음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?
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- Опубликовано: 4 окт 2024
- 어렸을 때부터 그렇게 배워와서 이상하다고 생각하기 어려운 내용입니다. 그런데 가만히 생각해보면 매우 이상합니다. 음수와 음수를 곱한 값과 양수와 양수를 곱한 값이 같다는 것이 상식적으로 납득하기 어려운데, 어떤 이야기가 숨겨져 있을까요?
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일리노이 대학교 시카고의 이론 수학 박사과정생 이성민
Why is negative times negative = positive?
: math.stackexch...
Rogers, Leo. "The history of negative numbers." University of Cambridge. Last viewed June (2014).
Qiu, Jane. "Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips." Nature News (2014).
: www.nature.com...
Tall, David, ed. Advanced mathematical thinking. Vol. 11. Springer Science & Business Media, 1991.
The History of Negative Numbers
: nrich.maths.or...
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: Burlesque Heartache - RKVC
: After the Soft Rains - South London HiFi
: Eyes of Glory - Aakash Gandhi
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![[Limbus Company - PV] Chapter.7 - Oblivion](http://i.ytimg.com/vi/VUpkXPkvoxU/mqdefault.jpg)
처음 배웠을때 그냥 말에서 아니지 않다가 부정 + 부정 = 긍정 되는거 처럼 간단하게 생각하고 넘어갔는뎈ㅋㅋㅋㅋㅋ
마마플 이러고 기억했는데
완전 정확. 부정의 부정은 긍정이다 ㅇㄱㄹㅇ
'부정을 부정한다'
@@પદાનનવપ-હ6ગ 혹시수학 몇등급
@@પદાનનવપ-હ6ગ 어떤 식으로 되나요?? 예 한 가지만 들어주실 수 있나요??
마이너스 개념부터 배우면 너무나도 이해하기 쉽죠. 저는 좌표상의 위치로 배워서 그런지 방향성의 의미로 더 와닿았던 기억이 있네요. 방향을 역에서 역으로 하면 다시 정방향이라고 정의해서 그뒤론 엑스축 와이축 제트축의 개념에서 -가 반전을 뜻하는것으로 이해하니 그래프도 이해하기가 편해지더라구요.
교육과정의 변화에 따른 차이가 있긴하지만, 정의하는 측면이 좋긴하죠 ㅎㅎ
궁이님 방밥도 원래 있던건데...
집합이 고등학교로 가면서 항등원 역원 구하는게 사라지고...
저 방법은 난감하데 되었죠 ㅎㅎ
직관성때문에 의외로 그래프, 영하온도 영상온도 이렇게 가르치긴합니다.
오호라
말씀하시는게 선형대수쪽이라서 더 어려운 개념이긴해요 ㅋㅋㅋ
@@이진수-w2r 선형대수학보다는 추상대수인듯요~ 선형대수는 vector space만 다루니 주로..
추상대수에서 field나 ring Z(+,×) 같습니다 :)
o o o o o 가운데o와 가장자리o2개의 거리는 2칸. 2칸 더 갔거나 2칸 더 적게 간 거임.절댓값만 알 수 있음.곱셈은 크기의 비율임..-2칸 할것을 빼면은 +2니깐 즉, -2로 상정할 것을 시정하고 빼면은 2칸 더간게 되는거고. -2를 다시 상정 하면-2×-2 =+2가 증명됨
어릴때 아빠가
아픈건 안좋으니까 -지?
그리고 없애는것도 -지?
아픈걸 없애는건 좋은거니까 +인거야
이렇게 설명해주길래
이거 그대로 믿고 아무 의심없이 넘어감 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
오 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
거기서 다른의심을 품으면 혼란스럽겠지
아버지....
안 믿으면 때려서 해결 가능한 설명이군…
군더더기 없는 깔끔한 설명 크
수학을 공부하면서 의문이 드는 점이 많았고 결국 외우게 됬는데 영상으로 차근차근 증명한 것을 보니 음수랑 음수 곱하면 양수 된다는 것은 쉽고 당연한 얘기였네요! 호기심을 해결해주셔서 감사합니다
됐...
@@어응-u8d 됬는데요
o o o o o 가운데o와 가장자리o2개의 거리는 2칸. 2칸 더 갔거나 2칸 더 적게 간 거임.절댓값만 알 수 있음.곱셈은 크기의 비율임..-2칸 할것을 빼면은 +2니깐 즉, -2로 상정할 것을 시정하고 빼면은 2칸 더간게 되는거고. -2를 다시 상정 하면--2 =+2가 증명됨
저는 이해안되면 이해할때까지 찾아봐요. 그래야 응용문제도 쉽게 풀수 있거든요. 그리고 나름 재미도 있어요ㅎㅎ
초등학교: 작은 수에 큰 수를 뺄 수는 없답니다.
중학교: 짜잔~ 사실 음수가 있다. 근데 루트 마이너스는 불가능!
고등학교: 루트 -1을 허수 i로
반전 주는 교육과정 킹받네
@크림소스 그거 정석 풀면 고1과정에서 알 수 있는데 ㅋㅎㅋㅎㅋ
허수 중학교 과정인데? 그 사이에 바뀌었나?
@@진성-e9h 제가 책으로 배울때는 고등학교거에 있었어서...
@@진성-e9h 허수가 중학교 과정이라고요? 고1 과정입니다
나는 나중에 배울때 - +는 방향의 성질이라 그래프에서 0(원점)기준으로 앞(오른쪽 양수방향) 뒤(왼쪽 음수방향) 일때, +는 그대로 앞으로 가면 되고 -는 뒤로 가면 된다고 배움. 거기서 뒤로 가는거에서 또 뒤로 돌면,다시 뒤로 돌아가는 것이므로 양수가 된다고 이해함.
