단순한 정리와 정의의 나열이 아닌 큰그림을 그려주시는 선생님의 강의 정말 잘보고있습니다. 송구하지만 질문이 2개있습니다. Q1. 완비성은 말그대로 complete 즉 꽉차있다는 건데, 선생님이 보여주신 유리수의 빈공간을 중고등학교 수준의 귀류법으로 증명하지 않고(단순히 빈공간을 보여주어서 Q가 complete하지 않다는것을 보이는것은 이것만으로 충분할텐데) 상한을 도입해서 빈 것을 보여주는 이득?은 무엇일까요? 제가 대충 느끼기에는 선생님이 이번강의 후반부에서 말씀하신것 처럼 실수의 성질을 이해할때 "수열"이라는 도구를 도입하여 이해한다고 하셨으니, 수열과 수열의 극한에서 사용하는 조임정리들을 사용하기 위해서는 저런식으로 판을 짜는게 유리할것같다는 인상은 받았습니다만... 제가 대충 잘 이해한것이 맞는지 궁금합니다. 아니면 다른 논리전개상의 이득?이나 모티브가 있는지... Q2. 선생님이 보여주신 완비성 공리 설명을 들으면, 스트룸의 진동정리를사용한 eigenfuction의 completeness를 complete 하다고 하는게 너무 자명합니다. (제가 이해한대로면 실수의 나열 대신에 고유값들을 오름차순으로 적으면 모양새가 비슷한것같습니다). 다만 이런 스타일의 complete말고, 푸리에 급수에서 말하는 complete나 수리통계학에서 말하는 완비통계량의 개념에서 0이뭐 유일하다는식의 내용에서도 complete하다는 말이 나오는데... 이 경우 complete하다는것이 와닿지가 않습니다... 이에 관해서 간략한 설명이나 조언을 해주실 수 있는지 궁금합니다. 질문을 너무 두서없게 써서 죄송합니다. 감사합니다
안녕하세요. 많은 해석학적인 수학 문제들을 해결해나가는데 있어서 해당 고려사항에서 찾고자 하는 원소가 inf 혹은 sup을 사용해서 정의하므로 sup/inf를 준 집합의 원소들의 수열로서 limit point가 되게끔 셋팅하고 이 수열의 극한을 어떻게 다루는 지의 관점에서 극한을 사용하는 논지의 중요성은 이의의 여지는 그다지 없을 것 같습니다. 그리고 completeness는 이러한 limit point들을 다룰 수 있도록 집합 위에 필요한 수학적인 구조를 보장하는 것처럼 생각할 수도 있을 듯 합니다. 단어를 사용하는 맥락에 따라 살펴봐야겠으나 많은 경우에 complete 하다는 것은 집합을 거리위상공간(metric topological space)로서 바라보고 이 거리가 임의의 코시 수열에 대해 수렴하는 limit point가 해당하는 집합의 원소로서 존재하는 것을 의미합니다. 그런데 사실 생각해보면 수열의 수렴성을 정의하는 limit point가 애시당초 존재하는지 알 수 없으며, 설령 존재하더라도 어떤 집합의 어떤 원소로 수렴하는지 알 수 없기 때문에 사실은 수열의 수렴성의 정의 자체는 실제 수학 문제를 다루는데 일면 그다지 적합하지 않습니다. 그러므로 애시당초 공간이 완비성을 갖고있다고 가정하고 코시 수열을 통해서 목적에 해당하는 원소를 limit point로서 찾고 그 limit point가 저희가 생각한 집합 내에 속하도록 논지를 전개하고자 함이 실제로 저희가 전개 가능한 논지일 터이니 이러한 측면이 완비성을 고려하는 한 가지 이유는 될 것 같습니다. 푸리에 급수의 완비성 또한 함수의 모임을 힐베르트 공간으로 바라보고 힐베르트 공간을 거리위상공간으로서 코시 수열의 수렴성으로 동일하게 정의합니다. 또한 거리위상을 갖는 위상공간의 경우 하우스도르프 위상공간이므로 limit point가 유일하다는 것이 보장됩니다. 여러 질문들 해주셔서 감사합니다. 영상을 올리는 입장에서 진지하게 보시는 분들이 계신지가 개인적으로 가장 큰 질문이고, 여러 모로 청중 없이 지속하는 과정에서 동기부여가 떨어져서 힘든 면이 있는데, 달아주시는 리플들 통해서 지속할 동력을 얻습니다. 여러 모로 부족하지만 향후에도 지속적인 관심 및 토론 리플 부탁드립니다. 감사합니다.
