Рассмотрим общую задачу- даны две стороны а и b, и медиана m, проеденная к середине третьей стороны с. Требуется найти длину с. Использую теорему косинусов, имеем m^2=(с/2)^2+a^2-2(c/2)acosB, b^2=c^2+a^2-2cacosB. теперь умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем его из второго и получаем с^2=2b^2+2a^2-4m^2. В нашем случае c^2=12. Т.е это прямоугольный треугольник с острым углом в 30 градусов. Поздравляю всех с Наступающим, желаю крепкого здоровья и новых геометрических достижений!
Помимо т.косинусов можно просто предположить, что треугольник АВМ прямоугольный с прямым углом В. Находим ВМ, а следовательно и ВС. Далее проверяем дает ли сумма квадратов АВ и ВС квадрат АС. Если нет, значит изначальное предположение о том что угол В прямой было неверно. Если да, то задача по сути решена, т.к. мы получаем прямоугольный треугольник, где один из катетов в 2 раза меньше гипотинузы, следовательно искомый угол 30°
Ура, я отличник! Через середину "гипотенузы" проводим отрезки, параллельные "катетам". Квадрат второй диагонали параллелограмма равен (2^2+2^2+1^1+1^1)-7=3. В треугольнике АВС стороны 2;4;2*√3. Треугольник прямной и угол = 30°
По теореме косинусов для AMC и ABC составляем два уравнения , исключаем угол , находим MC. Далее по обратной теореме пифагора ABC прямоугольный. Все - угол 30 градусов
Метод Сонте-Кароо. Увидев 2 и 4 проверям на 30. Такм да. Единственность ответа проверим построив отрезок на половине высоты, под ним треугольник 1-2-✓7, есиь все три чтороны т.е. нет других вариантов.
ВНИМАНИЮ ВЕДУЩЕГО КАЗАКОВА. Эта задача навела меня на мысль. В школьном курсе геометрии нет этой формулы. Пусть у нас есть произвольный тр--к со сторонами а,b,c. Нужно найти длину медианы к любой стороне,пусть для определенности к стороне с. Она равна (Mc)^2=(а^2+b^2)/2--c^2/4
Естественно, я не знал этой теоремы о диагоналях, но мгновенно ее доказал сам, что хорошо видно из моего комментария. Я к тому, что и в ролике нужно было обязательно привести доказательство, тем более, что оно не займет и двух строчек, т.е совсем простое. Такое вот новогоднее пожелание на будущее- ролики должны содержать доказательства всех используемых фактов. Понятно, что теорему Пифагора не нужно доказать, но этот факт, по моему, мало кому известен.
1) Предположим, что треугольник прямоугольный. Тогда искомый угол 30 град, другой катет корень из 12, а его половина корень из 3. 2) Проверим, действительно ли угол прямой: 4+3=7.
Такие варинты решения служат для получения гипотезы, чтобы легче искать решения. На олимпиаде и экзамене оцениваются в 0 баллов, как антиматематические. Мы много об этом говорили. Но идея хорошая.
Здесь не больше "АНТИМАТЕМАТИЧЕСКОГО" (антинаучного), чем в доказательстве "ОТ ПРОТИВНОГО". Если делается предположение, на его основе некоторые выводы, а предположение не доказывается/ не проверяется, то вот это антинаучно.
Для тех, кто не помнит свойство диагоналей параллелограмма. Пусть К - середина АС, AK=CK=2, KM||AB, KM=1 -средняя линия ∆ABC. Из ∆AKM по теореме косинусов находим cos∠AKM=-1/2, ∠AKM=120°, Дальше есть два варианта. 1) ∠A=180°-120°=60°, по теореме косинусов BC^2=12, 12+4=16, ∠B=90°, ∠C=30°; 2) ∠CKM=60°, CK=2*KM. Несложно доказать, что ∠С=30°
И снова поддержу предложенный Вами способ, мыслил аналогично. Средние линии рулят! ) В качестве оптимизации замечу, что удобно обозначить угол ВАС через α и записать т.косинусов для тр-ка АКМ, используя правило косинуса дополнительного угла. Тогда сразу получаем, что α = 60°, а это - угол при вершине р/б тр-ка ВАК, т.е. он р/ст, откуда из факта, что медиана ВК равна половине гипотенузы АС делаем вывод, что АВС - прямоугольный с углом в 30°. С наступающими праздниками всех зрителей канала, и, конечно же, «главного виновника» интересных и полезных дискуссий - Автора канала!
Пойдем от обратного: возьмем прямоугольный треугольник с такими сторонами, убедимся(по Т.Пифагора), что это треугольник из условия.Все, ответ 30 градусов.То, что стороны отличаются в два раза сразу наталкивает на такое решение.В одном из предыдущих видео написал какой то бред про вписанность, надеюсь, что хоть сейчас я нигде не ошибся.Вопрос, а где Вы берете эти задачи?
