Ottimo video che serve, tra l'altro, a far capire ai ragazzi che l'universo matematico è pieno di immaginazione e di creatività. La matematica è l'antitesi della noia.
Ma l'ipotesi iniziale è "per ogni a appartenente al campo dei Reali", mi aspettavo una dimostrazione per i reali e non arrivare al campo complesso. O sto sbagliando io?
Capisco il senso del video, ma a mio avviso potrebbe generare confusione. Le radici n-esime di un numero complesso non nullo sono sempre esattamente n, questo però non impedisce di definire l'esponenziale complesso e^z che assume un unico valore per ogni numero complesso z, ed è una funzione olomorfa. Il punto è che quando la base è un numero reale positivo a>0, allora a^z ha un valore complesso "privilegiato" per ogni numero complesso z. Si ha infatti a^z = e^(z log a), da cui 1^z = 1.
Grazie del commento e dell'interessante osservazione. Non concordo sulla conclusione del suo ragionamento. Il logaritmo complesso è una funzione polidroma, quindi la conclusione è semplicemente che 1 è uno dei possibili n risultati. Quindi no, non genera confusione.
Video simpatico per far pensare i ragazzi e introdurli al lato creativo della matematica vera che (magari) scopriranno dopo il liceo. Poi, chiaramente, se anziché considerare il gruppo additivo abeliano Q o R per l'esponente e il campo dei complessi per la base (unità), prendessimo in esame l'unità nei quaternioni o in un altro insieme di cui i complessi sono un sottoinsieme proprio con qualche proprietà in più, la cosa dovrebbe essere parimenti valida... o se addirittura prendessimo in considerazione anelli abeliani (i.e., commutativi) come i decadici e via dicendo.
Salve, mi sfugge un fatto: se si ammette che in C la radice quarta di 1 può anche essere -1, come si giustifica il fatto che mentre la radice quarta di 1 è positiva, -1 è un numero negativo. Come si "traducono" I concetti di positivo e negativo da R in C?
@@GaetanoDiCaprio Appena rientro a casa riprendo quelli del liceo e di analisi perchè veramente questa cosa non me la ricordo , deve essere la mancanza di allenamento 😞
Non ho capito. Per trovare un caso in cui la condizione non è soddisfatta siamo passati a C, mentre in R era sempre valido l'assunto. E l'assunto iniziale parlava di R, perciò mi pare fosse vero.
@@GaetanoDiCaprio Scusa Gaetano ma intervengo anche qui: la questione non è come considero "1" (che è appartiene a N, a Z, a R e a C, quindi non è che "lo considero" un numero complesso in quanto lo è così come è un reale), ma a creare l'equivoco è l'operazione di elevamento a potenza in R o in C (che, come sai da altri messaggi che ho scritto, considero univoca anche in C usando la determinazione principale del logaritmo complesso). Non capisco perché sia considerata una cosa così strana quella di definire in C operazioni con valore singolo, visto che queste definizioni coincidono con quelle date in |R quando le applichiamo ai reali. E non si capisce perché questi problemi ce li facciamo in C ma non in |R: non serve infatti ricordare che per definire la funzione radice n-esima in |R con n pari, si sceglie la determinazione positiva, e per definire le funzioni goniometriche inverse si restringe il campo delle funzioni dirette affinché siano invertibili. Allo stesso modo, in C la funzione e^z non è invertibile, per renderla tale restringo il suo dominio alla striscia -pgreco minore di Im(z) minore o uguale di pigreco, così la sua funzione inversa è Log(z) che quindi è univoca. Con Log(z), come ho già scritto in altri messaggi, definisci l'esponenziale complessa con valore univoco z^w=Exp(w Log(z)). Non capisco la necessità di questa "polidromia ad ogni costo", che tra l'altro offre più svantaggi che vantaggi: ti invito, ad esempio, a riflettere su questioni quali continuità e derivabilità per funzioni a più valori.
@@GaetanoDiCaprio Grazie Gaetano. In effetti ho anch'io questo testo, in pdf. Ho visto che viene data la definizione di z^w come funzione (polidroma) e^(w log(z)) utilizzando la funzione polidroma log(z). Viene poi detto che il valore principale di z^w è dato da e^(w Log(z)) dove Log(z) è il valore principale del logaritmo log(z). Dal punto di vista concettuale va tutto bene, nessuna obiezione. Però, esattamente come distingue Log(z) e log(z), andrebbe utilizzata una diversa notazione per i due elevamenti a potenza, cioè per la funzione polidroma e^(w log(z)) e la monodroma e^(w Log(z)). E qui si arriva al nocciolo della questione: la notazione z^w andrebbe utilizzata SOLO per e^(w Log(z)) poiché questa, e solo questa, è coerente con la potenza a^b=e^(b ln(a)) nei reali (a maggiore di 0). Voglio fare un esempio. Immagina che io faccia un video avente come titolo " arcsen(0)=0 : FALSO? " e l'argomentazione fosse :" arcsen è una funzione polidroma che verifica arcsen(0)=n pigreco (n intero qualsiasi), quindi arcsen(0)=0 è errata poiché 0 è solo UNA delle infinite determinazioni di arcsen(0)". Tu potresti ribattere: "arcsen è definita su tutti i libri di analisi come funzione univoca, quindi la tua considerazione è errata". E invece no: esistono libri di analisi (un po' datati) in cui arcsen è considerata una funzione multivoca. Come se ne esce? Semplice: se proprio non vogliamo rinunciare (mentre in effetti oggi viene fatto) ad un concetto di arcoseno come funzione multivoca, dovremmo perlomeno utilizzare un'altra notazione (magari arcsen e Arcsen, come si fa con il logaritmo nei complessi). Sono consapevole del fatto che le funzioni polidrome ed i loro branch possano avere applicazioni interessanti, però anche qui andrebbe adottata una notazione diversa per ogni specifico branch. Ciò non significherebbe diminuire l'importanza delle funzioni polidrome, ma soltanto viverle secondo l'idea che, alla fine, ogni funzione è "univoca" (perché è molto più comodo che sia così, non per altre ragioni).
Pleonastico, ma va detto: ottimo! A differenza di Alessandro, a me invece ha stupito il titolo "Lo strano caso della potenza con base 1". Alcuni anni fa, quando insegnavo allo scientifico, avevo infatti scritto una lezione dal titolo "Lo strano caso delle potenze con esponente nullo". Una lezione che mi serviva per far osservare ai ragazzi che a^0 (ovviamente con a≠0) doveva essere imposta come definizione e che il valore di a^0 era predestinato (o vincolato) ad essere necessariamente = ad 1, se a^0 doveva avere la "cittadinanza" di potenza in N con tutti i diritti di cui godono le altre potenze con esponente ≠ da 0 (ovvero quelle 5 proprietà solitamente elencate nelle prime pagine dei libri di matematica delle superiori). Sulla stessa linea "deterministica", ho tentato di spiegare il motivo per cui le potenze con esponente intero negativo dovevano essere "uno su ...". A distanza di qualche anno da quelle lezioni, credo di essere stato troppo zelante. Ma penso che le ragioni profonde di una definizione debbano essere sempre motivate per essere ben comprese.
Penso invece che tu abbia fatto bene! Giusto per pignoleggiare ti faccio notare che nel caso di 0^0 le proprietà delle potenze non determinano il risultato (perché le potenze con esponenti negativi si possono fare solo se la base non è nulla). Dunque 0^0:=1 è veramente una convenzione (utile).
Direi: non tanto il "considerare 1 € C" (poiché 1 e' sempre 1, dove lo metti lo metti!), bensì considerare la operazione di elevamento a potenza non più nella struttura algebrica (R,+,×, ecc), ma ora nella struttura algebrica (C,+,×, ecc), con le proprietà che in qs ultima sono vigenti.
Capisco che forse l'obbiettivo del video sia quello di accennare i numeri complessi, con un esempio per far riflettere chi non ha mai ragionato su questo argomento. E capisco che si voglia farlo in modo accattivante, però bisognerebbe farlo senza dire cose imprecise(sbagliate) che rischiano di confondere chi è alle prime armi... Perché non è vero che è falsa la soluzione "per ogni "a" appartenente a R" , al massimo avresti dovuto scrivere una frase del genere "Non sono tutte le soluzioni" oppure "Ci sono altre soluzioni" , non credi? Per tutti quelli che sono confusi a riguardo volevo sottolineare l'ovvio, cioè che : 1 elevato a qualunque numero reale fa sempre 1, quindi la soluzione "per ogni "a" appartenente a R" è VERA, come è vero che ci sono anche ALTRE soluzioni all'interno dei numeri complessi.
Grazie per il commento, mi dà l'occasione per chiarirmi le idee. Nel video non c'è nulla di impreciso né tantomeno di sbagliato. E' un'occasione per riflettere sul fatto che la verità o falsità di un' uguaglianza in matematica spesso dipende dal dominio in cui la si interpreta. E' un fatto assolutamente normale al quale non si dà sufficiente enfasi. L'uguaglianza 2-5=-3 è vera nei numeri interi e falsa nei naturali, nessuno si scandalizza. Per quanto riguarda la "confusione" forse hai ragione, ma la confusione è generatrice di conoscenza molto più di quanto non sia il classico dogmatismo con cui si insegna di solito la matematica. La confusione può generare voglia di discussione e di comprensione a un livello più profondo. E il tuo commento ne è un esempio.
@@GaetanoDiCaprio Si sono tutte cose filosoficamente giuste quelle che dici, sia sulla confusione che sulla verità o falsità di un'equazione in base al dominio... Ma io sto parlando di logica. Cioè, la frase : "l'equazione 1^a=1 ha soluzione per ogni "a" appartenente a R" è VERA punto. Non importa che ci siano altre soluzioni in C, questa frase resta VERA, mentre tu dici all'inizio del video che questa frase è FALSA. Ora se già la frase fosse stata "La soluzione dell'equazione 1^a=1 sono tutti e soli gli "a" appartenente a R" già sarebbe stato possibile dire che è FALSA, anche se sarebbe stato giusto dire che stabilire se è vera o falsa dipende dal dominio in cui la si considera. Ora spero che io non ti debba convincere di questo, ma se non concordi dimostrami che mi sbaglio. Poi sono perfettamente d'accordo che non si dia sufficiente enfasi al fatto che la soluzione dipende dal dominio su cui la si interpreta, però ripeto non è quello che dici nel video, forse è quello che volevi dire, ma non è quello che hai detto.
@@bosssmer forse non hai guardato il video abbastanza attentamente: io non parlo mai di equazione, non ho mai menzionato soluzioni di un' equazione. Quella mostrata è un'identità che non vale nei complessi. P.S. il commento sulla confusione può essere considerato filosofico mentre il dominio in cui interpretare una relazione non ha nulla di filosofico!
@@GaetanoDiCaprio Si assolutamente non parli di equazioni o soluzioni di un'equazione. Però se ascolti bene quello che dici, da zero a 35 secondi, non è corretto, non importa come la si vuole interpretare, per favore ascolta bene l'ultima affermazione che dici prima dei 35 secondi, non c'è verso che sia giusta, quantomeno nell'analisi standard, se poi ci allontaniamo troppo ogni affermazione la si può far diventare vera o falsa a piacere, basta cambiare il contesto. Perché per dimostrare che quello che dici sia vero, avresti dovuto trovare un numero reale "a" per cui 1^a fosse diverso da 1 ... mentre tu dici: per a=1/4 , ci sono ALTRI 3 risultati(cioè altre 3 identità) oltre a quella scritta 1^a=1 ... Oppure un altro modo per rendere vera la tua affermazione sarebbe stato quello di dire "dia come UNICO risultato 1" o qualcosa del genere... Mi sto spiegando? Purtroppo ora non ho più tempo da dedicare a questa discussione quindi ti risponderò nei prossimi giorni. P.S. si si il filosofico era riferito solo al commento sulla confusione, non a quello del dominio, mi rendo conto, rileggendo, che non era molto chiara la mia frase.
Secondo me c'è un errore nel proporre ed esporre la conclusione del video. Mi spiego: da presentazione io mi aspetto che il risultato di 1^a possa essere diverso da 1. Con 1 come base appartente ad N e 1^a come funzione. Ad un certo punto il video si sposta a proporre che 1 può essere il risultato di una equazione x^(1/n)=1 ed i numeri complessi non c'entrano: anche 1^ 1/2 ha due soluzioni, entrambe reali, +1 e -1. Insomma si parla di una funzione esponenziale in cui per definizione, se ricordo bene, la base deve essere >0 o di una equazione?
