에 부호만 바뀝니다).
따라서 부호의 의미는 크게 없고, 어떤 물리량인지만 이해하면 좋을 것 같습니다.
강의 감사드립니다 한가지 질문이 있습니다. 3:25초에서의 미분방정식을 풀면 q(t) = e^(-j * (n/h) * t)의 형태로 나타나는 데 이는 chatgpt, 울프람 알파를 사용해도 동일합니다 혹시 제가 놓친 부분이 있을까요?
지금 강의자료에 그렇게 적혀 있습니다.
저 상황에서는
자유공간에서는
전자가 +x축 방향으로 모두 동일한
확률로 존재하고 이때 파동방정식의 시간에 대한 해을 결정하는 k는 무수히 많기에
다양한 에너지와 운동량이 무수히 다양하게
존재 하는거군요
이 표현이 혹시 맞을까요?
@@김경원-h3t 그냥 헷갈리는 부분을 구체적으로 질문하길 바랍니다. 어떻게 이해하고 있는지 판단하기 어렵습니다.
교수님 강의내용중 질문이 있습니다. photon의 E = hν 공식이 전자의 파동 방정식에서도 적용가능한 이유가 궁금합니다. E = hν는 photon외의 입자에서도 사용할 수 있는 공식인가요? 읽어주셔서 감사합니다.
전자에서도 사용 가능합니다.
교수님 질문이 있는데, m*은 뭘 의미하는 건가요? 일반적인 m(질량)과는 다른 개념인가요?
@@girin_yun 유효질량입니다. [물리전자공학|3.4]에 따로 강의가 있습니다.
우선, 좋은 강의 감사합니다. 강의를 듣다보니 질문이 생겨서 질문드립니다!
1) 슈뢰딩거 방정식에서 공간에 대한 항들만 몰아놓고 미분방정식을 풀 때, 임의의 값 에타(에너지)가 공간에 대한 함수가 아닌 상수여야만 2계 상수계수 미분방정식의 해가 저렇게 나올 수 있을 것 같습니다. 그런데 전자의 에너지가 시간과 위치에 대한 함수가 아니라 고정된 상수 값이라는 것이 저의 상식으론 이해가 잘 가지 않습니다. 이것은 전자의 에너지가 시간과 공간에 상관없는 상수일 것이라고 가정을 한 것인가요?
2) 슈뢰딩거 방정식을 일반적인 경우에서 풀어주실 때, 전자의 에너지가 상수일 것이라고 가정하신 것이고 실제로는 전자의 에너지가 위치에 대한 함수라면 이는 비선형 미분방정식으로 다른 해법을 적용해야할 것으로 보입니다. 실제로 이 비선형 미분방정식을 풀면 전파상수 k가 동일하게 전자와 전자가 놓인 공간의 에너지와 관련된 값으로 나오나요?(전자의 에너지를 상수로 놓고 풀었을 때와 동일한 식이요.)
감사합니다.
1) 네 맞습니다. 그냥 가정입니다.
이 가정이 없으면, 슈뢰딩거 방정식을 손으로(analytical 하게) 풀어서 해를 구할 수 없습니다.
즉 강의의 내용은, 가장 단순한 상황에 대해서만 슈뢰딩거방정식의 해를 구해보는 것입니다.
2) 질문한 내용은, 정확히는 모르겠습니다.
제가 학생 때 배웠던 양자역학 내용으로는 (저도 물리학과 출신은 아니라 기초 수준의 양자역학만 배웠습니다), 비선형 미분방정식을 근사해서 푸는 몇몇 방법이 있다고 까지만 배웠고, 실제로 해를 유도해본적은 없습니다 (아마도 대학원 수준의 양자역학에서는 배우지 않을까 생각되네요).
아무튼 제 생각에도 질문한것처럼, 실제 전자의 전파상수가 위치나 시간에 대한 함수가 될 것이지만, 이것을 analytical 하게 표현하기는 어렵지 않을까 생각합니다.
