첫번째 연분수 문제는 방정식으로도 쉽게 이해할 수 있을것 같습니다. 말씀하신 부분처럼 f(x)=2/(3-x)로 정의했을때 f^(n+1)(x)=2/(3-f^n(x))로 다시 쓸수 있고 n이 양의 무한대로 발산할때 n+1=n이므로 f^n(x)=2/(3-f^n(x))로 다시 쓸 수 있겠네요. 이때 f^n(x)=X로 치환해서 방정식을 다시 쓰면 0=X^2-3X+2라는 1과 2를 근으로 갖는 이차 방정식이 나오니 해당 연분수는 1,2 어느쪽으로 보더라도 성립하는게 맞는것 같습니다. 다만 상수의 사칙연산으로 일대다 대응을 볼 수 있는 경우가 흔치 않다 보니 "X=1이다, X=2이다. 그러므로 1=2이다."라는 엉뚱한 삼단논법으로 착각하게 되는 문제인것 같습니다.
어째서 이런 착각이 일어나는걸까 나름의 고민끝에 몇가지 (수학적으로 매우 엄밀하지 않은!) 가설이 떠올랐는데 1. 애초에 연산을 잘못했다. 말씀하신 (...)의 함축성에서 힌트를 얻은 부분으로 영상에 등장한 연분수를 사칙연산과 괄호로 풀어 쓸 경우 2÷(3-(2÷(3-(2÷(3-.... 로 나타내어집니다. 네 맞습니다. 가장 안쪽의 괄호부터 계산해야 하지만 이렇게 무한히 괄호가 계속 쳐지게 되서 영원히 저 괄호가 닫힐일은 없습니다. 그런 상태에서 우리는 괄호의 바깥부분부터 연산을 해나갔기에 이런 오류가 발생하지 않았나 싶습니다. 다시말해 위의 식을 연분수로 바꿔쓰게 되면서 '같은 계산을 반복하고 있다'라는 착각을 심어주지만 위와 같이 괄호가 영원히 닫히지 않는 식에서 우리는 맨 처음 단 한번의 계산조차 시행하지 못합니다. 2. 애초에 영상에 등장하는 연분수는 상수가 아니다. 우선 어떠한 미지수의 역수의 역수 즉, 1/(1/x)를 떠올려봅시다. 잘 아시다시피 x의 역수의 역수는 x 와 같기 때문에 위 식의 x부분을 다시 역수의 역수 취해주면 1/(1/(1/(1/x)))를 얻을 수 있습니다. 이러한 과정을 무한히 반복하여 만들어진 함수는 1/(1/(1/(1/(1/(1/... 가 되어 (...) 속으로 미지수 x가 완전히 모습을 감추게 되고 마치 상수처럼 보이게 되는거죠. 영상에 등장하는 연분수가 상수가 아닌 변수 또는 함수라면 여러개의 상수와 일대다 대응을 이루는것이 아무런 문제가 없는 부분입니다. 3. 1이 나눗셈의 항등원임을 이용한 눈속임이다. (엄밀히는 오른 항등원) 임의의 분수식의 값을 1이라 가정할 경우 분모분자중 한곳을 1로 나누는(즉 분수식 자기 자신으로 나누는) 행위를 반복할 경우 설령 2가 아니더라도 다른 어떤 수와도 동시에 값을 갖는 연분수꼴을 쉽게 만들어 낼 수 있습니다. 심지어 실수에 국한되지 않고 복소수까지 말이죠. 이러한 현상이 일어나는 이유는 1로 수십 수백 수억번을 나눈다 한들 그 값이 변하지 않기 때문에 다른 어떤 특정한 값을 갖는 연분수 꼴이 있다 한들 적당한 사칙연산과 1로 나누는 조작을 이용해 1과 그 꼴이 같은 연분수로 만들어버릴 수 있는겁니다.
@@Martin-ur7mc 이 문제에 대해서 심각하게 고민하고 계시다면 [...] 부분을 다음과 같은 수열을 나타내는 형태라고 생각하는 방법도 있습니다: 2, 2/3, 2/(3-2), 2/(3-2/3), 2/(3-2/(3-2)),.... 이걸 계산 해 보면 수열은: 2, 2/3, 2, 6/7, 2, 14/15, .... 으로 홀수번째 항은 항상 2가 나오고 짝수(2n)번째항은 (2^n -2)/(2^n -1) 이 나옵니다. 따라서 이 수열은 수렴하지 않습니다 (진동). 이 연분수의 값을 1이라고 생각하려면 결국 이 [...] 부분을 위의 수열의 짝수번째 (즉, 2/3, 2/(3-2/3), 2/(3-2/(3-2/3))...)를 뜻하는 것이라고 해석한 경우고 연분수의 값을 2라고 생각하려면 [...] 부분을 위의 수열의 짝수번째 (즉, 2, 2/(3-2), 2/(3-2/(3-2)),...)를 뜻하는 것이라고 해석한 경우라고 할 수 있습니다. 어찌되었건 [...] 부분이 수학적으로 명확하지 않아서 나오는 현상이지요. 가설으로 내놓으신 것 중에 1번에서 애시당초 계산이 불가능한 식이다 라고 하신것도 충분히 가능한 해석이지만, 조금 더 유연성을 두어서 저 연산을 계산하는 것은 수열의 극한이다 라고 말하는 것이 조금 더 의미가 있지 않을까 싶습니다 (예를 들면 고등학교에서 배우는 적분을 이해할 때도 정의역을 n번 잘라서 나온 직사각형의 넓이로 수열을 만들고 그 수열의 극한값을 구하는 방식을 사용하지요. 적분(미분도 비슷)의 경우에는 상황이 조금 더 복잡하긴 하지만요...). 그렇게 수열의 극한을 구하는 것이라고 생각하고나면 수열이 진동하므로 이 수열의 극한은 존재하지 않는다 라는 결론을 얻을 수 있고, 이 경우 수렴하는 하위 수열들이 있는데 그 하위수열들의 극한이 1과 2라고 생각하실 수 있습니다.