수에 대한 개념을 방향성으로 제시해서 단순한 조건부로 양 음수의 개념을 이해시키기엔 학부 전 과정에선 좋죠. 변수가 없으니깐요
복소좌표계에서도 그런식으로 이해하묜쉬움
그러면 이제 숫자를 방향을 가지는 벡터로 이해하는 게 되는데, 이걸 일반화하는 건 비약이죠.
-1=pi(rad)
오... 이해했어요
그럼 허수 곱하기 허수는 왜 음수인거에요??
이거 보고 낮잠 한숨 잤습니다, 감사합니다!
수학 문제 풀면서..한번쯤 왜 음수곱하기음수는 양수인지에 대한 궁금증이 있었는데..ㅋ이것에 대해 다뤄주셔서 너무 좋아요ㅎㅎ
저는 그냥 빛을없앴으니
-1 - -1=0
그러므로 곱하기도 비슷하겠지
이러고 있었는데 생롭게알았군요!
전 그냥 뒤집은거에서 또 뒤집은거는 결국 앞으로 가는거여서 양수라 생각함요 예를들면 그냥 사람이 잇는데 원래 앞으로 걷잖아요 근데 음수를 한번줘서 방향 회전을 시켯는데 거기서 또 음수를 줘서 그 상태에서 뒤로 가는거죠..ㅋㅋ 이상 티엠아이충이엿습니다
아 또 숫자 자체의 음수는 방향을 부호의 음수는 움젝임 방향으로 이해햇습니닼ㅋ
@@user-fw3lw9yg3f 왠 시비징
@@foxminimonger 전적이 너무 화려해서?
한 러시아 교수가 긍정과 긍정이 만나면 부정이 될 수 없다고 했습니다. 그떄 한 한국인 학생이 말했습니다.
"잘도 그러겠다."
이게 레전드다
정말 대단해
'잘도' 부터 이미 부정임
이건 반어법이지 긍정과 긍정 긍정이 아니라고 들었던 거 같아요 다른 언어에도 반어법은 있으니 이건 잘 못 됐다고 하더라구여
@@익명-l1l2t 신기한 한국어의 세계
음수끼리의 곱이 양수가 나온다는 당연하게 생각하던 사실을 쉽게 잘 풀어서 설명해 주신 것 같아요. 모든 것이 수학적으로 근거가 명확하게 존재하는 결과물이었네요
저도 암기세대라...동감합니다.
수학을 따져가다 보면, 우주가 나오고, 우주를 따져가다 보면, 철학이 나오고, 철학을 따져가다 보면, 종교가 나오고, 종교를 따져가다 보면, 결국엔
'나'가 나오죠...
반평생 넘게 살다보니 얻은 결론 입니다.
수학적 이해가 부족한 사람에게는 "임마, 음수 x 음수 는 양수야 ! 따지지 말고 걍 외워 " 하는 것이 최상임. 설명이 더 어려움
음수x음수= 양수라는 것은 암기세대 문제는 아니지 않나 나 고2인데 나도모름
@@전하민-g3j ㅋㅋㅋ
수학적 일반화의 산물인게 중요한건데
영상 너무 좋은데 사물궁이 채널에서 이 내용을 보게될줄은 ㅋㅋㅋㅋㅋ 약간 초중딩때 이론 좋아해서 말 많으신데 수업 진도는 항상 느린 쌤들이 이 얘기 해주신 기억도 생각나네요...
예전에 배울 때도 진짜 궁금했다가 어설프게 넘어갔던건데 이런 주제까지 이렇게 쉽고 간단하게 알려주시니까 너무 좋네요! 감사드려요ㅋㅋ
(ㅋㅋㅋㅋ썸네일 때문에 로지컬님이랑 콜라보하신 건줄 알았네요ㅋㅋㅋ)
복소평면에서 -1을 곱하면 반시계방향으로 180° 회전하므로 1에 -1으로 곱하면 -1, -1에 -1을 곱하면 다시 돌아와서 1
근데 이건 방향이 들어가면서 백터가 되버려서 정의가 달라지지 않음?
라때도 이래 배웠는데
@@fleetadmirallunar1646 복소평면에서 회전은 방향을 뜻하는게 아니어서 가능할 것 같네요! e^(ipi)*e^(ipi)=e^(i2pi) 로요
복소평면 내가 학교 다닐땐 배웠는데 요즘엔 안배우더라
지나가던 공돌이 싱글벙글 ㅎㅎ
수학이라는 학문 특성상 이런식으로 풀어주면서 논리적으로 이해가능한 베이스를만드는게 중요하긴한데 문제는 학교에서 이렇게 가르치려면 진도나가는게 답이없어지니 그냥 묻지말고 외워가 되버림
되->돼
정말 깔끔하게 설명이 되어있네요!
다른예로는 0!=1로 한다거나 조금 더 어렵게 가면 함수의 해석적 확장이 있습니다. 리만가설의 핵심이 되는 제타함수도 이런 확장을 거쳐 만든 함수이지요.
0!=1인 이유가 있어요?
@@불덴이드 팩토리얼(!)의 규칙을 생각해보면 알 수 있습니다.
팩토리얼 함수는 기본적으로 자연수에서 정의되고(정의역이 자연수), 규칙 (n+1)! = (n+1) X n! 과 1! = 1을 만족합니다.
여기에서 n=0일때로 정의역을 확장하기 위해서 n=0을 대입해 주면, 1! = 1 X 0!이라는 식이 나오게 됩니다.
1!의 값은 1로 정의되어 있으므로, 0! = 1이 되는 것이 자연스러운 확장이 되는 것이지요.