교수님, 앞 강 불확정성 원리에서는 전자의 운동량과 위치는 각각, 동시에 정확히 얻어낼 수 없다고 해주셨었는데 이번 강의 내용인 자유공간이라는 특수한 상황의 자유전자에선 위치의 불확정성이 무한대라 전자의 역학적 에너지를 알아내면 운동량은 구할 수 있다 이렇게 이해하면 아직까진 바르게 이해한 것이 맞나요??
네 다 맞게 잘 이해하였습니다.
안녕하세요 교수님 혹시 3:41 의 오일러식에서 w위에 bar가 있는데 이것은 플랑크 상수처럼 2파이로 나눈 값이 아니고 그냥 w 가 맞는건가요? 2파이로 나누지 않은 w 라고 두고 풀었을 때 유도해주신것처럼 잘 풀렸는데 혹시나 해서 질문드립니다.
w 위에 bar 가 있는 것이 아닙니다. bar 처럼 보이는 부분은 그냥 글씨체 때문입니다.
@@DevicePhysics 감사합니다!!!
교수님, 전자가 갇혀 있을 때와 밖에 돌아 다닐때 다른 공식을 쓰는데 그 이유가 뭔가요? 그리고 자유전자 일때는 potential energy를 0으로 가정하고 풀이를 진행하셨는데 그렇다는 것은 갇혀있을 때를 해석한 것이니깐 삼각함수를 이용한 공식으로 풀이를 해야하는 거 아닌가요? exponential 형태는 우물을 빠져 나갔을때 이용하는 풀이 아닌가요?
다른 공식을 쓰는 이유는 수식을 정리하기 더 쉬워지기 때문입니다. 바꿔서 해도 결과는 동일한데, 수식 정리가 더 복잡해 집니다.
주변 potential energy 가 0 이라는 뜻은 전자의 파동을 방해할 수 있는 요소가 전혀 없다는 뜻이며, 따라서 파동은 아무런 감쇄없이 이동할 수 있는 상황입니다.
반면, 갇혀있는 상황이라는 것은 이 다음 강의인 infinite potential well 같은 경우처럼 전자의 파동이 특정 영역에 국한되는 상황을 뜻합니다.
교수님 안녕하세요. 7분대에 파수에 대해 설명해 주실 때 E와 V를 따로 나누었는데 E는 전자의 운동 에너지만을 고려한 것 인가요?
아닙니다. 전체 에너지입니다.
그럼 전체 에너지 E에서 전위V를 뺐으니까 E-V가 의미 하는게 전자의 운동에너지라고 생각해도 되나요?
@@김공학 네 맞습니다. 강의 뒷부분에 설명이 이미 있습니다.
x에 대한 미분 방정식을 풀 때 해를 보면 Vp(x)는 상수처럼 계산되어 미분방정식 답이 나온 것 같은데 이에 대한 근거가 있을까요...?
강의영상에 이미 설명이 있으니 다시 확인해보길 바랍니다.
Vp(x), Ep의 차이점이 헷갈려요 ㅠㅠ
Ep는 전자의 포텐셜 에너지이고
Vp(x)는 전자가 위치하고 있는 곳의 위치에너지인데,
자유전자는 왜 Vp(x)=0 임을 더 세심하게 설명해 주실 수 있나요??
'자유전자'의 정의 자체가, 아무런 주변 영향이 없는 공간에 놓여져 있는 전자를 뜻합니다. 따라서 전자가 존재하는 공간의 위치에너지(Vp)가 0 이 됩니다.
3:01 에서 가장 밑에 있는 식이 상수여야 하는 이유는 양변이 각각 x와 t에 관한식으로 정리되어서 당연히 상수일수 밖에없는 것인가요??
x 와 t 가 서로 독립적이라고 가정했기 때문에 양변으로 완전히 변수분리가 가능해지고, 따라서 상수가 될 수 밖에 없습니다.
@@DevicePhysics 감사합니다
안녕하세요 교수님 파동함수에서 e^+ikx가 왜 +X축 방향으로 움직이는 파동함수가 되는거죠?
댓글에서 간단하게 설명하기 어렵습니다. 파동을 수학적으로 표현하는 방식 때문입니다. 구글에서 검색해보면 많은 자료들을 찾을 수 있을 겁니다.
안녕하세요 교수님 운동량과 위치 관계에 질문이 있습니다.