Ciao, grazie del commento. Si parla di funzione esponenziale, sì. Nei reali è una funzione "classica" che restituisce uno e un solo valore. Nei complessi invece è una funzione "polidroma" ossia restituisce un insieme di valori. Quindi l'affermazione iniziale può essere vera se il dominio è l'insieme dei numeri reali, mentre è falsa se il dominio è l'insieme dei numeri complessi. Nella conclusione del video in maniera molto chiara ed esplicita dico che se 1 è un numero complesso allora 1 alla 1/4 ha ben 4 valori. Cioè faccio vedere che l'affermazione è falsa nei complessi.
la cosa è davvero affascinante, mi pare di capire che il punto nodale è che il numero 1 nel campo complesso in realtà corrisponde ad un numero complesso di modulo 1 ma di argomento 0 + 2πn, cioè in notazione esponenziale 1 = e^(i(0 + 2πn)), mentre in notazione trigonometrica sarebbe 1 = cos(2πn) + i sin(2πn). In tutti questi casi n è un numero intero positivo (da 0 a infinito). Quindi 1^a con a razionale, può essere "riscritto" come 1^(n/d) con n e d interi, giusto? L'operazione 1^(1/d), cioè la radice d-esima di 1, in campo complesso ci dà un numero d di soluzioni. Se utilizzo sempre la notazione esponenziale, equivale a scrivere: e^(i(0 + 2πn))^(1/d), cioè e^(i(0/d + 2πn/d)) che alla fine si riduce a e^(i2πn/d) con 0
Ma se a questo punto a fosse un numero irrazionale ? La molteplicità delle soluzioni diventerebbe infinita, o sbaglio? Cosa succede se si ipotizza di estrarre la radice pigreco-esima? cioè 1^(1/π) ? La periodicità 2πn mi darebbe un numero infinito di soluzioni distinte, o sbaglio?
E È ben apprezzabile l'approfondimento sulle radici n_me primitive dell'unita del campo complesso. Mi permetto però una nota : scrivere quel FALSO a caratteri cubitali, nei non addetti ai lavor pottebbe suscitare delle idee sbagliate per quanti risulti funzionale nell'attirare l'attenzione. Magari si piteve optare per un " non in assoluto" o qulacosa del genere. Ad ogni modo i suoi video sono sempre ben fatti e interessanti.
Grazie per l'apprezzamento! Per quanto riguarda il "falso" sono d'accordo che è un po' troppo evidenziato ma è accostato (non a caso) al quantificatore universale.
@@GaetanoDiCaprio Il quantificatore universale, se quantifica sulla variabili del linguaggio, come in ogni buon linguaggio del primo ordine, non e' immune al modello e alla sua interpretazione. Se cambio interpretazione alla funzione e dico che b^x nel mio modello M (il cui dominio e' quello dei reali) associa ad ogni reale a quel numero reale b tale che exp(x*ln(b)), dove exp(x) := \sum_{k=0}^{\inf} x^k/k!, dove x^k = x*x*...*x per k volte, e ln(x) e' la sua inversa, allora in questo modello M, \forall x: 1^x = 1 risulta vera, visto che 1^x = exp(x*ln(1)) = exp(x*0) = 1 (ln(1) = 0 segue facilmente dalla definizione di exp menzionata sopra). Quello che hai dimostrato nel video e' che la formula del prim'ordine \forall x: 1^x = 1 ha un'intepretazione che la falsifica (i.e. esiste un modello M tale che in M la formula \forall x: 1^x = 1 risulta falsa), il che e' giusto e sacrosanto, ma e' ben diverso dal dire che quella formula e' falsa punto, visto che la falsita' della formula dipende dal modello ed esistono modelli in cui e' vera (in altre parole, la formula e' soddisfacibile). Fonti: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function#Formal_definition, en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic), en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic, en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic#Validity,_satisfiability,_and_logical_consequence
@@nometutentegiapreso Sì, giusta osservazione ma francamente la trovo piuttosto ovvia. Nel video dico abbastanza chiaramente che la falsità viene fuori SE consideriamo 1 numero complesso. Nella copertina non viene indicato ma una copertina deve essere una suggestione
Grazie , stupendo dialogo . I sottostanti commenti sono estremamente stimolanti ma, correggetemi se sbaglio , nessuno di loro scalfisce la adamantina sostanza di questo video . 30 ottobre 2024 GMT
Sono abbastanza in disaccordo con l'impostazione del video che trovo "formalmente" scorretto. Lo dico senza polemica, anzi con una certa tristezza(di combattere una battaglia persa). Cercherò di spiegarmi. Il fatto che 1^b faccia o meno 1 è "dimostrabile" SOLO se b è intero strettamente positivo, caso in cui ho la definizione di a^b come prodotto di a per se stesso b volte. Tutti gli altri casi sono "estensioni" della potenza in ambiti più generali in cui SI VUOLE mantenere la proprietà delle potenze: a^n a^m = a^(n+m) (#) (supponiamo a>0 per quanto verrà dopo). Quindi, dato che non è chiaro cosa possa significare prendere il prodotto di a per se stesso zero volte, si DEFINISCE a^0 come 1 e si VERIFICA che questa definizione va d'accordo con (#). In effetti, secondo me,la definizione più corretta di a^b, per b intero è quella induttiva : a^0:=1; a^(n+1):=a a^n. Nello stesso modo se b è un intero negativo si DEFINISCE a^b:=a^(-b) (##) e con questa definizione si VERIFICA che la (#) vale per tutti i b interi relativi. Dunque, prendendo a=1, si ha 1^b=1, PER DEFINIZIONE. Quello che fai tu (nella prima parte del video) è dimostrare che L'UNICA estensione di di a^b dai b interi positivi ai b interi relativi che mantiene la (#) è quella scritta sopra in (##). Dunque l'unico modo di estendere 1^b agli interi relativi mantenendo la (#) è di porre 1^b=1. Dopo di che se vuoi estendere a^b a tutti i b razionali direi che SEMPRE SE VUOI MANTENERE le proprietà delle potenze, quando definisci a^(1/4) devi prendere la soluzione positiva di x^4=a (perché se b è intero positivo e a>0 allora a^b>0). Qui potresti eccepire che per te le proprietà delle potenze non contengono a^b>0 e allora effettivamente c'è più di un'estensione - però è un discorso di preferenze che non ha nulla a che vedere con dimostrare o meno qualcosa. E peraltro c'è un'altra importante proprietà che conduce a scegliere la determinazione positiva e cioè che in questo modo si ottiene una funzione continua che allora si può estendere ai b reali. Riassumendo, se a>0, c'è un'UNICA funzione continua f, dai reali nei reali, tale che f(1)=a e f(x+y)=f(x)f(y). Tale f deve soddisfare f(0)=1 (e deve essere positiva ). Questa f è l'esponenziale di base a: f(x)=a^x. Nel caso di a=1 si ha f(x)=1 per ogni x reale. Se si fissa l'esponente, diciamo b nei reali e si prende la base come variabile si trova la funzione potenza (di esponente b) p(x):=x^b, che è definita per x>0. (Se volessi passare a x minore o eguale a zero in si aprirebbe un contenzioso molto più aperto su cui non intravedo soluzioni chiaramente vincenti - lasciamo stare). Con questa definizione è inevitabile che, se b=1, p(x)=1 per ogni x positivo. Anche il fatto di vedere 1 nei complessi non mi smuove molto. L'unica f definita sull'asse reale e a valori nei complessi, continua e verificante (#) è quella di prima (vista nei complessi). Altro discorso se si volesse definire z^b per z complesso. Questo effettivamente non è possibile - mantenendo la continuità - a parte il caso di b intero). Comunque, a parte questo "dissing" ”"il tuo lavoro mi pare molto apprezzabile. Ps. Spero che non ci siano errori di battitura dato che sto usando il cellulare...
CIao Gaetano, bisogna fare molta attenzione quando si afferma che a^(1/n) è uguale alla radice n-esima di a, poiché si giunge facilmente a dei paradossi: 1^(1/2)=| -1 , 1 | in C, mentre 1^(2/4)= radice quarta di 1^2=| -1 , 1 , i , -i |. Del resto, anche 1^2 dovrebbe essere uguale a 1^(4/2), a 1^(6/3) e così via, però ciò non accadrebbe con la "definizione" a^(k/n)= radice n-esima di a^k. In analisi, dopo avere definito logaritmo ed esponenziale con base e (ci sono diversi modi per definire e^x con x reale, ad esempio con serie di potenze oppure come soluzione di un problema di Cauchy, e il logaritmo naturale lo definisci come funzione inversa dell'esponenziale), si definisce a^b (a,b reali con a maggiore di 0) come e^(b ln(a)) e questa definizione è compatibile con le quelle che vengono date precedentemente nel caso di b intero. Con la definizione che ho indicato, 1^b=1 per ogni b reale.
Ciao! Ottima osservazione! Ero al corrente di questa difficoltà ma ci tenevo che il video potesse essere fruito da un pubblico senza prerequisiti di analisi. D'altronde molti testi operano la mia stessa "semplificazione" quando parlano di radici ennesime dell'unità.
@@GaetanoDiCaprio Grazie per la risposta Gaetano, capisco benissimo e comunque apprezzo molto i contenuti che porti sul canale. Volevo solo evidenziare i pericolosi paradossi a cui si può arrivare volendo restare a tutti i costi in un ambito più elementare, oltre a far notare che 1^a=1 per ogni a reale non è un'affermazione errata.
Non sono d'accordo, nei numeri complessi quell'affermazione è falsa perché 1^(1/4) non è uguale a 1 ma all'insieme {1,-1,i,-i}. Se vuoi posso darti anche qualche riferimento bibliografico
@@GaetanoDiCaprio Mi sa che allora c'è qualche incomprensione: 1) L'immagine di presentazione del tuo video dice che 1^a=1 per ogni a reale è falsa, quindi siamo nei reali e non nei complessi 2)Ho messo in guardia sul fatto di definire anche nei complessi a^(1/n) come radice n-esima di a, poiché se 1^(1/4) ha 4 valori, 1^(2/8) ne avrebbe 8 e dovrebbero essere uguali 3) Se vuoi estendere a^b nei complessi, con a diverso da 0, la definizione è a^b=exp(b Log(a)) dove exp è l'esponenziale complessa e Log il valore principale del logaritmo (T.M. Apostol, Mathematical Analysis). Sono certamente d'accordo sul fatto che, in C, la radice n-esima di 1 è un insieme di n valori (avevo avuto anche una discussione su questo argomento con alcune persone sotto un video di Valerio Pattaro riguardante i numeri complessi), ma attenzione ai problemi che si hanno definendo a^(1/n)=radice n-esima di a nei complessi, perché questa definizione non è corretta (produce i paradossi che ti ho indicato anche nel primo messaggio).
@max031066 sul problema con l'esponente 1/n per i complessi si adotta la convenzione che gli esponenti razionali debbano essere in forma ridotta ai minimi termini (numeratore e denominato coprimi). Per quanto riguarda l'affermazione nella copertina del video il fatto che a appartenga ai reali non implica che la base (1) appartenga ai reali. Quindi continuo a essere convinto che, qualora 1 sia considerato numero complesso, quell'affermazione sia falsa. Adesso non ho sottomano il testo di analisi complessa ma ti garantisco che viene riportato esplicitamente che a^(1/n) ha n valori. Comunque è sempre un piacere confrontarsi con persone molto attente e competenti come te, grazie!
La convenzione della radice n - esima che risulta unica in R (= ins. dei num. reali) si può estendere anche per C (= ins. dei num. complessi), tale convenzione è stata "scoperta" dal sottoscritto, non si troverà mai nei testi di analisi complessa, credo. Siano z un numero complesso non nullo e n un intero positivo. Allora per convenzione (come si era fatto in R d'altronde) si potrebbe definire z^(1/n) come: " Il numero , che denotiamo con "a", più vicino all'asse dei numeri reali positivi, cioè partendo da lì e girando sulla circonferenza centrata nell'origine e di raggio la radice n esima positiva in senso antiorario (le radici n- esime stanno tutte lì infatti) fino ad arrivare al primo numero a tale che a^n =1". La definizione a prima vista sembra un po' vaga, ma in realtà può essere espressa in maniera rigorosamente analitica. Vantaggi di questa nuova definizione: 1) Dà un risultato UNIVOCO anche nell'ambito complesso della radice n- esima(e non è poco !); 2) Estende naturalmente quella già data in R, infatti ad esempio dovrebbe essere noto che {(-2)^2}^(1/2) = 2 (e non uguale a -2) proprio perché si parte dai numeri positivi e 2 viene prima di -2 procedendo in senso antiorario sulla circonferenza di raggio 2 e centrata nell'origine (visto in C, ma tanto ormai l'univocità è stata raggiunta !...). Certo per risolvere le equazioni algebriche in C si devono considerare tutti gli n risultati delle radici n -esime, ovvio, ma è un'altra cosa questa. Alla luce di queste cose che ho mostrato, a mio avviso (ma non lo farò qua altrimenti si fanno i chilometri...), si dimostra abbastanza facilmente che 1^x = 1 per ogni x num. reale, ma non solo, ritengo che anche 1^z= 1 per ogni z numero complesso !!! Le dimostrazioni sembrerebbero elementari, ma non le espongo qua.