이밖에 수학자들은 해석적 확장이란 기법을 이용해서 팩토리얼 함수의 정의역을 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장하기도 했습니다. 이렇게 만들어진 팩토리얼 함수의 확장 함수는 '감마함수' 라는 이름이 붙여져 있습니다.
@@불덴이드 (n-1)!과 n!의 관계를 생각해보면 됩니다. (n-1)!에 n을 곱하면 n!가 되므로, (n-1)! = n! / n 이라는 관계를 발견할 수 있습니다. 해당 경우 n = 1을 대입해보면 0! = 1로 정의하는 편이 자연스럽습니다.
영!이 일!
으아아 플라잉 이과다!
와 처음으로 제목보고 별로 궁금하지 않았다
또 나만 궁금하지
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@ArtForBetterNow ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
작대기가 하나면 음수, 두개면 양수ㅋㅋㅋㅋ
이거지ㅋㅋㅋㅋㅋ
이거지 ㅋㅋㅋ 작대기 한 개면 - 이고, 작대기 두개면 + 아님??
앜ㅋㅋㅋㅋㅋ 중딩때 형이 그렇게 설명했는데 ㅋㅋㅋ
반론:작대기가 3개면?
@@user-48i382i 음수
헐 진심 항상 궁금했던거
배우면서 어이없었음ㅋㅋㅋ
덕분에 반전술식을 터득했습니다. 감사합니다.
2:11 수학얘기 하다보면 "곱을" 이라고 읽어야되는거 "곲을" 이라고 읽게되더라고요
2:16 곲이
더 합리적으로 따져보자면 이렇게도 할 수 있습니다..
5 x 2 = 10 , 4 x 2 = 8 , 3 x 2 = 6 , 2 x 2 = 4 , 1 x 2 = 2 , 0 x 2 = 0 이렇게 나열해놓은 식에서, 앞의 수가 1이 작아질수록 결과가 2씩 작아진다는것을 알수있습니다.
따라서 -1 x 2 는 0에서 2가 작아진수로, -2라 할수있습니다. 정리하면 음수 x 양수 = 음수입니다. 이를 이용해 다시 나열해본다면,
-2 x 3 = -6 , -2 x 2 = -4 , -2 x 1 = -2 , -2 x 0 = 0 입니다. 여기서는 뒤의 수가 1씩 작아질수록 결과가 2씩 증가한다는것을 알수있습니다.
따라서 -2 x -1 은 0에서 2가 증가한수로, 2라 할수있습니다. 따라서 음수 x 음수 = 양수임이 설명되었습니다.
이렇게 수를 나열해 규칙성을 찾는것으로도 음 x 음 = 양 을 설명할 수 있습니다.
오
이것이 주로 학교에서 사용되는 증명법이기도 하죠
며칠전부터 이 질문이 머릿속에서 갑자기 꽂혀서 어떤 설명을 들어도 납득이 안됐었는데 규칙성을 찾아보니 납득이 됩니다...!!! 감사합니다😢❤❤
막상 이걸 처음 배우게되는 중학교 1학년에게 이런 방식으로 가르치기는 쉽지 않은데 그 이유는
1. 일단 분배법칙이 음수x음수 보다 진도상 나중에 배치되어 있기 때문입니다.
2. 배우는 순서를 수학쌤이 임의로 하여 분배법칙을 먼저 가르치더라도 이런 증명이 음수x음수=양수가 된다는 것을 직접 계산에 적용하는 연습을 해야한다는 것은 변하지 않고 연습을 하다보면 앞선 증명은 사라지고 걍 당연하게 받아들이기 때문입니다.
그럼에도 불구하고 이런 영상이 유용하거나 이해하는데 도움이 되는 이유는
1. 대부분 시청자들이 이미 분배법칙과 몇 가지 중등수학 지식을 알고 있는 상태라서 생애 처음 중1이었던 그때보다 이해력이 높아졌거나 익숙하기 때문입니다.
2. 내용이 무엇이든 사물궁이님께서 설명해주시면 기분이가 좋기 때문입니다.
정확한 지적...
언듯보면 저 방법이 집합이 고등과정으로 가고 항등원 역원구하는게 사라지면서 남은 유산 아닐까 싶네요.
응 아냐
분배의 법칙이 이렇게 때문에 음수곱 음수는 양수다...라는 건 정말 이해가 안 가네요. 공식을 공식으로 증명한다니...역시 난 수포자.
@@oqiipo
-1×2=-2
-1×1=-1
-1×0=0
-1×-1=? 우변의 숫자들이 1씩 커지는걸로 봐서 ?=1이 되는게 자연스럽다~라는 설명도 있어요 ㅎㅎ
수직선에서 곱하면 오른쪽으로 가는데 음수를 곱하면 0을 기준으로 반대로 반전되어 가고 음수×음수는 왼쪽으로 가던걸 반대로 뒤집어서 양수가 되는거인거 같습니다
네
나도 처음에는 수직선으로 배웠는데
네
저도 선생님이 그렇게 알려주셨는데ㅋㅋㅋ 수직선에서 양수의 방향의 반대로 갔다가 다시 반대로 가는거라고
0승이 1이되는건 이렇게설명하면 쉽습니다. 예를들면 2의 3승은 2를 3번곱하는거고 이를 그대로 써보면 x2x2x2입니다. 그럼 그앞에 숫자가 필요하고, 연산이 곱하기이기에 필요한건 곱셈의 항등원, 즉 1이되어 1x2x2x2가됩니다. 고로 어떤수 n의 0승은 1에다가 n을 0번 곱한것이기 때문에 1이되는거죠. 마찬가지로 n에0을 곱하면 0이되는것도, 덧셈의 항등원인 0에다가 n을 0번 더한것이 nx0의 정의이기때문에 0이되는거죠
0:01 제시카 외동딸 일리노이 시카고~
수학교육과 학생들이 수교론 시간에 배우는 형식불역의 원리 그 자체네요...ㅎㅎ 학교 수학 시간에 학생들에게 짧게 보여줘도 좋을 것 같은 영상이네요. 잘 보고 갑니다...ㅎㅎ
이렇게 확실하게 가르치는걸 당연하게 여겨야 수학에 흥미가 생길텐데...
