Про устное решение не знаю, но чтобы не возиться с квадратом, можно можно построить перпендикуляр MO, радиусы OB и OK. OKB равнобедренный, высота 4, т.к. || AM, ну и отсюда тот же треугольник 3, 4, 5.
Решал устно. Тоже достроил до квадрата. К точке М из противоположенных вершин опустил отрезки, которые равные по 4 корня из 5. Получился равнобедренный треугольник из этих трех точек, с двумя сторонами по 4 корня из 5 и основанием 8. Площадь треугольника равна 32. Вокруг треугольника описанна окружность. По формуле радиуса описанной окружности через стороны и площадь треугольника, находим радиус равный 5.😊
Вроде так короче получается: Вычисляем АК и КВ как и в ролике. Далее из т. М проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью и получаем диаметр. Соединяем отрезок ВК с проведенным диаметром, получаем вписанную трапецию, т.е. равнобедренную, где основание ВК = 6, второе основание - это диаметр, а отрезок АК будет равен полуразности оснований (легко доказать). Далее без Пифагора получаем диаметр = 10 и радиус, соответственно 5
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий, просто оказалось возможно применить то, что ещё не забыто. Что применили Вы, у меня наверно в мозгах и не было, хотя заканчивал сильную школу (СШ 28 г. Запорожье), может забыл 😖
Гипотенуза данного треугольника 8 корней из2. Находим отрезок гипотенузы, который вне круга - FD = корень из двух. значит хорда ВF= 7 корней из двух. Проводим диаметр МЕ. Хорда ВF точкой пересечения делится на отрезки 4корней из 2 и 3корней их 2. А диаметр точкой пересечения делится на отреки 4 и х. Перемножаем отрезки хорд и находим х = 6. Отсюда диаметр =10, а радиус =5
Достроим треугольник до квадрата. Левое нижнее пересечение обозначим А. Касание В, Верхний правый угол квадрата С.. АС - диаметр, значит треугольник АВС - прямоугольный и треугольники под ним подобны 1:2. Значит от левого нижнего угла квадрата до А расстояние 2, над А остаётся 6, центр окружности будет на 3 выше А и 4 левее. Египетские штаны 3-4-5. Радиус 5. PS ролик ещё не смотрел, может там так же ;)
Вот я, Олег, и добивался от народа совершенно естественного достроения до квадрата! Вы вот сразу уведели это. Да, там небольшая техническя проблема в том, что там доказательство чуть замороченное. Но идея то - классная!
@@GeometriaValeriyKazakov Прямоугольный треугольник с углом 45 неприлично толсто намекает на вторую половинку :). Хотя бы для посмотреть что из этого может получиться.
Спасибо. Объясняю для дачников. Вам "ясно", а 90% зрителей предложили: кто теорему синусов, кто косинусов, кто подобие, кто метод координат и т.д. (почитайте). Я же выбрал нейтральный способ (зная все остальные) - достроение до квадрата. Математически - это самый системный и самый лучший. Кроме того, он легко компьютеризируется. Но способ достроение до квадрата при всей его красиовсти симметри и очевидности для доказательства того, что ABCD - квадрат, и требует того "огорода", который у математиков называется доказательством. Извините за подробный ответ. Ведь такие вопросы возникнут и других.
@@GeometriaValeriyKazakov очевидное легко объясняется. Радиус проведённый перпендикулярно секущей, поделит отрезок КВ пополам, в точке, ну назовём её Z. Перпендикулярно секущей значит параллельно касательной. Значит AZ равен радиусу. При желании и это легко доказать. Ну и всё, 2+3=5
@@Alek_sej Так никто же с этим способом и не спорит. Речь о том: нужно разные подходы рассматривать или нет? Или я, как тренер, дам 1 способ самый короткий, получу 0 комментариев, а ученик другую задачу этим способом возьмет и не решит. Наука. Я рад, что вы смотрите нас.
Так как второй угол тоже будет 45, он равнобедренный, сторона АВ тоже 8. Проведём перпендикуляр из D, верхнюю точку соединим с В и получится квадрат. Проведём диаметр через МО, у нас получится неизвестный кусочек диаметра сверху. Радиус перпендикулярный хорде делит её пополам. Уравнение хорд 4*4 = 8*х, х =2, диаметр 10, радиус 5.