@@GaetanoDiCaprio In effetti rivedendo la cosa mi sono accorto che purtroppo in C(=insieme dei numeri complessi) nonostante la mia nuova definizione, rimane il problema che in generale "(a^b)^c" è diverso da "a^(b*c)", non ci avevo mai pensato dato che prima pensavo che filasse tutto liscio come nei numeri reali, invece no e la cosa la trovo un po' fastidiosa, ma tant'è !
Non è falso che 1 sia sempre una delle soluzioni di 1^a (questo è vero), è falso solo che sia l'unica soluzione. Peraltro le soluzioni sono solo 2 nei Reali (di cui una è sempre 1, e a volte anche -1). Solo nei numeri complessi le soluzioni sono di più (quante con a irrazionale?). Ma i numeri complessi non godono di essere considerati universalmente il default, anzi: deve essere specificato.
Ciao Gaetano! Ti riscrivo dopo tanto tempo poiché ho avuto da fare. Noto, con piacere, che continui a pubblicare nuovi video e ora mi toccherà vedere quelli passati per recuperare un pò..... 🙂. Su questo che dire.... importante e decisivo sul piano culturale come al solito! Adesso potrò integrare, nel mio quotidiano "bagno di umiltà", l'idea che anche 1+1=2 un giorno potrà essere falso 😉
se ho ben capito, e siccome l'appetito vien mangiando, frequentando cattive compagnie (tipo eulero, de moivre, ecc.) si possono risolvere equazioni del tipo 1^x = a +bi. con stupore di studenti e scandalo di qualche insegnante meno scafato... a proposito di eulero, vorrei che mi si togliesse un dubbio che mi porto da 53 anni, da quando cioè, nei banchi di quinta liceo, ero affascinato da come nelle operazioni di derivazione/integrazione si passasse da funzioni algebriche a trascendenti e vv. in particolare mi colpiva la somiglianza di (1+x^2)^(-1) e (1-x^2)^(-1) come derivate di funzioni che apparentemente non hanno nulla da spartire. poi un'intuizione vagante mi ha suggerito un semplice cambio di variabile (x=it). la faccio breve: integrando entrambe le funzioni sia come arctan che come ln e confrontando i risultati, dopo qualche peripezia algebrica, ho trovato una cosa strana che solo due anni dopo (biennio di ingegneria) ho riconosciuto essere la formula di eulero (forse già nota a de moivre?). nonostante il risultato, ho ancora dei dubbi sulla legittimità del metodo, che mi sembra un po' "naive"...grazie per la pazienza.
La sostituzione è lecita, ovviamente si dovrebbe "condire" il tutto con un po' di teoria dell'integrazione complessa, ma l'idea di base rimane quella sostituzione 😉
Non avevo mai pensato a quest'aspetto, interessante, pensavo il video si riferisse al caso 1 alla infinito (considerando i reali estesi)! Ho sempre pensato che esistesse un'ambiguità nell'usare lo stesso simbolo per indicare sia la radice complessa sia quella aritmetica (che è una funzione invece), non avrebbe più senso usarne diversi per evitare confusione? Potrebbe inoltre essere interessante fare un video esplorando i casi base positiva esponente irrazionale e base negativa esponente irrazionale, spiegando magari perche il logaritmo necessita l'argomento maggiore di 0. Ottimo video xome sempre!
In genere si usano simboli diversi per distinguere i due tipi di radici. Per differenziarle, se non ricordo male, la radice complessa la si indica col simbolo consueto, mentre la radice aritmetica la si indica aggiungendo al simbolo consueto una barra orizzontale sopra. Però questa distinzione la si fa solo al momento che si usano i numeri complessi (o per lo meno così mi hanno spiegato, non so quanto sia diffusa questa dicitura)
Professore mi scusi, ma non capiaco perche sia falso: esistono altre soluzioni, questo è certo, ma questo mica significa che è falso quanto detto nel video. È come dire che se |x| = 2 è vero per x = ±2, allora è falso dire che x=2: è incompleto sicuramente, ma è una soluzione corretta.
@@GaetanoDiCaprio Mi scusi ma continuo a non capire 😅. x= 2 è una soluzione dell'equazione |x| = 2, dunque è vero che |x| = 2 se x =2. È una condizione sufficiente, non necessaria. Trovo falso, invece, dire che x=2 è l'unica soluzione possibile, ma il simbolo di uguaglianza non implica l'unicità.
Rotengo l'esposizione inesatta. Premesse di base: 1) La potenza a^n ad esponente intero (base a reale) sono definite per induzione su n con a^0:=1, a^{n+1}:=a^n. a (per cui a^1=a) (per cui 0^0:=0 per definizione aritmentica, le forme indeterminate dei i limiti non c'entrano nulla) 2) La potenza a^n ad esponente intero relativo (a reale non nullo) sono definite a partire da sopra, richiedendo che "m |-> a^m " sia un morfismo dal gruppo addittivo Z al gruppo moltiplicativo dei reali positivi, osservando che per m>=0 (contesto di (1)) si ha un morfismo di monoidi. 3) La potenza a^r ad esponente razionale non negativo (con a>=0 ) è definita definendo prima rad(a, n) (RADICE n-IMA DI a) come quel numero NON NEGATIVO la cui potenza n-ima è uguale ad a, dalla proprietàò dei reali segue che tale numero è unico tra i REALI NON NEGATIVI. QUindi si dimostra che rad(a^m, nm)=rad(a , n) quindi è ben definita la potenza a^(m/n):=rad(a, n)^m nel senso che tale valore non dipende dalla frazione che rappresenta il numero reale. Si dimostra che " r |-> a^r " è un morfismo dal monoidei addittivo dei razionali al monoide moltiplicativo dei reali non negativi. 4) SI estende la definizione ad esponenti razionali (anche negativi, come in (2)) con a>0, per cui " r |-> a^r " è un morfismo dal gruppo addittivo dei razionali al gruppo moltiplicativo dei reali positivi. Da qui per la proprietà di completezza dei reali ci si estende ad esponenti reali. Se vogliamo ci si estende anche ai complessi, dove (in particolare) rad(a, n) esiste per ogni reale a ed ha UN VALORE UNIVOCO (riducendo l'angolo (antiorario) dall'asse X al vettore ad un n-ismo , e la lunghezza alla sua redica n-ima), da non confondere ciò con la nozione di radice di un polinomio (che possono essere varie) o con le soluzioni di x^n=a. SE si scrive 2=rad(4,2)=2 e -2=rad(4,2) (magari aggiungendo: perchè sia 2 che -2 hanno quadrato 4) si afferma una contraddizione : se fosse 2=rad(4,2)=2 e -2=rad(4,2) per un qualche rad(4, 2) allora 2= -2, si dirà: "ma rad(2, 4) non è sempre un solo numero ....ma è quel numero il cui quadrato è 4", ol che è sbaglato, questa è la definizione di soluzione di x^2=4, ed proprio dire "quei numeri " (sia che no nce ne sia alcuno o uno, o molti). La radice è una funzione (se è definita ha valore univoco) ed è per convenzione un ramo (quello più ovvio) della (plutriramificata) relazione inversa della funzione potenza . Sia nei reali che nei complessi si ha che: rad(1, n)=1 (e non -1 oppure i, -i ecc) sebbene il valore -1 sia a pieno titolo soluzione di x^4=1.
Grazie per l'attento ed esaustivo contributo. Condivido tutta la prima parte. Dal paragrafo che inizia con "Se vogliamo ci si estende anche ai complessi" non condivido, nel senso che la possibilità presentata è sensata ma non corrisponde a quanto presente su qualsiasi testo di analisi complessa, come ho già segnalato nel post ruclips.net/user/postUgkx9RsSnjHdaaqO2gS5I5DWi0go2mqlW0lc
Altro stimolo ad ampliare i propri orizzonti e dunque mettere in discussione apparenti ovvietà senza aver considerato altre prospettive. Se ti trovi su una zattera distante dalla terra ferma e stai morendo di sete, non potrai cavartela e dunque sopravvivere immergendo le mani nell’acqua per raccoglierla e berla. FALSO Se la zattera si trova su di un limpido fiume di montagna puoi bere tale acqua e sopravvivere. Se invece sei nell’oceano (come probabilmente hai inizialmente pensato)… direi di no.
A proposito di sintassi e semantica, Più semplicemente direi che l''eguaglianza mostrata É vera per ogni a reale, quello che sarebbe falso è l'affermare che è l'unica possibile
Durante la dimostrazione si dice, giustamente, che (-1)^4=1 e da questo, erroneamente, si fa dedurre che (1)^(1/4) possa valere "anche" -1 (si aggiunge, sempre erroneamente, che per convenzione, il valore negativo si lascia da parte). La deduzione detta è immotivata e scaturisce dal credere che la funzione reale (x)^(1/4) e la funzione reale x^4 siano invertibili per ogni x reale e che siano una l'inversa dell'altra su tutto il campo reale. Questo è falso, non essendo la seconda funzione invertibile sul campo reale nel suo complesso, perchè non è iniettiva. Dunque, la radice quarta di 1 è, chiaramente, solo 1. D'altronde, la radice quarta di 1, che è un numero positivo, non può essere uguale ad un numero negativo ed è, inoltre, univocamente determinata per definizione stessa di funzione.
Certo, x^4 non è invertibile e infatti per poterla rendere invertibile occorre limitare il suo dominio. Questo lo si può fare in due modi (almeno): considerare solo il dominio x>=0 oppure considerare soltanto il dominio x
Diamo più approfondimento: Per quanto riguarda iⁿ posso dire che: i⁴ⁿ=+1, questo sempre. Allora dico che: i^(4n+1)=i→invariato i^(4n+2)=-1→reale negativo i^(4n+3)=-i→opposto La stessa cosa vale anche con -i: (-i)⁴ⁿ=+1 (-i)^(4n+1)=-i (-i)^(4n+2)=-1 (-i)^(4n+3)=i Poi posso dire anche che: i^(4n+3)=i^(4n-1) (-i)^(4n+3)=(-i)^(4n-1) Oppure: i^(4n+3)=(-i)^(4n+1) i^(4n+1)=(-i)^(4n+3)
Buongiorno, provo a dare anch'io il mio punto di vista in merito a questa dibattuta questione. Sicuramente per ogni a reale, se siamo in campo reale dove x^a è una funzione ben definita per x>0, si ha 1^a=1. Invece in campo complesso è noto che l'elevamento a potenza è funzione polindroma che ammette molteplici determinazioni, il che significa che il risultato dipende da quale determinazione scegliamo. Ad esempio nel caso trattato nel video con a=1/4 vi sono 4 determinazioni e solo per una di queste effettivamente 1^1/4 = 1 è VERA, mentre per le altre 3 bisogna dire che è FALSA. Sicuramente vera è l'identità |1^a| = 1, e sicuramente vera è l'identità 1^1/4 = {1, i -1, -i} che il professor di Caprio ha usato rispondendo a molti commenti, considerando l'elevamento a potenza come funzione a valori su insiemi. Il trabocchetto di questo esercizio è aver scritto 1^a=1 senza specificare a quale determinazione ci si riferisce (cosa che per a generico richiederebbe il passaggio attraverso la funzione logaritmo e le sue infinite determinazioni). Ciò detto la scrittura 1^a=1 secondo me è da ritenersi, in campo complesso ERRATA. Tuttavia, provando ad entrare ora in una questione più di logica matematica che di analisi e per la quale mi dichiaro incompetente, io direi che l'errore non è semantico ma sintattico, la scrittura 1^a=1 non ha semplicemente senso in campo complesso, è sintatticamente errata, proprio perché manca l'indicazione di quale determinazione si debba prendere e non vi è dunque modo di calcolare 1^a. Non si può pertanto assegnare né un valore VERO né un valore FALSO all'identità in questione. Questa inconsistenza sintattica ha reso possibili le più varie interpretazioni emerse nei commenti dove ciascuno ha potuto integrare e interpretare a modo suo la scrittura 1^a=1. La mia proposta è di modificare il falso in errato: 1^a=1 ? ERRATO in campo complesso e l'errore è sintattico.