강의에서 free electron에서 +x direction을 가정했을때 프사이를 제곱하면 A제곱 즉 상수가 나옵니다. 하지만 여기서는 k의 값이 정해졌든 안 정해졌든 제곱을 하니까 i는 서로 없어져서 프사이의
제곱은 상수가 나오는걸로 해석이 가능한데.. 그럼 결국 운동량이 정해져있든 안정해져있는든 상관없이 위치는 무조건 결정이 안된다라고 생각할 수 있는데 이러면 안되잖아요?
그럼 프사이를 A의항 하나로만 표현한다(+x direction으로 이동한다)는 것이 k값을 정해지게 만들어서 운동량이 정해졌다고 생각해야 하는건가요?
강의에서 이미 설명했듯이, 자유전자의 위치는 전혀 알 수 없으며, 운동량은 확실하게 결정됩니다.
네 그 부분은 인지하고 있습니다마는 프사이를 Ae^j(kx-wt)로만 놨을때는 프사이 제곱이 k에 관에 없이 무조건 상수라는 결과가 나오는데 그럼 운동량이 어떻게 되는지에 상관없이 위치가 안 정해진다는 결론이 나와서 인과관계가 좀 헷갈립니다!
@@김이이-s7s 무슨 인과관계가 헷갈린다는 것인지 모르겠습니다. 불확정성 원리에 맞게 해가 얻어졌습니다.
아 죄송합니다 제가 잠깐 혼동하고 있었던것 같습니다. 자유공간에서 자유전자라는 특별한 상황일때 psi=Ae^j(kx-wt)+Be^-j(kx+wt)라는 식을 구할 수 있고 이때 k가 정해지므로 운동량 p의 값도 정확히 구해지고 따라서 x의 값은 정확히 구할 수 없다. 이렇게 이해하면 될까요?
@@김이이-s7s x값을 구할 수 없는것이 아니라 파동이 전 영역에 걸쳐서 퍼져있는 것입니다.
혹시 물리전자와 기초반도체공정을 듣는데 미분방정식을 전부알아야하나요? 편미분방정식부터 오일러코시 미정계수법같은거요!
몰라도 큰 지장은 없습니다.
@@DevicePhysics 혹시 나중에 문제풀때 문제가 될까 걱정했는데 감사합니다!
만약 저 자유전자가 1V의 전기장안에 있는 상태로 해석을 한다면 Vp는 0이 아니라 1J이 되는건가요?
1. [V]는 전기장의 단위가 아닙니다. 전기장의 단위는 [V/m] 입니다.
2. 1 [V/m] 안에 전자가 놓여져 있다면, Vp = 1 [eV] 입니다.
확률밀도함수를 구하는 과정에서 프사이와 그 컨쥬게이트값의 곱을 손으로 구해보았는데 A^2+B^2+AB(e^j2kx+e^-j2kx)값이 나왔습니다
근데 프사이의 크기의 제곱은 A^2+B^2인데 뭔가 모순이 생긴 것 같아 혼란스럽네요
이론적으로 conjugate와 원본 곱이 크기의 제곱이었다는 것은 기억이 나는데 직접 손으로 풀어보니 혼란스럽습니다. 혹시 제가 풀이한 부분의 모순을 알 것 같으시다면... 알려주세요
영상 잘 보고 있습니다 감사합니다
아 크기의 제곱은 (A+B)^2인가요? e^jkx의 크기는 1이기 때문에?? 아 매우 헷갈립니다
이 강의에서 어느 부분을 질문하는 것인가요?
08:24 강의 자료의 확률밀도함수를 구하는 과정입니다... 프사이의 두 텀들 모두 고려해서 컨쥬게이트와의 곱을 계산해보니 위와 같은 오류에 빠지게 되었습니다...
변수가 t인 파이함수는 이해가 되었으나 프사이의 곱관계에서 혼동이 오는 것 같습니다
@@Airpart exp 형태로 두지 말고, 오일러 공식을 써서 복소수 형태로 바꿔놓고 생각하면 바르게 유도될 것입니다.
아니면 간단하게 Aexp(+jkx) 하나만 가지고 유도해보면 됩니다.
