Размер видео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показать панель управления
Автовоспроизведение
Автоповтор
教授講太快腦筋轉不過來在這邊搞懂了 好爽
這個定義真的很重要啊。後面不管學實分析、複分析、泛函分析、微分幾何、甚至高等概率都會出現很多次。 反正只要跟極限有關又在度量空間上，這個定義就躲不掉🤣
沒錯
謝謝張旭老師讓我明天期中考觀念很順
如果有人觉得这个定义讲的好，那他一定是好老师
普通にイプシロンデルタ論法を簡潔にまとめてる素晴らしい動画！
我理解ε-δ的方法是舉一個反例子。舉一個錯誤的limit，發現確實會導致ε-δ不付合。在這過程中更會理解為什麼ε-δ會如此定義
提供一個例2不用假設δ < 1（或δ < 其他東西）的解法：Let |x - 1| < δThen |x^2 + x + 1 - 3| = |x^2 + x - 2| = |x + 2||x - 1| < |x + 2|δ（根據|x - 1| < δ的假設）= |x - 1 + 3|δ ≤ (|x - 1| + 3)δ（三角不等式） < (δ + 3)δ（根據|x - 1| < δ的假設）= δ^2 + 3δ ≤ max(4δ^2, 4δ)所以假設 δ = min(√ɛ / 2, ɛ/4) 能滿足條件。
蠻好的，但若問題的次方更高呢？
@@changhsumath 更高次方，甚至三角函數的話還是像原解一樣假設常數比較方便吧。反正沒有限制δ一定要多大。
是啊，所以我統一用一樣的方法處理
終於解開我多年的疑惑😢
鏡頭是不是剛好沒拍到邊條 10:36那邊畫超準 牛逼
大學人生第一塊鐵板，令我被當了，然後連鎖效應，導致沒時間看其他科目，導致很多都被當了，如果以前有RUclips多好
一级棒
"衝向"的比喻有一個小問題，這個例子隨時間增長，距離一直遞淢，沒有討論中間可能又回頭的情況：有可能在前期會超過柵㯗，但又回頭走出柵㯗。最簡單的例子就是damping oscillation，有阻尼的振盪。
那個沒差，如果最終還是會趨於一個穩定狀態，即便之後再怎麼震盪，還是會在一個時間過後剩下的軌跡都仍然會距離穩定狀態夠靠近。
@@changhsumath 我知道沒差。但如果在"衝向"的比喻時，可以把這種情形也說明一下，就更完美了。
因為這是我針對第一次碰到這種主題的學生所設計的教學方式，所以我認為先用最簡單的模型讓學生熟悉嚴格的數學語言比較好。在知識的完整性上，我明白你的想法，但若要教學，可能要思考一下要教授的目標群眾的平均程度
台北或新竹的同學、粉絲和朋友們，如果你正在修大一微積分，想參加我在片尾提到的微積分讀書會考衝班的話，請看影片下方說明欄，那裡有報名辦法😉另外還不知道我拍了大一微積分教學影片的同學，如果需要的話可以參考這個播放清單：ruclips.net/p/PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN
終於解開我多年的疑惑
超超超吃超超超超超超謝謝張旭老師!我數學超爛 老師講解完 感覺都可以重考讀台大了，希望可以繼續上大一微積分課程內容
真的是清楚明白了许多
懷念我的 微積分老師 沈上智 老師
醍醐灌頂
老師為什麼第二例題中的 min一開始先取1😅
老師您好，想請問一下，在定義部分f(x)-L的絕對值那邊為什麼不會去定義大於0，如果是用趨近探討的話，f(x)應該不會等於L不是嗎？
函數的趨近是包含能夠碰到的情況喔，例如 f(x) = 1, 當 x 趨近 0 時，函數值會碰到其極限值，所以不能規定 |f(x) - L| ＞ 0事實上，連續函數都會這樣
@@changhsumath 原來如此，謝謝老師
@@changhsumath 老師您好這句話的意思是 x會趨近於0 （但不會碰到0）但是函數值會碰到0的意思嗎？
ε-δ 定義 根本是一開門就直接撞牆XDXD當初學得真的很痛苦
這個比喻有夠讚
畢竟我也是在數學界打滾多年的人呀😉
40:00這題我看到有書解出來的δ是有根號的,是兩種答案都正確嗎？
是的，都可以，但我個人不太喜歡解根號，因為只能對付二次式