이미 예전에 시도했던 때가 있었어요 근데 수포자들이 너무 많이생겨서...
학교에선 시간이 없어서 못 가르침 학원에서도 고등수학은 시간없고 초.중등만 가능
이런 식으로 하면 더 많은 사람들이 수학을 포기하지 않을까요...
증명하려드는것보단 이해시키는게 더 좋을거같음
저러면 진도못뺌
2:48 기존의 영역에서 성립하던 성질을 유지하면서 영역을 확장해 나가는 것을 '형식 불역의 원리' 라고 합니다
2x3=6
2x2=4
2x1=2
2x0=0
값이 2씩 줄어들고 있죠? 그렇다면
2x(-1)=-2 로 확장시켜 나가면 되겠구나! 가 바로 형식 불역의 원리!
나아가서
(-2)x2=-4
(-2)x1=-2
(-2)x0=0
2씩 늘어나고 있으니까
(-2)x(-1)=2 가 되겠구나!
고마워요 스피드웨건!
귀납적 외삽법을 쓰셨군요 ㅎㅎ 저도 전공자라 흥미롭게 보고 갑니다
@@jiomsiwnba859 ㄷㄷ...뭐라는 거야 둘이
형식불역의 원리는 기존의 영역에서 성립하던 성질이 확장된 영역에서도 유지된 상태로 성립되어야 한다는 원리이지, 개념의 영역을 확장하는 것 자체를 의미하는 용어가 아닙니다. 님이 쓰신 그 방법은 정수의 곱셈을 지도할 때 사용되는 수학적 모델 중에 귀납적 외삽법이구요..완전 다른건데 둘은
그냥 제 생각인데 간단하게 말하면 음수 곱하기 음수는 부정을 부정하는 거라고 할 수 있지 않을까요?
예을 들면
"이건 사과야."
"아니야. 그건 사과가 아니야." (부정)
"사과가 아니라니 니 말은 틀렸어." (부정)
마지막 말은 이게 사과라고 하는게 되니까
음수 × 음수 = 양수 이지 않을까요?
(개인적인 생각입니다)
가장 간단하게 증명하는 방법은
x축 위의 수직선에서 양수는 순방향으로 가고
음수는 역방향으로 가는 원리를 이용하면 됨.
(음수)*(음수)=역방향의 역방향이기 때문에
결국 순방향임.
음수 지도 모델중 하나인 수직선 모델이죠. 다만 수학적인 증명이라고 보지는 않습니다.
나도 이렇게 배움
증명이라기 보단 그림그리기
@@parksanghyun734 아씨 이름보고 아는 사람인 줄;;;
도움이 되네요 감사합니다.
해결됐다기보단... 응... 그렇구나... 하면서 어물쩡 넘어간 느낌...
공학도 입장에서 -는 반대방향의 의미를 가지고 있어서
-반대로 가고 거기서 -하면 반대의 반대로 가서 결과적으로 +방향
이상 공학자의 생각이었습니다.
ㅋㅋㅋㅋ 저도 이게 편함
모터방향인줄 ㅋㅋㅋㅋ
그럼 - 곱하기 + 는 머임? 반대로 가고 직진인감?
@@zzang-nx9fl 그거죠?
내 생각과 같음
이게 제일 이해가기 편함
이걸 학교에서가 아니라 사물궁이 잡학지식님이 가르쳐주시는 게 레전드
우리나라는 정해진 것을 알려주고 그대로 하라고만 하지 애들이 궁금해 해도 알려주진 않으니까요
박사과정분이 투고한 내용이라는거 보면 어려워서 안가르치는거 아닌가요?
대학교 전공 수학부터는 우리가 초중고에서 당연하게? 받아들이고 넘어갔던 것들을 하나씩 엄밀하게 정의하기 시작합니다 저런 증명들은 예전 교육과정에서 시도했다가 부작용이 너무 커서 뺐고요
학교에서 수직선으로 알려주던뎅
왜 그런지 납득이 안되면, 받아들이기 힘들어하는 사람들도 있는데..
스스로 답을 찾아내면 떡상하고, 못 찾아내면 수포자가 되어버리는 루트
수학은 어떤 진리라고 생각했었는데 이렇게 보니 편리를 위한 언어적인 도구였네요. 그렇게 생각하니까 ‘실제로 존재하지 않더라도’ 모순이 없다면 정의에 따라서 사용할 수 있다는 게 받아들여져요.
3x1=3
3x0=0
3x(-1)=-3 이렇게 곱하는 숫자의 값이 1씩 작아 질때마다 똑같은 값 만큼 줄어드는 규칙이 있기때문에 음수에도 똑같이 적용 할 수 있음
ㄹㅇ 궁금했는데 여쭤보기는 그래갖고 감사합니다
결론: 중1 수학에 교환법칙과 결합법칙을 정수의 사칙계산 들어가기 전 알려주는건 다 이런 이유가 있다...
정답
닫혀있다 열려있다 항등원 역원 왜 뺐는지 모르겠음...
신나라~☆ 수포자는 조용히 볼 뿐임니드아...