BK=6 по теореме о касательной и хорде. Провести хорду KT || AD. KT перп. радиусу OM и делится им попалам, след. KT=8 (две стороны маленького прямоугольничка). Из п\у тр-ка BKT BT=10 он же диаметр.
про доказательсво прямоугольника. Мне всегда в похожих ситуациях хочется мыслить примерно так: Евклидово пространство изотропно, значит работают принципы симметрии. Круг - со всех сторон симметричная фигура. Если мы берем вертикальную прямую через центр круга, перпендикулярную нашему отрезку длиной 8, то по соображениям симметрии они пересекутся в центре отрезка, т.е. как раз в точке касания. И, из тех же соображений симметрии, всё что находится справа от прямой отражается слева от неё, и отсюда автоматически следует, что AB = CD. Или я что-то упускаю? Почему симметрией ничего никогда не объясняется и используются более громоздкие доказательства?
Вы упускаете тот факт, что симметрия в школе изучается в 9 классе в теме "Движения" и школьники плохо знают ее свойства (прямая в прямую, параллельная оси в паралельную, отрезок, параллельный оси в равный ипараллельный и т.д. Поэтому на олимпиаде - без вопросов, на экзамене нужно описывать. Я же в ролике и сказал, что симметрия треугольника сразу дает прямоугольник. Но мы оставим это зрителю. У меня даже чертеж остался этой симметрии. Но я выбрал нудный путь, но более доказательтный. Слово "изотропно" на экзамене будет подчеркнуто и поставлен знак? Может быть, к сожалению.
@@МакарЭпикунцев Можно конечно, записать, но в комиссиях подозрительно относятся (A в D, AB в DС1, C1 на окружности, и т.д. ), а кому хочется это прооверять? Такова жизь. Но в олимпиадах поощряется.
Спасибо. Внимание! 1) Мы проводим перпендикуляр из D до пересечения с окружность в точке C! 2) То есть, точка C сразу лежит на окружности. Потом отрезок BC и 3) Тупо и уныло доказывам, что ABCD - прямоугольник (справа). Конечно, можно построить квадрат и тогда, вы правы, придется доказывать, что C лежит на окр. Но у нас чуть другое рассуждение. Времени в ролике особо нет, чтобы давать медленней и подробнее. Спрашивайте. Рад, что вы на смотрите.
Ну, отдых получился довольно активный... Итак: проводим ОВ, OF|_AB, OM|_AD(через тчк Р на ВД). АВ=8(очевидно), РМ=4(ср.лин.) Пусть ОР=х. Тогда ОМ=ОВ=R=4+x. Сл-но, BF=8-(4+x)=4-x. Из тр-ка FBO (4+x)^2--(4-x)^2=16. 16х=16. х=1. R=4+1=5. Кажется, мой вариант чуть проще?
@@sergejssergejs989 Спасибо. Это кажется. Разделите AD в отношении AM:MD=2:1. Пусть маленькая окружность касается AD в точке M. Затем раздувайте эту окружность, пока она не пройдет через точку C. Но подозрения ваши понятны.
Данная задача решается за минуту: Если хорда окружности является катетом прямоугольного треугольника вписанного в окружнтсь и по величине кратным числу 3 или 4 (катеты прямоугольного треугольника Пифагора- 3, 4, 5) следовательно диаметр окружности равен 10, а радиус - 5 . Известной хордой будет хорда, проведенная из точки К параллельно основанию треугольника со сттроной 8.
Задача простая, много способов решения. Наверное самый простой, без всяких дополнительных построений, использование "секретной" теоремы. Решается в уме. Находим внешний отрезок секущей х*8=4*4 х=2. R=(8-2)/2+2=5. Что-то сложно автор решал. Зачем строить квадрат? Из т.О перпендикуляр га АВ и сразу ответ. Ну и дополню. То, что получится прямоугольник, в нашем случае квадрат, сразу следует из симметрии фигуры относительно диаметра проведенного в точку касания.