Ciao Andrea, come al solito i tuoi interventi sono equilibrati e di una profondità e chiarezza assolute. Riguardo alla questione sintattica o semantica: se qualcuno insegnasse che la radice ennesima di uno è uno, starebbe insegnando qualcosa di errato o qualcosa di falso? 1 non è uguale ad un insieme con quattro elementi. A me sembra una questione semantica
@@GaetanoDiCaprio Direi che al livello logico a cui di solito facciamo algebra, 1 non può prendere il posto di un insieme come {1, i, -1, -i} e si tratta dunque di un errore sintattico, come un verbo messo al posto di un nome. Aggiungo che in molti linguaggi di programmazione se una variabile viene definita come vettore e si cerca di assegnarle un valore scalare, il compilatore, che esegue il controllo sintattico, restituisce un errore, è necessario indicizzare il vettore che nel nostro caso equivale a specificare una determinazione delle potenze complesse. Con questo non voglio dire che non siano possibili tipizzazioni logiche in cui 1 e l'insieme {1, i. -1 -i} appartengano alla stessa categoria, ma qui mi fermo perché entro in un terreno non mio. Per fare un esempio tratto dal linguaggio comune potrei dire che la frase "I gatti mangiano i topi" è una frase corretta sintatticamente e semanticamente, "I gatti mangiano il topi" è errata sintatticamente (perché l'articolo singolare il non concorda con il plurale topi), "I topi mangiano i gatti" è corretta sintatticamente ma non semanticamente (i topi non mangiano i gatti). L'ultima frase si può dire che è falsa, la seconda che è errata. Secondo me l'identità 1^1/4 = 1, anziché 1^1/4 = {1, i, -1, -i} assomiglia più alla seconda frase, quella sintatticamente errata. Tuttavia come molti sarebbero in grado di dare un qualche significato, pure corretto alla seconda frase, così in molti sono stati in grado di dare un qualche significato all'identità 1^1/4 = 1 magari restringendola alla determinazione principale e trovandola quindi vera.
@@GaetanoDiCaprio Continuando il ragionamento, dal momento che possiamo ricondurre la discussione al fatto che 1 non è l'insieme {1, i, -1, -i), potremo chiederci se scrivere 1={1, i, -1, -i} sia un errore sintattico o semantico. A me sembra più opportuno dire che si tratta di un errore sintattico e che la sintassi giusta potrebbe essere 1 € {1, i, -1, -i} (€ qui sta per "appartiene), oppure {1} < {1, i, -1, -i} (< qui sta per sottoinsieme), o anche {1} = {1, i, -1, -i} che è corretta sintatticamente ma non semanticamente, corretta nella forma ma è falsa nel contenuto. Naturalmente non vi è un modo giusto di correggere una sintassi sbagliata che lascia ovviamente ambiguità. Detto ciò va comunque precisato che la differenza tra errore sintattico e semantico non è qualcosa di assoluto, ma dipende dal livello logico a cui stiamo operando e quelli che sono errori semantici, o di contenuto, ad un certo livello, possono diventare errori sintattici, o di forma, ad un livello logico superiore. Infatti, in generale, è sempre desiderabile poter aggiungere nuove regole che ci consentano di evitare errori. Ad esempio se scrivo che l'area A di un rettangolo di base b e altezza h è A = b+h, dal punto di vista della sintassi aritmetica la formula è scritta correttamente, ma dal punto di vista semantico, del contenuto è ovviamente sbagliata e possiamo dimostrarlo facendo vedere, ad esempio, che un rettangolo con b=2 e h=3 non ha area A=b+h=5. Se ora passiamo dal livello aritmetico al livello geometrico, possiamo aggiungere alle nostre regole sintattiche che le aree devono essere funzioni omogenee di 2° grado delle dimensioni e così la formula A = b+h ci apparirà sintatticamente errata, formalmente errata, mal costruita e questo errore appare dall'interno della formula stessa, dalle regola formale che abbiamo aggiunto. Altro esempio, in fisica le equazioni di base devono soddisfare ad un principio di relatività dello stato di moto del sistema di riferimento, questo diventa una regola sintattica a cui devono soddisfare le equazioni che devono risultare invarianti per trasformazione da un sistema di riferimento ad un altro in moto uniforme rispetto al primo. In entrambi i casi si tratta di regole logico formali che aggiunte alla nostra sintassi ci consentono di evitare errori e che d'altra parte si fondano su un significato e dunque su un valore semantico profondo quali appunto il concetto di dimensionalitá o il concetto di indistinguibilitá tra sistemi in moto uniforme nei due casi precedenti. Se mi chiedi quindi se scrivere 1 = {1, i, -1, -i} è un errore sintattico o semantico ti potrei dire che questo dipende dalle regole sintattiche che ci siamo dati. Io e credo anche tu, che abbiamo incorporato tra le nostre regole che l'insieme è una cosa e l'elemento un altra, siamo abituati ad usarla come regola sintattica e a ritenere che il segno = non possa essere usato per stabilire una relazione tra un elemento ad un insieme, e alla fine per questo motivo mi era sembrato più opportuno dire che 1^1/4 = 1 è sintatticamente errata. Ma quando dici che 1 = {1, i, -1, -i} ti sembra un errore semantico hai pure ragione perché è qualcosa che affonda nel significato che vogliamo dare ad insieme e ad elemento, solo che lo stai guardando da un livello logico più di base.
@@andreapedron568 Molto interessante, non avevo mai considerato che potessero esserci diverse interpretazioni del concetto di sintassi e semantica. Grazie per gli spunti di riflessione, e per il tuo preziosissimo contributo a questo canale
Ciao, vorrei invece argomentare l'affermazione secondo la quale 1^a=1 è vera per ogni "a" reale, non solo nei reali ma anche nei complessi: 1) Nei numeri reali, la definizione di a^b (con a maggiore di 0) è a^b=e^(b ln(a)), che può essere data subito dopo aver introdotto la funzione esponenziale con base "e" (ci sono diversi modi, serie di potenze e problemi di Cauchy per citarne due), mentre il logaritmo naturale lo definisci come funzione inversa dell'esponenziale. Il vantaggio di questa definizione ti permette di bypassare tutte le definizioni interemedie di elevamento a potenza, come a^(k/n)=valore prinicipale della radice n-esima di a^k (k intero relativo, n intero positivo), ma è comunque coerente con quest'ultima (è facile da verificare). Con questa definizione, 1^b=1 per ogni reale b. 2) Nei numeri complessi, la definizione più efficace di elevamento a potenza che rimane inalterata se la applichi al caso reale, è z^w=Exp (w Log(z)) (z complesso diverso da 0), dove Exp è l'esponenziale complessa (che, nei reali, coincide con quella reale) e Log è il valore principale del logaritmo (naturale) complesso (anche questo coincide con "ln" nel caso reale). Il vantaggio di questa definizione è non solo di coincidere con quella data nei reali nel caso in cui z e w sono reali, ma anche di mantenere valide importanti proprietà come z^(w1+w2)=(z^w1)(z^w2) e la conseguente (z^w)^n=z^(nw) con n intero. Con la definizione indicata, 1^w=1 per ogni w complesso. 3) Ci sono delle criticità nel voler definire, in C, z^(1/n) come radice n-esima di z (che per z diversa da 0 ha n valori), ad esempio dovresti rinunciare alla validità delle proprietà del punto 2 poiché comporterebbe il dover definire un prodotto tra insiemi e anche verificare la correttezza del risultato (come potrebbe valere l'uguaglianza ((-1)^(1/2))^2=(-1)^1=-1 quando il primo membro è il prodotto dell'insieme | i , -i | con sé stesso? Senza contare il fatto che, volendo poi definire z^(k/n) come radice n-esima di z^k, z^(1/2) non potrebbe essere uguale a z^(2/4) poiché il primo sarebbe un insieme a due elementi e il secondo a quattro elementi.
Video ambiguo, contorto e poco chiaro. Quale numero appartenente ai numeri reali non fornisce come risultato 1?Tutti danno 1 quindi l'affermazione è vera.Non complichiamo il semplice, la matematica lasciamola complessa quando lo è davvero.
Grazie per l'attenzione e per il commento. Io credo che le critiche siano utili quando sono mirate e circostanziate, non quando sono generiche. In qualche punto sarebbe ambiguo? In quale passaggio poco chiaro? E contorto?
Bel video invece. Si punta a cose anche semplici e controintuitive per il grande pubblico. L'esponente 1/4 è fornito come esempio che rende falsa l'affermazione. Forse, come ascoltato in un video semi-comico ieri, molti utenti preferiscono video brevi, e dunque potrebbe essere stato ascoltato solo in parte dall'utente. Personalmente ho solo una perplessità, sulla convenzione di escludere -1 quando si ha a che fare con i numeri reali. Personalmente non l'ho mai esclusa come radice, per quanto però qui si consideri il caso di potenza ad esponente frazionario, d'onde magari "per continuità" la cosa ha senso, quindi magari non la ricordavo.
@@maurorusso4253 Grazie del commento positivo! Per quanto riguarda la perplessità sul significato di radice ennesima, nei reali è una FUNZIONE, non può restituire più di un valore. Per n pari il risultato è non negativo per definizione
@maurorusso nel risponderti, approfitto per ringraziare il gestore del canale, il cui lavoro è sempre spunto di riflessioni. Venendo alla risposta, 1/4 non costituisce un controesempio alla validità dell'uguaglianza, nel caso ci si "muova" nei reali. Inoltre, il termine "convenzione" è, secondo me, usato impropriamente, giacchè, il simbolo di radice utilizzato, ha un significato ben preciso
Stavolta lei mi ha deluso... Ma non si diceva che a doveva appartenere ai reali? Lei si ferma e non tratta tutti i razionali e ancor meno gli irrazionali... Ok è bastato considerare 1 appartenente ai complessi per dire che la affermazione è falsa, apisco
Mi dispiace di averla delusa, non capisco esattamente in cosa visto che 1/4 è un numero reale e 1 ovviamente può essere considerato sia complesso che reale. Il video è uno stimolo di approfondimento dei numeri complessi per chi o non li conosce o ne ha una conoscenza limitata. Una trattazione completa della potenza nei complessi era nettamente al di là degli obiettivi del video. Questo vale in generale per i miei video: non sono quasi mai "videolezioni", ma semplicemente spunti di approfondimento. Per chi cerca videolezioni ci sono altri canali RUclips decisamente più adatti, ma io credo che lo studio sistematico più efficace di un argomento sia sempre il caro vecchio libro. Grazie comunque per la pazienza di aver guardato il video
@@GaetanoDiCaprio Cioè in base a quello che stai affermando, solo a titolo di esempio per te si ha che 1^(1/4) = {1, i, -1, -i} e quindi 1^(1/4) = 1 non è una identità.
Ottimo video che serve, tra l'altro, a far capire ai ragazzi che l'universo matematico è pieno di immaginazione e di creatività. La matematica è l'antitesi della noia.
Grazie!!!!
@@GaetanoDiCaprio Grazie a te per insegnare matematica ad un livello così alto e così chiaro. 👍
@@Nazzarari01 😊
Ma l'ipotesi iniziale è "per ogni a appartenente al campo dei Reali", mi aspettavo una dimostrazione per i reali e non arrivare al campo complesso. O sto sbagliando io?
"Per ogni esponente reale" non riguarda la base che invece può essere interpretata come numero complesso.
Capisco il senso del video, ma a mio avviso potrebbe generare confusione. Le radici n-esime di un numero complesso non nullo sono sempre esattamente n, questo però non impedisce di definire l'esponenziale complesso e^z che assume un unico valore per ogni numero complesso z, ed è una funzione olomorfa. Il punto è che quando la base è un numero reale positivo a>0, allora a^z ha un valore complesso "privilegiato" per ogni numero complesso z. Si ha infatti a^z = e^(z log a), da cui 1^z = 1.
Grazie del commento e dell'interessante osservazione. Non concordo sulla conclusione del suo ragionamento. Il logaritmo complesso è una funzione polidroma, quindi la conclusione è semplicemente che 1 è uno dei possibili n risultati. Quindi no, non genera confusione.
@@GaetanoDiCaprio log è a più valori su C ma non su R :)
@@dzuddas infatti, il mio controesempio consiste nel considerare 1 numero complesso. È assolutamente coerente 😉
Video simpatico per far pensare i ragazzi e introdurli al lato creativo della matematica vera che (magari) scopriranno dopo il liceo. Poi, chiaramente, se anziché considerare il gruppo additivo abeliano Q o R per l'esponente e il campo dei complessi per la base (unità), prendessimo in esame l'unità nei quaternioni o in un altro insieme di cui i complessi sono un sottoinsieme proprio con qualche proprietà in più, la cosa dovrebbe essere parimenti valida... o se addirittura prendessimo in considerazione anelli abeliani (i.e., commutativi) come i decadici e via dicendo.
Salve, mi sfugge un fatto: se si ammette che in C la radice quarta di 1 può anche essere -1, come si giustifica il fatto che mentre la radice quarta di 1 è positiva, -1 è un numero negativo. Come si "traducono" I concetti di positivo e negativo da R in C?