저 정말 재밌게 봤습니다. 현재 고3인데 엄밀하게 모든 내용을 이해할 순 없었지만 정말 많은 호기심이 생긴 영상이었던 것 같아요. 자연수집합 내에서 정의한 미분이 정말 인상적이었고 람베르트 함수에 대해 더 자세히 알고 싶네요. 추가적인 공부를 하기도 하겠지만 추가적인 영상 만들어 주시면 정말 좋을 것 같아요. 그리고 항상 좋은 영상들 만들어주셔서 정말 감사해요.
연분수의 비슷한 예로, 1+1/(1+1/(1+... 같은 경우에는, 1.618과 -0.618 두 가지 값을 가질 수 있습니다. 다만 이 경우, 음수해는 너무나 반직관적이기에, 흔히 1.618 쪽을 "표준값" 으로 간주하죠. 그렇다면 위 사례에선 1과 2 어느쪽에 더 우월한 지위를 두어야 할까요? 치환해서 이차방정식을 풀었을 때 거의 모든 경우에 두 실근이 나올 텐데, 거기에 대한 기준이 있을까요?
와... 자연수 미분 전개 정말 신기하고 흥미롭게 봤습니다. 수학적인 사고를 정말 취득하고 싶네요. 예전에 x^x=7 에 답이 뭘까 정말 궁금해서 이리도 해보고 저리도 해보고 물어도보고 하며 1년 넘는 시간을 고민했는데도 못 풀었다가 한 커뮤니티에 물어보니 바로 답해줘서 좀 허무했던 기억이 있습니다. 따로 한 번 다뤄주신다면 매우 기쁠 것 같습니다. 항상 영상 재밌게 보고있습니다. 건승하시기 바랍니다.
양변에 자연로그를 취하면 xlnx=ln7이 되고 x는 e^lnx임으로 e^lnxlnx=ln7이 됩니다. 람베르트 w 함수 취하면 lnx=w(ln7) 이 되기 때문에 정답은 e^w(ln7)이고 계산기를 두들기면 대략 2.316...정도인데 실제로 2.316^2.316을 해보면 6.99... 가 나옵니다.
역설의 정확한 정의는 1. 전제가 모두 참인 것처럼 보이고 2. 논증의 증명구조가 타당해 보이는데 3. 결론이 거짓인 것처럼 보이는 논증 입니다. 전제가 거짓이거나 논증구조가 부당해서 결론은 결국 거짓이 되는 게 맞다는 식으로 답이 나올 수도 있지만, '이 결론이 거짓인 명제일 거라고 믿는 니 상식이 틀린 거야'라면서 결론을 참으로 받아들이는 게 답이 될 수도 있어요.
이 극한 관련 역설들은 특히 주의해야 하는데, 선생님들이 무한대, 무한소의 개념을 학생들의 이해를 돕기 위해 쉽게 풀어서 설명하려다가 삐끗해서 흔히 저지르는 오류이기 때문입니다. 수업때는 그렇구나 하고 넘어갔다가 문제 풀면서 틀리고 복습하면서 지옥에 빠지게 됩니다... 이런 부분을 직접 캐치할 만한 수학적 감각이 없으면 계산만 할 줄 알지 개념 자체는 모르는 안타까운 수포자가 됩니다...
@@kexi4325 제가 말한 내용도 같은 내용입니다. sqrt2^sqrt2^...=2가 맞지만 4는 아니라는 겁니다. 영상에서는 x^x^x^...=4 의 해가 x=sqrt2, 라고 했는데 제 글에서는 x^x^..=4 의 해는 실제로는 sqrt2가 아니라 sqrt2i 라는 것을 설명한 겁니다~^^
처음 역설은 1=0이라는 역설과 비슷하네요 1=1에서 1-1=0임으로 이것을 무한이 더하면 1= 1-1+1-1+1-1... 0도 같이 하면 1=0 이 논리는 쉽게 결점을 알 수 있죠 처음 역설은 항상 끝 수가 달라서 같다고 할 수 없습니다. 그런데 무한으로 전개하면 끝이 사라지죠. 그래서 ...을 붙이는 게 문제입니다.
@@active00023 (루트2)^2=2를 통해서 (루트2)^(루트2) < (루트2)^2=2, (루트2)^(루트2)^(루트2) < (루트2)^(루트2)^2=2, (루트2)^(루트2)^(루트2)^(루트2) < (루트2)^(루트2)^(루트2)^2=2, ... 위 논리대로 보면 2로 수렴한다고 예상이 되는데 어떻게 발산하는지 잘 이해가 안가네요..
애초에 미분하는데 있어서 x를 x번 더했다고 했을 때 더한 횟수는 상수로 생각하고 더하는 것만 변수로 생각한 것에서부터 오류가 발생합니다. 횟수도 미분하는 변수기에 그대로 둬선 안되는게 당연합니다. 사실상 어떤 상수 c가 존재한다면 cx를 x에대해 미분한 것이지 x²을 미분한 것이 아니죠.
도박사의 오류에 대해서 알아보시면 좋겠네요. 각 동전을 던지는 사건들은 모두 독립적으로 일어납니다. 동전을 10번 던졌는데 모두 앞면이 나왔다고 하고, 시간상 앞에서부터 해당 사건들을 A, B, C, D, ... , J 라고 합시다. 그러면 이때 11번째 동전이 앞면(사건 K)이 나올 확률은 조건부확률로 P(K|A^B^...^J)라고 할수있습니다. (^는 교집합 기호) 그런데 A부터 K까지 각 사건들은 모두 독립이므로, P(K|A^..^J) = P(K) = 1/2입니다.
주사위를 11번 연속하여 던져 나오는 면들을 순서대로 기록하는 시행을 1024x100번 한후 첫번째부터 열번째까지는 모두 앞면이나오는 사건들을 따로 모아서 그중 11번째가 앞면이 나온 횟수를 따로모은 집단의 갯수로 나누어 보면 1024x100번 할때, 1024x1000번 할때, 1024x10000번 할때 정말로 1/2로 수렴해가는걸 눈으로 볼 수 있습니다.