Виктор, спасибо. Не согласен. Мое решение устное и очень наглядное - представили квадрат и все: СK = 10. А то, что я для учеников 8 класса подробно рассказываю, так это так надо. И доказательство того, что ABCD - квадрат, так это ж математика. Кстати. На экзамене вам не удастся написать "из соображений симметрии" . Я лично поставлю 1 балл из 4-х. Нужно ссылаться на свойства симметрии. Ну, это так. В четверг жду вашего решения новой задачи. Очень рад, что вы на моем канале.
@@GeometriaValeriyKazakov а почему не устраивает выражение "из соображений симметрии"? Конечно можно немного расписать, но доказательство прямоугольника будет гораздо проще чем Ваше. И если Вам так хочется получить египетский треугольник, то в моём решении он тоже есть. Я ещё Ваши старые задачи не все посмотрел. На некоторых застрял.
@@viktorviktor5820 На экзамене и олимпиаде ставят вопрос: а какие соображения имеются ввиду. Вы правы, что симметрия MAB относительно прямой MO великолепна: она приведет к появлению отрезка DC, который равен и параллелен AB, к тому же полуокружность также отзеркалится и точка С на нее попадет. Это все и приведет к тому, что ABCD - прямоугольник и его вершина C на окружности. Мы это понимаем устно. А письменно придется записать: BP=PC, BP перп. MO, AM=MD, AM перп. MO и т.д.
Да, вы молодец. Да, именно так я первоначально и решал, когда я задумал вначале квадрат. Потом усложнил, отрезав половину квадрата. А вы восстановили его. Я же всегда решаю боллее младшими классами. Т. синусов - конец 9 го, а я решил концом 8-го (вписанным углом).
Кроме того, на экзамене трудно будет объяснить письменно, почему B1 попадет на окружность. Нужно применять свойства симметрии, а они них точно не знают четко. Я собственно доказывая прямоугольник этим и занимался, обходя симметрию.
Отдохнул, но недолго. Провел диаметр МЕ. В прямоугольном тр - ке МBE ВН - высота = 4, её квадрат = 16, МНхНЕ = 16, МН = АВ, НЕ = 2, МЕ = 10, R = 5. Вроде как чуть покороче. Пифагор заблудился.
Это основное в ролике, я это доказываю справа отдельно (посмотртте внимательно еще раз). И доказательство этого факта непростое, иначе делаем осевую симметрию треугольника и сразу попадаем во вписанный квадрат. Но докзать попаадние С на окружность - тонкая задача. Вы правы.
Можно и так. Продлить отрезок МА влево на х, так чтобы х+МА=х+4=R. Тогда АК=2х, половина КВ=а=(8-2х)/2=4-х, R^2=a^2+4^2. Три уравнения, три неизвестных - решение х=1, а=3, R=5.
У вас очень красивое и интересное решение, однако я правильно начертил, померил линейкой и получилось 5. Можете меня побить этой линейкой (по крайней мере так бы сделала моя учителька)
Первое решение: через подобие, проведя перпендикуляр ОF к ВМ и радиус ОМ. А второе: через треугольник КАМ и КОМ + теорема косинусов. А еще после квадрата АВСD можно рассмотреть треугольник ВМС.....
У меня недавно был подобный случай, точка А через которую проходит касательная (=АМ, М точка касания) и одновременно секущая А-К-В (но здесь касательная и секущая перпендикулярны, так что расчет будет очень простым) Пусть X₀ - середина KB и d = KX₀ = BX₀ В нашем случае AMOX₀ представляет собой прямоугольник, AM=OX₀ , MO=AX₀ = r = AK + d Тогда AM² = AK*AB = AK (AK + 2d) АМ²/АК = АК + 2d АМ²/АК + АК = 2АК + 2d r = AK + d = ½(AM²/AK + AK) = ½(4²/2 + 2) = ½ 10 = 5
центральный угол КО(и неназванная на чертеже точка , пусть Т) прямой = 90 гр. ищем ВД. по т о квадрате касательной. потом по т косинусов КТ . потом радиус.
А откуда известно, что угол KOC - развёрнутый? Я понимаю, что ломаная KOC равна 2R, но откуда известно, что эта ломаная - прямая? Я понимаю, что на рисунке это так, но из условий задачи никак не следует.