@@changhsumath 原來如此！我昨天就一直想這個,謝謝老師的解答。我可以在問個35:30這個地方,我令δ≤10,解出另一個值會是δ/13，這也是一種答案嗎？
老師，我是剛畢業的高中生，目前在先修微積分，想問 36:22 為什麼是1？是隨便取嗎？
原來老師在後面有提到，我學會了，謝謝老師🙏
可以講解一下多變函數的epsilon and delta嗎，我想學一下
多變函數的定義也沒差，因為這個定義適用於所有度量空間（都是跟拓撲空間上對極限的定義等價的）。這個定義是取決於norm, 在多維空間一樣是|x - y| < δ使得|f(x) - f(y)| < ɛ，只是這時候的x跟y是高維空間的點而已。舉個例子來說，在R^2就是|(x_1, x_2) - (y_1, y_2)| < δ使得|f(x_1, x_2) - f(y_1, y_2)| < ɛ。因為norm的codomain是R，所以你的x, y, f是一維還是多維都沒差。而且其實在有限維的時候基本上所有的norm都是等價的（也就是說這個定義不是只有對歐式測度有用），方便的話你要是用其他黎曼測度能證出來也可以。
@@andromedaperseus954 感謝，你講得這段話我有些還沒想通或學過，我正處於修習高等微積分的第一階段
@@黃顗文-h3j 正在學高微的話建議可以把點集拓撲一起學了，那你就會知道極限其實是一個更廣義的東西（參考Munkres 17-21節）。自己當初自學Rudin的時候看到一大堆度量拓撲跟數列收斂的定義，然後沒跟你說這個跟δ-ɛ定義到底什麼關係，也沒跟你說動機是什麼，為什麼要這麼定義，學的快崩潰了。看過點集拓撲以後很多東西就變得很直觀很簡單！個人真的覺得點拓的重要性比高微還大得多（open set、closed set、compactness、connectedness、hausdorff性質這些到哪都看得到）。 說實話高微學的那些等你學得更深還有用的就是這些拓撲的概念。多變數高微在美國大學根本沒這個課，真想學不如直接去學微分幾何...
@@andromedaperseus954 好...我正在處於搞懂可數集跟不可數集的階段，我會努力的...
老師的講解說明很清楚
謝謝支持
我是中央大學資工系大一 已經買了上學期課程 希望啃完教材跟Stewart 那本之後在微積分段考可以前十🥲
感謝支持，記得加入討論群組，有問題時可以即時發問，另外我們教 C++ 的 Hank 老師也是中央資工畢業的，我也是中央的，不過我是數學系的，總之歡迎你加入，之後來創個中央幫好了
謝謝你
老師！！請問為何我們學校老師微積分直接說極限的嚴格定義不考，那這樣我還要學嗎？？謝謝老師
哪間大學這麼好？
你哪間的
台大應數所經過^^我認為您的解釋很有趣！但一開始先把f(x)先說明改成f(t)t是時間 f(t)是位置 那樣整個說明會更好理解～
我當然有這麼想過，但是要轉換回來時有時會有障礙
話說現在很多科系段考都不考ε-δ了
我知道，但我相信前幾志願的學校還是有高機率會考
紅筆黑筆也是這樣講
嗨😂
@@willie333b 偶爾留個言也被抓到，還好不是在奇怪的地方🤣🤣
@@lol_James 剛好也有看張旭😅
那第二塊鐵板會是什麼（
黎曼和的嚴格定義
@@changhsumath 我可能孤陋寡聞了，感覺黎曼和的嚴格定義到高微以後就用不太到。反倒是抽象積分用的比較多。好像在隨機積分的結果裡面看到比較多類似黎曼和定義的條件。
@@andromedaperseus954 沒，你沒孤陋寡聞，只是可能沒看清楚我們在討論的前後文
我比較想知道怎麼取得老師的習題😅
習題在課程平台（張旭無限教室）裡面就有囉
thx
張老師 您好：我是明年要考轉學考的考生，目標台大數學系或物理系，台大數學系轉學考要考微積分A，目前不想補習想自學，想問老師說我可以看老師頻道裡哪個系列的影片充實自身實力呢？
上下學期微積分都可以看喔！轉學考考古題也可以參考
台大數學go go go
想請問例題二那裡是如何想到要舉1為最小值嗎
舉1只是為了方便而已。因為在δ < 1的情況下δ^2 < δ，所以能避免出現二次項的情況。
有的 比那個教外國人的教授清楚很多
我覺得很具像
我是中央數學大一新生 我怎麼感覺我踢到的第一塊鐵板是線性代數 QQ
線性代數其實沒那麼難，有時只是你還沒想清楚這門科目的本質是什麼而已
