Нечитерское решение. 1. AC=x; BC=y; тогда по т.Пиф. x^2+y^2=35^2 2. KO=OM; повернём тр-к ОМВ вокруг т. О на 90 гр. против ч. стр.. Тогда ср. пропорц. :AK*MB=12^2; или (x-12)(y-12)=144; или (x+y)=xy/12 3. Возведём (x+y) в квадрат. Тогда с учётом п.1 и 2 получим: (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=35^2+2xy=(xy)^2/144; или (xy)^2-288(xy)-144*35^2=0; откуда xy=588 4. Площадь тр-ка АВС равна S=xy/2=588/2=294
Читерское решение. Начертим египетский тр-к (3,4,5) с коэф. сторон 7. Тогда АК=9 и МВ=16. Тогда 16^2=x(24+x); откуда x=8. Теперь забываем про это и решаем задачу. 1. По т. о касат. и сек. MB^2=x(24+x); 2. По т. о касат. и сек. AK^2=(11-x)(35-x); 3. Среднее пропорц. MB*AK=12*12; 4. Решая эти три ур-я совместно, получим: x^4-22x^3-719x^2+9240x-20736=0; сразу проверяем значение x=8 и убеждаемся, что это корень. Тогда h=21*28/35 и площадь S=35*21*28/(35*2)=294
Я и решал через египетский треугольник. А доказательство мыслю простое. Треугольники AKO и BMO подобны ∆ABC и так же должны быть египетскими. Тогда их стороны 9:12:15 и 12:16:20, т.е. AB= 15+20=35, AC=21 и BC=28. Площадь S=21×28/2= 294. Д.З. BF= BO- R= 20-12= 8.
Д.З. OMB - прямоугольный, CB = 28, тогда MB = CB - CM = 28 - 12 = 16, а OM = r = 12, по теореме Пифагора OB = 20, FB = OB - r = 20 -12 = 8. CB получили из решения квадратного уравнения a(49 - a) - 12 * 49 = 0, тогда a = 28 или a = 21. Если CB = 21, MB = 21 - 12 = 9, то гипотенуза OB = 15, тогда FB = 15 -12 = 3
Решал скучно. АК=а, ВМ=b. Из подобия АКО и ВМО находим одно отношение а и b : a*b=12^2. Срочно нужно второе. (12+а)^2+(12+b)^2=35^2 --> (a^2+b^2+2*12^2)+12*12*(a+b)=1225 Вместо 2*12^2 подставим (2*a*b). (a+b)^2+24*(a+b)-1225=0. Относительно (a+b)=-12√(12^2+1225)=25. a+b=25 и a*b=144 ---> {а;b}={9;16}. Катеты 21 и 28, треугольник египестый, площадью 294 Ответ:294
Если просто повернуть чертеж, поставив треугольник на катет, и считать катеты осями координат, все сразу становится очень прозрачно. Есть прямая (гипотенуза), x/a + y/b =1; (a и b катеты, если кто этого не знает, подставьте сюда точки (0, b) и (a, 0), они заведомо удовлетворяют этому уравнению, а через две точки можно провести только одну прямую, такая форма записи называется "уравнение прямой в отрезках"). Эта прямая проходит через точку (12, 12), то есть 12/a + 12/b = 1; или a + b = ab/12; если возвести это в квадрат, учесть, что сумма квадратов катетов равна 35²; и подставить ab = 2S, получится квадратное уравнение на S. S² - 144S - 44100 = 0; => (S - 72)² = 49284 = 222²; S = 72 + 222 = 294; Большие числа, большие квадраты.
@@SB-7423 а знаете, я тут немного схитрил, даже и не знаю, зачем. Смотрите, как то же самое выглядит в естественном техническом исполнении. Есть уравнение R/a + R/b = 1, => R(a + b) = ab; R²(c² + 4S) = (2S)²; S² - R²S - R²c²/4 = 0; => (S - R²/2)² = (R² + c²)(R/2)²; Окончательно S = (R/2)(R + √(R² + c²)); Если R = 12, c = 35, то корень равен 37, есть такая Пифагорова тройка 12,35,37, и результат S = 6*(12 + 37) = 294; практически устный счет, и никаких больших квадратов.
@@constantinfedorov2307 Так Вы привели ту же формулу, которую я привёл, но полученную другим путём. Мне решение с аналитической геометрией(Ваше) нравится больше. Я так сразу и решил, но поскольку у нас разница 8 часов, то я увидел, что это решение уже выложено. Поэтому привёл сейчас решение с формулой длины биссектрисы. А в чём Вы схитрили? Вы, вероятно, еще не увидели моё решение? 40 мин. назад. Моё решение тоже естественное , техническое и достаточно простое.