Спасибо. Вписанный в окружность прямой угол KBC (согласно теореме школьного курса) опирается на диаметр. Так? Значит, KC - диаметр. Так? Но любой диаметр проходит через центр окружности. Верно? Значит, точка О лежит на KC! Но Ваш вопрос абсолютно закономерный. Просто ролик большой получился, и останавливаться на очень мелких (хотя и важных) деталях не всегда возможно. Рады, что вы смотрите нас.
@@GeometriaValeriyKazakov я слишком давно закончил школу и забыл эту теорему. Нельзя ли ролик о той теореме отдельно? Я, конечно, верю, что есть такая теорема, но просто хотелось бы ролик о теореме отдельно
Спасибо. Я вначале так и сказал, что она устная и легкая. Кроме того, еще и вы - сильный ( у меня же 7 000 подписчиков и все разные). Во-вторых, почитайте комменты, кто как сложно ее решал. В третьих, жду вашего красивого решения в четверг на новой задаче. Очень рад, что вы на моем канале!
![BLACK BAG - Official Trailer [HD] - Only in Theaters March 14](http://i.ytimg.com/vi/Du0Xp8WX_7I/mqdefault.jpg)
Теорема о хорде касательной хорошо помогает. Спасибо за интересное решение.
Про устное решение не знаю, но чтобы не возиться с квадратом, можно можно построить перпендикуляр MO, радиусы OB и OK. OKB равнобедренный, высота 4, т.к. || AM, ну и отсюда тот же треугольник 3, 4, 5.
Да, это супер. Как раз то решение, которого я ждал!!! Вы победитель!
Хорошенькая задача👍👍👍Главное додуматься,куда правильно достроить!Я начала не туда достраивать.
Да, согаласен.
Решал устно. Тоже достроил до квадрата. К точке М из противоположенных вершин опустил отрезки, которые равные по 4 корня из 5. Получился равнобедренный треугольник из этих трех точек, с двумя сторонами по 4 корня из 5 и основанием 8. Площадь треугольника равна 32. Вокруг треугольника описанна окружность. По формуле радиуса описанной окружности через стороны и площадь треугольника, находим радиус равный 5.😊
Да, согласен. Главное - достроение до квадрата.
Вроде так короче получается:
Вычисляем АК и КВ как и в ролике.
Далее из т. М проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью и получаем диаметр. Соединяем отрезок ВК с проведенным диаметром, получаем вписанную трапецию, т.е. равнобедренную, где основание ВК = 6, второе основание - это диаметр, а отрезок АК будет равен полуразности оснований (легко доказать). Далее без Пифагора получаем диаметр = 10 и радиус, соответственно 5
Спасибо, отлично.
👍👍👍
AK нашел так же. Поднял перпендикуляр ML , он же диаметр, достроил прямоугольник MLNA. BN=AK=2 AN=10 AN=ML=10 R=5. Задача понравилась!
Спасибо. Значит, хорошая задача!
Задача не сложная. Для решения можно использовать свойство пересекающихся хорд окружности.
8(2R-8)= 4×4; 16R= 80; R= 5 ед.
Благодарю Валерий
Ин-те-рес-ный подход!
@@GeometriaValeriyKazakov Валерий, просто оказалось возможно применить то, что ещё не забыто. Что применили Вы, у меня наверно в мозгах и не было, хотя заканчивал сильную школу (СШ 28 г. Запорожье), может забыл 😖
@@alexniklas8777 Хорошо учили тогда. И Шаталов гремел на все СССР из донецкой 5 школы. И Ришельевский лицей дает физику будь здоров ... Храни вас бог.
Гипотенуза данного треугольника 8 корней из2. Находим отрезок гипотенузы, который вне круга - FD = корень из двух. значит хорда ВF= 7 корней из двух. Проводим диаметр МЕ. Хорда ВF точкой пересечения делится на отрезки 4корней из 2 и 3корней их 2. А диаметр точкой пересечения делится на отреки 4 и х. Перемножаем отрезки хорд и находим х = 6. Отсюда диаметр =10, а радиус =5
Да, можно и так. Спасибо.
