Gamma Function: Demonstration of Γ(x+1)=xΓ(x)

[@MateFacilYT]

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[@dankatt327]

tus videos y explicaciones son la mejor cosa que le pudo pasar a mi nota de calculo

[@adrianalencina6538]

Ahora te voy a enseñar la función gamma incompleta.
Hay dos tipos de función gamma incompleta, una para el caso en el que varía el límite inferior de integración, y otro cuando varía el límite superior. La primera se denota como 𝚪(𝒂❟ 𝒙)
y se define como:
𝚪(𝒂❟ 𝒙) = ∫ de 𝒙 a ∞ (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒕)) 𝐝𝒕.
La segunda se escribe 𝛄(𝒂❟ 𝒙)
y se define como:
𝛄(𝒂❟ 𝒙) = ∫ de 𝟎 a 𝒙 (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒕)) 𝐝𝒕.
También podemos decir así como la segunda: 𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙)
, entonces nos queda así:
𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙) = ∫ de 𝟎 a 𝒙 (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒕)) 𝐝𝒕.
En ambos casos, 𝒙 es una variable real mayor o igual que cero, y 𝒂 es una variable compleja, cuya parte real es positiva.
Notas:
𝚪(𝒂❟ 𝒙) es la función gamma incompleta
𝚪(𝒙) es la función gamma
*Propiedades*
Integrando por partes se demuestra que:
𝚪(𝒂 + 𝟏❟ 𝒙) = 𝒂 𝚪(𝒂❟ 𝒙) + 𝒙^𝒂 𝒆^−𝒙.
𝚪(𝒂 + 𝟏) − 𝚪(𝒂 + 𝟏❟ 𝒙) = 𝒂 𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙) − 𝒙^𝒂 𝒆^−𝒙.
Dado que la función gamma ordinaria se define como:
𝚪(𝒂) = ∫ de 𝟎 a ∞ (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒕)) 𝐝𝒕
tenemos que:
𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙) + 𝚪(𝒂❟ 𝒙) = 𝚪(𝒂)
Además,
𝚪(𝒂❟ 𝒙) = (𝒂 − 𝟏)! 𝒆^(−𝒙) ∑ 𝒌 = 𝟎 hasta 𝒂 − 𝟏 (𝒙^𝒌 / 𝒌!)
Nota: 𝒏!
es una función factorial
𝚪(𝒂❟ 𝟎) = 𝚪(𝒂)
𝚪(𝒂) = (𝒂 − 𝟏)! si 𝒂 es un número entero
y 𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙) → 𝚪(𝒂) para 𝒙 → ∞
También,
𝚪(𝟎❟ 𝒙) = −𝐄𝐢(−𝒙) si 𝒙 > 𝟎
𝚪(½❟ 𝒙) = √(𝝅) 𝐞𝐫𝐟𝐜(√(𝒙))
𝚪(½) − 𝚪(½❟ 𝒙) = √(𝝅) 𝐞𝐫𝐟(√(𝒙))
Notas:
𝐄𝐢(𝒙) es una integral exponencial Ei
𝐞𝐫𝐟𝐜(𝒙) es la función error complementaria
𝐞𝐫𝐟(𝒙) es la función error
Funciones Gamma regularizadas:
𝑷(𝒂❟ 𝒙) = (𝚪(𝒂) − 𝚪(𝒂❟ 𝒙)) / 𝚪(𝒂)
𝑸(𝒂❟ 𝒙) = 𝚪(𝒂❟ 𝒙) / 𝚪(𝒂) = 𝟏 − 𝑷(𝒂❟ 𝒙)
Notas:
𝑷(𝒂❟ 𝒙) es la función gamma incompleta regularizada con segunda función gamma del numerador
𝑸(𝒂❟ 𝒙) es la función gamma incompleta regularizada
Derivadas:
La derivada de la función gamma incompleta 𝚪(𝒂❟ 𝒙) en 𝒙 es bien conocida. Es dado simplemente por el integrando de su definición completa:
𝝏 / 𝝏𝒙 (𝚪(𝒂❟ 𝒙)) = −𝒙^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒙)
La derivada con respecto a la parámetro 𝒂 viene dada por:
𝝏 / 𝝏𝒂 (𝚪(𝒂❟ 𝒙)) = 𝐥𝐧(𝒙) 𝚪(𝒂❟ 𝒙) + 𝑻(𝟑❟ 𝒂❟ 𝒙)
Notas:
𝐥𝐧(𝒙) es el logaritmo natural.
𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)
es un caso especial de la función G de Meijer.
y la segunda derivada es:
𝝏² / 𝝏𝒂² (𝚪(𝒂❟ 𝒙)) = 𝐥𝐧²(𝒙) 𝚪(𝒂❟ 𝒙) + 𝟐𝒙 (𝐥𝐧(𝒙) 𝑻(𝟑❟ 𝒂❟ 𝒙)​ + 𝑻(𝟒❟ 𝒂❟ 𝒙))
donde esta función 𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)
es donde está la nota de ahí donde pusimos con el parámetro 𝒂.
𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)
= 𝑮[𝒎 − 𝟏❟ 𝒎❟ 𝒎❟ 𝟎](𝒙 | 𝟎❟ 𝟎❟ ...❟ 𝟎; −𝟏❟ −𝟏❟ ...❟ 𝒂 − 𝟏❟ −𝟏)
Nota: 𝑮[𝒑❟ 𝒒❟ 𝒏❟ 𝒎](𝒛 | 𝒂_𝟏❟ ...❟ 𝒂_𝒑; 𝒃_𝟏...❟ 𝒃_𝒒)