@@constantinfedorov2307 Кстати, соотношение r∙(a + b) = a∙b можно получить мгновенно без подобия и без аналитической геометрии, пользуясь площадями. Площадь дельтоида (два заданных треугольника) равна: 2∙S = (a + b)∙r, а удвоенная площадь треугольника равна: : 2∙S = a∙b . Забавная задача со множеством решений.
Решил попробовать через касательную и секущую и в итоге понял откуда эта теорема, ибл вышел что 0 = 0 Задачку не решил, зато понял теорему, (раньше просто запомнил). А ещё вышел на птолемея когда решил достроить сторой треугольник и вписать полученный прямоугольник в окружеость. Одна польза от задачки )
Тот кто сочинил ахинею насчёт буквы Ф даже "Евгений Онегин" не читал. Бранил Гомера, Феокрита; Зато читал Адама Смита,... Его ласкал супруг лукавый, Фобласа давний ученик,... Французской кухни лучший цвет, И Стразбурга пирог нетленный... Блистал Фонвизин, друг свободы, И переимчивый Княжнин;... Еще снаружи и внутри Везде блистают фонари;... Всё украшало кабинет Философа в осьмнадцать лет.... Янтарь на трубках Цареграда, Фарфор и бронза на столе,... Но панталоны, фрак, жилет, Всех этих слов на русском нет;... И т.д. Всё с буквой Ф тут и не поместится.
Квадрат 12 на 12 вырежем, из остатков составим прямоугольный треугольник с катетами AO и OB и высотой на гипотенузу 12. Обозначим X = AO*OB, AO + OB = 35. X^2 = 12^2*(AO^2 + OB^2) = 12^2*(35^2 - 2*X), откуда X = 300. Искомая площадь равна S = X/2 + 12^2 = 294
На канале дважды была задача о нахождении площади (или гипотенузы) тр-ка по высоте и биссектрисе прямого угла,там в комментах была предолжена ф-ла: S = l²h²/(2h² - l²). Эта задача обратная: найти пллощадь (или высоту) по гипотенузе и биссектрисе. Приравняв l²h²/(2h² - l²) = S = сh/2, где с - гипотенуза, и преобразовав, получим: 2l²h = 2ch² - cl², (2c)h² - (2l²)h - cl² = 0.Подставив l = 12√2, с = 35, и сократив, получим: 35h² - 288h - 5040 = 0. h = 16,8 (единственный положительный корень), S = 294.
От части круга сразу избавиться и получим квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник получим (12+х)кв +(12+y)кв = 35кв и подобные треугольники х/12=12/y дальше с этим мучаться если автор этим путем шел, то вечером приду с работы посмотрю
Вот не очень длинное решение. И без уравнений квадратных. (a + b - r)^2 = a^2 + b^2 + r^2 + 2ab - 2ra - 2rb = a^2 + b^2 + r^2 = c^2 + r^2 S = r^2/2 + (a + b - r)*r/2 Аналогично задача решается для любого отрезка t = r*ctg(C/2) касательной от вершины C. (a + b - t)^2 = c^2 + t^2, S = [ t + (a + b - t) ]*r/2
Параллельный канал на ДЗЕН: dzen.ru/geometry.
Благодарю.
Треуг.прямоугольный, гипотенуза кратна числу 5, тогда катеты равны 21 и 28 S=294.
Я ж написал "0" баллов
Нечитерское решение.
1. AC=x; BC=y; тогда по т.Пиф. x^2+y^2=35^2
2. KO=OM; повернём тр-к ОМВ вокруг т. О на 90 гр. против ч. стр.. Тогда ср. пропорц. :AK*MB=12^2; или (x-12)(y-12)=144; или (x+y)=xy/12
3. Возведём (x+y) в квадрат. Тогда с учётом п.1 и 2 получим: (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=35^2+2xy=(xy)^2/144;
или (xy)^2-288(xy)-144*35^2=0; откуда xy=588
4. Площадь тр-ка АВС равна S=xy/2=588/2=294
294, подбором
Читерское решение.
Начертим египетский тр-к (3,4,5) с коэф. сторон 7. Тогда АК=9 и МВ=16. Тогда 16^2=x(24+x); откуда x=8. Теперь забываем про это и решаем задачу.
1. По т. о касат. и сек. MB^2=x(24+x);
2. По т. о касат. и сек. AK^2=(11-x)(35-x);
3. Среднее пропорц. MB*AK=12*12;
4. Решая эти три ур-я совместно, получим:
x^4-22x^3-719x^2+9240x-20736=0; сразу проверяем значение x=8 и убеждаемся, что это корень. Тогда h=21*28/35 и площадь S=35*21*28/(35*2)=294
Hitray, для тех кто регулярно смотрит Геометрию В.К. по секрету.Хороший впн/ пока/
Можно опубликовать совет?