Non si traducono, nel senso che C è un insieme non ordinabile
@@GaetanoDiCaprio Grazie mille per la risposta!
Onestamente non credo di aver mai letto la convenzione di prendere solo le radici positive, potrebbe indicare qualche riferimento ulteriore?
Qualsiasi testo di matematica (tranne quelli per le medie)
@@GaetanoDiCaprio Appena rientro a casa riprendo quelli del liceo e di analisi perchè veramente questa cosa non me la ricordo , deve essere la mancanza di allenamento 😞
Basta pensare che nei reali la radice ennesima è una funzione, quindi non può avere due valori per la stessa x
Ma se nei complessi b^1/4 ha quattro soluzioni, allora ogni b^(m/n) avrà quattro soluzioni, in quanto posso scriverlo come b^(4m/4n)... dico bene?
Nei complessi se m e n sono coprimi allora b^(m/n) ha n valori
@@GaetanoDiCaprio Ah... devono essere comprimi...
Non ho capito.
Per trovare un caso in cui la condizione non è soddisfatta siamo passati a C, mentre in R era sempre valido l'assunto. E l'assunto iniziale parlava di R, perciò mi pare fosse vero.
L'assunto iniziale parlava di ESPONENTE reale, non della base che può essere considerata numero complesso
@@GaetanoDiCaprio Scusa Gaetano ma intervengo anche qui: la questione non è come considero "1" (che è appartiene a N, a Z, a R e a C, quindi non è che "lo considero" un numero complesso in quanto lo è così come è un reale), ma a creare l'equivoco è l'operazione di elevamento a potenza in R o in C (che, come sai da altri messaggi che ho scritto, considero univoca anche in C usando la determinazione principale del logaritmo complesso). Non capisco perché sia considerata una cosa così strana quella di definire in C operazioni con valore singolo, visto che queste definizioni coincidono con quelle date in |R quando le applichiamo ai reali. E non si capisce perché questi problemi ce li facciamo in C ma non in |R: non serve infatti ricordare che per definire la funzione radice n-esima in |R con n pari, si sceglie la determinazione positiva, e per definire le funzioni goniometriche inverse si restringe il campo delle funzioni dirette affinché siano invertibili. Allo stesso modo, in C la funzione e^z non è invertibile, per renderla tale restringo il suo dominio alla striscia -pgreco minore di Im(z) minore o uguale di pigreco, così la sua funzione inversa è Log(z) che quindi è univoca. Con Log(z), come ho già scritto in altri messaggi, definisci l'esponenziale complessa con valore univoco z^w=Exp(w Log(z)). Non capisco la necessità di questa "polidromia ad ogni costo", che tra l'altro offre più svantaggi che vantaggi: ti invito, ad esempio, a riflettere su questioni quali continuità e derivabilità per funzioni a più valori.
@@max031066 Ti invito a guardare il post nella community, in cui riporto le pagine del testo di analisi complessa che ho usato come riferimento
@@GaetanoDiCaprio Grazie Gaetano. In effetti ho anch'io questo testo, in pdf. Ho visto che viene data la definizione di z^w come funzione (polidroma) e^(w log(z)) utilizzando la funzione polidroma log(z). Viene poi detto che il valore principale di z^w è dato da e^(w Log(z)) dove Log(z) è il valore principale del logaritmo log(z). Dal punto di vista concettuale va tutto bene, nessuna obiezione. Però, esattamente come distingue Log(z) e log(z), andrebbe utilizzata una diversa notazione per i due elevamenti a potenza, cioè per la funzione polidroma e^(w log(z)) e la monodroma e^(w Log(z)). E qui si arriva al nocciolo della questione: la notazione z^w andrebbe utilizzata SOLO per e^(w Log(z)) poiché questa, e solo questa, è coerente con la potenza a^b=e^(b ln(a)) nei reali (a maggiore di 0). Voglio fare un esempio. Immagina che io faccia un video avente come titolo " arcsen(0)=0 : FALSO? " e l'argomentazione fosse :" arcsen è una funzione polidroma che verifica arcsen(0)=n pigreco (n intero qualsiasi), quindi arcsen(0)=0 è errata poiché 0 è solo UNA delle infinite determinazioni di arcsen(0)". Tu potresti ribattere: "arcsen è definita su tutti i libri di analisi come funzione univoca, quindi la tua considerazione è errata". E invece no: esistono libri di analisi (un po' datati) in cui arcsen è considerata una funzione multivoca. Come se ne esce? Semplice: se proprio non vogliamo rinunciare (mentre in effetti oggi viene fatto) ad un concetto di arcoseno come funzione multivoca, dovremmo perlomeno utilizzare un'altra notazione (magari arcsen e Arcsen, come si fa con il logaritmo nei complessi). Sono consapevole del fatto che le funzioni polidrome ed i loro branch possano avere applicazioni interessanti, però anche qui andrebbe adottata una notazione diversa per ogni specifico branch. Ciò non significherebbe diminuire l'importanza delle funzioni polidrome, ma soltanto viverle secondo l'idea che, alla fine, ogni funzione è "univoca" (perché è molto più comodo che sia così, non per altre ragioni).
@@max031066 in linea di principio sono d'accordo
Pleonastico, ma va detto: ottimo!
A differenza di Alessandro, a me invece ha stupito il titolo "Lo strano caso della potenza con base 1". Alcuni anni fa, quando insegnavo allo scientifico, avevo infatti scritto una lezione dal titolo "Lo strano caso delle potenze con esponente nullo".
Una lezione che mi serviva per far osservare ai ragazzi che a^0 (ovviamente con a≠0) doveva essere imposta come definizione e che il valore di a^0 era predestinato (o vincolato) ad essere necessariamente = ad 1, se a^0 doveva avere la "cittadinanza" di potenza in N con tutti i diritti di cui godono le altre potenze con esponente ≠ da 0 (ovvero quelle 5 proprietà solitamente elencate nelle prime pagine dei libri di matematica delle superiori).
Sulla stessa linea "deterministica", ho tentato di spiegare il motivo per cui le potenze con esponente intero negativo dovevano essere "uno su ...".
A distanza di qualche anno da quelle lezioni, credo di essere stato troppo zelante. Ma penso che le ragioni profonde di una definizione debbano essere sempre motivate per essere ben comprese.
Mi dispiace caro, ma è tutto sbagliato. Trovami un valore "a", appartenente a R, per il quale 1^a non sia uguale a 1. Quando lo trovi fai un fischio.
Penso invece che tu abbia fatto bene!
Giusto per pignoleggiare ti faccio notare che nel caso di 0^0 le proprietà delle potenze non determinano il risultato (perché le potenze con esponenti negativi si possono fare solo se la base non è nulla).
Dunque 0^0:=1 è veramente una convenzione (utile).
Direi: non tanto il "considerare 1 € C" (poiché 1 e' sempre 1, dove lo metti lo metti!), bensì considerare la operazione di elevamento a potenza non più nella struttura algebrica (R,+,×, ecc), ma ora nella struttura algebrica (C,+,×, ecc), con le proprietà che in qs ultima sono vigenti.
👍
Capisco che forse l'obbiettivo del video sia quello di accennare i numeri complessi, con un esempio per far riflettere chi non ha mai ragionato su questo argomento.
E capisco che si voglia farlo in modo accattivante, però bisognerebbe farlo senza dire cose imprecise(sbagliate) che rischiano di confondere chi è alle prime armi...
Perché non è vero che è falsa la soluzione "per ogni "a" appartenente a R" , al massimo avresti dovuto scrivere una frase del genere "Non sono tutte le soluzioni" oppure "Ci sono altre soluzioni" , non credi?
Per tutti quelli che sono confusi a riguardo volevo sottolineare l'ovvio, cioè che : 1 elevato a qualunque numero reale fa sempre 1, quindi la soluzione "per ogni "a" appartenente a R" è VERA, come è vero che ci sono anche ALTRE soluzioni all'interno dei numeri complessi.
Grazie per il commento, mi dà l'occasione per chiarirmi le idee. Nel video non c'è nulla di impreciso né tantomeno di sbagliato. E' un'occasione per riflettere sul fatto che la verità o falsità di un' uguaglianza in matematica spesso dipende dal dominio in cui la si interpreta. E' un fatto assolutamente normale al quale non si dà sufficiente enfasi. L'uguaglianza 2-5=-3 è vera nei numeri interi e falsa nei naturali, nessuno si scandalizza. Per quanto riguarda la "confusione" forse hai ragione, ma la confusione è generatrice di conoscenza molto più di quanto non sia il classico dogmatismo con cui si insegna di solito la matematica. La confusione può generare voglia di discussione e di comprensione a un livello più profondo. E il tuo commento ne è un esempio.
@@GaetanoDiCaprio Si sono tutte cose filosoficamente giuste quelle che dici, sia sulla confusione che sulla verità o falsità di un'equazione in base al dominio...
Ma io sto parlando di logica. Cioè, la frase : "l'equazione 1^a=1 ha soluzione per ogni "a" appartenente a R" è VERA punto. Non importa che ci siano altre soluzioni in C, questa frase resta VERA, mentre tu dici all'inizio del video che questa frase è FALSA.
Ora se già la frase fosse stata "La soluzione dell'equazione 1^a=1 sono tutti e soli gli "a" appartenente a R" già sarebbe stato possibile dire che è FALSA, anche se sarebbe stato giusto dire che stabilire se è vera o falsa dipende dal dominio in cui la si considera.
Ora spero che io non ti debba convincere di questo, ma se non concordi dimostrami che mi sbaglio. Poi sono perfettamente d'accordo che non si dia sufficiente enfasi al fatto che la soluzione dipende dal dominio su cui la si interpreta, però ripeto non è quello che dici nel video, forse è quello che volevi dire, ma non è quello che hai detto.
@@bosssmer forse non hai guardato il video abbastanza attentamente: io non parlo mai di equazione, non ho mai menzionato soluzioni di un' equazione. Quella mostrata è un'identità che non vale nei complessi. P.S. il commento sulla confusione può essere considerato filosofico mentre il dominio in cui interpretare una relazione non ha nulla di filosofico!
@@GaetanoDiCaprio Si assolutamente non parli di equazioni o soluzioni di un'equazione. Però se ascolti bene quello che dici, da zero a 35 secondi, non è corretto, non importa come la si vuole interpretare, per favore ascolta bene l'ultima affermazione che dici prima dei 35 secondi, non c'è verso che sia giusta, quantomeno nell'analisi standard, se poi ci allontaniamo troppo ogni affermazione la si può far diventare vera o falsa a piacere, basta cambiare il contesto.
Perché per dimostrare che quello che dici sia vero, avresti dovuto trovare un numero reale "a" per cui 1^a fosse diverso da 1 ... mentre tu dici: per a=1/4 , ci sono ALTRI 3 risultati(cioè altre 3 identità) oltre a quella scritta 1^a=1 ...
Oppure un altro modo per rendere vera la tua affermazione sarebbe stato quello di dire "dia come UNICO risultato 1" o qualcosa del genere...
Mi sto spiegando?
Purtroppo ora non ho più tempo da dedicare a questa discussione quindi ti risponderò nei prossimi giorni.
P.S. si si il filosofico era riferito solo al commento sulla confusione, non a quello del dominio, mi rendo conto, rileggendo, che non era molto chiara la mia frase.
@@bosssmer 1 è diverso dall'insieme {1,-1,i,-i}. 1^(1/4) non è uguale a 1.
Secondo me c'è un errore nel proporre ed esporre la conclusione del video. Mi spiego: da presentazione io mi aspetto che il risultato di 1^a possa essere diverso da 1. Con 1 come base appartente ad N e 1^a come funzione. Ad un certo punto il video si sposta a proporre che 1 può essere il risultato di una equazione x^(1/n)=1 ed i numeri complessi non c'entrano: anche 1^ 1/2 ha due soluzioni, entrambe reali, +1 e -1. Insomma si parla di una funzione esponenziale in cui per definizione, se ricordo bene, la base deve essere >0 o di una equazione?
Ciao, grazie del commento. Si parla di funzione esponenziale, sì. Nei reali è una funzione "classica" che restituisce uno e un solo valore. Nei complessi invece è una funzione "polidroma" ossia restituisce un insieme di valori. Quindi l'affermazione iniziale può essere vera se il dominio è l'insieme dei numeri reali, mentre è falsa se il dominio è l'insieme dei numeri complessi. Nella conclusione del video in maniera molto chiara ed esplicita dico che se 1 è un numero complesso allora 1 alla 1/4 ha ben 4 valori. Cioè faccio vedere che l'affermazione è falsa nei complessi.