Достроим треугольник до квадрата. Левое нижнее пересечение обозначим А. Касание В, Верхний правый угол квадрата С.. АС - диаметр, значит треугольник АВС - прямоугольный и треугольники под ним подобны 1:2. Значит от левого нижнего угла квадрата до А расстояние 2, над А остаётся 6, центр окружности будет на 3 выше А и 4 левее. Египетские штаны 3-4-5.
Радиус 5.
PS ролик ещё не смотрел, может там так же ;)
Похоже.
Вот я, Олег, и добивался от народа совершенно естественного достроения до квадрата! Вы вот сразу уведели это. Да, там небольшая техническя проблема в том, что там доказательство чуть замороченное. Но идея то - классная!
@@GeometriaValeriyKazakov
Прямоугольный треугольник с углом 45 неприлично толсто намекает на вторую половинку :). Хотя бы для посмотреть что из этого может получиться.
@@ОлегКозловский-о8е Согласен. Но это так, задачи-каприз, как у Паганини. Взял ручку и написал. Все! Завьтра дам ин-тересную. Надеюсь.
В тот момент когда нашли 2 и 6 уже было очевидно что радиус это 2 плюс половина от 6ти. Всё. Зачем весь этот дальнейший огород?
Спасибо. Объясняю для дачников. Вам "ясно", а 90% зрителей предложили: кто теорему синусов, кто косинусов, кто подобие, кто метод координат и т.д. (почитайте). Я же выбрал нейтральный способ (зная все остальные) - достроение до квадрата. Математически - это самый системный и самый лучший. Кроме того, он легко компьютеризируется. Но способ достроение до квадрата при всей его красиовсти симметри и очевидности для доказательства того, что ABCD - квадрат, и требует того "огорода", который у математиков называется доказательством. Извините за подробный ответ. Ведь такие вопросы возникнут и других.
@@GeometriaValeriyKazakov очевидное легко объясняется. Радиус проведённый перпендикулярно секущей, поделит отрезок КВ пополам, в точке, ну назовём её Z. Перпендикулярно секущей значит параллельно касательной. Значит AZ равен радиусу. При желании и это легко доказать. Ну и всё, 2+3=5
@@GeometriaValeriyKazakov От дачника:
В Алек сея наилучшее решение!
@@Alek_sej Спасибо, что не обиделись на мой комментарий. Да, это задача получилась у меня случайно довольно симпатичной с множеством решений.
@@Alek_sej Так никто же с этим способом и не спорит. Речь о том: нужно разные подходы рассматривать или нет? Или я, как тренер, дам 1 способ самый короткий, получу 0 комментариев, а ученик другую задачу этим способом возьмет и не решит. Наука. Я рад, что вы смотрите нас.
Так как второй угол тоже будет 45, он равнобедренный, сторона АВ тоже 8. Проведём перпендикуляр из D, верхнюю точку соединим с В и получится квадрат. Проведём диаметр через МО, у нас получится неизвестный кусочек диаметра сверху. Радиус перпендикулярный хорде делит её пополам. Уравнение хорд 4*4 = 8*х, х =2, диаметр 10, радиус 5.
По формуле R=abc\4S из треугольника BKM.
Да, можно так.
Да, это хорошая алгебра 9 класс. Хочется восьмым решить, без т. синусов.
BK=6 по теореме о касательной и хорде. Провести хорду KT || AD. KT перп. радиусу OM и делится им попалам, след. KT=8 (две стороны маленького прямоугольничка). Из п\у тр-ка BKT BT=10 он же диаметр.
Да, это довольно коротко
про доказательсво прямоугольника. Мне всегда в похожих ситуациях хочется мыслить примерно так: Евклидово пространство изотропно, значит работают принципы симметрии. Круг - со всех сторон симметричная фигура. Если мы берем вертикальную прямую через центр круга, перпендикулярную нашему отрезку длиной 8, то по соображениям симметрии они пересекутся в центре отрезка, т.е. как раз в точке касания. И, из тех же соображений симметрии, всё что находится справа от прямой отражается слева от неё, и отсюда автоматически следует, что AB = CD. Или я что-то упускаю? Почему симметрией ничего никогда не объясняется и используются более громоздкие доказательства?