2/(3-2) 와 2/(3-1)은 아래쪽 연분수를 아무리 써도 달라보이는데.. 왜 같은 수라고 하죠? 그냥 "동시에 써 놓고" 보기만 해도 서로 다른데. 분모에 한쪽은 3-2를 반복하고 다른 쪽은 3-1을 반복하고 있는데 말이죠. 3:40 쯤에... 1 이기도 하고 2 이기도 하다... 라고 설명했는데. 그냥 1입니다. 2는 분모에 3-1을 반복하는 경우에만 2입니다. 3-2를 반복하는 경우와는 전혀 다른 수죠
그건 2입니다. 영상에서도 그 패턴을 1이라고 '직접' 설명한 적이 단 한번도 없으며 실제로 직접 연산해보시면 2가 됩니다 그건 2 이고 영상에서는 아무런 설명도 없이 패턴이 같으니 1이다 라고 하고 있죠 패턴에 다른 수가 다른 연산결과를 가지는 두 연분수가 왜 동치인지는 '패턴이 닮았다' 이 외의 어떤 설명도 없어요 님이 실제로 두 연분수를 따로놓고 무한히 반복하며 따로 연산해보시면 님이 답글에 쓰신쪽은 무한히 2라는 결과만을 내놓으며 다른쪽은 무한히 1이라는 결과만을 내놓습니다 혹시 형태만 같으면 그 형태안에 어떤 수가 들어가든 같은 수라고 생각하시나요? 님이 양쪽 연분수를 딱 10번만 차수를 늘려가며 따로 연산해보시죠 그리고 극한을 이용해서 무한히 해도 영원히 서로 다른 수가 됩니다 역으로 님이 쓰신쪽이 그 어떤 순간일지라도 2가 아닌 다른 연산결과를 보인다면 그건 수식을 잘 못 쓴것에 지나지 않습니다
두번째 역설은 결국 미분은 연속성이라는게 전제가 되는거고 자연수 집합 같은 이산적인 상황에서는 일반적인 미분이 안되니까 역설이 발생하는거군요 그리고 자연수 집합의 미분에서는 극한값으로 가면서 항의 개수 차이에 대해 고민을 해본적 없는 연속적 미분과 달리 n+1 같은 항이 하나 남아돌아서 역설이 발생하네요 신기하군요
1번 문제 연분수를 x로 놓으니 x = 2 / (3-x) 라는 방정식이 나오네요.. 이항해서 이차방정식으로 풀어주니 해가 x=1 또는 x=2 가 나옵니다. 어떡하죠? ㅋㅋㅋㅋㅋ 2번 문제 x에 대해서 미분하는데, x의 차수를 건드리면 안되지 않을까요? 게다가 x가 자연수가 아니면 덧셈으로 풀어쓰는 것도 불가능 합니다.
2번째는 도함수의 정의를 이용해서 해결할 수 있는거같아여 x^2 의 도함수는 lim h->0 f(x+h)-f(x)/h 라는 도함수의 정의를 이용해서 구하면 2x 가 나오는데 x+x+x+....+x 를 이 도함수 식에 대입하면 lim h->0 (x+h + x+h x+h...+x+h)-(x+x+x+x+x+x)/h 라는 식이 나오는데 이러면 x 는 전부 소거가 되버리고 h만 남게 되는데 h는 총 x개 만큼 있으므로 h+h+h+h...+h를 xh 라고 할 수 있습니다 그러면 분모분자에 h 약분 시켜주면 x 만 남게 됩니다
Not really so since f(x+h) can't arbitrarily leave out the (x + h)h at the end. f(x + h) - f(x) ≈ x + h + x + h + ... + x + h - x - x - ... - x = x * h + (x + h)h
첫번째 역설은 굳이 극한으로 식을 써서 풀이하지 않아도 느낌이 빡 오지 않나요?.. 보통은 저런식으로 무한반복되는 경우에는 이 규칙의 마지막 수에 대해서 수나 오차가 '무시할 수 있을만큼 작다'(예를 들어 '1/2+1/4+1/8+1/16+•••'같은 급수에서 마지막 항은 무시할수 있을만큼 작기에 S=1/2+S/2->S=1이 성립한다) 라는 말이 따라붙게 되는, 이경우는 마지막 수가 1인지 2인지에 따라 분명히 달라지는 식이잖아요. 무시할수 있는 경우가 아닌거죠.
그리고 많은분들이 직관의 실수라고 하시는데 저는 개인적으로 단순히 눈으로 보는게 직관은 아니라고 생각합니다... 예를들어 극한이 수렴하는 그 과정을 하나하나 뜯어보고 체감하는게 직관이라고 생각해왔는데(단순 계산을 통해 값을 구하는것과는 다른)... 조금 생각이 다른분들도 있는거같네요!
![[지식in] 정수의 구성적 정의 (정수와 연산)](http://i.ytimg.com/vi/VXakafYENhU/mqdefault.jpg)
![[지식in] 정수의 구성적 정의 (정수와 연산)](/img/tr.png)
![[지식in] 베일에 싸인 신비의 수. 『초월수』](/img/1.gif)
어쩐지 안풀리던 수능 기출문제가 1을 2로 치환하니 풀리기 시작했습니다!! 정말 놀랍네요 그럼 마저 문제 풀러 가보겠습니다 감사합니다
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
어케푼거냐고ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
1등급이 2등급으로
이거 맞나 ㅋㅋㅋㅋㅋ
@@Sprise ㅋㅋㅋ 레전드
무조건 요청합니다! 올려주세요! 하루 1영상올려주세요!!
첫번째 연분수 문제는 방정식으로도 쉽게 이해할 수 있을것 같습니다.
말씀하신 부분처럼 f(x)=2/(3-x)로 정의했을때 f^(n+1)(x)=2/(3-f^n(x))로 다시 쓸수 있고 n이 양의 무한대로 발산할때 n+1=n이므로 f^n(x)=2/(3-f^n(x))로 다시 쓸 수 있겠네요.
이때 f^n(x)=X로 치환해서 방정식을 다시 쓰면 0=X^2-3X+2라는 1과 2를 근으로 갖는 이차 방정식이 나오니 해당 연분수는 1,2 어느쪽으로 보더라도 성립하는게 맞는것 같습니다.