やべぇ、言語からわからん
根本就是佛祖吧…
證明了台灣各大學數學教授幾乎都不會教最基本的大學微積分入門課程。不適任的大學教授真的該強制退場。
教授講太快腦筋轉不過來
在這邊搞懂了 好爽
這個定義真的很重要啊。後面不管學實分析、複分析、泛函分析、微分幾何、甚至高等概率都會出現很多次。 反正只要跟極限有關又在度量空間上，這個定義就躲不掉🤣
沒錯
謝謝張旭老師
讓我明天期中考觀念很順
如果有人觉得这个定义讲的好，那他一定是好老师
普通にイプシロンデルタ論法を簡潔にまとめてる素晴らしい動画！
我理解ε-δ的方法是舉一個反例子。舉一個錯誤的limit，發現確實會導致ε-δ不付合。在這過程中更會理解為什麼ε-δ會如此定義
提供一個例2不用假設δ < 1（或δ < 其他東西）的解法：
Let |x - 1| < δ
Then |x^2 + x + 1 - 3| = |x^2 + x - 2| = |x + 2||x - 1|
< |x + 2|δ（根據|x - 1| < δ的假設）= |x - 1 + 3|δ
≤ (|x - 1| + 3)δ（三角不等式）
< (δ + 3)δ（根據|x - 1| < δ的假設）= δ^2 + 3δ ≤ max(4δ^2, 4δ)
所以假設 δ = min(√ɛ / 2, ɛ/4) 能滿足條件。
蠻好的，但若問題的次方更高呢？
@@changhsumath 更高次方，甚至三角函數的話還是像原解一樣假設常數比較方便吧。反正沒有限制δ一定要多大。
是啊，所以我統一用一樣的方法處理
終於解開我多年的疑惑😢
鏡頭是不是剛好沒拍到邊條 10:36那邊畫超準 牛逼
大學人生第一塊鐵板，令我被當了，然後連鎖效應，導致沒時間看其他科目，導致很多都被當了，如果以前有RUclips多好
一级棒
"衝向"的比喻有一個小問題，這個例子隨時間增長，距離一直遞淢，沒有討論中間可能又回頭的情況：有可能在前期會超過柵㯗，但又回頭走出柵㯗。最簡單的例子就是damping oscillation，有阻尼的振盪。
那個沒差，如果最終還是會趨於一個穩定狀態，即便之後再怎麼震盪，還是會在一個時間過後剩下的軌跡都仍然會距離穩定狀態夠靠近。
@@changhsumath 我知道沒差。但如果在"衝向"的比喻時，可以把這種情形也說明一下，就更完美了。
因為這是我針對第一次碰到這種主題的學生所設計的教學方式，所以我認為先用最簡單的模型讓學生熟悉嚴格的數學語言比較好。在知識的完整性上，我明白你的想法，但若要教學，可能要思考一下要教授的目標群眾的平均程度
台北或新竹的同學、粉絲和朋友們，如果你正在修大一微積分，想參加我在片尾提到的微積分讀書會考衝班的話，請看影片下方說明欄，那裡有報名辦法😉
另外還不知道我拍了大一微積分教學影片的同學，如果需要的話可以參考這個播放清單：ruclips.net/p/PLKJhYfqCgNXjkwxSf-xDV47b9ZXDUkYiN
終於解開我多年的疑惑
超超超吃超超超超超超謝謝張旭老師!我數學超爛 老師講解完 感覺都可以重考讀台大了，希望可以繼續上大一微積分課程內容
真的是清楚明白了许多
懷念我的 微積分老師 沈上智 老師
醍醐灌頂
老師為什麼第二例題中的 min一開始先取1😅
老師您好，想請問一下，在定義部分
f(x)-L的絕對值那邊為什麼不會去定義大於0，如果是用趨近探討的話，f(x)應該不會等於L不是嗎？
函數的趨近是包含能夠碰到的情況喔，例如 f(x) = 1, 當 x 趨近 0 時，函數值會碰到其極限值，所以不能規定 |f(x) - L| ＞ 0
事實上，連續函數都會這樣
@@changhsumath 原來如此，謝謝老師
@@changhsumath 老師您好
這句話的意思是 x會趨近於0 （但不會碰到0）
但是函數值會碰到0的意思嗎？
ε-δ 定義 根本是一開門就直接撞牆XDXD
當初學得真的很痛苦
這個比喻有夠讚
畢竟我也是在數學界打滾多年的人呀😉
40:00這題我看到有書解出來的δ是有根號的,是兩種答案都正確嗎？
是的，都可以，但我個人不太喜歡解根號，因為只能對付二次式
@@changhsumath 原來如此！我昨天就一直想這個,謝謝老師的解答。我可以在問個35:30這個地方,我令δ≤10,解出另一個值會是δ/13，這也是一種答案嗎？