А у меня, как научили, продление медианы до получения треуг-ка со сторонпми 2, 4 и 2 корня из 7. Его площадь по Герону 2 корня из 3, высота=корню из 3, в прямоуг-м треуг. АВН катет равен половине гипотенузы, тогда он лежит против угла в 30 град. Тогда угол С=30 град. т.к.треуг-ки АВН и НВС подобны.
Формулу с диагоналями параллелограмма не вспомнил. По т.косинусов в треугольнике АДС нашел угол АСД=120. По той же т. косинусов находим ВС, понимаем, что исходный треугольник прямоугольный и открываем шампанское! Всех с наступающим!
Пороха не выдумаю, но иногда иную задачу все же решу.😂 а=2, в=4 Применим 3 формулы 1)Для медианы m=√(2a^2+2в^2-с^2)/2 (√7)^2=√(2×2^2+2×4^2-c2) c=2√3 2) Формулу Герона S=√[p(p-a)(p-в)(р-с)], где р -- полупериметр а, в, с стороны треугольника р=(а+в+с)/2=(2+4+2√3)/2=3+√3 S=√[(3+√3)(3+√3-2)(3+√3-4)(3+√3-2√3)] = 2√3 3) Формулу S=в×с×sinα/2 sinα=2S/вс=2√3/(4×2√3) sinα=1/2 ➡️ α=30° 🌺
С допущением легко - проверяем треугольник на расовую прямоугольность. Если одна из равных сторон √3, то верхний прямоугольный, больший катет тогда 2√3, а прямой угол общий, тогда общий же треугольник кратен 1;2;√3, у которого углы известны - 90;60;30. Без допущений сложнее, подозреваю.
@@-wx-78- можно, конечно, взять три раза формулу Герона, половинку неизвестного катета за х: 2...√7...х+√7...4...х=2...4...2х. Уверен, на этот пресловутый √3 системка выведет.
@@zawatsky Чем прекрасен этот канал - во многих случаях можно найти подходящую задачу. v=JYuSNR7XsVU, там про треугольник 3-5 и вписанную радиуса 1. Гипотеза что треух прямоугольный приводит к верному варианту, но есть ещё и другой, малость иррациональный.
Проведем от угла В к стороне АС медиану ВД. Получаем треугольник АВД' равнобедренный (АВ = Ад= 2см). Далее из угла А параллельно ВД проведем АК' которая также равна 2см. По итогу у нас получился ромб АВДК со стороной 2см. Теперь соеденим точку К и вершину С. И у нас получается 2 равных треугольника ВСД и ДСК. При этом это равнобедренные треугольники' ибо ВД=ДС и ДС=КС. соответственно углы ВДС и СДК по 120гр. Отсюда искомый альфа 30гр' треугольник АВС прямоугольный. А зачем здесь медиана непонятно. Она не используется😊
Поздравляю Всех с наступающим Новым Годом! Отдельное безмерное спасибо автору канала! Спасибо за ваш труд. За то' что помогаете уставшему хирургу отвлечься от болезней' пациентов))). Спасибо! Здоровья' успехов!!!
@@second3160возьмите ручку' бумагу. Нарисуйте' как я нарисовал. И найдите у меня ошибку). Ответ совпал Не просатривая видео. Ответ Совпал после подстановки по итогу. Вывод? Прежде' чем комментировать' надо подумать
1. Совершить поворот вокруг точки М и с помощью теоремы Стюарта найти МС. 2. Дальше убедиться с помощью обратной теоремы Пифагора, что тр-к АВС прямоугольный. 3. Катет в два раза меньше гипотенузы - угол С 30°
С наступающим новым годом Вас, Валерий, Вашу семью и Ваших замечательных подписчиков.
Рассмотрим общую задачу- даны две стороны а и b, и медиана m, проеденная к середине третьей стороны с. Требуется найти длину с. Использую теорему косинусов, имеем m^2=(с/2)^2+a^2-2(c/2)acosB, b^2=c^2+a^2-2cacosB. теперь умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем его из второго и получаем с^2=2b^2+2a^2-4m^2. В нашем случае c^2=12. Т.е это прямоугольный треугольник с острым углом в 30 градусов. Поздравляю всех с Наступающим, желаю крепкого здоровья и новых геометрических достижений!
Помимо т.косинусов можно просто предположить, что треугольник АВМ прямоугольный с прямым углом В. Находим ВМ, а следовательно и ВС. Далее проверяем дает ли сумма квадратов АВ и ВС квадрат АС. Если нет, значит изначальное предположение о том что угол В прямой было неверно. Если да, то задача по сути решена, т.к. мы получаем прямоугольный треугольник, где один из катетов в 2 раза меньше гипотинузы, следовательно искомый угол 30°
Я бы здесь предложил задачу на ПОСТРОЕНИЕ:
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой из вершины угла между этими сторонами.
спасибо. Отличная задача на повторение известных свойств. Которые периодически стираются из памяти))
Лично я записал теорему Стюарта для треугольника АБС а после и теорема косинусов для него же
Ура, я отличник!