@GeometriaValeriyKazakov да, конечно
Решил иначе
Я и решал через египетский треугольник.
А доказательство мыслю простое. Треугольники AKO и BMO подобны ∆ABC и так же должны быть египетскими.
Тогда их стороны 9:12:15 и 12:16:20, т.е. AB= 15+20=35, AC=21 и BC=28.
Площадь S=21×28/2= 294.
Д.З. BF= BO- R= 20-12= 8.
Что значит "должны быть" с какой стати?
Возьмите, с=775, R=168. И что теперь?
@GeometriaValeriyKazakov подобны
@GeometriaValeriyKazakov это уже другая задача
СО -биссектриса, которая делит третью сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам
Д.З. OMB - прямоугольный, CB = 28, тогда MB = CB - CM = 28 - 12 = 16, а OM = r = 12, по теореме Пифагора OB = 20, FB = OB - r = 20 -12 = 8.
CB получили из решения квадратного уравнения a(49 - a) - 12 * 49 = 0, тогда a = 28 или a = 21.
Если CB = 21, MB = 21 - 12 = 9, то гипотенуза OB = 15, тогда FB = 15 -12 = 3
Спасибо
Решал скучно.
АК=а, ВМ=b. Из подобия АКО и ВМО находим одно отношение а и b : a*b=12^2. Срочно нужно второе. (12+а)^2+(12+b)^2=35^2 --> (a^2+b^2+2*12^2)+12*12*(a+b)=1225 Вместо 2*12^2 подставим (2*a*b). (a+b)^2+24*(a+b)-1225=0. Относительно (a+b)=-12√(12^2+1225)=25.
a+b=25 и a*b=144 ---> {а;b}={9;16}.
Катеты 21 и 28, треугольник египестый, площадью 294
Ответ:294
Если просто повернуть чертеж, поставив треугольник на катет, и считать катеты осями координат, все сразу становится очень прозрачно. Есть прямая (гипотенуза), x/a + y/b =1; (a и b катеты, если кто этого не знает, подставьте сюда точки (0, b) и (a, 0), они заведомо удовлетворяют этому уравнению, а через две точки можно провести только одну прямую, такая форма записи называется "уравнение прямой в отрезках"). Эта прямая проходит через точку (12, 12), то есть 12/a + 12/b = 1; или a + b = ab/12; если возвести это в квадрат, учесть, что сумма квадратов катетов равна 35²; и подставить ab = 2S, получится квадратное уравнение на S. S² - 144S - 44100 = 0; => (S - 72)² = 49284 = 222²; S = 72 + 222 = 294; Большие числа, большие квадраты.
Гениально!
Это самое простое решение! Только так я бы и решал эту задачу. Минимум времени и максимум результата.
@@SB-7423 а знаете, я тут немного схитрил, даже и не знаю, зачем. Смотрите, как то же самое выглядит в естественном техническом исполнении.
Есть уравнение R/a + R/b = 1, => R(a + b) = ab; R²(c² + 4S) = (2S)²; S² - R²S - R²c²/4 = 0; => (S - R²/2)² = (R² + c²)(R/2)²;
Окончательно S = (R/2)(R + √(R² + c²));
Если R = 12, c = 35, то корень равен 37, есть такая Пифагорова тройка 12,35,37, и результат S = 6*(12 + 37) = 294; практически устный счет, и никаких больших квадратов.
@@constantinfedorov2307 Так Вы привели ту же формулу, которую я привёл, но полученную другим путём. Мне решение с аналитической геометрией(Ваше) нравится больше. Я так сразу и решил, но поскольку у нас разница 8 часов, то я увидел, что это решение уже выложено. Поэтому привёл сейчас решение с формулой длины биссектрисы. А в чём Вы схитрили? Вы, вероятно, еще не увидели моё решение? 40 мин. назад.
Моё решение тоже естественное , техническое и достаточно простое.
@@constantinfedorov2307 Кстати, соотношение r∙(a + b) = a∙b можно получить мгновенно без подобия и без аналитической геометрии,
пользуясь площадями. Площадь дельтоида (два заданных треугольника) равна: 2∙S = (a + b)∙r, а удвоенная площадь треугольника
равна: : 2∙S = a∙b . Забавная задача со множеством решений.
3 подобных египетских треугольника, S=21х28/2=294
Решил попробовать через касательную и секущую и в итоге понял откуда эта теорема, ибл вышел что 0 = 0
Задачку не решил, зато понял теорему, (раньше просто запомнил).
А ещё вышел на птолемея когда решил достроить сторой треугольник и вписать полученный прямоугольник в окружеость.
Одна польза от задачки )
Круто!
ДЗ: по гипотенузе и площади легко найдутся катеты 28 и 21, ОВ = 20 (св-во биссектрисы), FB=8.