Вы упускаете тот факт, что симметрия в школе изучается в 9 классе в теме "Движения" и школьники плохо знают ее свойства (прямая в прямую, параллельная оси в паралельную, отрезок, параллельный оси в равный ипараллельный и т.д. Поэтому на олимпиаде - без вопросов, на экзамене нужно описывать. Я же в ролике и сказал, что симметрия треугольника сразу дает прямоугольник. Но мы оставим это зрителю. У меня даже чертеж остался этой симметрии. Но я выбрал нудный путь, но более доказательтный. Слово "изотропно" на экзамене будет подчеркнуто и поставлен знак? Может быть, к сожалению.
@@GeometriaValeriyKazakov спасибо за ответ. Согласен, что к сожалению
@@МакарЭпикунцев Можно конечно, записать, но в комиссиях подозрительно относятся (A в D, AB в DС1, C1 на окружности, и т.д. ), а кому хочется это прооверять? Такова жизь. Но в олимпиадах поощряется.
MD - ось Х, MO -ось Y, составить уравнение окружности и подставить в него точку x=-4 и у=8.
Идея хорошая. Попробуйте реализовать. Интересно, как по объему получится?
Как доказать что угол С (точка С) лежит или находится на окружности? А не выходит за окружность или наоборот внутри окружности .
Спасибо. Внимание! 1) Мы проводим перпендикуляр из D до пересечения с окружность в точке C! 2) То есть, точка C сразу лежит на окружности. Потом отрезок BC и 3) Тупо и уныло доказывам, что ABCD - прямоугольник (справа). Конечно, можно построить квадрат и тогда, вы правы, придется доказывать, что C лежит на окр. Но у нас чуть другое рассуждение. Времени в ролике особо нет, чтобы давать медленней и подробнее. Спрашивайте. Рад, что вы на смотрите.
Строим прямоугольник АМОЕ, где Е лежит на АВ. Из треугольника ОЕВ находим радиус,который в нем является гипотенузой. И всё.
Да, IvanQRT так и нашел чуть раньше. Это было самое короткое. Но посмотрите Al Fal - у него без Пифагора.
Ну, отдых получился довольно активный... Итак: проводим ОВ, OF|_AB, OM|_AD(через тчк Р на ВД). АВ=8(очевидно), РМ=4(ср.лин.) Пусть ОР=х. Тогда ОМ=ОВ=R=4+x. Сл-но, BF=8-(4+x)=4-x. Из тр-ка FBO (4+x)^2--(4-x)^2=16. 16х=16. х=1. R=4+1=5. Кажется, мой вариант чуть проще?
Отлично!
Рассмотрим прямоугольную трапецию OMAB, где AM=4, AB=8, OB=OM=R. По свойству сторон прямоугольной трапеции a=b+sqrt(d^2 - c^2) получаем уравнение 8=R+sqrt(R^2-16), откуда R=5.
Да, можно и так.
@@GeometriaValeriyKazakov Еще задумался, а не лишнее ли условие, что MD=4? Можно ли как-то доказать, что M - это середина AD.
@@sergejssergejs989 Конечно, оно лишнее, если сказано, что M - середина и AM=4. Если вы это имели ввиду. Но вряд ли, вы сильный решальщик.
@@GeometriaValeriyKazakov Имел ввиду, что М всегда будет серединой для равнобедренного прямоугольного треугольника.
@@sergejssergejs989 Спасибо. Это кажется. Разделите AD в отношении AM:MD=2:1. Пусть маленькая окружность касается AD в точке M. Затем раздувайте эту окружность, пока она не пройдет через точку C. Но подозрения ваши понятны.
Данная задача решается за минуту: Если хорда окружности является катетом прямоугольного треугольника вписанного в окружнтсь и по величине кратным числу 3 или 4 (катеты прямоугольного треугольника Пифагора- 3, 4, 5) следовательно диаметр окружности равен 10, а радиус - 5 .
Известной хордой будет хорда, проведенная из точки К параллельно основанию треугольника со сттроной 8.
Спасибо.
Задача простая, много способов решения. Наверное самый простой, без всяких дополнительных построений, использование "секретной" теоремы. Решается в уме. Находим внешний отрезок секущей х*8=4*4 х=2. R=(8-2)/2+2=5.