다만 상수의 사칙연산으로 일대다 대응을 볼 수 있는 경우가 흔치 않다 보니 "X=1이다, X=2이다. 그러므로 1=2이다."라는 엉뚱한 삼단논법으로 착각하게 되는 문제인것 같습니다.
어째서 이런 착각이 일어나는걸까 나름의 고민끝에 몇가지 (수학적으로 매우 엄밀하지 않은!) 가설이 떠올랐는데
1. 애초에 연산을 잘못했다.
말씀하신 (...)의 함축성에서 힌트를 얻은 부분으로 영상에 등장한 연분수를 사칙연산과 괄호로 풀어 쓸 경우
2÷(3-(2÷(3-(2÷(3-....
로 나타내어집니다. 네 맞습니다. 가장 안쪽의 괄호부터 계산해야 하지만 이렇게 무한히 괄호가 계속 쳐지게 되서 영원히 저 괄호가 닫힐일은 없습니다. 그런 상태에서 우리는 괄호의 바깥부분부터 연산을 해나갔기에 이런 오류가 발생하지 않았나 싶습니다. 다시말해 위의 식을 연분수로 바꿔쓰게 되면서 '같은 계산을 반복하고 있다'라는 착각을 심어주지만 위와 같이 괄호가 영원히 닫히지 않는 식에서 우리는 맨 처음 단 한번의 계산조차 시행하지 못합니다.
2. 애초에 영상에 등장하는 연분수는 상수가 아니다.
우선 어떠한 미지수의 역수의 역수 즉, 1/(1/x)를 떠올려봅시다. 잘 아시다시피 x의 역수의 역수는 x 와 같기 때문에 위 식의 x부분을 다시 역수의 역수 취해주면 1/(1/(1/(1/x)))를 얻을 수 있습니다. 이러한 과정을 무한히 반복하여 만들어진 함수는
1/(1/(1/(1/(1/(1/...
가 되어 (...) 속으로 미지수 x가 완전히 모습을 감추게 되고 마치 상수처럼 보이게 되는거죠. 영상에 등장하는 연분수가 상수가 아닌 변수 또는 함수라면 여러개의 상수와 일대다 대응을 이루는것이 아무런 문제가 없는 부분입니다.
3. 1이 나눗셈의 항등원임을 이용한 눈속임이다. (엄밀히는 오른 항등원)
임의의 분수식의 값을 1이라 가정할 경우 분모분자중 한곳을 1로 나누는(즉 분수식 자기 자신으로 나누는) 행위를 반복할 경우 설령 2가 아니더라도 다른 어떤 수와도 동시에 값을 갖는 연분수꼴을 쉽게 만들어 낼 수 있습니다. 심지어 실수에 국한되지 않고 복소수까지 말이죠. 이러한 현상이 일어나는 이유는 1로 수십 수백 수억번을 나눈다 한들 그 값이 변하지 않기 때문에 다른 어떤 특정한 값을 갖는 연분수 꼴이 있다 한들 적당한 사칙연산과 1로 나누는 조작을 이용해 1과 그 꼴이 같은 연분수로 만들어버릴 수 있는겁니다.
@@Martin-ur7mc 이 문제에 대해서 심각하게 고민하고 계시다면 [...] 부분을 다음과 같은 수열을 나타내는 형태라고 생각하는 방법도 있습니다: 2, 2/3, 2/(3-2), 2/(3-2/3), 2/(3-2/(3-2)),.... 이걸 계산 해 보면 수열은: 2, 2/3, 2, 6/7, 2, 14/15, .... 으로 홀수번째 항은 항상 2가 나오고 짝수(2n)번째항은 (2^n -2)/(2^n -1) 이 나옵니다. 따라서 이 수열은 수렴하지 않습니다 (진동).
이 연분수의 값을 1이라고 생각하려면 결국 이 [...] 부분을 위의 수열의 짝수번째 (즉, 2/3, 2/(3-2/3), 2/(3-2/(3-2/3))...)를 뜻하는 것이라고 해석한 경우고 연분수의 값을 2라고 생각하려면 [...] 부분을 위의 수열의 짝수번째 (즉, 2, 2/(3-2), 2/(3-2/(3-2)),...)를 뜻하는 것이라고 해석한 경우라고 할 수 있습니다. 어찌되었건 [...] 부분이 수학적으로 명확하지 않아서 나오는 현상이지요.
가설으로 내놓으신 것 중에 1번에서 애시당초 계산이 불가능한 식이다 라고 하신것도 충분히 가능한 해석이지만, 조금 더 유연성을 두어서 저 연산을 계산하는 것은 수열의 극한이다 라고 말하는 것이 조금 더 의미가 있지 않을까 싶습니다 (예를 들면 고등학교에서 배우는 적분을 이해할 때도 정의역을 n번 잘라서 나온 직사각형의 넓이로 수열을 만들고 그 수열의 극한값을 구하는 방식을 사용하지요. 적분(미분도 비슷)의 경우에는 상황이 조금 더 복잡하긴 하지만요...). 그렇게 수열의 극한을 구하는 것이라고 생각하고나면 수열이 진동하므로 이 수열의 극한은 존재하지 않는다 라는 결론을 얻을 수 있고, 이 경우 수렴하는 하위 수열들이 있는데 그 하위수열들의 극한이 1과 2라고 생각하실 수 있습니다.
아 이거 꼭 다뤄주셨으면 했었는데 드디어
(루트2)^x의 값은 x
0.9, 0.99, 0.999 수열은 유한 번 진행하면 항상 1보다 작지만 무한 번 진행하면 1로 수렴합니다. 좋은 예시는 아닌 것 같아요
@@kokaya6504 그거랑은 좀 다른 것 같아요. 0.9, 0.99, 0.999, … 라는 수열의 sup은 1이고 어떤 수열이 sup으로 수렴하는 건 가능하죠. 그런데 x
(루트2)^(루트2)
@인테그랄 (루트2)^2=2이기 때문에 루트2가 늘어도 계속 2가 됩니다 따라서 (루트2)^(루트2)^(루트2)^....
@인테그랄 (루트3)^2=3이지만 (루트3)^(루트3)^2=3×(루트3)이고
(루트3)^(루트3)^(루트3)^2>3^3=27입니다 계산해보니 3보다 컸다는 말은 말씀하신 부등식이 잘못됐다는 뜻이겠지요??