Спасибо.
Никак не врублюсь в технику скоростного решения приведённого квадратного уравнения.
Посмотрите мой ролик "теорема Виета".
@@GeometriaValeriyKazakov Вот размышляю, поискать ролик или поколдовать с теоремой. Урок химии. Нахимичу чего-нибудь чёрточку не позабудь.
Виета -- наперсточничество. Решаю в уме по классической формуле с дискриминантом. Если уравнение легко виетится, то уж дискиминантится тоже не трудно
@ Загуглите теорема вите Геометрия Валерий Казаков. А вообще о спирте думать надо. Д.И.Менделеев.
@@pojuellavid, в уме через дискриминант такое, например: 123х^2-456х+333=0?
Насчёт буквы Ф - это полная брехня - в сказке о царе Салтане: Тут уж царь не утерпел, Снарядить он Флот велел.
Тот кто сочинил ахинею насчёт буквы Ф даже "Евгений Онегин" не читал.
Бранил Гомера, Феокрита;
Зато читал Адама Смита,...
Его ласкал супруг лукавый,
Фобласа давний ученик,...
Французской кухни лучший цвет,
И Стразбурга пирог нетленный...
Блистал Фонвизин, друг свободы,
И переимчивый Княжнин;...
Еще снаружи и внутри
Везде блистают фонари;...
Всё украшало кабинет
Философа в осьмнадцать лет....
Янтарь на трубках Цареграда,
Фарфор и бронза на столе,...
Но панталоны, фрак, жилет,
Всех этих слов на русском нет;...
И т.д.
Всё с буквой Ф тут и не поместится.
Так это 7-й том! Это все Кюхельбекер набрехал!
Квадрат 12 на 12 вырежем, из остатков составим прямоугольный треугольник с катетами AO и OB и высотой на гипотенузу 12. Обозначим X = AO*OB, AO + OB = 35.
X^2 = 12^2*(AO^2 + OB^2) = 12^2*(35^2 - 2*X), откуда X = 300.
Искомая площадь равна S = X/2 + 12^2 = 294
Здорово!
Сегодня кучно. Хорошо.
Да. Не скучно!😊
12-это радиус или катет? У меня смарт сильно глючит, не понятно условие.😢
Это фактически радиус. У нас отрезок CK.
Показалось интересным решить задачу в общем виде при заданных ОК = r и АВ = с. Обозначим АО = р. От этого параметра мы скоро избавимся.
СО = r∙√2. СО² = а∙b - p∙(c - p) ⟹ *(*)2∙r² = а∙b - p∙(c - p).* Из двух подобий : b/c = r/(c - p), a/c = r/p. Перемножая, получим: a∙b/c² = r²/[p∙(c - p)] ⟹
p∙(c - p) = r²∙c²/(a∙b). Подставляя это в (*), получим: 2∙r² = а∙b - r²∙c²/(a∙b). Учитывая, что а∙b =2∙S, получим уравнение: *4∙S² - 4∙r²∙S - r²∙c² = 0* .
Его положительный корень равен: *S = (r/2)∙[r + √(c² + r²)]* . Для данных задачи: S = (12/2)∙[12 + √(35² + 12²)] = 294 . Красивая конечная формула!
На канале дважды была задача о нахождении площади (или гипотенузы) тр-ка по высоте и биссектрисе прямого угла,там в комментах была предолжена ф-ла: S = l²h²/(2h² - l²).
Эта задача обратная: найти пллощадь (или высоту) по гипотенузе и биссектрисе.
Приравняв l²h²/(2h² - l²) = S = сh/2, где с - гипотенуза, и преобразовав, получим:
2l²h = 2ch² - cl², (2c)h² - (2l²)h - cl² = 0.Подставив l = 12√2, с = 35, и сократив, получим:
35h² - 288h - 5040 = 0. h = 16,8 (единственный положительный корень), S = 294.
Очень рад был слышать Ваши слова с 3.55 по 4.07 !
От части круга сразу избавиться и получим квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник
получим
(12+х)кв +(12+y)кв = 35кв
и подобные треугольники
х/12=12/y
дальше с этим мучаться
если автор этим путем шел, то вечером приду с работы посмотрю
ДЗ: 8
Отл сп
Блин, все упирается в кубические уравнения, хорошая задачка
Вот не очень длинное решение. И без уравнений квадратных.
(a + b - r)^2 = a^2 + b^2 + r^2 + 2ab - 2ra - 2rb = a^2 + b^2 + r^2 = c^2 + r^2
S = r^2/2 + (a + b - r)*r/2
Аналогично задача решается для любого отрезка t = r*ctg(C/2) касательной от вершины C.
(a + b - t)^2 = c^2 + t^2,
S = [ t + (a + b - t) ]*r/2
Красиво, спасибо