@@enjoyingmath9346 우문현답 감사합니다 선생님! 제가 아직 힐베르트 공간에 대한 이해가 부족해서 아직 완벽한 이해가 되진 않지만 선생님의 강의를 다보면 이해다 되리라 믿어 의심치 않습니다. 선생님의 명강의 계속보고 염치 불구하고 질문 또 드리겠습니다. 감사합니다!!!
안녕하세요? 저는 수학교육과 2학년 들어가기 전에 해석학을 예습하고 있는 학생입니다. 먼저 유익한 영상 올려주셔서 감사합니다. 다름이 아니라 완비성 공리에서 제가 공부할 때는 공집합이 아님을 가정하는 걸로 나와있었는데, 채널지기님께서는 공집합도 가능하다고 하셔서 질문을 드려봅니다. 공집합일 경우에 upper bound와 lower bound가 모두 실수 전체가 되는 것인가요? 그리고 제가 일반적으로 책을 볼 때 bounded above해서 upper bound가 존재한다고 할 때는 범위가 정해져 있는 집합(i.e. x
공집합 혹은 bounded above를 가정하지 않는 경우에 +- infinity를 허용하는 것으로 생각하면 된다고 언급한 것입니다. 양과 음의 무한대를 포함하는 경우를 extended real number system이라 부릅니다. 통상적인 least upper bound property는 실수의 집합인 real number system에 대한 것이므로 이 경우에는 공리를 non-empty bounded above로 제한합니다.
수학 비전공자입니다. 제가 수학을 손으로 직접 풀어가며 공부해야하는데 그냥 머릿속으로만 생각해서 이해가 가지 않는 것 같습니다만, 말도 안되는 질문이 될 수 있을 것 같은데 한번 여쭤보겠습니다. 상한의 정의 자체가 완비성 공리인가요? 왜 완비성 공리가 필요한가요? 실수를 정의할 때 그 집합자체가 공리로 정의되었다는 말인가요? 중간값정리로 설명하신 부분에서 어떤 함수라도 양의 결과값과 음의 결과값의 사이에는 x축을 지나는 교점이 있다만으로는 부족하다고 하신 것 같습니다. 함수의 의미도 잘 모르겠지만 (다음에 올리신영상들을 보면서 조금씩 이해해 가고 있습니다. ) 그 함수가 x축(실수의 수직선)을 가로 질러갈때는 항상 어떤 실수가 교차된다로 알아듣고 즉 실수에는 구멍이 뚫리지 않아서 어떤 함수라도 항상 수직선의 실수와 교차하지 않고 사이로 빠져 나갈 수 없는 것이 실수다라고 이해했습니다. 유리수도 조밀해서 구멍이 안뚫린 듯 보이지만 사실 루트2 같은 곳으로 어떤 함수가 빠져나갈 수 있기 때문에 그것보다 완벽하게 구멍이 확실하게 없는 수의 집합이 실수다 라고 이해를 했습니다. 바꿔말하면 실수만으로 수직선의 구멍은 다 메울 수 있으며 더 큰 집합의 수의 개념이 필요없다라고 이해했습니다. 결국엔 실수를 수직선의 구멍을 다 메울 수 있는 수의 집합으로 정의한 듯 보였습니다. 그것이 바로 완비성 공리가 될 듯 싶습니다만 실수 이외에 더 큰 집합이 필요하지 않고 실수로 모든 구멍을 메꿀 수 있다라는 것이 증명이 안되기 때문에 이 공리가 필요한 것인가요? 이런 추상적인 개념을 수학적으로 표현하기 위해 상계의 표현과 상한(sup)의 개념을 이용해서 실수를 정의?하였고 또 그게 그대로 공리가 된 것인가요? 제가 이해한 바로는 바운드된 집합에서 상한이 있는 것을 모은게 실수다 이게 공리라는 말로 알아 들었는데요. 항상 상한값이 존재하고 유일하지만 그건 실수다라고 하는 의미인가요? 초월수가 아닌 무리수들은 다항식의 실수 근으로서 거기에 상한값으로 존재할 듯 보이는데 초월수들은 그 존재자체가 아직 전부 파악된 것이 아닌 수 아닌가요? 