Si ricorregga, prego. La soluzione -1 è Reale, non Complessa (e vale solo per a=M/2N con M e N interi).
la cosa è davvero affascinante, mi pare di capire che il punto nodale è che il numero 1 nel campo complesso in realtà corrisponde ad un numero complesso di modulo 1 ma di argomento 0 + 2πn, cioè in notazione esponenziale 1 = e^(i(0 + 2πn)), mentre in notazione trigonometrica sarebbe 1 = cos(2πn) + i sin(2πn). In tutti questi casi n è un numero intero positivo (da 0 a infinito).
Quindi 1^a con a razionale, può essere "riscritto" come 1^(n/d) con n e d interi, giusto? L'operazione 1^(1/d), cioè la radice d-esima di 1, in campo complesso ci dà un numero d di soluzioni.
Se utilizzo sempre la notazione esponenziale, equivale a scrivere: e^(i(0 + 2πn))^(1/d), cioè e^(i(0/d + 2πn/d)) che alla fine si riduce a e^(i2πn/d) con 0
Ma se a questo punto a fosse un numero irrazionale ? La molteplicità delle soluzioni diventerebbe infinita, o sbaglio? Cosa succede se si ipotizza di estrarre la radice pigreco-esima? cioè 1^(1/π) ? La periodicità 2πn mi darebbe un numero infinito di soluzioni distinte, o sbaglio?
e infine se a fosse a sua volta un numero complesso?
Sì
Sì
Non é vero che 1^1 perché é il prodotto di 1 per una volta sola. 1^1 =1 per definizione 7:38
👏
E
È ben apprezzabile l'approfondimento sulle radici n_me primitive dell'unita del campo complesso. Mi permetto però una nota : scrivere quel FALSO a caratteri cubitali, nei non addetti ai lavor pottebbe suscitare delle idee sbagliate per quanti risulti funzionale nell'attirare l'attenzione. Magari si piteve optare per un " non in assoluto" o qulacosa del genere. Ad ogni modo i suoi video sono sempre ben fatti e interessanti.
Grazie per l'apprezzamento! Per quanto riguarda il "falso" sono d'accordo che è un po' troppo evidenziato ma è accostato (non a caso) al quantificatore universale.
Nel campo dei reañi... E non vale in C
@@GaetanoDiCaprio La dicitura "FALSO" è corretta, dato che è sufficiente che esista almeno un valore che, per l'appunto, falsifichi l'assunto.
@@GaetanoDiCaprio Il quantificatore universale, se quantifica sulla variabili del linguaggio, come in ogni buon linguaggio del primo ordine, non e' immune al modello e alla sua interpretazione. Se cambio interpretazione alla funzione e dico che b^x nel mio modello M (il cui dominio e' quello dei reali) associa ad ogni reale a quel numero reale b tale che exp(x*ln(b)), dove exp(x) := \sum_{k=0}^{\inf} x^k/k!, dove x^k = x*x*...*x per k volte, e ln(x) e' la sua inversa, allora in questo modello M, \forall x: 1^x = 1 risulta vera, visto che 1^x = exp(x*ln(1)) = exp(x*0) = 1 (ln(1) = 0 segue facilmente dalla definizione di exp menzionata sopra). Quello che hai dimostrato nel video e' che la formula del prim'ordine \forall x: 1^x = 1 ha un'intepretazione che la falsifica (i.e. esiste un modello M tale che in M la formula \forall x: 1^x = 1 risulta falsa), il che e' giusto e sacrosanto, ma e' ben diverso dal dire che quella formula e' falsa punto, visto che la falsita' della formula dipende dal modello ed esistono modelli in cui e' vera (in altre parole, la formula e' soddisfacibile).
Fonti: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function#Formal_definition, en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic), en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic, en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic#Validity,_satisfiability,_and_logical_consequence
@@nometutentegiapreso Sì, giusta osservazione ma francamente la trovo piuttosto ovvia. Nel video dico abbastanza chiaramente che la falsità viene fuori SE consideriamo 1 numero complesso. Nella copertina non viene indicato ma una copertina deve essere una suggestione
Grazie , stupendo dialogo .
I sottostanti commenti sono estremamente stimolanti ma, correggetemi se sbaglio , nessuno di loro scalfisce la adamantina sostanza di questo video .
30 ottobre 2024 GMT
Sono abbastanza in disaccordo con l'impostazione del video che trovo "formalmente" scorretto.
Lo dico senza polemica, anzi con una certa tristezza(di combattere una battaglia persa). Cercherò di spiegarmi.
Il fatto che 1^b faccia o meno 1 è "dimostrabile" SOLO se b è intero strettamente positivo, caso in cui ho la definizione di a^b come prodotto di a per se stesso b volte. Tutti gli altri casi sono "estensioni" della potenza in ambiti più generali in cui SI VUOLE mantenere la proprietà delle potenze:
a^n a^m = a^(n+m) (#)
(supponiamo a>0 per quanto verrà dopo).
Quindi, dato che non è chiaro cosa possa significare prendere il prodotto di a per se stesso zero volte, si DEFINISCE a^0 come 1 e si VERIFICA che questa definizione va d'accordo con (#).
In effetti, secondo me,la definizione più corretta di a^b, per b intero è quella induttiva :
a^0:=1; a^(n+1):=a a^n.
Nello stesso modo se b è un intero negativo si DEFINISCE
a^b:=a^(-b) (##)
e con questa definizione si VERIFICA che la (#) vale per tutti i b interi relativi.
Dunque, prendendo a=1, si ha 1^b=1, PER DEFINIZIONE.
Quello che fai tu (nella prima parte del video) è dimostrare che L'UNICA estensione di di a^b dai b interi positivi ai b interi relativi che mantiene la (#) è quella scritta sopra in (##). Dunque l'unico modo di estendere 1^b agli interi relativi mantenendo la (#) è di porre 1^b=1.
Dopo di che se vuoi estendere a^b a tutti i b razionali direi che SEMPRE SE VUOI MANTENERE le proprietà delle potenze, quando definisci a^(1/4) devi prendere la soluzione positiva di x^4=a (perché se b è intero positivo e a>0 allora a^b>0). Qui potresti eccepire che per te le proprietà delle potenze non contengono a^b>0 e allora effettivamente c'è più di un'estensione - però è un discorso di preferenze che non ha nulla a che vedere con dimostrare o meno qualcosa. E peraltro c'è un'altra importante proprietà che conduce a scegliere la determinazione positiva e cioè che in questo modo si ottiene una funzione continua che allora si può estendere ai b reali.
Riassumendo, se a>0, c'è un'UNICA funzione continua f, dai reali nei reali, tale che f(1)=a e f(x+y)=f(x)f(y). Tale f deve soddisfare f(0)=1 (e deve essere positiva ). Questa f è l'esponenziale di base a: f(x)=a^x.
Nel caso di a=1 si ha f(x)=1 per ogni x reale.
Se si fissa l'esponente, diciamo b nei reali e si prende la base come variabile si trova la funzione potenza (di esponente b) p(x):=x^b, che è definita per x>0.
(Se volessi passare a x minore o eguale a zero in si aprirebbe un contenzioso molto più aperto su cui non intravedo soluzioni chiaramente vincenti - lasciamo stare).
Con questa definizione è inevitabile che, se b=1, p(x)=1 per ogni x positivo.
Anche il fatto di vedere 1 nei complessi non mi smuove molto. L'unica f definita sull'asse reale e a valori nei complessi, continua e verificante (#) è quella di prima (vista nei complessi).
Altro discorso se si volesse definire z^b per z complesso. Questo effettivamente non è possibile - mantenendo la continuità - a parte il caso di b intero).
Comunque, a parte questo "dissing" ”"il tuo lavoro mi pare molto apprezzabile.
Ps. Spero che non ci siano errori di battitura dato che sto usando il cellulare...
Grazie per il contributo
CIao Gaetano, bisogna fare molta attenzione quando si afferma che a^(1/n) è uguale alla radice n-esima di a, poiché si giunge facilmente a dei paradossi: 1^(1/2)=| -1 , 1 | in C, mentre 1^(2/4)= radice quarta di 1^2=| -1 , 1 , i , -i |. Del resto, anche 1^2 dovrebbe essere uguale a 1^(4/2), a 1^(6/3) e così via, però ciò non accadrebbe con la "definizione" a^(k/n)= radice n-esima di a^k. In analisi, dopo avere definito logaritmo ed esponenziale con base e (ci sono diversi modi per definire e^x con x reale, ad esempio con serie di potenze oppure come soluzione di un problema di Cauchy, e il logaritmo naturale lo definisci come funzione inversa dell'esponenziale), si definisce a^b (a,b reali con a maggiore di 0) come e^(b ln(a)) e questa definizione è compatibile con le quelle che vengono date precedentemente nel caso di b intero. Con la definizione che ho indicato, 1^b=1 per ogni b reale.
Ciao! Ottima osservazione! Ero al corrente di questa difficoltà ma ci tenevo che il video potesse essere fruito da un pubblico senza prerequisiti di analisi. D'altronde molti testi operano la mia stessa "semplificazione" quando parlano di radici ennesime dell'unità.
@@GaetanoDiCaprio Grazie per la risposta Gaetano, capisco benissimo e comunque apprezzo molto i contenuti che porti sul canale. Volevo solo evidenziare i pericolosi paradossi a cui si può arrivare volendo restare a tutti i costi in un ambito più elementare, oltre a far notare che 1^a=1 per ogni a reale non è un'affermazione errata.
Non sono d'accordo, nei numeri complessi quell'affermazione è falsa perché 1^(1/4) non è uguale a 1 ma all'insieme {1,-1,i,-i}. Se vuoi posso darti anche qualche riferimento bibliografico
@@GaetanoDiCaprio Mi sa che allora c'è qualche incomprensione: 1) L'immagine di presentazione del tuo video dice che 1^a=1 per ogni a reale è falsa, quindi siamo nei reali e non nei complessi 2)Ho messo in guardia sul fatto di definire anche nei complessi a^(1/n) come radice n-esima di a, poiché se 1^(1/4) ha 4 valori, 1^(2/8) ne avrebbe 8 e dovrebbero essere uguali 3) Se vuoi estendere a^b nei complessi, con a diverso da 0, la definizione è a^b=exp(b Log(a)) dove exp è l'esponenziale complessa e Log il valore principale del logaritmo (T.M. Apostol, Mathematical Analysis). Sono certamente d'accordo sul fatto che, in C, la radice n-esima di 1 è un insieme di n valori (avevo avuto anche una discussione su questo argomento con alcune persone sotto un video di Valerio Pattaro riguardante i numeri complessi), ma attenzione ai problemi che si hanno definendo a^(1/n)=radice n-esima di a nei complessi, perché questa definizione non è corretta (produce i paradossi che ti ho indicato anche nel primo messaggio).
@max031066 sul problema con l'esponente 1/n per i complessi si adotta la convenzione che gli esponenti razionali debbano essere in forma ridotta ai minimi termini (numeratore e denominato coprimi). Per quanto riguarda l'affermazione nella copertina del video il fatto che a appartenga ai reali non implica che la base (1) appartenga ai reali. Quindi continuo a essere convinto che, qualora 1 sia considerato numero complesso, quell'affermazione sia falsa. Adesso non ho sottomano il testo di analisi complessa ma ti garantisco che viene riportato esplicitamente che a^(1/n) ha n valori. Comunque è sempre un piacere confrontarsi con persone molto attente e competenti come te, grazie!
La convenzione della radice n - esima che risulta unica in R (= ins. dei num. reali) si può estendere anche per C (= ins. dei num. complessi), tale convenzione è stata "scoperta" dal sottoscritto, non si troverà mai nei testi di analisi complessa, credo.
Siano z un numero complesso non nullo e n un intero positivo.
Allora per convenzione (come si era fatto in R d'altronde) si potrebbe definire z^(1/n) come: " Il numero , che denotiamo con "a", più vicino all'asse dei numeri reali positivi, cioè partendo da lì e girando sulla circonferenza centrata nell'origine e di raggio la radice n esima positiva in senso antiorario (le radici n- esime stanno tutte lì infatti) fino ad arrivare al primo numero a tale che a^n =1". La definizione a prima vista sembra un po' vaga, ma in realtà può essere espressa in maniera rigorosamente analitica.
Vantaggi di questa nuova definizione:
1) Dà un risultato UNIVOCO anche nell'ambito complesso della radice n- esima(e non è poco !);
2) Estende naturalmente quella già data in R, infatti ad esempio dovrebbe essere noto che {(-2)^2}^(1/2) = 2 (e non uguale a -2) proprio perché si parte dai numeri positivi e 2 viene prima di -2 procedendo in senso antiorario sulla circonferenza di raggio 2 e centrata nell'origine (visto in C, ma tanto ormai l'univocità è stata raggiunta !...).
Certo per risolvere le equazioni algebriche in C si devono considerare tutti gli n risultati delle radici n -esime, ovvio, ma è un'altra cosa questa.
