Можно еще решить через трапецию. Из точки А откладываем отрезок АК равный AD под углом 70*. Получаем равнобедренную трапецию АKBC. Из которой легко находим искомый угол.
Проведем биссектрису угла С и отметим на АВ точку Е. АЕ=ЕС, поскольку равнобедренный АЕС. Тогда по углу в 35 и двум сторонам треугольники АЕD и ЕСВ равны. Поскольку угол В=180-35-70=75, то и АЕD тоже 75. Тогда АЕD=70 и угол ВЕD=180-70=110. Из равенства треугольников ЕВ=ЕD, равнобедренный. угол DЕВ = 180-70=110. Угол ЕВD=(180-110)/2=35. Тогда альфа=75-35=40.
Благодарю, Валерий. Я решил по другому,хоть и не сразу. На стороне АВ построим треугольник равный ABD, но зеркальный ему относительно АВ. Новую вершину обозначим точкой М. Т.к.треугольники ABD и AMB равны, то будут равны углы МАВ и BAD. А их суммарный угол MAD будет равен 70 градусам, и равен углу BCD(тоже 70 градусов). И АМ=AD=BC. Если из точек М и В опустить высоты на сторону АС, то они будут равны,т.к. получим равные прямоугольные треугольники(по гипотенузе(АМ=ВС) и острому углу(MAD=BCD)). Таким образом получим,что АМВС - равнобедренная трапеция. Значит угол АМВ=180-70=110 градусов. А значит и угол ADB=110 градусов. А угол ADB=углу BCD+альфа, как внешний угол треугольника DBC. Альфа=110-70=40 град.
Интересный вариант решения этой задачи получается, если перевернуть данный треугольник и совместить точку А с В, а В- с А, получив четырехугольник АС1ВС, в котором будет интересная точка Д1. Обратим внимание, что отрезок АД1 будет биссектрисой трапеции АД1ВС, откуда вытекает решение. Довольно интересная задачка.
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий, в моем пояснении есть описка: биссектрисой в мем дополнительном построении является отрезок АВ. Но Вы, по всей видимости, поняли мою задумку ввиду того, что дали положительный отзыв.
Думаю, в ролике так же ;) Строим копию треугольника ABD зеркально AB. Получаем трапецию с равными боковыми сторонами и нижними углами при них по 70°. Но она нам не нужна, запомним только что угол в копии точки D равен 180-70. Но и эта цифра нам не нужна, запомним только что такой же угол ADB. Но и он нам не нужен а нужен BDC, который получается 70. То что он равен DCB нам тоже не нужно. Просто считаем то что нужно : 180-70-70=40°
В задаче с окружностями радиус четвёртой окружности = 6/7. Нужно выразить радиус большей четвёртой окружности через радиус маленькой третьей окружности. Обозначим центры первой-А, третьей-В, вторй-С. В треугольнике АВС стороны АВ=2+r, ВС=1+r, АС=3. По теореме косинусов выражаем косинус угла ВАС, а затем и синус этого угла.Опускаем высоту ВH. В треугольнике АВH находим катеты. Обозначим центр четвёртой большей окружности D. Проведём луч DB, он пройдёт через точку касания четвёртой и третьей окружностей. Эту точку обозначим К. DK=3, а ВК= r. В треугольнике DHB DH=AH-1, BH нашли ранее, по теореме Пифагора находим DB. DK= DB+r> DB+r=3. Получится уравнение относительно r. Корень из (9r^+30r+9) +3r-9=0. Ответ: r=6/7.
Угол АВС = 75°. Проведём от вершины В влево параллельную прямой АД, из вершины А параллельную ДВ, получим поралеллограм АРВД, в котором АВ делит углы РАД и РВД пополам. Значит угол АВД =35°, отсюда угол ДВС =75°- 35 °=40°
В видео продлевается вправо АС на длину AD. Я сделал чуть сложнее, опустил высоту ВН и отзеркалил направо треугольник АВН. СВН очевидно будет 20°, А1ВН будет 55°, значит А1ВС будет 35°. Далее видим что треугольник А1ВС равнобедренный, и продолжаем как в видео.
Можно и так. Проводим из угла С биссектрису на АВ (точка С'). Треугольник АСС' равнобедренный. Треугольники АDC' и BCC' равны (две стороны и угол). Треугольник DC'B равнобедренный. Углы в нем при основании по 35 градусов. Таким образом, угол ABD 35 градусов и, соответственно угол DBC 40 градусов (вроде когда-то даже была телепередача - под углом 40 градусов, но про другое).