음수에서 무슨 수포를함 ㅋ
@@Um_Junsik 닉값 ㅎㄷㄷ
소리 껐을때 제일 좋은 채널 No.1
역시 우리 교육과정에는 의문을 가질수 있는건 어렵더라도 대충이라도 설명해 줘야한다고 생각합니다
대학 수학을 전공하면 해석학이란 과목을 배우는데 이런 일반화된 식을 증명하는 내용을 배우게 됩니다. 당연히 이렇다라 알고있던 내용을 증명하는 것이고 센스를 이용해 푸는 것이기에 증명 내용이 사람마다 다 다르고 말만 되면 증명이 되는 것 입니다. 그래서 책에 문제 솔루션도 거의 없습니다. 한 줄 식을 증명하는데 한 장 이상이 나오기 때문입니다. 사칙연산을 증명하려면 실해석학의 체의 공리를 이용하는데 초중고 학생이 이를 이해하기가 쉽지는 않을것 같습니다.
백만 수포자 양성 계획 ㄷㄷ
그러면 고등학교때 미적분 절대 못배워용...
비슷한 과정을 지수에서도 차원에서도 여기저기서 다 볼수있죠 지수에 복소수 들어가는거 보고 참..
복소방정식 오일러등식
지수에 행렬도 들어갈 수 있습니다! 선형미분방정식의 시스템을 풀 때 사용하는 방법입니다.
@재윤 고 ?
교과서에서는 다음과 같이 이해시키더라고요
-1 x 2 = -2
-1 x 1 = -1
-1 x 0 = 0
-1 x -1 = ?
이 때 ?는 1이 되는 게 자연스럽다면서 귀납적이면서도 직관적으로 이해하게 만들더군요
귀납적 외삽법이라고 불리는 방법입니다 좋은 방법이에요
철학적으로 보자면 부정의 부정은 긍정이라 볼수있고 물리학 혹은 벡터의 관점에서 보면 음수는 방향이 반대인 것을 사용하면 쉽게 이해할 수 있습니다
이게 제일 이해 잘간다
사물궁이 섬네일도 로지컬처럼 됐엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
1:31 지나가는 초등교사입니다... 사실 3번의 분배법칙은 공식적으로 초등에서 가르치지 않습니다. 초등 교육과정상에서 분배법칙이라는 용어 자체가 없는데다가 저 성질을 직접적으로 이용하여 뭔가를 계산하지 않습니다. 물론 간접적으로 이용 하긴 합니다만... 분배법칙은 중학 이후에 등장하는 개념입니다.
마이너스는 그냥 역벡터처럼 방향을 반전시켜준다는 개념으로 생각하면 됩니다,, ! 수직선에서 + 방향으로 가는 것을 마이너스 기호를 붙여줌으로서 - 방향으로 반전시켜 줄 수 있는 거죠.. 근데 마이너스가 두 개 있으면 방향이 두 번 반전되니까 다시 원래대로 + 방향이 되겠죵
네?
뒤로 가는 것을 다시 뒤로 하면 앞으로 오는 것 같은 느낌이네요
a에 어떤수를 더해야 0이 될까 하는 어떤수가 -a 라고 이해하는게 확장하기 더 편할거 같아요 -a 에 -(-a) 를 더하면 0 인데 이는 상식적으로 생각해보았을때 a 겠죠
엄밀히 말해, 그렇게 생각하시면 안 됩니다..
수에 방향을 부여한다는 것 자체가 벡터공간 속 벡터로 보겠다는 건데, 이건 수를 지나치게 협소한 관점으로 보는 거고, 더 엄밀히 말하면 본질에서 한참 벗어난 해석입니다..
@@Total_Syntheses 네네 저도 알아요,, !! 그냥 이해하시기 쉽게 직관적으로 설명하고 싶어서 방향성을 도입해봤습니다.. 실제로 중학 과정에서 처음 음수를 배울 때 중학교 선생님들이 많이 도입하시는 설명 방식이기도 합니다
돈을 +, 빚을 -
그리고 버는걸 +, 갚는걸 - 라고 한다면
돈(+)을 × 번다(+) = (+)
돈(+)을 × 갚는다(-) = (-)
빚(-)을 × 번다(+) = (-)
빚(-)을 × 갚는다(-) = (+)
로 생각하면 이해가 잘됩니다
오
옛날 사람들도 이런식으로 설명하곤 했죠. 논리로 뚜까맞고 잠적했지만..
허수는 뭐죠
빚 갚느라 상하차 갔는데 허리 다쳐서 병원비가 더 많이 나오면 허수인가
로지컬님 뺨치..... 아니 천재적이네요.
저 씽씽이도 덕분에 수학능력+1 하고 갑니다🧮
좋은 영상 감사합니다. 저만의 일반화는 수직선에서 거꾸로 방향을 바꾸어주는 것이 마이너스를 붙인다 또는 마이너스1을 곱한다 였습니다.ㅎ 일반화라는 것. 굉장히 중요한 이해의 고리가 되는군요.
수학쌤인데 몰랐네요
앞으로 질문하는 애들이 있으면 이렇게 알려줘야겠네요
... 어느 대학 졸업하심.?
수교과에선 추상대수 안배워용?
@@임찬우3117배우구요 아마 이분은 전공자는 아닌 학원선생님이지 않을지..
처음으로 사물궁이가 가르쳐줬는데도 이해가 안가는 궁금증이네요 ㅜ,ㅜ
귀납적 외삽법을 사용하면 받아들이기 쉬워요
-1 × 3 = -3
-1 × 2 = -2
-1 × 1 = -1
-1 × 0 = 0 여기까지 답이 1씩 커지는 모양을 확인할 수 있어요 따라서 다음식인
-1 × -1 = 1 과 같은 결과를 얻어낼 수 있죠!