제 생각에는 파이나 싸인값처럼 사람이 정의하는대로 생기는 초월수도 있겠지만 아직 알아내지 못한 함수의 어떤 값 혹은 아직 발견되지 않은 파이나 싸인값처럼 뭔가의 비율이라든지 이런 것이 존재할 거 같은데 그것들조차 결국 어떤 수열의 극한값이고 그것은 결국 실수라는 뜻인 듯 한데요. 그런데 그것이 공리라는 말은 아직 파악하지 못한 수가 실수가 아닌 더 밀도가 높은 즉 사실은 실수의 수직선에 구멍이 남아있어서 그걸 메꿀 수가 남아 있다는 것은 증명을 못하고 그냥 구멍을 다 메우는 수 자체를 실수로 정의했고 그 개념의 수학적 풀이가 상한이 존재하는 수인 건가요? 어느 구간에서도 상한이 존재하는 수들로 모으면 그게 바로 실수집합이고 그 상한값들이 실수의 원소가 된다는 공리인가요? 그런데 마지막 수열의 극한의 말씀은 그 상한값이란게 결국 자연수의 인덱스를 가진 어느 수열의 극한값이랑 일치하고 아리키메데스의 원리로 연속적인 실수같은 조밀한고 완비한 성질을 이산적인 자연수를 이용한 수열의 흐름으로 표현가능하고 그렇게 표현된 수열의 극한이 어느 실수에 꼭 다다른다. 즉 수렴하고 그게 어느 수를 정의하는 상한값이 되며 그게 실수다 이런 말씀으로 이해했습니다. 이건 제가 생각해본 조금 다른 생간인데요. 따라서 모든 실수를 소수점이하십진수표기로 표현할 수 있게 되는건가요? 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415...로 가는 수열을 만들 수 있고 이렇게 파이로 향해가는 수소수점이하십진수표기법이 가능해지고 그 극한치가 파이이며 그건 이 수열의 집합의 상한값이 되는 것이고 그렇기 때문에 파이는 초월수이지만 실수이고 반면 자연수 인덱스를 가진 수열로도 표현되고 막 이런 생각들을 해봤습니다. 결론은 상한값들을 모은 집합이 실수이며 이것은 그렇게 정해서이고 공리이고 어떤 수열의 극한으로 표현이 가능한 수이다...인건가요?... 조금만 더 생각해보면 상한값보다 아주 작은 값 즉 상한값에서 입실론을 빼면 그 값은 더이상 상한값이 아니고 아무리 작은 값을 빼더라도 그 뺀값과 상한값 사이에 수가 조밀하게 무한하게 존재하고 그 입실론 자체도 실수이고 사실은 1/n같은 유리수로도 엡실론과 비슷하게?(똑같게) 그건 성립하고 그렇게 어느 실수값에 입실론(1/n)을 더하거나 빼도 그건 실수이고 그 안에 또 무한개의 실수가 존재하고 구멍이 없다! 그게 실수다..인건가요?...아 이 문단은 제가 봐도 정말 바보같이 썼네요 ㅎㅎ 정신없이 그냥 마구잡이로 생각해낸 글이라 매우 죄송합니다. 말을 잘 못해서 횡설수설한 것처럼 보일 듯해서 부끄럽습니다. 그냥 제 생각을 한번 적어 놓고 싶었습니다. 항상 좋은 강의 고맙습니다.
yoongho ahn 완비성 공리와 상한의 정의는 실수 집합에 대해 정확히는 동치에 해당합니다. 책에서는 소위 데데킨트 분할 이라는 실수 구축 방법을 소개하기도 하지만 이 방법은 실수 집합에서만 유효한 다소 제한적인 구축 방식입니다. 현대수학의 관점에서 완비성 공리는 위상수학적으로 일반화 되어있어서 이 관점을 취하는 동시에 해석학에서는 구체적으로 상한을 수열로서 다루는 법을 익혀야 한다는 점에 영상들이 맞추어져 있습니다.
@@enjoyingmath9346 댓글 감사합니다. 상한이 있는 걸로 실수집합이 설명되는 것이군요. 어느 정도 이해가 되는 거 같습니다. 그리고 이 이후의 영상들도 보고 있는데 위상수학으로의 연결성을 고려하시면서 설명하셨다는게 보였는데 그런 의도였다는 말씀에 이해가 가는거 같습니다. 다른 영상들도 잘 보고 따라가 보겠습니다. 영상 항상 고맙습니다.