인스타 수학 개그들 재밌게 보고 있어요 쌤 ㅋㅋ
요즘 재밋느 주제로 많이 올려주셔서 너무 좋아요 ㅎㅎ
항상 감사드립니다
저 정말 재밌게 봤습니다. 현재 고3인데 엄밀하게 모든 내용을 이해할 순 없었지만 정말 많은 호기심이 생긴 영상이었던 것 같아요. 자연수집합 내에서 정의한 미분이 정말 인상적이었고 람베르트 함수에 대해 더 자세히 알고 싶네요. 추가적인 공부를 하기도 하겠지만 추가적인 영상 만들어 주시면 정말 좋을 것 같아요. 그리고 항상 좋은 영상들 만들어주셔서 정말 감사해요.
고2인데 풀로봐버렸습니다 너무재밌어요ㅠㅠ
연분수의 비슷한 예로, 1+1/(1+1/(1+... 같은 경우에는, 1.618과 -0.618 두 가지 값을 가질 수 있습니다. 다만 이 경우, 음수해는 너무나 반직관적이기에, 흔히 1.618 쪽을 "표준값" 으로 간주하죠. 그렇다면 위 사례에선 1과 2 어느쪽에 더 우월한 지위를 두어야 할까요? 치환해서 이차방정식을 풀었을 때 거의 모든 경우에 두 실근이 나올 텐데, 거기에 대한 기준이 있을까요?
너무 재미있게 봤습니다!
와... 자연수 미분 전개 정말 신기하고 흥미롭게 봤습니다.
수학적인 사고를 정말 취득하고 싶네요.
예전에 x^x=7 에 답이 뭘까 정말 궁금해서 이리도 해보고 저리도 해보고 물어도보고 하며 1년 넘는 시간을 고민했는데도 못 풀었다가 한 커뮤니티에 물어보니 바로 답해줘서 좀 허무했던 기억이 있습니다.
따로 한 번 다뤄주신다면 매우 기쁠 것 같습니다.
항상 영상 재밌게 보고있습니다.
건승하시기 바랍니다.
양변에 자연로그를 취하면 xlnx=ln7이 되고 x는 e^lnx임으로 e^lnxlnx=ln7이 됩니다. 람베르트 w 함수 취하면 lnx=w(ln7) 이 되기 때문에 정답은 e^w(ln7)이고 계산기를 두들기면 대략 2.316...정도인데 실제로 2.316^2.316을 해보면 6.99... 가 나옵니다.
자연수 미분은 차분이라고도 하네요.
멋진 풀이, 감사합니다
이승엽선수 항상 응원하겠습니다!
키야 넘 재미있습니다
자연수 집합을 정의역으로 하는 함수는 직관적으로 연속이 아니죠? 좌극한과 우극한이 같을 수가 없겠죠? 미분이 가능하지 않은 함수가 되는 오류가 있는게 아닐까요?
아마도 자연수를 정의역으로하면 그래프가 끊어져보이니까(점으로)
불연속이아닌가 생각하신것같은데
배운지 오래돼서 기억이 가물가물한데
끊어져있더라도 연속일수있습니다
역설 컨텐츠가 진짜 재밌음 ㅋㅋ
자연수 함수 미분 같은 발상이 정말 신선하고 재밌네요😃
저 연분수 전체를 x라 두면
x=2/(3-x) 이고 정리하면 x²-3x+2=0 이라는 2차방정식이 나오는데 풀어보면 x가 1과 2입니다 따라서 저 연분수는 1도 되고 2도 됩니다 계산을 할때 맨밑을 3-(2/2)로 시작하면 1이 나오고 3-2로 시작하면 2가 나온답니다
진짜 수학은 볼때마다 신기하고 재밌는 것 같습니다
역설의 정확한 정의는
1. 전제가 모두 참인 것처럼 보이고
2. 논증의 증명구조가 타당해 보이는데
3. 결론이 거짓인 것처럼 보이는 논증
입니다. 전제가 거짓이거나 논증구조가 부당해서 결론은 결국 거짓이 되는 게 맞다는 식으로 답이 나올 수도 있지만, '이 결론이 거짓인 명제일 거라고 믿는 니 상식이 틀린 거야'라면서 결론을 참으로 받아들이는 게 답이 될 수도 있어요.
이 극한 관련 역설들은 특히 주의해야 하는데,
선생님들이 무한대, 무한소의 개념을 학생들의 이해를 돕기 위해 쉽게 풀어서 설명하려다가 삐끗해서 흔히 저지르는 오류이기 때문입니다. 수업때는 그렇구나 하고 넘어갔다가 문제 풀면서 틀리고 복습하면서 지옥에 빠지게 됩니다...
이런 부분을 직접 캐치할 만한 수학적 감각이 없으면 계산만 할 줄 알지 개념 자체는 모르는 안타까운 수포자가 됩니다...
재밌게 봤습니다
와...연분수만 아는 상태에서도 위 영상을 보는 재미가 있네요. 좋은 자료 감사합니다
좋은 영상 감사합니다
이상엽은 전설입니다....
수학민수 만들고 싶다
감사하다
재밌어요~
기다렸어요!! 쌤
3번째 역설에서 x^x^x^...=a로 치환하면x^a=a, alnx=lna, lnx=lna/a
lna/a의 최댓 값을 구하면, (1-lna)/a², a=e 일 때 극대값 즉 최대 값은 1/e.
lnx=
고등학생 수준에서 이해 할 수 있게 작성해서 오류가 있을 수도 있습니다.
역설이 (루트2)^(루트2)^(루트2)^... 의 값이 2이냐 4이냐가 논점이라 성황이 조금 다른것 이라고 생각합니다!
@@kexi4325 제가 말한 내용도 같은 내용입니다. sqrt2^sqrt2^...=2가 맞지만 4는 아니라는 겁니다. 영상에서는 x^x^x^...=4 의 해가 x=sqrt2, 라고 했는데 제 글에서는 x^x^..=4 의 해는 실제로는 sqrt2가 아니라 sqrt2i 라는 것을 설명한 겁니다~^^
@@active00023 e^1/e 이하의 양수 무한제곱 꼴은 수렴합니다. 계산기 돌려보시면 확인 할 수 있을겁니다.