Что-то сложно автор решал. Зачем строить квадрат? Из т.О перпендикуляр га АВ и сразу ответ.
Ну и дополню. То, что получится прямоугольник, в нашем случае квадрат, сразу следует из симметрии фигуры относительно диаметра проведенного в точку касания.
Виктор, спасибо. Не согласен. Мое решение устное и очень наглядное - представили квадрат и все: СK = 10. А то, что я для учеников 8 класса подробно рассказываю, так это так надо. И доказательство того, что ABCD - квадрат, так это ж математика. Кстати. На экзамене вам не удастся написать "из соображений симметрии" . Я лично поставлю 1 балл из 4-х. Нужно ссылаться на свойства симметрии. Ну, это так. В четверг жду вашего решения новой задачи. Очень рад, что вы на моем канале.
@@GeometriaValeriyKazakov а почему не устраивает выражение "из соображений симметрии"? Конечно можно немного расписать, но доказательство прямоугольника будет гораздо проще чем Ваше. И если Вам так хочется получить египетский треугольник, то в моём решении он тоже есть.
Я ещё Ваши старые задачи не все посмотрел. На некоторых застрял.
@@viktorviktor5820 На экзамене и олимпиаде ставят вопрос: а какие соображения имеются ввиду. Вы правы, что симметрия MAB относительно прямой MO великолепна: она приведет к появлению отрезка DC, который равен и параллелен AB, к тому же полуокружность также отзеркалится и точка С на нее попадет. Это все и приведет к тому, что ABCD - прямоугольник и его вершина C на окружности. Мы это понимаем устно. А письменно придется записать: BP=PC, BP перп. MO, AM=MD, AM перп. MO и т.д.
@@viktorviktor5820 Но симметрия - самый красивый и короткий способ! Тут я не спорю.
Можно отразить в относительно прямой ом и применить теорему синусов для треугольника вв1м. Синус угла м находится как синус двойного угла.
Да, вы молодец. Да, именно так я первоначально и решал, когда я задумал вначале квадрат. Потом усложнил, отрезав половину квадрата. А вы восстановили его. Я же всегда решаю боллее младшими классами. Т. синусов - конец 9 го, а я решил концом 8-го (вписанным углом).
Кроме того, на экзамене трудно будет объяснить письменно, почему B1 попадет на окружность. Нужно применять свойства симметрии, а они них точно не знают четко. Я собственно доказывая прямоугольник этим и занимался, обходя симметрию.
Отдохнул, но недолго.
Провел диаметр МЕ. В прямоугольном тр - ке
МBE ВН - высота = 4,
её квадрат = 16,
МНхНЕ = 16, МН = АВ,
НЕ = 2, МЕ = 10, R = 5.
Вроде как чуть покороче.
Пифагор заблудился.
Отлично. Следующая задача будет как раз для для вас.
@@GeometriaValeriyKazakov ОК.
Почему точка С лежит на окружности круга
Это основное в ролике, я это доказываю справа отдельно (посмотртте внимательно еще раз). И доказательство этого факта непростое, иначе делаем осевую симметрию треугольника и сразу попадаем во вписанный квадрат. Но докзать попаадние С на окружность - тонкая задача. Вы правы.
Можно и так. Продлить отрезок МА влево на х, так чтобы х+МА=х+4=R. Тогда АК=2х, половина КВ=а=(8-2х)/2=4-х, R^2=a^2+4^2. Три уравнения, три неизвестных - решение х=1, а=3, R=5.
Да, это интересно! Спасибо. Круто
У вас очень красивое и интересное решение, однако я правильно начертил, померил линейкой и получилось 5. Можете меня побить этой линейкой (по крайней мере так бы сделала моя учителька)
Побить-побить! Все же зрители не могут ошибаться и быть согласны со мной. Шерше ля ошибку.
Отличная задача. Я придумала два решения, но они длинее вашего.
Большое спасибо за отзыв.
После AK=2 и KB=6 сразу R = AK + KB/2. Такое решение нашли?