안녕하세요. 미흡하지만 약간의 설명을 드리겠습니다. 현대 수학자들의 연구 분야는 크게 3가지라고 생각됩니다. 1.수 2.집합. 3.함수(편의상 함수라고 했지만 사상을 말합니다.) 이러한 측면에서 볼 때, 대학교에서는 실수란 무엇인가?를 배우는게 거의 80퍼센트 정도 된다고 봅니다.(개인적인 의견입니다.) 이러한 연구 대상을 가지고 수학자들은 무엇을 할까요? 믿기 힘들게도 모든 수학적 대상을 분류하는 것을 목표로 하고 있습니다. 대상의 모습에 초점을 맞추지 않고 대상의 속성,성질에 촛점을 맞추어 같은 성질을 가지면 같은 이름을 붙여주는 것이지요. 현대수학에서는 집합론이 탄생하면서 모든 수학적 대상들을 하였습니다. 그러니까 자연현상에서 일어나는 를 인간이 할 수 있게 번역한달까요? 그러던 중 자연수의 성질을 연구하여, 자연수의 성질(페아노공리)을 가지는 대상을 으로 구성하고, 자연수로부터 자연스럽게 정수를 구성했으며, 정수로부터 자연스럽게 유리수를 구성했습니다. 하지만 이 대상이 실수는 아니었지요. 유리수의 성질과 실수의 성질과는 비슷한 면도 있지만 다른 점도 많거든요. 그래서 생각한게 먼저 유리수로 수열을 만듭니다. 그리고 그 중 수렴하는 유리수열들의 극한값이 같다면 같은 수열이다. 라는 관계를 부여한다면, 유리수열들의 모임이 바로, 실수들의 모임과 같은 성질을 가집니다. 이 대상에 이라는 이름을 붙여준 것이지요. 그런데 말입니다. 수학적 용어를 살피던중, 그래서 수렴이뭔데? 라는 상황에 직면합니다. 그래서 실수를 재정의하게 됩니다. 이에 새롭게 실수를 정의한 것이,바로 3가지 공리를 만족하는 집합이 실수이다. 라는 것인데요. 각각 체의공리, 순서공리, 완비성공리 입니다. 즉 실수집합=완비순서체 인 것이지요. 각각의 공리를 대수적공리, 위상적공리, 해석적공리라고도 부릅니다. 완비성 공리는 필요충분 조건이 많지만 대부분의 교재에서는 를 완비성공리로 체택합니다. 이는 실수와 성질이 비슷한 유리수에서는 나타나지 않는 현상이며, 이로서 실수와 유리수를 구별합니다. (수가 있다에서 체의 공리를, 작다에서 순서공리를 사용하기에, 완비성공리는 보통 순서체에서 다룹니다.) 전부 잘 이해하셨네요. 십진법은 하나의 표기법이고, 십진법을 사용하는 것이 인간이 자연을 가장 잘 할 수 있어서 그렇습니다. 파이 같은 경우는 지름이 1인 원기둥에 실을 한 바퀴 돌린 후 잘라서 펼쳐보면 그 실의 길이가 파이죠.
![[오늘 이 뉴스] "바이든 정부, 尹을 잘 몰랐나?" 외신 기자 돌직구 질문에.. (2025.01.06/MBC뉴스)](http://i.ytimg.com/vi/0gH_hPBpNF0/mqdefault.jpg)
비전공자입니다. 대학교 다닐 때는 이해도 어렵고 학점도 망할것 같아서 듣다 드랍했었어요. 일하다보니 다시 필요하게 되어 여기저기 참고하며 공부중이에요. 만학의 즐거움에 도움주셔서 감사해요. 먼 타지에서도 건강조심하시고 늘 행복하게 연구하는 연구자가 되시길..^^
3:44
항상 감사드립니다.^^
수학교육과에서 2학년 전공을 시작하는 학생입니다. 방학 기간에 독학하며 책을 보고 있는데 깔끔하게 설명해주셔서 큰 도움 되었습니다. 고맙습니다
2:24 😮
강의가 너무 좋아요 나중에도 내리지 말아주세요..
