무리수도 규칙적임을 아세요?
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- Опубликовано: 26 сен 2024
- 무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 합니다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해(즉, 이차 무리수(quadratic irrational number))가 되는 것입니다.
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#수학 #연분수 #무리수 #나선
영상에서 말한 단어 사용에 명확하게 해야할 것들을 알려드립니다.
1. 통약가능성
이 영상의 내용은 무리수가 오로지 '정수'만으로 나타낼 수 없다는 의미로써 통약가능성을 설명했습니다. 일반적인 통약가능의 의미로만 본다면 2√2는 √2로 나누어(정수비) 므로 2√2와 √2는 통약가능하다라고 할 수 있습니다. 다만 이 영상에서는 무리수끼리의 통약가능성이 아닌, (선분의)정수비로써의 통약 가능성만으로 설명했습니다.
2. 무리수
(틀린 표현은 아니지만)제곱근을 무리수라고 표현하긴 했습니다. 정확히 말해 이 성질들은 무리수 중 '비제곱수의 제곱근'에서만 성립하는 성질입니다. 모든 비제곱수의 제곱근은 연분수로 나타내면 주기적이라는 것이 증명되어 있습니다. 다만 제곱근이 아닌 무리수에 대해서는 연분수로 (꽤나) 규칙적으로 나타낼 수는 있지만 주기적이라 할 수 없습니다. 예를들어 영상 마지막 부분의 π의 연분수 표현을 보시면 규칙적(?)이지만 주기적이지는 않습니다.
3. 이차방정식의 해
마지막 부분의 이차방정식의 해에서 추가적인 설명을 달지 않았습니다. 이 때 이차방정은 계수가 정수(유리수)입니다.
3:40 (정정) (1-√5)/2가 아니라 (√5-1)/2입니다.
넹
곧 있으면 10만이네요! 미리 축하합니다🎉🎉
이단이다... 이단... 이런 수는 존재하면 안돼...
3:42 마지막 비율에서 앞의 수가 음수인 오타가 있는데 적당히 절댓값 씌워서 봐주시면 될 것 같습니다.
고정댓글에 추가해두겠습니다. 알려주셔서 정말 감사합니다.^^
@@Ray수학 저야말로 좋은 영상 감사드립니다 ^^
선생님 무리수의 정말 재미있는 특징이군요! 연분수를 이렇게 사용할 수 있다는것이 매우 놀랍네요! 그런데 비제곱수의 제곱근이 아닌 무리수도 어떤 이차방정식의 해를 만족시키지 않나요? (ex x^2 + (1+pi)x + pi ) 그리고 순환 연분수임과 그 수를 해로 갖는 어떤 이차방정식이 존재함은 어떻게 필요충분조건이 될 수 있는건가요?
사실 처음엔 그 증명까지 준비하긴했는데요. 재미가 없을까봐.. 우선 이차방정식을 구성할때 계수는 정수(유리수)인 경우만 다루고, x의 역수를 bar(x)라한 후 식을 전개하여 앞서 보인 연분수 과정과 같이 풀어 증명합니다.(역과정은 다른방식을 사용하는 것으로 알고있습니다.) 최초 증명은 블로그에 올려두었습니다.
5:00 에서, 작도를 통해 저렇게 길이를 알 수 있다는 부분은, '실제로 종이나 석판 자와 컴퍼스를 가지고 그림을 그렸을 때, 눈으로 봤을때 선이 딱 맞게 겹쳐지는 것 같다'는 뜻인가요? 그럼 당시 사람들은 눈으로 확인하기 어려운 오차가 있어서 실제로는 정확히 맞지는 않을 가능성에 대해선 엄밀하지 않게 접근했다고 이해하면 될까요?
제곱근으로 이루어진 수들은 모두 이차방정식의 근의 형태로 생각할 수 있어서 가끔 이런 생각을 해보곤 했는데 정말 흥미롭고 깊게 다뤄주셔서 감사합니다!
9:10 연분수의 크기 비교에 대해 잘못된 점이 있는곳 같아 댓글 남깁니다
분수가 커지기 위해선 분모는 작아져야 하기 때문에 a1은 작아야하고, 따라서 a2는 커야하고... 가 반복되는 패턴입니다
즉, a0을 비롯한 짝수번째 항이 클수록, 홀수번째 항은 작을수록 큰 연분수가 됩니다.
맞네요. 예시를 잘못 생각해서 잘못된 결론을 냈습니다. 영상에서 해당 부분 드러내도록하겠습니다. 알려주셔서 정말 감사합니다.