Alla luce di queste cose che ho mostrato, a mio avviso (ma non lo farò qua altrimenti si fanno i chilometri...), si dimostra abbastanza facilmente che 1^x = 1 per ogni x num. reale, ma non solo, ritengo che anche 1^z= 1 per ogni z numero complesso !!! Le dimostrazioni sembrerebbero elementari, ma non le espongo qua.
Grazie dell'interessante contributo
@@GaetanoDiCaprio Grazie anche a lei
@@GaetanoDiCaprio In effetti rivedendo la cosa mi sono accorto che purtroppo in C(=insieme dei numeri complessi) nonostante la mia nuova definizione, rimane il problema che in generale
"(a^b)^c" è diverso da "a^(b*c)", non ci avevo mai pensato dato che prima pensavo che filasse tutto liscio come nei numeri reali, invece no e la cosa la trovo un po' fastidiosa, ma tant'è !
Non è falso che 1 sia sempre una delle soluzioni di 1^a (questo è vero), è falso solo che sia l'unica soluzione. Peraltro le soluzioni sono solo 2 nei Reali (di cui una è sempre 1, e a volte anche -1). Solo nei numeri complessi le soluzioni sono di più (quante con a irrazionale?). Ma i numeri complessi non godono di essere considerati universalmente il default, anzi: deve essere specificato.
Grazie per il commento. Sei sicuro di aver guardato attentamente il video?
@@GaetanoDiCaprio il giudizio negativo, come da altri, non è per il video ma per l'immagine di "acchiappo"
@@raffaeledivaio6585 ricevuto, grazie.
Ciao Gaetano! Ti riscrivo dopo tanto tempo poiché ho avuto da fare. Noto, con piacere, che continui a pubblicare nuovi video e ora mi toccherà vedere quelli passati per recuperare un pò..... 🙂. Su questo che dire.... importante e decisivo sul piano culturale come al solito! Adesso potrò integrare, nel mio quotidiano "bagno di umiltà", l'idea che anche 1+1=2 un giorno potrà essere falso 😉
Grazie di essere tornato sul canale!
se ho ben capito, e siccome l'appetito vien mangiando, frequentando cattive compagnie (tipo eulero, de moivre, ecc.) si possono risolvere equazioni del tipo 1^x = a +bi. con stupore di studenti e scandalo di qualche insegnante meno scafato... a proposito di eulero, vorrei che mi si togliesse un dubbio che mi porto da 53 anni, da quando cioè, nei banchi di quinta liceo, ero affascinato da come nelle operazioni di derivazione/integrazione si passasse da funzioni algebriche a trascendenti e vv. in particolare mi colpiva la somiglianza di (1+x^2)^(-1) e (1-x^2)^(-1) come derivate di funzioni che apparentemente non hanno nulla da spartire. poi un'intuizione vagante mi ha suggerito un semplice cambio di variabile (x=it). la faccio breve: integrando entrambe le funzioni sia come arctan che come ln e confrontando i risultati, dopo qualche peripezia algebrica, ho trovato una cosa strana che solo due anni dopo (biennio di ingegneria) ho riconosciuto essere la formula di eulero (forse già nota a de moivre?). nonostante il risultato, ho ancora dei dubbi sulla legittimità del metodo, che mi sembra un po' "naive"...grazie per la pazienza.
La sostituzione è lecita, ovviamente si dovrebbe "condire" il tutto con un po' di teoria dell'integrazione complessa, ma l'idea di base rimane quella sostituzione 😉
Non avevo mai pensato a quest'aspetto, interessante, pensavo il video si riferisse al caso 1 alla infinito (considerando i reali estesi)! Ho sempre pensato che esistesse un'ambiguità nell'usare lo stesso simbolo per indicare sia la radice complessa sia quella aritmetica (che è una funzione invece), non avrebbe più senso usarne diversi per evitare confusione? Potrebbe inoltre essere interessante fare un video esplorando i casi base positiva esponente irrazionale e base negativa esponente irrazionale, spiegando magari perche il logaritmo necessita l'argomento maggiore di 0. Ottimo video xome sempre!
In genere si usano simboli diversi per distinguere i due tipi di radici. Per differenziarle, se non ricordo male, la radice complessa la si indica col simbolo consueto, mentre la radice aritmetica la si indica aggiungendo al simbolo consueto una barra orizzontale sopra. Però questa distinzione la si fa solo al momento che si usano i numeri complessi (o per lo meno così mi hanno spiegato, non so quanto sia diffusa questa dicitura)
Professore mi scusi, ma non capiaco perche sia falso: esistono altre soluzioni, questo è certo, ma questo mica significa che è falso quanto detto nel video. È come dire che se |x| = 2 è vero per x = ±2, allora è falso dire che x=2: è incompleto sicuramente, ma è una soluzione corretta.
No, mi dispiace, hai fatto un esempio assolutamente calzante. "Incompleto" vuol dire che l'affermazione è falsa
@@GaetanoDiCaprio Mi scusi ma continuo a non capire 😅. x= 2 è una soluzione dell'equazione |x| = 2, dunque è vero che |x| = 2 se x =2. È una condizione sufficiente, non necessaria. Trovo falso, invece, dire che x=2 è l'unica soluzione possibile, ma il simbolo di uguaglianza non implica l'unicità.
@@danielecini2403 dire che {2} è UGUALE all'insieme delle soluzioni dell'equazione |x|=2 è falso. Così è più chiaro?
@@GaetanoDiCaprio sì, così si
@@GaetanoDiCaprio la ringrazio ☺️
1^1 =1 per definizione e non perché prodotto di 1 una volta sola
👏
Ovviamente un prodotto necessita sempre di due numeri. Ma a questo punto anche 1^0= 1 per definizione
Ma 1^pigreco?
Rotengo l'esposizione inesatta.
Premesse di base:
1) La potenza a^n ad esponente intero (base a reale) sono definite per induzione su n con a^0:=1, a^{n+1}:=a^n. a (per cui a^1=a) (per cui 0^0:=0 per definizione aritmentica, le forme indeterminate dei i limiti non c'entrano nulla)
2) La potenza a^n ad esponente intero relativo (a reale non nullo) sono definite a partire da sopra, richiedendo che "m |-> a^m " sia un morfismo dal gruppo addittivo Z al gruppo moltiplicativo dei reali positivi, osservando che per m>=0 (contesto di (1)) si ha un morfismo di monoidi.
3) La potenza a^r ad esponente razionale non negativo (con a>=0 ) è definita definendo prima rad(a, n) (RADICE n-IMA DI a) come quel numero NON NEGATIVO la cui potenza n-ima è uguale ad a, dalla proprietàò dei reali segue che tale numero è unico tra i REALI NON NEGATIVI. QUindi si dimostra che rad(a^m, nm)=rad(a , n) quindi è ben definita la potenza a^(m/n):=rad(a, n)^m nel senso che tale valore non dipende dalla frazione che rappresenta il numero reale.
Si dimostra che " r |-> a^r " è un morfismo dal monoidei addittivo dei razionali al monoide moltiplicativo dei reali non negativi.
4) SI estende la definizione ad esponenti razionali (anche negativi, come in (2)) con a>0, per cui " r |-> a^r " è un morfismo dal gruppo addittivo dei razionali al gruppo moltiplicativo dei reali positivi.
Da qui per la proprietà di completezza dei reali ci si estende ad esponenti reali.
Se vogliamo ci si estende anche ai complessi, dove (in particolare) rad(a, n) esiste per ogni reale a ed ha UN VALORE UNIVOCO (riducendo l'angolo (antiorario) dall'asse X al vettore ad un n-ismo , e la lunghezza alla sua redica n-ima), da non confondere ciò con la nozione di radice di un polinomio (che possono essere varie) o con le soluzioni di x^n=a.
SE si scrive 2=rad(4,2)=2 e -2=rad(4,2) (magari aggiungendo: perchè sia 2 che -2 hanno quadrato 4) si afferma una contraddizione : se fosse
2=rad(4,2)=2 e -2=rad(4,2) per un qualche rad(4, 2) allora 2= -2, si dirà: "ma rad(2, 4) non è sempre un solo numero ....ma è quel numero il cui quadrato è 4", ol che è sbaglato, questa è la definizione di soluzione di x^2=4, ed proprio dire "quei numeri " (sia che no nce ne sia alcuno o uno, o molti).
La radice è una funzione (se è definita ha valore univoco) ed è per convenzione un ramo (quello più ovvio) della (plutriramificata) relazione inversa della funzione potenza .
Sia nei reali che nei complessi si ha che: rad(1, n)=1 (e non -1 oppure i, -i ecc) sebbene il valore -1 sia a pieno titolo soluzione di x^4=1.
Grazie per l'attento ed esaustivo contributo. Condivido tutta la prima parte. Dal paragrafo che inizia con "Se vogliamo ci si estende anche ai complessi" non condivido, nel senso che la possibilità presentata è sensata ma non corrisponde a quanto presente su qualsiasi testo di analisi complessa, come ho già segnalato nel post ruclips.net/user/postUgkx9RsSnjHdaaqO2gS5I5DWi0go2mqlW0lc
Altro stimolo ad ampliare i propri orizzonti e dunque mettere in discussione apparenti ovvietà senza aver considerato altre prospettive.
Se ti trovi su una zattera distante dalla terra ferma e stai morendo di sete, non potrai cavartela e dunque sopravvivere immergendo le mani nell’acqua per raccoglierla e berla.
FALSO
Se la zattera si trova su di un limpido fiume di montagna puoi bere tale acqua e sopravvivere.
Se invece sei nell’oceano (come probabilmente hai inizialmente pensato)… direi di no.
A proposito di sintassi e semantica, Più semplicemente direi che l''eguaglianza mostrata É vera per ogni a reale, quello che sarebbe falso è l'affermare che è l'unica possibile
Quindi per lei dire che la soluzione dell'equazione x^2=4 è x=2 è vero?
@@GaetanoDiCaprio no, è errato dire che non è soluzione (come sarebbe falso affermare che è l'unica soluzione).
@@francoferrario2869 Mi dispiace, l'affermazione "la soluzione dell'equazione x^2=4 è x=2" è falsa. La invito a riflettere bene
Vero: Affermare che 2 è soluzione non equivale a dire che è "la" soluzione. Però questo non c'entra molto col quesito di partenza.
@@GaetanoDiCaprio
Durante la dimostrazione si dice, giustamente, che (-1)^4=1 e da questo, erroneamente, si fa dedurre che (1)^(1/4) possa valere "anche" -1 (si aggiunge, sempre erroneamente, che per convenzione, il valore negativo si lascia da parte). La deduzione detta è immotivata e scaturisce dal credere che la funzione reale (x)^(1/4) e la funzione reale x^4 siano invertibili per ogni x reale e che siano una l'inversa dell'altra su tutto il campo reale. Questo è falso, non essendo la seconda funzione invertibile sul campo reale nel suo complesso, perchè non è iniettiva. Dunque, la radice quarta di 1 è, chiaramente, solo 1. D'altronde, la radice quarta di 1, che è un numero positivo, non può essere uguale ad un numero negativo ed è, inoltre, univocamente determinata per definizione stessa di funzione.
Certo, x^4 non è invertibile e infatti per poterla rendere invertibile occorre limitare il suo dominio. Questo lo si può fare in due modi (almeno): considerare solo il dominio x>=0 oppure considerare soltanto il dominio x
Diamo più approfondimento:
Per quanto riguarda iⁿ posso dire che: i⁴ⁿ=+1, questo sempre.
Allora dico che:
i^(4n+1)=i→invariato
i^(4n+2)=-1→reale negativo
i^(4n+3)=-i→opposto
La stessa cosa vale anche con -i:
(-i)⁴ⁿ=+1
(-i)^(4n+1)=-i
(-i)^(4n+2)=-1
(-i)^(4n+3)=i
Poi posso dire anche che:
i^(4n+3)=i^(4n-1)
(-i)^(4n+3)=(-i)^(4n-1)
Oppure:
i^(4n+3)=(-i)^(4n+1)
i^(4n+1)=(-i)^(4n+3)
Posso dire anche così:
i^(4n+1)=(-i)^(4n-1)
Non tratta il caso di a irrazionale.
Per mostrare che l'affermazione è falsa bastano i razionali. Comunque grazie, può essere un ottimo spunto per un altro video
Buongiorno, provo a dare anch'io il mio punto di vista in merito a questa dibattuta questione.
Sicuramente per ogni a reale, se siamo in campo reale dove x^a è una funzione ben definita per x>0, si ha 1^a=1.