1년반도 안되는 시간 동안 이 정도 채널을 꾸려온다는게 진짜 대단하시네요... 여기저기 두서없이 영상을 보긴하지만 진짜 여러모로 자극이 되네요
5:52 😮
7:22 😮
19:34 😮
진짜 훌룡하다. 진짜 도움이 많이되네
좋은 강의 감사합니다 ㅎ
단순한 정리와 정의의 나열이 아닌 큰그림을 그려주시는 선생님의 강의 정말 잘보고있습니다. 송구하지만 질문이 2개있습니다.
Q1. 완비성은 말그대로 complete 즉 꽉차있다는 건데, 선생님이 보여주신 유리수의 빈공간을 중고등학교 수준의 귀류법으로 증명하지 않고(단순히 빈공간을 보여주어서 Q가 complete하지 않다는것을 보이는것은 이것만으로 충분할텐데) 상한을 도입해서 빈 것을 보여주는 이득?은 무엇일까요?
제가 대충 느끼기에는 선생님이 이번강의 후반부에서 말씀하신것 처럼 실수의 성질을 이해할때 "수열"이라는 도구를 도입하여 이해한다고 하셨으니, 수열과 수열의 극한에서 사용하는 조임정리들을 사용하기 위해서는 저런식으로 판을 짜는게 유리할것같다는 인상은 받았습니다만... 제가 대충 잘 이해한것이 맞는지 궁금합니다. 아니면 다른 논리전개상의 이득?이나 모티브가 있는지...
Q2. 선생님이 보여주신 완비성 공리 설명을 들으면, 스트룸의 진동정리를사용한 eigenfuction의 completeness를 complete 하다고 하는게 너무 자명합니다. (제가 이해한대로면 실수의 나열 대신에 고유값들을 오름차순으로 적으면 모양새가 비슷한것같습니다).
다만 이런 스타일의 complete말고,
푸리에 급수에서 말하는 complete나 수리통계학에서 말하는 완비통계량의 개념에서 0이뭐 유일하다는식의 내용에서도 complete하다는 말이 나오는데... 이 경우 complete하다는것이 와닿지가 않습니다... 이에 관해서 간략한 설명이나 조언을 해주실 수 있는지 궁금합니다.
질문을 너무 두서없게 써서 죄송합니다. 감사합니다
안녕하세요.
많은 해석학적인 수학 문제들을 해결해나가는데 있어서 해당 고려사항에서 찾고자 하는 원소가 inf 혹은 sup을 사용해서 정의하므로 sup/inf를 준 집합의 원소들의 수열로서 limit point가 되게끔 셋팅하고 이 수열의 극한을 어떻게 다루는 지의 관점에서 극한을 사용하는 논지의 중요성은 이의의 여지는 그다지 없을 것 같습니다. 그리고 completeness는 이러한 limit point들을 다룰 수 있도록 집합 위에 필요한 수학적인 구조를 보장하는 것처럼 생각할 수도 있을 듯 합니다.
단어를 사용하는 맥락에 따라 살펴봐야겠으나 많은 경우에 complete 하다는 것은 집합을 거리위상공간(metric topological space)로서 바라보고 이 거리가 임의의 코시 수열에 대해 수렴하는 limit point가 해당하는 집합의 원소로서 존재하는 것을 의미합니다. 그런데 사실 생각해보면 수열의 수렴성을 정의하는 limit point가 애시당초 존재하는지 알 수 없으며, 설령 존재하더라도 어떤 집합의 어떤 원소로 수렴하는지 알 수 없기 때문에 사실은 수열의 수렴성의 정의 자체는 실제 수학 문제를 다루는데 일면 그다지 적합하지 않습니다. 그러므로 애시당초 공간이 완비성을 갖고있다고 가정하고 코시 수열을 통해서 목적에 해당하는 원소를 limit point로서 찾고 그 limit point가 저희가 생각한 집합 내에 속하도록 논지를 전개하고자 함이 실제로 저희가 전개 가능한 논지일 터이니 이러한 측면이 완비성을 고려하는 한 가지 이유는 될 것 같습니다.
푸리에 급수의 완비성 또한 함수의 모임을 힐베르트 공간으로 바라보고 힐베르트 공간을 거리위상공간으로서 코시 수열의 수렴성으로 동일하게 정의합니다. 또한 거리위상을 갖는 위상공간의 경우 하우스도르프 위상공간이므로 limit point가 유일하다는 것이 보장됩니다.