@@mr.hyunmini1099 아 제가 내용을 조금 잘못이해했네요 좋은 설명 감사합니다!
1:27 위에 쓰려다가 밑으로 갈때 일어나서 박수쳤다
재밌네요. 미분을 그런식으로 정의하면 항별미분 가능함이 적용되지 않다는점이ㅋㅋ
8분까지 보고 머리가 터졌어요 수술비 청구할께요
재밌어용
역시 수학선생님들의 수학선생님
두번째 풀이에서 자연수 집합의 미분은 실수 집합의 미분과 다르다는 것을, 미분할 수 있는 함수는 연속이지만 자연수 집합은 불연속적이다 라는 의미에서 이해해도 괜찮은가요?
자연수 집합 자체가 그래프로 그렸을때 연속이 아니어서 미분 자체가 불가능 할거 같은데요
그래프가끊어져있더라도
연속일수있습니다
끊어져있냐로 직관적으로 연속성을판단하는건 고등학교수학에서 나오는 함수들에서나 가능한얘기구요
@@4r321 그렇군여 저는 고등학교 수학까지 밖에 안배워서 ㄷㄷ
다른 수학 채널 보다가 궁금해졌는데 i^i^i^i... 도 한번 다뤄 주실수 있으실까요?
파워타워
첫번째 역설의 식은 무한으로 보내서 수렴하는 것처럼 보이지만 수렴하지 않는다는게 핵심이네요. 사실 발산?하는 식이기에 1이자 2가 되는거고요.
절대수렴하지 않기 때문이지요
바나흐 타르츠키 역설 존버합니다!!
처음 역설은 1=0이라는 역설과 비슷하네요
1=1에서 1-1=0임으로 이것을 무한이 더하면 1= 1-1+1-1+1-1...
0도 같이 하면
1=0
이 논리는 쉽게 결점을 알 수 있죠
처음 역설은 항상 끝 수가 달라서 같다고 할 수 없습니다. 그런데 무한으로 전개하면 끝이 사라지죠.
그래서 ...을 붙이는 게 문제입니다.
세번째 역설 자세히 다뤄주시면 좋을거같습니다!
진짜 이런거 보면 너무 잼있음
첫번째 역설의 경우
k+1번째 수열 a(k+1) = 2/(3-a(k)) 이 첫번째 a(0)가 2인 경우 모든 수열 a(k)들은 2이므로 연분수는 정수 2이며
a(0)가 1인경우 모든 a(k)들은 1이므로 연분수는 정수 1이 아닐까요
안냐셔 쎄임다
정의역이 실수인 연속함수 일 때만 미분가능한데 정의역이 자연수이면 좌미분계수 우미분계수가 존재하지 않음. 미분 자체를 논의할 수 없어요
첫번째 역설은 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....이랑 비슷한거라고 이해해도 되나요?
x의 무한거듭제곱을 첫번째꺼만 남겨두고 위에를 날려서 x^2라고 하는거에도 오류가 있지 않은지 궁금합니다..
혹시 이렇게 .....xxxxxxxxxxx.........밑방향, 지수방향 양방향으로 x를 쌓는 형태도 가능한가요?
그게된다면 어느 부분에서 밑방향을 날리면 2가되면서, 2xxxxx.......이렇게되는데 이러면 4가 되요.....ㅎㄷㄷ....
네 그래서 역설이죠 2라고 생각하고 계산했는데 4가 되었으니요...!!
@@active00023 29:06 x=루트2 일때 함수값은 2입니다
밑을 남긴 지수부분을 치환하는 것은 값을 2로 설정하든 4로 설정하든 오류가 있는것이 아닙니다. 문제가 되는 것은 x의 무한거듭제곱의 값이 4가 되는 x의 값이 루트2가 아닌 값이라는거죠(루트2i) x를 x^4=4에서 x=루트2를 도출한 것이 오류입니다.
@@active00023 어... 제가 계산기에 계산했을 때는 2에 수렴하는 결과가 유추가 되는데 혹시 계산을 잘못하신거 아닌가요??
@@active00023 (루트2)^2=2를 통해서 (루트2)^(루트2) < (루트2)^2=2,
(루트2)^(루트2)^(루트2) < (루트2)^(루트2)^2=2,
(루트2)^(루트2)^(루트2)^(루트2) < (루트2)^(루트2)^(루트2)^2=2,
...
위 논리대로 보면 2로 수렴한다고 예상이 되는데 어떻게 발산하는지 잘 이해가 안가네요..
무한급수영상이랑 wau number도 다뤄주시면 너무 좋을거 같습니다! 영상 언제나 잘보고 있습니다ㅎㅎ
마침 저녁 식사를 하려던 중, 감사합니다.
음 1.5x1.5 를 1.5x1 + 1.5×0.5처럼 일종의 가중치를 곱해서 합하는건 어떨까요? 그렇게하면 1.5가 1.5개있다는 관점도 맞아 떨어질 것 같은데요
개수는 자연수에만 적용된다는 관점을 깨뜨리고싶으신 것 같은데요,
저렇게 분배법칙으로 나눈다고 해도
그 나눈 수에도 자연수에만 적용된다는 명제는 적용되기 때문에,
귀납적으로 증명할 수 없습니다.
그리고 사실 그런거는 옛날에 수학자들이 다 해놨겠죠 ㅋㅋㅋ
음 그렇게 하면 가중치를 곱하는 부분에서 다시 자연수가 아닌 수 끼리의 곱셈이 등장하는데 (1.5×0.5) 그 부분은 다시 어떻게 정의내려야 할까요?
"곱을 합으로만 표현하는 것" 의 한계에 관한 얘기인데 다시 곱이 나오면 의미가 없죠
애초에 미분하는데 있어서 x를 x번 더했다고 했을 때 더한 횟수는 상수로 생각하고 더하는 것만 변수로 생각한 것에서부터 오류가 발생합니다. 횟수도 미분하는 변수기에 그대로 둬선 안되는게 당연합니다. 사실상 어떤 상수 c가 존재한다면 cx를 x에대해 미분한 것이지 x²을 미분한 것이 아니죠.