"강한 부정은 긍정이다."
1번x2번
1번의 부호 : 수직선상 방향
2번의 부호 : 결정
1 : +면 그 수직선상 앞으로(오른쪽) --면 뒤로
2 : +면 1번의 방향대로 가세요 -면 안됩니다 반대로 가세요
EX)플플 : 앞으로 갈게요-> 네 앞으로 가세요 = +
플마 : 앞으로 갈게요-> 안됨 뒤로가세요 = -
마플 : 뒤로갈게요-> 네 뒤로가세요 = -
마마 : 뒤로갈게요-> 안됨 앞으로가세요 = +
곱 발음은 [곲]이 아닌 [곱] 그대로입니다..
ex)두 수의 곱은 -> 1.[곱쓴] X
2.[고븐] O
@@임현재-q9f 곱셈이랑 곱은 다른 단어예요
@@gocgoc390 그런가요 ? 좋은 정보 감사합니다
해당 되는 내용일지 모르겠으나
학교 당길 때 배웠던
쁠쁠쁠
쁠마마
마쁠마
마마쁠
생각남
쌤이 이렇게 알랴줬움
그건 좌표평면인듯
배울때 뭐지 저게 왜? 이러면서 그냥 외웠던건데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 신기하네요
학교에서
왜요? 라고 하면
그냥 외워! 하니까...
갈 진도는 멀고.. 설명할건 많고..
선생님한테 여쭈어봤는데도 그런 대답을 들으셨다면 그 선생님께 문제가 있는 것입니다
유튜브에서 맨날 이상한 증명만 보다가 오랜만에 제대로 된 증명을 봤네
구슬 2개 따는 것을 2번 했다. =4개 땄다 2x2
구슬 2개 잃는것을 2번 했다. =4개 잃었다 -2x2
구슬 2개 따는 것을 2번 못했다. =4개 잃었다 2x-2
구슬 2개 잃는 것을 2번 못했다. =4개 땄다 -2x-2
초등 4학년아이한테 설명해주니 바로 이해함.
이거 우리 고등학교 수학쌤이 깜짝 퀴즈로 낸 건데..ㅋㅋㅋㅋ -1×-1=1을 증명해보라고.. 당연히 아무도 못 풀었고 생각보다 간단한 증명에 다들 놀랐던 기억이 있네요.
머리카락은 길게 자라는데 왜 팔과 다리에나는 털은 머리카락만큼 길게 안자라는지 궁금해요
사실 a를 b번 센다는 개념은 이미 실수×실수 범주에서 벗어나버렸죠
음수×음수에서 태클거는건 타이밍 놓친것
오,, 일리있👍🏻
수학적으로 엄밀한 설명은 아니지만 수직선에서의 방향성으로 말하는 게 가장 쉽게 와닿더라고요. 분배법칙으로 푸는 건 결국 음수라는 추상적 개념을 이해하기 위해 *또 다른 추상적 개념* 을 쓰는 셈이니까요. 증명이 아니라 이해하는데 쓰기엔 부적합하죠.
기본적으로 자연수(양의 정수)에서만 생각했을 때 수직선에서 덧셈은 오른쪽(커지는, 0에서 멀어지는), 뺄셈은 왼쪽(0에 가까워지는)으로의 방향성을 가진 연산임을 생각하면 마찬가지로 양수도 오른쪽, 음수도 왼쪽이라고 이해할 수 있죠.
5 - 3 에서
(+5) - (+3) 을 (+5) + (-3)라고 바꿀 수 있듯이
덧셈 뺄셈과 양수 음수가 (적어도 실수 범위 내에서는) 본질적으로 같은 개념 취급할 수 있으니까요.
이런 기준에서 음수 자체가 다르게 표현하면 양수에 -1을 곱하였음을 생각하면
-를 곱한다는 것은 방향을 바꾸는 것, 다르게 말하자면 0을 기준으로 180도 회전시키는 것과 같죠.
따라서 음수에 음수를 곱하면 왼쪽에서 다시 회전하여 오른쪽이 됩니다.
* 마찬가지로 허수는 제곱해야 음수가 되므로
0을 기준으로 90도 회전
집단에서 멍청한 사람이 (1) 만큼의 손해를 가져다준다 가정할때, 멍청한사람이 3명이 없다면 3의 이득인 샘 -> (-1) x (-3) = 3
2:52
체계를 확장시킬 때 기존 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 한다는 '형식 불역의 원리' 같은 경우 고교 세특에서 써먹기 좋습니다!
논리회로의 개념으로 봐도 되고 복소평면 개념으로 봐도 되고 벡터의 개념으로 봐도 증명이 가능한 공학도가 되실분들 없나요
사물궁이님도 곱이를 [곱시] 라고 발음하시네요. 어디서 온 발음일지 궁금.. 생각보다 저렇게 발음하시는 분들이 많더라고요.
값이랑 성분이 비슷해서 그런듯 ㅋㅋ
두려워 겁시나~
영상 다 보고 드는 생각은
역시 주입식 교육이 짱이네
우주의 비밀 풀 사람 아니면 걍 외우고 지나가는게 편해
어젯밤에 잠이 안와서 유툽보다가 이거보고 잠들었는데 내용이 생각안나서 지금 다시
중1때 처음배웠을때 간단하면서도 제일 이해가되지않은 문제였음
왜 음수x음수=양수냐고 여러곳에 물어보니까 최종답변이 그냥 공식이니까 외워라라는 답변이 충격적이었는데 여기서 풀게되네요
솔직히이런거좀제발 교과서에쉬어가기에좀 달아놓자 ㅡㅡ 걍 공부하다보면 왜?라는 질문가지는 순간 진도가안나가고 공부가안됌. 그래서 자연스럽게 왜?보단 많이 외우자가 습관이되고 그게 현 교육과정 방향성임.