Читаю Коментарии и понимаю что каждый предлагает свой способ решения. Я бы долго над ней сидел. И тут вопрос, кому сколько лет те кто подписан на канал?
@@GeometriaValeriyKazakov Под словом «увидеть » я и подразумевал легкость доказательства.Пожалуйста давайте больше задач, решаемых дополнительными построениями, геометрическими преобразованиями чертежа.
Даны углы a и c, угол BDC = x, CBD = 180 - c - x по теореме синусов: sin(a)AD/sin(x-a) = sin(c)BC/sin(x) => sin(a)sin(x) = sin(c)sin(x-a) если c = 2a то решение x = 2a
Так как есть подозрение , что BDC=70, отложим BD1 так чтобы BD1C=70, BD1=BC, так как СВD1 равнобедренный, ACD1=35 так как BD1C внешний, значит AD1=D1B=BC. значит D и D1 совпадают.
Обозначим ВС=х. По теореме синусов найдём АВ=2хcos35. В треугольнике АВD AD=x и по теореме косинусов найдём BD =x, то есть треугольник BCD равнобедренный. Откуда и находим искомый угол.
@@GeometriaValeriyKazakov Если бы это был преподаватель русского, то я бы даже не заморачивался. Но когда преподаватель математики трижды (с ваших слов) неправильно решал простую задачу, то уже ничего хорошего не будет.
Это не решение! AD и ВС даны равными, если-бы BD был им равен - ничего не нужно достраивать, просто DBC - равнобедренный и сразу даём ответ. Но! мы его не даём BD не равен BC по условию задачи.
@@alfal4239 Он равнобедренный, говорюж. Да, блин, он равнобедренный в данной задаче, но метод решения корявый. Корявость выражается в том, что подобные задачи, с другими вводными, этим методом будут решены неправильно.
Совмещаем равные стороны в одном треугольнике, и используем для углов то что треугольник равнобедренный. Большое спасибо за красивое решение.
Отлично.
Толь ко что поел, думать лень. Стал смотреть, но на 1:41 включилась мозги и мысль понеслась быстрее видео. Спасибо.
Очень понравилась задача!👍И решение тоже понравилось!👍Спасибо!
Спасибо. Давно вас не было в комментариях.
Можно еще решить через трапецию. Из точки А откладываем отрезок АК равный AD под углом 70*. Получаем равнобедренную трапецию АKBC. Из которой легко находим искомый угол.
Отличное решение, я пошла таким же путем, но вы меня опередили. Спасибо, мне нравится ваш канал, как будто нашла соратника
Очень приятно это слышать!
Проведем биссектрису угла С и отметим на АВ точку Е. АЕ=ЕС, поскольку равнобедренный АЕС. Тогда по углу в 35 и двум сторонам треугольники АЕD и ЕСВ равны. Поскольку угол В=180-35-70=75, то и АЕD тоже 75. Тогда АЕD=70 и угол ВЕD=180-70=110. Из равенства треугольников ЕВ=ЕD, равнобедренный. угол DЕВ = 180-70=110. Угол ЕВD=(180-110)/2=35. Тогда альфа=75-35=40.
Спасибо за подробное решение.
Я также решил сегодня
Благодарю, Валерий. Я решил по другому,хоть и не сразу.
На стороне АВ построим треугольник равный ABD, но зеркальный ему относительно АВ. Новую вершину обозначим точкой М. Т.к.треугольники ABD и AMB равны, то будут равны углы МАВ и BAD. А их суммарный угол MAD будет равен 70 градусам, и равен углу BCD(тоже 70 градусов).
И АМ=AD=BC.
Если из точек М и В опустить высоты на сторону АС, то они будут равны,т.к. получим равные прямоугольные треугольники(по гипотенузе(АМ=ВС) и острому углу(MAD=BCD)).
Таким образом получим,что АМВС - равнобедренная трапеция.
Значит угол АМВ=180-70=110 градусов. А значит и угол ADB=110 градусов.
А угол ADB=углу BCD+альфа, как внешний угол треугольника DBC.
Альфа=110-70=40 град.
Хорошая идея.