여러 질문들 해주셔서 감사합니다. 영상을 올리는 입장에서 진지하게 보시는 분들이 계신지가 개인적으로 가장 큰 질문이고, 여러 모로 청중 없이 지속하는 과정에서 동기부여가 떨어져서 힘든 면이 있는데, 달아주시는 리플들 통해서 지속할 동력을 얻습니다. 여러 모로 부족하지만 향후에도 지속적인 관심 및 토론 리플 부탁드립니다. 감사합니다.
@@enjoyingmath9346 우문현답 감사합니다 선생님! 제가 아직 힐베르트 공간에 대한 이해가 부족해서 아직 완벽한 이해가 되진 않지만 선생님의 강의를 다보면 이해다 되리라 믿어 의심치 않습니다. 선생님의 명강의 계속보고 염치 불구하고 질문 또 드리겠습니다. 감사합니다!!!
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10:00
안녕하세요? 저는 수학교육과 2학년 들어가기 전에 해석학을 예습하고 있는 학생입니다.
먼저 유익한 영상 올려주셔서 감사합니다.
다름이 아니라 완비성 공리에서 제가 공부할 때는 공집합이 아님을 가정하는 걸로 나와있었는데, 채널지기님께서는 공집합도 가능하다고 하셔서 질문을 드려봅니다.
공집합일 경우에 upper bound와 lower bound가 모두 실수 전체가 되는 것인가요?
그리고 제가 일반적으로 책을 볼 때 bounded above해서 upper bound가 존재한다고 할 때는 범위가 정해져 있는 집합(i.e. x
공집합 혹은 bounded above를 가정하지 않는 경우에 +- infinity를 허용하는 것으로 생각하면 된다고 언급한 것입니다. 양과 음의 무한대를 포함하는 경우를 extended real number system이라 부릅니다. 통상적인 least upper bound property는 실수의 집합인 real number system에 대한 것이므로 이 경우에는 공리를 non-empty bounded above로 제한합니다.
@@enjoyingmath9346 아 그렇군요! 친절하신 답변 감사드립니다! 좋은 하루 보내세요~
채널지기 선생님 엉뚱한 질문입니다만.. r^2
여러 해석학개론 레퍼런스들로부터 잘 알려져 있는 형태를 저는 가져다 활용한 것입니다. 직관은 주어진 수보다 큰 유리수를 찾는 것으로 주어진 p에 더하는 분수로 분자가 양수가 되게 하고 분모는 결과를 염두에 두고 해보며 끼워맞춘 느낌입니다.
@@enjoyingmath9346 답변주셔서 감사합니다!
수학 비전공자입니다. 제가 수학을 손으로 직접 풀어가며 공부해야하는데 그냥 머릿속으로만 생각해서 이해가 가지 않는 것 같습니다만, 말도 안되는 질문이 될 수 있을 것 같은데 한번 여쭤보겠습니다.
상한의 정의 자체가 완비성 공리인가요? 왜 완비성 공리가 필요한가요? 실수를 정의할 때 그 집합자체가 공리로 정의되었다는 말인가요?
중간값정리로 설명하신 부분에서 어떤 함수라도 양의 결과값과 음의 결과값의 사이에는 x축을 지나는 교점이 있다만으로는 부족하다고 하신 것 같습니다. 함수의 의미도 잘 모르겠지만 (다음에 올리신영상들을 보면서 조금씩 이해해 가고 있습니다. ) 그 함수가 x축(실수의 수직선)을 가로 질러갈때는 항상 어떤 실수가 교차된다로 알아듣고 즉 실수에는 구멍이 뚫리지 않아서 어떤 함수라도 항상 수직선의 실수와 교차하지 않고 사이로 빠져 나갈 수 없는 것이 실수다라고 이해했습니다.
유리수도 조밀해서 구멍이 안뚫린 듯 보이지만 사실 루트2 같은 곳으로 어떤 함수가 빠져나갈 수 있기 때문에 그것보다 완벽하게 구멍이 확실하게 없는 수의 집합이 실수다 라고 이해를 했습니다.
바꿔말하면 실수만으로 수직선의 구멍은 다 메울 수 있으며 더 큰 집합의 수의 개념이 필요없다라고 이해했습니다. 결국엔 실수를 수직선의 구멍을 다 메울 수 있는 수의 집합으로 정의한 듯 보였습니다.