세번째 역설을 보니 궁금해진건데 x의 무한 거듭제곱근인 함수는 정의 할수있나요?
넹 power tower function이라는 이름도 갖고 있습니다!!
Paradox의 원인 을 찾을때 너무 기쁘네요
질문이 있는데요
'시행횟수가 무한대로 발산할 때 통계적확률은 수학적확률에 수렴한다'는게 증명됐는데
그럼 동전을 10번 던져서 모두 앞면이 나온 후 그 다음 동전이 뒷면이 나올 확률은 2분의 1보다 조금 더 큰거 아닌가요
10회는 통계적으로 그리 의미있는 수치가 아닙니다. 말씀하신것처럼 무한대로 발산할때, 1/2에 한없이 가까운, 그러니까 1/2보다 약간 크거나 작은 확률은 1/2로 수렴하게 됩니다
도박사의 오류에 대해서 알아보시면 좋겠네요.
각 동전을 던지는 사건들은 모두 독립적으로 일어납니다.
동전을 10번 던졌는데 모두 앞면이 나왔다고 하고, 시간상 앞에서부터 해당 사건들을 A, B, C, D, ... , J 라고 합시다.
그러면 이때 11번째 동전이 앞면(사건 K)이 나올 확률은
조건부확률로 P(K|A^B^...^J)라고 할수있습니다. (^는 교집합 기호)
그런데 A부터 K까지 각 사건들은 모두 독립이므로, P(K|A^..^J) = P(K) = 1/2입니다.
크게 될 학생이네
만번 연속으로 앞면 나와도 다음 확률은 1/2입니다. 어차피 무한히 던질건데 백번이고 천번이고 아무 의미 없는거죠
주사위를 11번 연속하여 던져 나오는 면들을 순서대로 기록하는 시행을 1024x100번 한후 첫번째부터 열번째까지는 모두 앞면이나오는 사건들을 따로 모아서 그중 11번째가 앞면이 나온 횟수를 따로모은 집단의 갯수로 나누어 보면 1024x100번 할때, 1024x1000번 할때, 1024x10000번 할때 정말로 1/2로 수렴해가는걸 눈으로 볼 수 있습니다.
15:15
정의역을 자연수로 잡으면 미분이 되지 않나? 싶었는데
생각해보니 불연속이라서 안되겠네요
마지막 역설 영상 부탁드립니다 ㅠㅠ
2번째 문제는 30년 전 모의고사 문제집에 있던 문젠데 그 때는 해설지에 '가우스 함수는 불연속함수라 미분 불가능' 이런 해설이었는데 그 해설이 잘못된거였나
신기하다
이문제 풀다가 너무나 큰 호기심에 들어와버렸다
인스타 아이디좀 알려주세요~
lsy_math
@@xllrby5344 고마워용~~
레퍼런스 떼도 20페이지... 이걸 공부해야하다니
자연수 범위에서 미분을 정의하는 일을 생각해봤는데, 예를 들어 a_n=2^n에 대해 우미분계수는 2^(n-1)이 되고 좌미분계수는 2^(n-2)가 돼서 애초에 미분계수가 일치하지도 않음 ㄷㄷ
24:29
???: 이걸 계속해요. 그러면 일자가 되요.
라마누잔...?!
1= 2/3-1 마지막에 1로 끝나고, 2는 2/3-2 마지막에 2로 끝나는데 그 차이점을 ... 으로 생략해버리니 같게 보이지만 실제는 1은 1로 끝나고, 2는 2로 끝남.
근데 무한이 나가는 거라 1,2로 끝난다 라고 표현 할 수가 없습니다. 그래서 영상에서도 함수값으로 표현하여 차이점을 둔것 같습니다.
@@DB-kz6mi 무한의 값이 실제로 각각 1과 2로 수렴하기때문에 둘은 분명한 차이가 있습니다. 수학적으로 설명하기 위해 f를 이용해 나타내셨지만 결국 그냥 ...으로 보이는 부분이 실제로 1과 2로 다른값입니다.
2/(3-2) 와 2/(3-1)은 아래쪽 연분수를 아무리 써도 달라보이는데.. 왜 같은 수라고 하죠?
그냥 "동시에 써 놓고" 보기만 해도 서로 다른데.
분모에 한쪽은 3-2를 반복하고 다른 쪽은 3-1을 반복하고 있는데 말이죠.
3:40 쯤에... 1 이기도 하고 2 이기도 하다... 라고 설명했는데. 그냥 1입니다. 2는 분모에 3-1을 반복하는 경우에만 2입니다. 3-2를 반복하는 경우와는 전혀 다른 수죠
생각하시는 3-2나 3-1이 반복하는게 아닙니다. 반복을 마무리짓는 -2 나 -1은 나타나지 않아요. 그저 2/(3-2/(3-2/(3-... 가 무한히 이어질 뿐입니다.
무한에 대해 오개념을 갖고 계시네요.
"동시에 써 놓고" 보기만 해도 서로 다르다고 하셨는데, 2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-... 제가 지금 쓴 건 1인가요 아님 2인가요? 2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-2/(3-... 이건 1인가요 아님 2인가요? 답변 바랍니다.
@@하이퍼수학 저도 잘 모르겠는게 무한으로 생각했을때 1=1인건 알겠는데 무한으로 보내지 않을수도 있지않나요? 무한으로 보낼때만 1=2이고 그렇게하지 않으면 1≠2 이 되는거 같은 모르겠네요 ㅜㅜ양자역학에서 관측하면 입자고 아닐땐 파동인거같은 느낌인건가
그건 2입니다.