@@DevicePhysics 답변 감사합니다 오일러 공식을 써서 표현해 보아도 추가 텀들이 계속 남네요 ㅠ (제 계산에 문제가 있는 것 같습니다)
추가로 제시해주신 한방향의 텀만을 고려하여 어찌저찌 해결이 된 것 같습니다
감사합니다
강의에서 위치에너지라고 언급하시는 Vp(x)는 전위를 말하는건가요?
네 맞습니다.
@@DevicePhysics @Sungho Kim 몇가지 추가적으로 궁금한점이 있습니다. 일단은 Ψ가 공간에 관한 함수 ψ와 time에 관한 함수 Φ로 분리되는데 이때 Φ가 complex sinusoidal한 해를 갖는 것은 이해가 가고 이때 지수의 η/h_bar가 time domain에서 각주파수 역할을 하는것도 이해가 됩니다. 그런데 이 각주파수가 전자의 파동의 각주파수 ω와 같다는 근거가 궁금하네요.
08:00 그리고 Vp가 전위이면 E-Vp에서 서로 차원이 다르지 않나요??
@@ventus7382 첫번째 질문은 의미가 잘 이해되지 않습니다. 본인은 어떻게 생각하는지 포함해서 다시 질문 바랍니다.
두번째 질문은, 전위가 '전기적 위치에너지' 이기 때문에 에너지 단위 입니다. 이것도 왜 차원이 다르다고 생각하는지 본인 생각을 포함해서 다시 질문 바랍니다.
@@DevicePhysics
첫번째 질문은 파동 방정식을 풀면서 구해진 Φ(t)의 각주파수가 전자의 파동의 각주파수와 같다는 근거가 궁금합니다. separation constant를 η로 두고 Φ(t)를 구했고 이것이 복소지수를 갖는 파동의 형태를 띠는데 이 파동의 각주파수가 전자의 파동의 각주파수 ω와 같다고 놓고 넘어가는 과정이 이해가 안갑니다.. 왜 같아야 하는거죠??
전기적 위치에너지가 전압으로 단위가 V아닌가요? 거기에 전자이면 전자의 전하량 q를 곱해야 에너지 단위가 되는 것으로 알고 있습니다.
@@ventus7382 1. 이미 변수분리를 가정할 때, 전자의 파동함수에서 시간에 따라 변하는 부분은 Φ(t) 에 전부 포함된다고 가정한 것입니다. 따라서 나중에 ψ(x) 와 Φ(t) 를 곱해서 전자의 파동함수를 구할 때, 시간에 따라 변하는 각주파수 성분도 Φ(t) 로 부터 결정된다고 가정하는 것입니다.
2. Vp 도 [J] 이나 [eV] 단위로 변환하여 대입해 줍니다.
교수님 좋은 강의 감사드립니다.
저는 화학공학부에 재학 중인데 교수님 덕분에 전자공학부의 전공 강의를 들을 수 있어 너무 기쁩니다..!
질문 드리고 싶은 내용은,
자유공간에서 전자의 위치를 추정할 때, 전자의 E를 안다면 운동량을 알 수 있고, 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 의해 위치 정보는 알 수 없다고 하신 점이 살짝 이해가 가지 않아 질문 드립니다. 식을 유도하는 과정 중에 E를 특정하는 과정은 따로 없었던 것 아닌가요..?
아니면 위 논리와 순서를 바꿔 자유공간이라는 가정 하에 전자의 위치 정보는 알 수 없으니, 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 의해 운동량 정보는 구할 수 있다. (단, 전자의 E를 아는 경우) 라고 이해하는 것이 적절한가요??
정리) 확률밀도함수가 상수인 이유는 전자 E를 특정해 운동량 정보를 알아냈기 때문이 아니라 자유공간이라는 가정 때문인가요?
정확한 지적입니다. 사실 이 과목에서는 짧은 시간안에 제대로 된 수식전개과정 없이 불확정성 원리와 파동함수를 해석하는 방법을 설명하려다 보니, 많은 개념적인 부분들이 생략되어 있습니다. 그리고 댓글안에서 정확히 설명하기도 불가능 합니다. 따라서 보다 정확하게 알고 싶다면 양자역학 교재들을 참고해 보는 것을 추천합니다.