Invece in campo complesso è noto che l'elevamento a potenza è funzione polindroma che ammette molteplici determinazioni, il che significa che il risultato dipende da quale determinazione scegliamo. Ad esempio nel caso trattato nel video con a=1/4 vi sono 4 determinazioni e solo per una di queste effettivamente 1^1/4 = 1 è VERA, mentre per le altre 3 bisogna dire che è FALSA.
Sicuramente vera è l'identità |1^a| = 1, e sicuramente vera è l'identità 1^1/4 = {1, i -1, -i} che il professor di Caprio ha usato rispondendo a molti commenti, considerando l'elevamento a potenza come funzione a valori su insiemi.
Il trabocchetto di questo esercizio è aver scritto 1^a=1 senza specificare a quale determinazione ci si riferisce (cosa che per a generico richiederebbe il passaggio attraverso la funzione logaritmo e le sue infinite determinazioni).
Ciò detto la scrittura 1^a=1 secondo me è da ritenersi, in campo complesso ERRATA.
Tuttavia, provando ad entrare ora in una questione più di logica matematica che di analisi e per la quale mi dichiaro incompetente, io direi che l'errore non è semantico ma sintattico, la scrittura 1^a=1 non ha semplicemente senso in campo complesso, è sintatticamente errata, proprio perché manca l'indicazione di quale determinazione si debba prendere e non vi è dunque modo di calcolare 1^a. Non si può pertanto assegnare né un valore VERO né un valore FALSO all'identità in questione.
Questa inconsistenza sintattica ha reso possibili le più varie interpretazioni emerse nei commenti dove ciascuno ha potuto integrare e interpretare a modo suo la scrittura 1^a=1.
La mia proposta è di modificare il falso in errato: 1^a=1 ? ERRATO in campo complesso e l'errore è sintattico.
Ciao Andrea, come al solito i tuoi interventi sono equilibrati e di una profondità e chiarezza assolute. Riguardo alla questione sintattica o semantica: se qualcuno insegnasse che la radice ennesima di uno è uno, starebbe insegnando qualcosa di errato o qualcosa di falso? 1 non è uguale ad un insieme con quattro elementi. A me sembra una questione semantica
@@GaetanoDiCaprio Direi che al livello logico a cui di solito facciamo algebra, 1 non può prendere il posto di un insieme come {1, i, -1, -i} e si tratta dunque di un errore sintattico, come un verbo messo al posto di un nome. Aggiungo che in molti linguaggi di programmazione se una variabile viene definita come vettore e si cerca di assegnarle un valore scalare, il compilatore, che esegue il controllo sintattico, restituisce un errore, è necessario indicizzare il vettore che nel nostro caso equivale a specificare una determinazione delle potenze complesse.
Con questo non voglio dire che non siano possibili tipizzazioni logiche in cui 1 e l'insieme {1, i. -1 -i} appartengano alla stessa categoria, ma qui mi fermo perché entro in un terreno non mio.
Per fare un esempio tratto dal linguaggio comune potrei dire che la frase "I gatti mangiano i topi" è una frase corretta sintatticamente e semanticamente, "I gatti mangiano il topi" è errata sintatticamente (perché l'articolo singolare il non concorda con il plurale topi), "I topi mangiano i gatti" è corretta sintatticamente ma non semanticamente (i topi non mangiano i gatti). L'ultima frase si può dire che è falsa, la seconda che è errata. Secondo me l'identità 1^1/4 = 1, anziché 1^1/4 = {1, i, -1, -i} assomiglia più alla seconda frase, quella sintatticamente errata. Tuttavia come molti sarebbero in grado di dare un qualche significato, pure corretto alla seconda frase, così in molti sono stati in grado di dare un qualche significato all'identità 1^1/4 = 1 magari restringendola alla determinazione principale e trovandola quindi vera.
@@GaetanoDiCaprio Continuando il ragionamento, dal momento che possiamo ricondurre la discussione al fatto che 1 non è l'insieme {1, i, -1, -i), potremo chiederci se scrivere 1={1, i, -1, -i} sia un errore sintattico o semantico. A me sembra più opportuno dire che si tratta di un errore sintattico e che la sintassi giusta potrebbe essere 1 € {1, i, -1, -i} (€ qui sta per "appartiene), oppure {1} < {1, i, -1, -i} (< qui sta per sottoinsieme), o anche {1} = {1, i, -1, -i} che è corretta sintatticamente ma non semanticamente, corretta nella forma ma è falsa nel contenuto. Naturalmente non vi è un modo giusto di correggere una sintassi sbagliata che lascia ovviamente ambiguità.
Detto ciò va comunque precisato che la differenza tra errore sintattico e semantico non è qualcosa di assoluto, ma dipende dal livello logico a cui stiamo operando e quelli che sono errori semantici, o di contenuto, ad un certo livello, possono diventare errori sintattici, o di forma, ad un livello logico superiore.
Infatti, in generale, è sempre desiderabile poter aggiungere nuove regole che ci consentano di evitare errori.
Ad esempio se scrivo che l'area A di un rettangolo di base b e altezza h è A = b+h, dal punto di vista della sintassi aritmetica la formula è scritta correttamente, ma dal punto di vista semantico, del contenuto è ovviamente sbagliata e possiamo dimostrarlo facendo vedere, ad esempio, che un rettangolo con b=2 e h=3 non ha area A=b+h=5. Se ora passiamo dal livello aritmetico al livello geometrico, possiamo aggiungere alle nostre regole sintattiche che le aree devono essere funzioni omogenee di 2° grado delle dimensioni e così la formula A = b+h ci apparirà sintatticamente errata, formalmente errata, mal costruita e questo errore appare dall'interno della formula stessa, dalle regola formale che abbiamo aggiunto.
Altro esempio, in fisica le equazioni di base devono soddisfare ad un principio di relatività dello stato di moto del sistema di riferimento, questo diventa una regola sintattica a cui devono soddisfare le equazioni che devono risultare invarianti per trasformazione da un sistema di riferimento ad un altro in moto uniforme rispetto al primo.
In entrambi i casi si tratta di regole logico formali che aggiunte alla nostra sintassi ci consentono di evitare errori e che d'altra parte si fondano su un significato e dunque su un valore semantico profondo quali appunto il concetto di dimensionalitá o il concetto di indistinguibilitá tra sistemi in moto uniforme nei due casi precedenti.
Se mi chiedi quindi se scrivere 1 = {1, i, -1, -i} è un errore sintattico o semantico ti potrei dire che questo dipende dalle regole sintattiche che ci siamo dati. Io e credo anche tu, che abbiamo incorporato tra le nostre regole che l'insieme è una cosa e l'elemento un altra, siamo abituati ad usarla come regola sintattica e a ritenere che il segno = non possa essere usato per stabilire una relazione tra un elemento ad un insieme, e alla fine per questo motivo mi era sembrato più opportuno dire che 1^1/4 = 1 è sintatticamente errata. Ma quando dici che 1 = {1, i, -1, -i} ti sembra un errore semantico hai pure ragione perché è qualcosa che affonda nel significato che vogliamo dare ad insieme e ad elemento, solo che lo stai guardando da un livello logico più di base.
@@andreapedron568 Molto interessante, non avevo mai considerato che potessero esserci diverse interpretazioni del concetto di sintassi e semantica. Grazie per gli spunti di riflessione, e per il tuo preziosissimo contributo a questo canale
Ciao, vorrei invece argomentare l'affermazione secondo la quale 1^a=1 è vera per ogni "a" reale, non solo nei reali ma anche nei complessi: 1) Nei numeri reali, la definizione di a^b (con a maggiore di 0) è a^b=e^(b ln(a)), che può essere data subito dopo aver introdotto la funzione esponenziale con base "e" (ci sono diversi modi, serie di potenze e problemi di Cauchy per citarne due), mentre il logaritmo naturale lo definisci come funzione inversa dell'esponenziale. Il vantaggio di questa definizione ti permette di bypassare tutte le definizioni interemedie di elevamento a potenza, come a^(k/n)=valore prinicipale della radice n-esima di a^k (k intero relativo, n intero positivo), ma è comunque coerente con quest'ultima (è facile da verificare). Con questa definizione, 1^b=1 per ogni reale b. 2) Nei numeri complessi, la definizione più efficace di elevamento a potenza che rimane inalterata se la applichi al caso reale, è z^w=Exp (w Log(z)) (z complesso diverso da 0), dove Exp è l'esponenziale complessa (che, nei reali, coincide con quella reale) e Log è il valore principale del logaritmo (naturale) complesso (anche questo coincide con "ln" nel caso reale). Il vantaggio di questa definizione è non solo di coincidere con quella data nei reali nel caso in cui z e w sono reali, ma anche di mantenere valide importanti proprietà come z^(w1+w2)=(z^w1)(z^w2) e la conseguente (z^w)^n=z^(nw) con n intero. Con la definizione indicata, 1^w=1 per ogni w complesso. 3) Ci sono delle criticità nel voler definire, in C, z^(1/n) come radice n-esima di z (che per z diversa da 0 ha n valori), ad esempio dovresti rinunciare alla validità delle proprietà del punto 2 poiché comporterebbe il dover definire un prodotto tra insiemi e anche verificare la correttezza del risultato (come potrebbe valere l'uguaglianza ((-1)^(1/2))^2=(-1)^1=-1 quando il primo membro è il prodotto dell'insieme | i , -i | con sé stesso? Senza contare il fatto che, volendo poi definire z^(k/n) come radice n-esima di z^k, z^(1/2) non potrebbe essere uguale a z^(2/4) poiché il primo sarebbe un insieme a due elementi e il secondo a quattro elementi.
Video ambiguo, contorto e poco chiaro. Quale numero appartenente ai numeri reali non fornisce come risultato 1?Tutti danno 1 quindi l'affermazione è vera.Non complichiamo il semplice, la matematica lasciamola complessa quando lo è davvero.
Grazie per l'attenzione e per il commento. Io credo che le critiche siano utili quando sono mirate e circostanziate, non quando sono generiche. In qualche punto sarebbe ambiguo? In quale passaggio poco chiaro? E contorto?
Bel video invece. Si punta a cose anche semplici e controintuitive per il grande pubblico.
L'esponente 1/4 è fornito come esempio che rende falsa l'affermazione.
Forse, come ascoltato in un video semi-comico ieri, molti utenti preferiscono video brevi, e dunque potrebbe essere stato ascoltato solo in parte dall'utente.
Personalmente ho solo una perplessità, sulla convenzione di escludere -1 quando si ha a che fare con i numeri reali. Personalmente non l'ho mai esclusa come radice, per quanto però qui si consideri il caso di potenza ad esponente frazionario, d'onde magari "per continuità" la cosa ha senso, quindi magari non la ricordavo.
@@maurorusso4253 Grazie del commento positivo! Per quanto riguarda la perplessità sul significato di radice ennesima, nei reali è una FUNZIONE, non può restituire più di un valore. Per n pari il risultato è non negativo per definizione
@@GaetanoDiCaprio ok, convincente.
@maurorusso nel risponderti, approfitto per ringraziare il gestore del canale, il cui lavoro è sempre spunto di riflessioni. Venendo alla risposta, 1/4 non costituisce un controesempio alla validità dell'uguaglianza, nel caso ci si "muova" nei reali. Inoltre, il termine "convenzione" è, secondo me, usato impropriamente, giacchè, il simbolo di radice utilizzato, ha un significato ben preciso
Stavolta lei mi ha deluso... Ma non si diceva che a doveva appartenere ai reali? Lei si ferma e non tratta tutti i razionali e ancor meno gli irrazionali...
Ok è bastato considerare 1 appartenente ai complessi per dire che la affermazione è falsa, apisco
Mi dispiace di averla delusa, non capisco esattamente in cosa visto che 1/4 è un numero reale e 1 ovviamente può essere considerato sia complesso che reale. Il video è uno stimolo di approfondimento dei numeri complessi per chi o non li conosce o ne ha una conoscenza limitata. Una trattazione completa della potenza nei complessi era nettamente al di là degli obiettivi del video. Questo vale in generale per i miei video: non sono quasi mai "videolezioni", ma semplicemente spunti di approfondimento. Per chi cerca videolezioni ci sono altri canali RUclips decisamente più adatti, ma io credo che lo studio sistematico più efficace di un argomento sia sempre il caro vecchio libro. Grazie comunque per la pazienza di aver guardato il video
Concordo con quanto detto da @dzuddas e altri.
La proposizione ∀a∈ℝ 1^a=1 è vera. È la proposizione ∀a∈ℝ ∃!z∈ℂ : 1^a=z ad essere falsa.
Un numero non è uguale a un insieme. Credo dovresti riguardare il video con più attenzione.
@@GaetanoDiCaprio Cioè in base a quello che stai affermando, solo a titolo di esempio per te si ha che 1^(1/4) = {1, i, -1, -i} e quindi 1^(1/4) = 1 non è una identità.
@@FabioTrovato sì esatto