На AC отметим точку Т такую, чтобы угол ABT=35°, а угол CBT=40°. AT=BT=BC=AD. След. TC=DC. След. тр-ки BCD и BCT равны. След. alfa=TBC=40°.
Да, согласен. Аксиома откладывания.
Интересный вариант решения этой задачи получается, если перевернуть данный треугольник и совместить точку А с В, а В- с А, получив четырехугольник АС1ВС, в котором будет интересная точка Д1. Обратим внимание, что отрезок АД1 будет биссектрисой трапеции АД1ВС, откуда вытекает решение. Довольно интересная задачка.
Да, интересный подход.
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий, в моем пояснении есть описка: биссектрисой в мем дополнительном построении является отрезок АВ. Но Вы, по всей видимости, поняли мою задумку ввиду того, что дали положительный отзыв.
@@ЛарисаФатенко-м9с Да, конечно, мы прощаем все описки! Идея понятна.
Спасибо Вам
И вам спасибо, что смотрите нас.
Думаю, в ролике так же ;)
Строим копию треугольника ABD зеркально AB.
Получаем трапецию с равными боковыми сторонами и нижними углами при них по 70°.
Но она нам не нужна, запомним только что угол в копии точки D равен 180-70.
Но и эта цифра нам не нужна, запомним только что такой же угол ADB.
Но и он нам не нужен а нужен BDC, который получается 70.
То что он равен DCB нам тоже не нужно.
Просто считаем то что нужно :
180-70-70=40°
@@ОлегМайоров-ю9й Спасибо, исправил. Набираю на мобиле, циферки мелкие...
Отлично. Спасибо.
В задаче с окружностями радиус четвёртой окружности = 6/7.
Нужно выразить радиус большей четвёртой окружности через радиус маленькой третьей окружности. Обозначим центры первой-А, третьей-В, вторй-С. В треугольнике АВС стороны АВ=2+r, ВС=1+r, АС=3. По теореме косинусов выражаем косинус угла ВАС, а затем и синус этого угла.Опускаем высоту ВH. В треугольнике АВH находим катеты. Обозначим центр четвёртой большей окружности D. Проведём луч DB, он пройдёт через точку касания четвёртой и третьей окружностей. Эту точку обозначим К. DK=3, а ВК= r. В треугольнике DHB DH=AH-1, BH нашли ранее, по теореме Пифагора находим DB. DK= DB+r> DB+r=3. Получится уравнение относительно r. Корень из (9r^+30r+9) +3r-9=0.
Ответ: r=6/7.
Спасибо большое. Передадим Глицерии
X2+(Y-2) 2=(1+R) 2
X2+(Y+1) 2=(2+R) 2
X2+ Y2 =(3-R) 2 => R=6/7
Где (0,0) центр самой большой окружности,
а (X,Y) центр искомой
Подробно это хорошо .
Спасибо. Стараюсь давать даже набранные решения.
Угол АВС = 75°. Проведём от вершины В влево параллельную прямой АД, из вершины А параллельную ДВ, получим поралеллограм АРВД, в котором АВ делит углы РАД и РВД пополам. Значит угол АВД =35°, отсюда угол ДВС =75°- 35 °=40°
Параллелограмм получите, это правда. А угол-то почему пополам разделится?
да, через параллелограммы хорошо.
@@alfal4239 потому что АВ диагональ параллелограмма
@@gustavheilbrun7034 Диагональ - это не биссектриса.
@@alfal4239 ок. Получившийся параллелограмм, в данном случае, является ромбом. И мне нужно было это доказать. Согласен -в этом моя неточность.
В видео продлевается вправо АС на длину AD. Я сделал чуть сложнее, опустил высоту ВН и отзеркалил направо треугольник АВН. СВН очевидно будет 20°, А1ВН будет 55°, значит А1ВС будет 35°. Далее видим что треугольник А1ВС равнобедренный, и продолжаем как в видео.
Думаю, равносильно. Спасибо, что смотрите нас. Как вам последний наш ролик?
Можно и так. Проводим из угла С биссектрису на АВ (точка С'). Треугольник АСС' равнобедренный. Треугольники АDC' и BCC' равны (две стороны и угол). Треугольник DC'B равнобедренный. Углы в нем при основании по 35 градусов. Таким образом, угол ABD 35 градусов и, соответственно угол DBC 40 градусов (вроде когда-то даже была телепередача - под углом 40 градусов, но про другое).