간단히라도 답변하자면, 확률밀도함수가 상수가 나왔기 때문에, 전구간(-무한대 ~ +무한대)에서 적분하면 1 이 될 수 없습니다. 즉, 파동함수가 normalization 이 되지 못하며, 다시 말하면 슈뢰딩거 방정식의 해가 되지 못합니다. 그래서 실제로는, 이렇게 자유공간 전구간에 걸쳐 전자의 파동(강의자료에 나온것과 같은) 자체가 형성될 수 없습니다 (wave packet 이라 불리는 형태로 존재하게 됩니다). 따라서 전자의 에너지E 도 실제로는 고정된 값을 가지지 못합니다 (위치, 운동량처럼 어떤 확률적 분포를 가지게 됩니다).
제가 여기서 E가 결정된다고 가정했던 이유는, 자유전자를 해석한 결과와 앞에서 배운 불확정성원리를 가볍게라도 연결시켜보려고 했던 것이었습니다. 사실 정확히 두 내용을 연결하려면 많은 양자역학적 이해 과정이 필요합니다.
@@DevicePhysics 답변 감사합니다!! :>
자네가 한 사람의 목숨을 살렸다는걸 알아두게나.
3:32
안녕하세요 교수님. 강의 정말 잘 듣고 있습니다!
자유공간에서 전자의 파동을 분석하는 과정에서 질문이 있습니다.
1. 자유공간이라서 Vp(x) = 0인 것은 이해가 갑니다. 하지만 그 후에 전자의 위치에너지인 Ep까지 0으로 처리하셨는데 Vp 와 Ep가 의미하는 바가 같나요? 저는 Vp가 공간의 위치에너지이고 Ep는 전자의 위치에너지라고 이해했었는데 잘못된 이해한 것 같아서 질문드립니다.
2. 또 다른 질문인데요. +x방향으로 진행하는 자유전자의 움직임을 이야기하실때 Ek가 특정(?)되어 파수 k도 특정이 되었고 또 운동량 p가 특정되어 불확정성의 원리에 의해 위치를 알 수 없게 된다고 하셨습니다. 그런데 어느 부분이나 가정에서 Ek를 특정하게 된 것인지 궁금합니다. +x방향으로 진행한다는 부분이 그런건가요?
1. Vp(x) 와 Ep 는 같지 않습니다.
위치에너지라는 단어에서 '위치' 라는 글자 때문에, 항상 공간상의 위치와 관련된 것으로 오해하기 쉬운데, 영어 단어인 potential energy = 잠재되어(내재되어) 있는 에너지 로 이해하면 조금 더 이해하기 쉽습니다.
정확히는, 어떠한 복원력이 작용하는 상황에서 위치에너지가 정의됩니다. 예를 들어, 지구 중력에 의해 높이 있는 물체가 아래쪽으로 다시 떨어지려고 할 때, 이 복원력을 거스를 때 필요한 에너지가 위치에너지 입니다.
다만 중력이 아니라 다른 힘에 의해서도 위치에너지는 정의될 수 있습니다. 즉, 전기력에 의한 전기적 위치에너지, 탄성력에 의한 탄성 위치 에너지 등등이 정의될 수 있습니다.
자유전자의 경우, 주변에 전자에게 영향을 주는 주변 요소가 전혀 없는 상황을 가정합니다.
따라서 전자가 위치한 상황에서의 위치에너지 Vp(x)=0 이 되고, 전자도 주변으로부터 어떠한 힘(복원력)을 받지 않게 되므로 전자의 위치에너지 Ep 도 0 이 됩니다.
2. 전자의 에너지가 고정된 상황을 가정한 것입니다.
만약 전자의 에너지 E 가 어떤 상수값을 가진다면, E = Ek 이므로, 우리가 유도한 식 Ek = (hbar*k)^2/2m 에 의해 k 값이 하나의 상수값으로 고정됩니다.
따라서 p = hbar*k 식에 의해 운동량 값도 어떤 상수값으로 고정됩니다.
@@DevicePhysics헷갈리던 부분이 잘 이해되었습니다. 답변 정말 감사드립니다!
07:00