0:38 주된 내용과 상관없는 사소한 부분이지만, 플라톤을 객관적 관념론의 창시자라 표현하는 건 명백하게 틀린 문장이라 생각합니다. 플라톤이 후대의 관념론에 영향을 끼친 건 사실이지만, 플라톤은 실재론자였다고 보는 게 옳습니다.(물론 관념론을 실재론과 대비되는 개념으로 이해한다는 전제 하에서요.) 일부 번역가의 무지로 이데아를 관념으로 잘못 번역하는 경우가 종종 있어서 이런 오해가 퍼지는 것 같습니다.
7:08 이 부분은 좀 이상한 것 같습니다. b/a가 루트3이라는걸 가정하고 출발하기 때문에 이렇게 증명할 수 있는건가요? 즉 루트3의 값에 대해 알지 못해도 그 의미는 이용할 수 있다는 건가요?
두 비율이 같다고 가정했을때 루트3임을 보이는 것과 하나의 비율이 루트3이라 가정했을 때 두 비율이 같음을 보이는 필요충분관계입니다.
오! 연분수에 대한 이야기가 있네요
옛날에 자연에서 (1+sqrt(5))/2가 자주 나오는 이유를 연분수로 배운적이 있었는데 신기하더라고요
연분수 전개의 주기성이나 규칙성을 이용해
무리수가 초월수인지 아닌 지를 판별할 수 있을까요?
이 영상을 보니 무리수 중에서도 종류가 있지 않을까 싶은 생각이 드네요
이차방정식의 해 얘기할 때 계수가 유리수라고 해두는 편이 더 명확한 것 같습니다. 그리고 여기 나오는 대부분의 무리수라는 표현은 무리수보다는 유리수가 아닌 대수적인 수의 특징(애초에 대학교 대수학 과정에서 algebraic과 작도가능성을 배울 때 다루는 내용이기도 하니)에 더 맞는 것 같습니다. 물론 마지막에 초월수와 구분 짓는 부분이 나오기는 하는데 한참 동안 무슨 말도 안되는 얘기지 하면서 봤던 것 같네요
대본 작성하면서 계속 고민하다가 (비제곱근의 제곱근을 계속 사용하는거보다 무리수라고 하는게 더 나을거 같아) 영상과 고정댓글에 글로 남겨두고 말하는 방식을 사용했습니다. 이차방정식의 계수 관련 내용도 고정댓글에 추가해두겠습니다. 지적해주셔서 감사합니다.^^
좋은 영상 감사드립니다! 혹시 다음에는 음악과 수학의 연관성(평균율, 순정률, 반음 간 진동수가 2의 1/12승 배 차이나는 것 등)에 대해 다뤄주실 수 있나요?
어렵다. 대충 이해될 거 같으면서도 나 스스로도 이해하고 기억하는지 모르겠다. 그냥 연분수만 기억에 남네. 근데 신기하기는 하다. 무리수도 연분수로는 규칙이 있어 보인다.
벌레테란 김창희보다 무려 10년 먼저 스타크래프트 공식전에서 금지된 버그도 사용하고 몰수패도 피해간 [임]이 새삼 대단하게 느껴지네요
먹고사는것도 힘들었을 시대에 이런걸 생각하다니..... 현대에 태어났으면
첫사랑 얘기나 해주세요
34초전은 귀한데
오 이 도형 수능인가 모고에서본거같은데 여기서 또보네
선생님! 혹시 이런 영상은 무슨 편집기로 만드시나요??
곧 10만 축하드려요🎉🎉
와 원주율도 저런 규칙이 있네 도대체 원주율은 정체가 뭘까요
질문이 반대가 되었음... 뭔가 원주율을 따르면, 와 이게 원주율을 따르네! 가 되어야함. 원주율의 정체가 뭘까요가 아니라 원주율이네!로 답해야할듯...
김창희는 이 영상을 기억할 것입니다.
녜
연산으로 찾은 무리수들이니 규칙적인 면이 있지 않을까요?
똑똑한 청년.
버그 아니고 스끼린데요....
버그가 아니라 스끼린데
와 ㅈㄴ 아름답다
스끼린데요
레이님 혹시 복소벡터 공간에서의 내적을 기하학적으로 보여주실수있나요??
이미 다른분들이 여러 영상으로 다루셔서 현재 기획은 없습니다. 다음에 꼭 다뤄보도록 하겠습니다^^
와
아무 의미없는 수들의 나열처럼 보이는 무리수가 정수를 사용한 규칙적인 형태로 나타낼 수 있다는 점이 신기하네요
오고곧
스끼린데요?
스끼린데,,
김창희의 냄새가 나네요