당시 배울 떄는 그냥 그러려니 했는데 나중에 성인 되고 나니까 왜 음수끼리 곱하면 양수가 되는지 참 궁금했었죠
그리고 이 영상을 봐도 여전히 이해가 안되는 제 머리란..
ㄷㄷ 신기하네요 그냥 받아들이시는것도 좋을듯
지나가던 문과입니다. 계속 지나가겠습니다.
내가 몇년전 어느날 음수곱하기 음수는 왜 양수가나오는거지? 하고 갑자기 너무 궁금해서 몇시간동안 자료찾아보고 영상찾아보고 해도 증명하는법이나 계산하는법밖에 없는거임
그렇게 두세시간째 찾아보다가 한 강의하는 분이 명확한 해답을 해주셨음..
'그냥 계산하면 그렇게 나온다'
내가 너무 문과적으로 접근해서 이해를 못했던거였음..
그때 너무 신선한 충격이었는데
뭔 말인지 모르겠습니다 휴먼
수학을 쉽게 이해하는 법:
그런갑다 하면 의외로 빨리 배움
ㅋㅋㅋ ㄹㅇㅋㅋ
근데 저런 짓이 재밌잖아요
@@오네로아 근데 저런 분들이 대학원 가더라구요...
와 너무 신기하네요 하루전부터 계속 이 고민을 하고 있었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ 사물궁이는 제 머릿속을 해킹하는 거 같습니다 ㅋㅋㅋ
곱하기는 주어진 값을 /여러번/ 더한다는 개념이죠.
우선 /양수번/ 더한다는 곱셉 개념은 우리가 상식적으로 잘 아는 개념입니다.
1x0=0(1을 0번 더했다는건 아예 더해진 값이 존재하지 않으니 0)
1x1=1 (1 그 자체를 한번만 더했을뿐이니 그 자신밖에 안남음),
1x3=1+1+1=3 (1을 3번 더한값)
2x4=2+2+2+2=8 (2를 4번 더한값)
같은원리로 음수값도 똑같습니다.
(-1)x0=0,
(-1)x1= -1
-1x3=(-1)+(-1)+(-1)= -3, -(2)x4=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)= -8
그런데 문제는 /음수번/ 더한다는 개념이죠. 그래프로 그리면 반대 방향성입니다.
이걸 그래프로 그리면 직관적인 이해가 쉽습니다.
곱셈에서 말하는 덧셈은 그래프 0을 기준으로 주어진 량(量)만큼 더한다는 개념입니다.
주어진 량(量)을 /양수번/ 더한다고 생각하면
2x4=2+2+2+2=8 ---> 0을 기준으로 +2이라는 량을 4번 더한 값이죠.
-(2)x4=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)= -8 ----> 0을 기준으로 -2이라는 량을 4번 더한 값이죠.
이번엔 주어진 량(量)을 /음수번/ 더한다고 생각하면
(-2)x(-4)= -((-2)+(-2)+(-2)+(-2))= 8 -----> 0을 기준으로 -2이라는 량을 -4번 더한 값이 됩니다.
즉, -2라는 량이 /양수번/ 더해지면 0을 기준으로 원래방향 즉, -방향으로 더해진 만큼 커진 량이 되지만
-2라는 량이 /음수번/ 더해지면 0을 기준으로 그 반대방향 즉, +방향으로 커진 량이 되는거죠.
반대로 +2라는 량이 /음수번/ 더해지면 0을 기준으로 그 반대방향 즉, -방향으로 커지게 됩니다. 2x(-4)= -8
그러므로 (-1)x(-1)=1 --> 0을 기준으로 -1 이라는 량을 -1번 더한 값은 -(-1)=1 이라는 사실을 발견하게 됩니다.
이 원리로 덧셈에서의 교환법칙과 결합법칙이 당연히 곱셈에도 적용되게 됩니다.
사물궁이 님 저희가 미쳐 궁금하거나 엄두가 나지 않아 못하거나 알지 못한 거를 이렇게 영상으로만들어서 쉽고이해가 잘됬어요 특히수학할떄 궁금했는데 감사합니다
다음번에는 허수는 왜 대수비교가 불가능할까에 대해서도 해주세요!
여러 가지가 있는데 그 중 제일 간단한 건 우리가 흔히 아는 부등식을 보면 그 조건이'실수일 때만'이라는 조건이 달려 있어서 불가능함.
@@에이스-x4k 불가능하니까 실수일때만이라는 조건을 달은게 아니고 실수일때만 이라는 조건이 달려서 불가능한거라고?
@@에이스-x4k 부등식의 정의에는 실수에 대해서만 성립한다는 기본조건은 없습니다. 결론적으로 허수는 대소비교가 불가능하기에 그냥 실수만을 부등식의 재료로 사용할 수밖에 없는 거죠.
허수가 대소비교가 불가능한 이유는 귀류법으로 증명을 할 수 있습니다. 단순히 부등식은 실수만 가지고 나타내기 때문에 그런 것이 아니라 허수를 사용하여 부등식을 나타내면 모순이 발생하기 때문입니다.