Первое решение: через подобие, проведя перпендикуляр ОF к ВМ и радиус ОМ. А второе: через треугольник КАМ и КОМ + теорема косинусов. А еще после квадрата АВСD можно рассмотреть треугольник ВМС.....
@@alfal4239 Да, это самое короткое. См. IvanQRT
Послезавтра усилимся. А здесь хотелось дать задачу с максимумом вариантов решения. Думаю, у меня это плолучилось.
А я снова решил по другому) так же как и вы провел параллельно СД а потом через треугольник ВСМ и теорему синусов
Ну, доставать такое мощное оружие как пушка Гаусса ради такой задачи - мысли на ветер! Шучу.
У меня недавно был подобный случай, точка А через которую проходит касательная (=АМ, М точка касания) и одновременно секущая А-К-В (но здесь касательная и секущая перпендикулярны, так что расчет будет очень простым)
Пусть X₀ - середина KB и d = KX₀ = BX₀
В нашем случае AMOX₀ представляет собой прямоугольник, AM=OX₀ , MO=AX₀ = r = AK + d
Тогда AM² = AK*AB = AK (AK + 2d)
АМ²/АК = АК + 2d
АМ²/АК + АК = 2АК + 2d
r = AK + d = ½(AM²/AK + AK) = ½(4²/2 + 2) = ½ 10 = 5
Отлично, у меня хуже - постоянно такие случаи уже в 4-м ролике подряд!
центральный угол КО(и неназванная на чертеже точка , пусть Т) прямой = 90 гр. ищем ВД. по т о квадрате касательной. потом по т косинусов КТ . потом радиус.
Да. согласен: т. синусов и косинусов валят задачу. Хочется малыми средствами.
а откуда понятно, что кс-диаметр?
Прямой угол KBC опирается на диаметр (есть такая теорема).
Добудувати діаметр з т.М і розглянути перетин двох хорд ВС і МN 4х4=8хХ , звідси діаметр 8+2=10 , R=5.
Спасибо. Отличная идея.
А откуда известно, что угол KOC - развёрнутый?
Я понимаю, что ломаная KOC равна 2R, но откуда известно, что эта ломаная - прямая? Я понимаю, что на рисунке это так, но из условий задачи никак не следует.
Спасибо. Вписанный в окружность прямой угол KBC (согласно теореме школьного курса) опирается на диаметр. Так? Значит, KC - диаметр. Так? Но любой диаметр проходит через центр окружности. Верно? Значит, точка О лежит на KC! Но Ваш вопрос абсолютно закономерный. Просто ролик большой получился, и останавливаться на очень мелких (хотя и важных) деталях не всегда возможно. Рады, что вы смотрите нас.
Так вы поняли или нет. Или просто так спросили? Нам центр О, вообще по барабану. Главное, что KС диаметр. Успехов.
@@GeometriaValeriyKazakov я слишком давно закончил школу и забыл эту теорему. Нельзя ли ролик о той теореме отдельно?
Я, конечно, верю, что есть такая теорема, но просто хотелось бы ролик о теореме отдельно
@@zrtqrtzrt8787 Я же посставил там QR код от этого ролика и в ссылке смотрите, где ссылка висит возле моего изборажения.
ruclips.net/video/Cysz41_cpVY/видео.html
опят wow :)
Спасибо!
У автора видео бывают очень классные, головоломные задачи. Но эта устная какая то задачка, на пару минут. Прямоугольник 6х8
Спасибо. Я вначале так и сказал, что она устная и легкая. Кроме того, еще и вы - сильный ( у меня же 7 000 подписчиков и все разные). Во-вторых, почитайте комменты, кто как сложно ее решал. В третьих, жду вашего красивого решения в четверг на новой задаче. Очень рад, что вы на моем канале!
8:42 говорите: "опустив перпендикуляр" , а сами поднимаете. Вот и криво.
Спасибо за хорошие слова
@@GeometriaValeriyKazakov Вспонил школу, комментарий с парты. Привычка.
Я вам пишу, чего же боле?
*
@user-rf7ou9ub4g
10 hours ago
АВ=AK+KB=AM+MD=4+4=8;
AM^2=AB*AK;
АK=2;
KB=6;
R= AK+KB/2=5
*
Мне больше нечего писать.
Ну, и ладненько!