영상에서도 그 패턴을 1이라고 '직접' 설명한 적이 단 한번도 없으며 실제로 직접 연산해보시면 2가 됩니다
그건 2 이고
영상에서는 아무런 설명도 없이 패턴이 같으니 1이다 라고 하고 있죠
패턴에 다른 수가 다른 연산결과를 가지는 두 연분수가 왜 동치인지는 '패턴이 닮았다' 이 외의 어떤 설명도 없어요
님이 실제로 두 연분수를 따로놓고 무한히 반복하며 따로 연산해보시면
님이 답글에 쓰신쪽은 무한히 2라는 결과만을 내놓으며 다른쪽은 무한히 1이라는 결과만을 내놓습니다
혹시 형태만 같으면 그 형태안에 어떤 수가 들어가든 같은 수라고 생각하시나요?
님이 양쪽 연분수를 딱 10번만 차수를 늘려가며 따로 연산해보시죠
그리고 극한을 이용해서 무한히 해도 영원히 서로 다른 수가 됩니다
역으로 님이 쓰신쪽이 그 어떤 순간일지라도 2가 아닌 다른 연산결과를 보인다면
그건 수식을 잘 못 쓴것에 지나지 않습니다
'...'
√x=-1을 만족하는
실수가 아닌 x의 값은 무엇인가요?
(교과과정 중 √(분산)=(표준편차)라고 하여
표준편차가 음수일 때 분산은 얼마일지 생각해 봤는데
답을 찾지 못하고 있습니다.)
표준편차는 음수가 될 수 없습니다.
분산도 음수가 될 수 없고요
x가 복소수라 해도 답은 없어요
쉽게 말해서 개수가 음수개가 됐다는 소리에요. 틀림
두번째 역설은 결국 미분은 연속성이라는게 전제가 되는거고 자연수 집합 같은 이산적인 상황에서는 일반적인 미분이 안되니까 역설이 발생하는거군요 그리고 자연수 집합의 미분에서는 극한값으로 가면서 항의 개수 차이에 대해 고민을 해본적 없는 연속적 미분과 달리 n+1 같은 항이 하나 남아돌아서 역설이 발생하네요 신기하군요
이미지 프로세싱 분야에서는 실제로 정의역이 이산적이기 떄문에 인접한 픽셀 간 함숫값의 차를 영상좌표 x, y에 대한 편미분계수로 쓰기도 합니다.
1번 문제 연분수를 x로 놓으니 x = 2 / (3-x) 라는 방정식이 나오네요.. 이항해서 이차방정식으로 풀어주니 해가 x=1 또는 x=2 가 나옵니다. 어떡하죠? ㅋㅋㅋㅋㅋ
2번 문제 x에 대해서 미분하는데, x의 차수를 건드리면 안되지 않을까요? 게다가 x가 자연수가 아니면 덧셈으로 풀어쓰는 것도 불가능 합니다.
해가 두개가 나오는 것에 대한 설명이 11:52 부분 내용입니다!
신기한 역설이군요
2번째는 도함수의 정의를 이용해서 해결할 수 있는거같아여
x^2 의 도함수는 lim h->0 f(x+h)-f(x)/h 라는 도함수의 정의를 이용해서 구하면 2x 가 나오는데
x+x+x+....+x 를 이 도함수 식에 대입하면 lim h->0 (x+h + x+h x+h...+x+h)-(x+x+x+x+x+x)/h 라는 식이 나오는데 이러면 x 는 전부 소거가 되버리고 h만 남게 되는데 h는 총 x개 만큼 있으므로 h+h+h+h...+h를 xh 라고 할 수 있습니다 그러면 분모분자에 h 약분 시켜주면 x 만 남게 됩니다
Not really so since f(x+h) can't arbitrarily leave out the (x + h)h at the end. f(x + h) - f(x) ≈ x + h + x + h + ... + x + h - x - x - ... - x = x * h + (x + h)h
@@frfrchopin 한글로 써주세요 ㅠㅠㅠ
4:14 두번째 역설에 대해서
드릴 말씀이 있는데
x^2= x+x+ ... x 에서
미분하면
2x = 1+1+...+1인 것 같지만...
x가 하나 늘어나는 효과를 고려하지 않았으므로
사실은
2x=1+1+...+1+x가 되어서
맞는 식이 됩니다.
@인테그랄
x가 하나 커지면 +x가 하나 늘어나지요...
1×1=1
2×2=2+2
3×3=3+3+3
4×4=4+4+4+4
도대체 x가 왜 늘어남..?
수식의 오른쪽 항이 x를 x개만큼 더해준게 아니라 x+1개만큼 더했다고 생각하시는건가요?
@@hyeonsseungsseungi ?? 들어주신 예도 1이 1개, 2가 2개, 3이 3개, 4가 4개 맞는데요..? x가 x개... 그리고 설사 추가되더라도 왜 그 x만 미분을 안 하고 더하시나요....
자신의 무지함을 드러내지 말 것.
첫번째 역설은 굳이 극한으로 식을 써서 풀이하지 않아도 느낌이 빡 오지 않나요?.. 보통은 저런식으로 무한반복되는 경우에는 이 규칙의 마지막 수에 대해서 수나 오차가 '무시할 수 있을만큼 작다'(예를 들어 '1/2+1/4+1/8+1/16+•••'같은 급수에서 마지막 항은 무시할수 있을만큼 작기에 S=1/2+S/2->S=1이 성립한다) 라는 말이 따라붙게 되는, 이경우는 마지막 수가 1인지 2인지에 따라 분명히 달라지는 식이잖아요. 무시할수 있는 경우가 아닌거죠.
말하고 보니 극한으로 풀이해주신것도 거의 동일한 내용이네요.
그리고 많은분들이 직관의 실수라고 하시는데 저는 개인적으로 단순히 눈으로 보는게 직관은 아니라고 생각합니다... 예를들어 극한이 수렴하는 그 과정을 하나하나 뜯어보고 체감하는게 직관이라고 생각해왔는데(단순 계산을 통해 값을 구하는것과는 다른)... 조금 생각이 다른분들도 있는거같네요!
1-1+1-1+1.....이 수렴하지않는 것과 같은 맥락이죠
제의 로지컬(?)
어? 왜 바이어슈트라우스의 함수, 어느점에서나 미분불가능한 함수에 대한 영상이 왜 비디오 전체 리스트에 없나요?
그게 다항방정식인건지 물어볼라했는데... 느낌상 아니겠죠..? 다항방정식은 모든 선에서 미분가능할것만 같아서요.
와 37분