에이스님은 "허수는 부등식의 재료로 사용할 수 없는 이유는 부등식은 실수만을 재료로 사용하기 떄문이다"라고 하셨는데, 이건 그저 결과론적인 답변일 뿐입니다 ㅎㅎ
@@이우현-x2c norm 값이면 몰라도 복소수가 2차원인 이상, 그자체로 대소비교를 하긴 어렵죠 그게 가능하다면 모든 벡터, 행렬의 대소비교가 가능해야되요
@@이우현-x2c 지가 알면서 알려달래 ㅋㅋ
수학에서 잘 이해가 되지 않는 개념들은
그래프를 통해 기하학에 전개하면
의미있는 내용을 얻을 수도 있습니다.
나는 -가 두개라 교차해서 합치면+가 돠는 걸로 외웠는데ㅋㅋㅋ
그래서 난 -(-5) 가 있으면 - 두 개 연결하고 짝대기 하나 더 그었음 ㅋㅋ
정수의 사칙계산의 원리는 여러가지 모델을 이용하여 직관적으로 이해하게 할 수 있다
힘내요! 파이팅!! 3주 남앗네요
으아 해결이 안되고 더 궁금해졌어
대학의 대수학을 배우면 알게되죠 (실수,+,*) 이라는 환이 a+(-a) = 0 이므로 -a 는 + 에 관해 a 의 역원이고 그렇다면 -a 의 역원은 -a + -(-a) = 0 가 되어 -(-a). -a 에 대한 역원은 유일해야 하므로 a = -(-a)
환의 원소를 자연수로 해놓고 논리를 전개했는데, 결과물이 환의 원소가 아니네요?
연산에 대해 닫혀있지 못 한데.. 이게 어떻게 증명이죠?
@@Total_Syntheses 아 그렇네요 죄송합니다 수정했습니다.
@@142smdopp 이러면 실수나 정수집합은 또 체라서 논리적 비약이 시작되죠..
결국 비약이 시작되는 원인은 음수를 제대로 정의하지 않았기 때문에 발생합니다..
대수구조에 음수를 집어넣기 전에 음수를 먼저 정의부터 해야합니다.
대부분의 영상에서 이런 논리들(숫자를 벡터로 보거나 / 대수구조에 멋대로 쑤셔박기 등)을 적용하는데, 너무 비약입니다.
ruclips.net/video/VXakafYENhU/видео.html
유튜브 영상 중에서 이 영상 외엔 제대로 설명하는 게 없더군요..
@@kigwangjeong7034 ㅋㅋㅋ 그냥 거짓(-)의 거짓(-)은 진실(+)이라고 외웁시다
@@Total_Syntheses 체 또한 환의 일종 아닌가요? 환의 역원으로는 음수의 곱셈을 증명할수 없는걸까요... 일단 올려주신 영상은 잘 보았습니다. 굉장히 쉬운논리로 풀어서 설명하시네요 덕분에 공부가 되었습니다.
야호 파고
파고
digh
다음엔 1+1이 왜 2인지도 설명해주세요
ㅗ+ㅗ 는 쌍빠큐입니다
??? : 1+1은 2예요 왜냐하면 ~~~
이거 증명이 한 700쪽 분량이라고 들었는데ㅔ
네~알려드렸습니다~
@@박찬영-g9d 헐...
몇몇은 제대로 비유하는데 몇몇은 비유를 0으로 되게하네
내일 수학시험인데 유튜브 알고리즘이 나를 이곳으러 안내해 주셨다.
난 그냥 수직선 그려서 마이너스가 왼쪽이니까
(-2)×(-3)=+6
이라하면
왼쪽으로(-) 2로 가있는 수(2)
를 방향 바꿔서(-) 3번 더 간다(2×3)
그러면 도착한 곳은 +6 이다 라고 생각했음 예전에 중1때
음의 정수의 사칙연산을 수직선 모델로 배우셨네요! 사실 거의 모든 교과서가 수직선 모델로 정수의 사칙연산을 설명하곤 하죠
다음에은 왜 0.99999....=1이 성립하는지 다뤄보는 것도 재미있을 것 같습니다. 머리로는 0.99999...가 1과 같은 수라는 것이 바로 납득이 안 가지만, 수학적으로는 중학생도 바로 이해할 수 있을 만큼 간단히 증명이 되니 말이죠.
오 좋네요.
맞아요 3곱하기 1/3이 1이되어버림.. 0.9999999가되야하는데 1/3이0.3333333이므로
이거 사실 순환소수 나오는 단원에 바로 나오는 거긴한데
@@HotPlace 그걸 증명하려면 먼저 0.333이 왜 1/3이랑 같은지를 증명해야됨 0.999=1이랑 0.333=1/3은 서로 동치임
반올림 해서 그런게 아닐까요?
한 줄 요약: -1X-1=1이 아니라면 지금까지 쌓아온 수학이 모두 폭☆BAL 하기 때문이다.
강한 부정은 긍정이기 때문
좌표로 이해하면 쉬어요
부정의 부정은 긍정이라는 말도 생각 나네요
옛날에 -짝대기 2개합쳐서 +된줄 알았는데 ㅋㅋㅋ
팩토리얼도 고등학교까진 자연수에서만 가능하지만 감마함수라는것을 적용하면 더 넓은 수의범위에서도 적용가능합니다😉
일반화라는 단어도 완전히 틀린 말은 아닌데 일반화보단 "형식불역의 원리"라는 해당 상황을 지칭하는 용어가 있어 "형식불역의 원리"를 사용해주셨으면 더 좋았을 듯 합니다ㅎㅎㅎㅎ
아마 자문하신 분의 전공이 수학교육이 아니라 수학과여서 정확한 용어는 잘 모르셨을 듯 합니당. 아니면 프로이덴탈을 잘 몰랐거나
강한 부정은 강한 긍정
다른 얘기긴 하지만 고등 과정까지 배우면 복소평면으로 알려주는게 편함