그것이 바로 완비성 공리가 될 듯 싶습니다만 실수 이외에 더 큰 집합이 필요하지 않고 실수로 모든 구멍을 메꿀 수 있다라는 것이 증명이 안되기 때문에 이 공리가 필요한 것인가요?
이런 추상적인 개념을 수학적으로 표현하기 위해 상계의 표현과 상한(sup)의 개념을 이용해서 실수를 정의?하였고 또 그게 그대로 공리가 된 것인가요?
제가 이해한 바로는 바운드된 집합에서 상한이 있는 것을 모은게 실수다 이게 공리라는 말로 알아 들었는데요. 항상 상한값이 존재하고 유일하지만 그건 실수다라고 하는 의미인가요?
초월수가 아닌 무리수들은 다항식의 실수 근으로서 거기에 상한값으로 존재할 듯 보이는데 초월수들은 그 존재자체가 아직 전부 파악된 것이 아닌 수 아닌가요?
제 생각에는 파이나 싸인값처럼 사람이 정의하는대로 생기는 초월수도 있겠지만 아직 알아내지 못한 함수의 어떤 값 혹은 아직 발견되지 않은 파이나 싸인값처럼 뭔가의 비율이라든지 이런 것이 존재할 거 같은데 그것들조차 결국 어떤 수열의 극한값이고 그것은 결국 실수라는 뜻인 듯 한데요.
그런데 그것이 공리라는 말은 아직 파악하지 못한 수가 실수가 아닌 더 밀도가 높은 즉 사실은 실수의 수직선에 구멍이 남아있어서 그걸 메꿀 수가 남아 있다는 것은 증명을 못하고 그냥 구멍을 다 메우는 수 자체를 실수로 정의했고 그 개념의 수학적 풀이가 상한이 존재하는 수인 건가요?
어느 구간에서도 상한이 존재하는 수들로 모으면 그게 바로 실수집합이고 그 상한값들이 실수의 원소가 된다는 공리인가요?
그런데 마지막 수열의 극한의 말씀은 그 상한값이란게 결국 자연수의 인덱스를 가진 어느 수열의 극한값이랑 일치하고 아리키메데스의 원리로 연속적인 실수같은 조밀한고 완비한 성질을 이산적인 자연수를 이용한 수열의 흐름으로 표현가능하고 그렇게 표현된 수열의 극한이 어느 실수에 꼭 다다른다. 즉 수렴하고 그게 어느 수를 정의하는 상한값이 되며 그게 실수다 이런 말씀으로 이해했습니다.
이건 제가 생각해본 조금 다른 생간인데요. 따라서 모든 실수를 소수점이하십진수표기로 표현할 수 있게 되는건가요? 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415...로 가는 수열을 만들 수 있고 이렇게 파이로 향해가는 수소수점이하십진수표기법이 가능해지고 그 극한치가 파이이며 그건 이 수열의 집합의 상한값이 되는 것이고 그렇기 때문에 파이는 초월수이지만 실수이고 반면 자연수 인덱스를 가진 수열로도 표현되고 막 이런 생각들을 해봤습니다.
결론은 상한값들을 모은 집합이 실수이며 이것은 그렇게 정해서이고 공리이고 어떤 수열의 극한으로 표현이 가능한 수이다...인건가요?...
조금만 더 생각해보면 상한값보다 아주 작은 값 즉 상한값에서 입실론을 빼면 그 값은 더이상 상한값이 아니고 아무리 작은 값을 빼더라도 그 뺀값과 상한값 사이에 수가 조밀하게 무한하게 존재하고 그 입실론 자체도 실수이고 사실은 1/n같은 유리수로도 엡실론과 비슷하게?(똑같게) 그건 성립하고 그렇게 어느 실수값에 입실론(1/n)을 더하거나 빼도 그건 실수이고 그 안에 또 무한개의 실수가 존재하고 구멍이 없다! 그게 실수다..인건가요?...아 이 문단은 제가 봐도 정말 바보같이 썼네요 ㅎㅎ
정신없이 그냥 마구잡이로 생각해낸 글이라 매우 죄송합니다. 말을 잘 못해서 횡설수설한 것처럼 보일 듯해서 부끄럽습니다. 그냥 제 생각을 한번 적어 놓고 싶었습니다. 항상 좋은 강의 고맙습니다.
yoongho ahn 완비성 공리와 상한의 정의는 실수 집합에 대해 정확히는 동치에 해당합니다. 책에서는 소위 데데킨트 분할 이라는 실수 구축 방법을 소개하기도 하지만 이 방법은 실수 집합에서만 유효한 다소 제한적인 구축 방식입니다. 현대수학의 관점에서 완비성 공리는 위상수학적으로 일반화 되어있어서 이 관점을 취하는 동시에 해석학에서는 구체적으로 상한을 수열로서 다루는 법을 익혀야 한다는 점에 영상들이 맞추어져 있습니다.