Да, конечно. Так отлично
И у меня такой же способ. :)
Читаю Коментарии и понимаю что каждый предлагает свой способ решения. Я бы долго над ней сидел. И тут вопрос, кому сколько лет те кто подписан на канал?
Очень разная аудитория. По аналитике от 12 до 80 лет. В этом проблема. Но у нас есть плейлисты, где материал разбит по категориям (по 7-10 классам).
Если из В провести отрезок к основанию под углом 35 к АВ легко увидеть, что сей отрезок совпадет с ВД.
Да, только это нужно будет доказывать. Хотя не сложно!
@@GeometriaValeriyKazakov Под словом «увидеть » я и подразумевал легкость доказательства.Пожалуйста давайте больше задач, решаемых дополнительными построениями, геометрическими преобразованиями чертежа.
Самое изящное решение!
У меня сложнее :(
@@СергейГришин-е4и Спасибо. Постараюсь. Хотя, если посмотрите мои ролики, у меня 90% имеенно таких задач. Т есть мы совпадаем.
@@ОлегКозловский-о8е Спасибо.
Даны углы a и c, угол BDC = x, CBD = 180 - c - x
по теореме синусов: sin(a)AD/sin(x-a) = sin(c)BC/sin(x) => sin(a)sin(x) = sin(c)sin(x-a)
если c = 2a то решение x = 2a
Спасибо.
Если АВК в результате построения получился равнобедренный , отрезки АД и СК равны , то и треугольник ДВС равнобедренный , и угол ДВС = 30 градусов .
Спасибо, что смотрите нас.
40 градусов? достроил общий тр-к до р\б, потом св-во биссектрисы угла потом теорема синусов и формула 3 стороны даже есть
Спасибо. Отлично!
Радиус третьей вписанной окружности приблизительно равен 0,551
Так нам же угол найти. Но все равно хорошо.
Точнее -3/2+√17/2
180-70=110, 180-110=70, 70:2=35. Вы немножко заблудились.
Так как есть подозрение , что BDC=70, отложим BD1 так чтобы BD1C=70, BD1=BC, так как СВD1 равнобедренный, ACD1=35 так как BD1C внешний, значит AD1=D1B=BC. значит D и D1 совпадают.
Да, это лучший варинат.
Обозначим ВС=х. По теореме синусов найдём АВ=2хcos35. В треугольнике АВD AD=x и по теореме косинусов найдём BD =x, то есть треугольник BCD равнобедренный. Откуда и находим искомый угол.
Отличное применение двух мощных теорем.
Послушал слова в самом начале ролика, до 40 секунды и как-то совсем грустно стало.
Больше оптимизма! Все будет хорошо.
@@GeometriaValeriyKazakov Если бы это был преподаватель русского, то я бы даже не заморачивался. Но когда преподаватель математики трижды (с ваших слов) неправильно решал простую задачу, то уже ничего хорошего не будет.
Уважаемый Валерий можно узнать вашу почту , чтобы высылать вам интересные задачи
К сожалению, пока не завел почты для обмена на ютуб канале.
Пытался доказать АD=ВD, не удалось. Решил аналитически (теоремы синусов и косинусов),
ВD=BC, ∆BCD - равнобедренный, углы при основании 70°,
Спасибо за решение.
@@GeometriaValeriyKazakov 👍
Это не решение! AD и ВС даны равными, если-бы BD был им равен - ничего не нужно достраивать, просто DBC - равнобедренный и сразу даём ответ. Но! мы его не даём BD не равен BC по условию задачи.
Да, ответ совпадает, угол равен 40 градусов. То решение, при котором мы предполагаем ABK равнобедренным - считаю неверным.
@@korvinliquid1951 Угол CKB равен 35. И угол BAC=35. Всё ещё не хотите считать ABK равнобедренным?
@@alfal4239 Он равнобедренный, говорюж. Да, блин, он равнобедренный в данной задаче, но метод решения корявый. Корявость выражается в том, что подобные задачи, с другими вводными, этим методом будут решены неправильно.
@@alfal4239 Спасибо. Прозрение придет ...
"А какие же они, Шура, по-вашему?" Ильф и Петров.
Когда объясняют, то кажется простецки просто...
Абсолютно верно. Это как смотреть как Месси забивает голы. Все очень просто
Вот он клондайк! Задачи именно такой сложности дают массовость просмотров.
Наконец, вы поняли мою идею! Несказанно рад!