老師，我是剛畢業的高中生，目前在先修微積分，想問 36:22 為什麼是1？是隨便取嗎？
原來老師在後面有提到，我學會了，謝謝老師🙏
可以講解一下多變函數的epsilon and delta嗎，我想學一下
多變函數的定義也沒差，因為這個定義適用於所有度量空間（都是跟拓撲空間上對極限的定義等價的）。這個定義是取決於norm, 在多維空間一樣是|x - y| < δ使得|f(x) - f(y)| < ɛ，只是這時候的x跟y是高維空間的點而已。舉個例子來說，在R^2就是|(x_1, x_2) - (y_1, y_2)| < δ使得|f(x_1, x_2) - f(y_1, y_2)| < ɛ。因為norm的codomain是R，所以你的x, y, f是一維還是多維都沒差。而且其實在有限維的時候基本上所有的norm都是等價的（也就是說這個定義不是只有對歐式測度有用），方便的話你要是用其他黎曼測度能證出來也可以。
@@andromedaperseus954 感謝，你講得這段話我有些還沒想通或學過，我正處於修習高等微積分的第一階段
@@黃顗文-h3j 正在學高微的話建議可以把點集拓撲一起學了，那你就會知道極限其實是一個更廣義的東西（參考Munkres 17-21節）。自己當初自學Rudin的時候看到一大堆度量拓撲跟數列收斂的定義，然後沒跟你說這個跟δ-ɛ定義到底什麼關係，也沒跟你說動機是什麼，為什麼要這麼定義，學的快崩潰了。看過點集拓撲以後很多東西就變得很直觀很簡單！個人真的覺得點拓的重要性比高微還大得多（open set、closed set、compactness、connectedness、hausdorff性質這些到哪都看得到）。 說實話高微學的那些等你學得更深還有用的就是這些拓撲的概念。多變數高微在美國大學根本沒這個課，真想學不如直接去學微分幾何...
@@andromedaperseus954 好...我正在處於搞懂可數集跟不可數集的階段，我會努力的...
老師的講解說明很清楚
謝謝支持
我是中央大學資工系大一 已經買了上學期課程 希望啃完教材跟Stewart 那本之後在微積分段考可以前十🥲
感謝支持，記得加入討論群組，有問題時可以即時發問，另外我們教 C++ 的 Hank 老師也是中央資工畢業的，我也是中央的，不過我是數學系的，總之歡迎你加入，之後來創個中央幫好了
謝謝你
老師！！請問為何我們學校老師微積分直接說極限的嚴格定義不考，那這樣我還要學嗎？？謝謝老師
哪間大學這麼好？
你哪間的
台大應數所經過^^
我認為您的解釋很有趣！
但一開始先把f(x)先說明改成f(t)
t是時間 f(t)是位置 那樣整個說明會更好理解～
我當然有這麼想過，但是要轉換回來時有時會有障礙
話說現在很多科系段考都不考ε-δ了
我知道，但我相信前幾志願的學校還是有高機率會考
紅筆黑筆也是這樣講
嗨😂
@@willie333b 偶爾留個言也被抓到，還好不是在奇怪的地方🤣🤣
@@lol_James 剛好也有看張旭😅
那第二塊鐵板會是什麼（
黎曼和的嚴格定義
@@changhsumath 我可能孤陋寡聞了，感覺黎曼和的嚴格定義到高微以後就用不太到。反倒是抽象積分用的比較多。好像在隨機積分的結果裡面看到比較多類似黎曼和定義的條件。
@@andromedaperseus954 沒，你沒孤陋寡聞，只是可能沒看清楚我們在討論的前後文
我比較想知道怎麼取得老師的習題😅
習題在課程平台（張旭無限教室）裡面就有囉
thx
張老師 您好：
我是明年要考轉學考的考生，目標台大數學系或物理系，台大數學系轉學考要考微積分A，目前不想補習想自學，想問老師說我可以看老師頻道裡哪個系列的影片充實自身實力呢？
上下學期微積分都可以看喔！轉學考考古題也可以參考
台大數學go go go
想請問例題二那裡是如何想到要舉1為最小值嗎
舉1只是為了方便而已。因為在δ < 1的情況下δ^2 < δ，所以能避免出現二次項的情況。
有的 比那個教外國人的教授清楚很多
我覺得很具像
我是中央數學大一新生 我怎麼感覺我踢到的第一塊鐵板是線性代數 QQ
線性代數其實沒那麼難，有時只是你還沒想清楚這門科目的本質是什麼而已
やべぇ、言語からわからん
根本就是佛祖吧…
證明了台灣各大學數學教授幾乎都不會教最基本的大學微積分入門課程。
不適任的大學教授真的該強制退場。