@@enjoyingmath9346 댓글 감사합니다. 상한이 있는 걸로 실수집합이 설명되는 것이군요. 어느 정도 이해가 되는 거 같습니다. 그리고 이 이후의 영상들도 보고 있는데 위상수학으로의 연결성을 고려하시면서 설명하셨다는게 보였는데 그런 의도였다는 말씀에 이해가 가는거 같습니다. 다른 영상들도 잘 보고 따라가 보겠습니다. 영상 항상 고맙습니다.
안녕하세요. 미흡하지만 약간의 설명을 드리겠습니다.
현대 수학자들의 연구 분야는 크게 3가지라고 생각됩니다. 1.수 2.집합. 3.함수(편의상 함수라고 했지만 사상을 말합니다.) 이러한 측면에서 볼 때, 대학교에서는 실수란 무엇인가?를 배우는게 거의 80퍼센트 정도 된다고 봅니다.(개인적인 의견입니다.)
이러한 연구 대상을 가지고 수학자들은 무엇을 할까요? 믿기 힘들게도 모든 수학적 대상을 분류하는 것을 목표로 하고 있습니다.
대상의 모습에 초점을 맞추지 않고 대상의 속성,성질에 촛점을 맞추어 같은 성질을 가지면 같은 이름을 붙여주는 것이지요.
현대수학에서는 집합론이 탄생하면서 모든 수학적 대상들을 하였습니다. 그러니까 자연현상에서 일어나는 를 인간이 할 수 있게 번역한달까요? 그러던 중 자연수의 성질을 연구하여, 자연수의 성질(페아노공리)을 가지는 대상을 으로 구성하고, 자연수로부터 자연스럽게 정수를 구성했으며, 정수로부터 자연스럽게 유리수를 구성했습니다.
하지만 이 대상이 실수는 아니었지요. 유리수의 성질과 실수의 성질과는 비슷한 면도 있지만 다른 점도 많거든요. 그래서 생각한게 먼저 유리수로 수열을 만듭니다. 그리고 그 중 수렴하는 유리수열들의 극한값이 같다면 같은 수열이다. 라는 관계를 부여한다면, 유리수열들의 모임이 바로, 실수들의 모임과 같은 성질을 가집니다. 이 대상에 이라는 이름을 붙여준 것이지요.
그런데 말입니다. 수학적 용어를 살피던중, 그래서 수렴이뭔데? 라는 상황에 직면합니다.
그래서 실수를 재정의하게 됩니다. 이에 새롭게 실수를 정의한 것이,바로 3가지 공리를 만족하는 집합이 실수이다. 라는 것인데요. 각각 체의공리, 순서공리, 완비성공리 입니다. 즉 실수집합=완비순서체 인 것이지요. 각각의 공리를 대수적공리, 위상적공리, 해석적공리라고도 부릅니다.
완비성 공리는 필요충분 조건이 많지만 대부분의 교재에서는 를 완비성공리로 체택합니다. 이는 실수와 성질이 비슷한 유리수에서는 나타나지 않는 현상이며, 이로서 실수와 유리수를 구별합니다.
(수가 있다에서 체의 공리를, 작다에서 순서공리를 사용하기에, 완비성공리는 보통 순서체에서 다룹니다.)
전부 잘 이해하셨네요. 십진법은 하나의 표기법이고, 십진법을 사용하는 것이 인간이 자연을 가장 잘 할 수 있어서 그렇습니다. 파이 같은 경우는 지름이 1인 원기둥에 실을 한 바퀴 돌린 후 잘라서 펼쳐보면 그 실의 길이가 파이죠.
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2:38 😮
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13:54 realnumber, least maximum lower upper bound
28:35 supremum..upper bound