es la función G de Meijer
Dónde 𝒊𝙿𝒋
es la permutación definida por el símbolo de Pochhammer:
𝒊𝙿𝒋 = 𝒊𝙲𝒋 𝒋! = 𝒊! / (𝒊 − 𝒋)!
Todos estos derivados pueden ser producidos a partir de:
𝝏 / 𝝏𝒂 (𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)) = 𝐥𝐧(𝒙) 𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙) + (𝒎 − 𝟏) 𝑻(𝒎 + 𝟏❟ 𝒂❟ 𝒙)
y ​​​𝝏 / 𝝏𝒙 (𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)) = −𝟏 / 𝒙 (𝑻(𝒎 − 𝟏❟ 𝒂❟ 𝒙) + 𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙))​
Esta función 𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙) se puede calcular por su representación estándar, siempre que |𝒛| < 𝟏
:
𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒛) = −((−𝟏)^(𝒎 − 𝟏) / (𝒎 − 𝟐)!) 𝒅^(𝒎 − 𝟐) / 𝒅𝒕^(𝒎 − 𝟐) (𝚪(𝒂 − 𝒕) 𝒛^(𝒕 − 𝟏))​] [𝒕 = 𝟎] + ∑ 𝒊 = 𝟎 hasta ∞ ((−𝟏)^𝒊 𝒛^(𝒂 − 𝟏 + 𝒊) / 𝒊! (−𝒂 − 𝒊)^(𝒎 − 𝟏))
y siempre que el parámetro a no es un número entero negativo o cero. En este último caso, se debe utilizar un límite. Resultados de |𝒛| ≥ 𝟏
Se puede obtener por una extensión analítica. Algunos casos especiales de esta función se puede simplificar. Por ejemplo:
𝑻(𝟐❟ 𝒂❟ 𝒙) = 𝚪(𝒂❟ 𝒙) / 𝒙
𝒙 𝑻(𝟑❟ 𝟏❟ 𝒙) = 𝑬_𝟏(𝒙)
Notas:
|𝒛| es el valor absoluto de 𝒛
𝑬_𝒏(𝒙) es una integral exponencial E
Los derivados y la función 𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙) proporcionar soluciones exactas a un número de integrales por la diferenciación repetido de la definición completa de la función gamma incompleta 𝚪(𝒂❟ 𝒙). Por ejemplo:
∫ de 𝒙 a ∞ (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝐥𝐧^𝒎(𝒕) 𝒆^(−𝒕)) 𝐝𝒕 = 𝝏^𝒎 / 𝝏𝒂^𝒎 (𝒕^(𝒂 − 𝟏) 𝒆^(−𝒕)) = 𝝏^𝒎 / 𝝏𝒂^𝒎 (𝚪(𝒂❟ 𝒙))
Esta fórmula se puede "inflar" o más generalizado a una gran clase de la transformada de Laplace o de Mellin. Una vez combinado con un sistema algebraico computacional, funcionamiento de las funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular los que se enfrentan los ingenieros de aplicaciones prácticas. Este método fue inventado por el sistema Maple2​ y, más tarde imitada por Mathematica, MuPAD y otros sistemas. La función "𝑻(𝒎❟ 𝒂❟ 𝒙)" era conocido en el grupo de investigación de arce como una función de Scott-G.
Bueno, hasta aquí llegamos.

[@MateFacilYT]

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[@edgarcruzl4472]

Amigo, muy buen vídeo, tu explicación es excelente, (podrías hacer vídeos de álgebra lineal). Saludos

[@uriel_in]

Gracias 😊 . En el siguiente video explica calcular variables de cálculo vectorial... buen trabajo 👍

[@jackr1]

JUSTO LO NECESITABA GRACIAS :)

[@meli0dasblockstrike723]

gracias por tu tutorial entiendo muy fácil like

[@S식]

trés pracitique. merci.

[@erikan19]

You are amazing

[@juancamilohernandezcarrill2438]

Podemos demostrarlo con la definición de Weierstrass ???? Por favor?

[@cristianariza1180]

donde se explica lo de la ley L`hopital cuando se hace n veces

[@erikan19]

Good vid

[@luisleonardojuarez7389]

No entendí muy bien la ley del sandwich del minuto 4:13.

[@LikeDePollo]

x2

[@sabokgaming3438]

No entendí porque al inicio de la integral al exponente de t se le suma un +1

[@luiscarlospereztorres9745]

Formula de la recurrencia