Через середину "гипотенузы" проводим отрезки, параллельные "катетам". Квадрат второй диагонали параллелограмма равен (2^2+2^2+1^1+1^1)-7=3.
В треугольнике АВС стороны 2;4;2*√3. Треугольник прямной и угол = 30°
По теореме косинусов для AMC и ABC составляем два уравнения , исключаем угол , находим MC. Далее по обратной теореме пифагора ABC прямоугольный. Все - угол 30 градусов
Метод Сонте-Кароо. Увидев 2 и 4 проверям на 30. Такм да. Единственность ответа проверим построив отрезок на половине высоты, под ним треугольник 1-2-✓7, есиь все три чтороны т.е. нет других вариантов.
Смотрел то видео с теоремой про диагонали и стороны п-ма, сразу вспомнил и решил. Спасибо!
Достраиваем параллелограмм.Сумма квадратов сторон 40.
Квадрат известной диагонали 28.
Квадрат второй 12.
Теперь по ТК
cos d=sqrt 3/2.
Угол 30°
ВНИМАНИЮ ВЕДУЩЕГО КАЗАКОВА.
Эта задача навела меня на мысль.
В школьном курсе геометрии нет этой формулы.
Пусть у нас есть произвольный тр--к со сторонами а,b,c.
Нужно найти длину медианы к любой стороне,пусть для определенности к стороне с.
Она равна
(Mc)^2=(а^2+b^2)/2--c^2/4
В моем учебнике (Геомтерия 9, В.В. Казаков) есть такая формула. В Атанасяне среди задач она. Но мысль хорошая.
@GeometriaValeriyKazakov мы учились не по Атанасяну.
У нас был Погорелов
@@Артьомдругартем У Погорелова нет. Было в СССР в профильных классах.
Естественно, я не знал этой теоремы о диагоналях, но мгновенно ее доказал сам, что хорошо видно из моего комментария. Я к тому, что и в ролике нужно было обязательно привести доказательство, тем более, что оно не займет и двух строчек, т.е совсем простое. Такое вот новогоднее пожелание на будущее- ролики должны содержать доказательства всех используемых фактов. Понятно, что теорему Пифагора не нужно доказать, но этот факт, по моему, мало кому известен.
1) Предположим, что треугольник прямоугольный. Тогда искомый угол 30 град, другой катет корень из 12, а его половина корень из 3.
2) Проверим, действительно ли угол прямой: 4+3=7.
Такие варинты решения служат для получения гипотезы, чтобы легче искать решения. На олимпиаде и экзамене оцениваются в 0 баллов, как антиматематические. Мы много об этом говорили. Но идея хорошая.
Здесь не больше "АНТИМАТЕМАТИЧЕСКОГО" (антинаучного), чем в доказательстве "ОТ ПРОТИВНОГО".
Если делается предположение, на его основе некоторые выводы, а предположение не доказывается/ не проверяется, то вот это антинаучно.
Для тех, кто не помнит свойство диагоналей параллелограмма.
Пусть К - середина АС, AK=CK=2, KM||AB, KM=1 -средняя линия ∆ABC. Из ∆AKM по теореме косинусов находим cos∠AKM=-1/2, ∠AKM=120°, Дальше есть два варианта.
1) ∠A=180°-120°=60°, по теореме косинусов BC^2=12, 12+4=16, ∠B=90°, ∠C=30°;
2) ∠CKM=60°, CK=2*KM. Несложно доказать, что ∠С=30°
Можно улучшить предложенное решение. ∠A=60°, AB=AK=2, ∆ABK - равносторонний, BK=AK=CK=2, ∆BCK - равнобедренный, ∠AKB - внешний угол ∆BCK; ∠C=∠CBK=30°.
И снова поддержу предложенный Вами способ, мыслил аналогично. Средние линии рулят! )
В качестве оптимизации замечу, что удобно обозначить угол ВАС через α и записать т.косинусов для тр-ка АКМ, используя правило косинуса дополнительного угла. Тогда сразу получаем, что α = 60°, а это - угол при вершине р/б тр-ка ВАК, т.е. он р/ст, откуда из факта, что медиана ВК равна половине гипотенузы АС делаем вывод, что АВС - прямоугольный с углом в 30°.
С наступающими праздниками всех зрителей канала, и, конечно же, «главного виновника» интересных и полезных дискуссий - Автора канала!
Пойдем от обратного: возьмем прямоугольный треугольник с такими сторонами, убедимся(по Т.Пифагора), что это треугольник из условия.Все, ответ 30 градусов.То, что стороны отличаются в два раза сразу наталкивает на такое решение.В одном из предыдущих видео написал какой то бред про вписанность, надеюсь, что хоть сейчас я нигде не ошибся.Вопрос, а где Вы берете эти задачи?
Решает жулик! Угол прямой, а искомый -- 30°
Шучу, буду решать
А у меня, как научили, продление медианы до получения треуг-ка со сторонпми 2, 4 и 2 корня из 7. Его площадь по Герону 2 корня из 3, высота=корню из 3, в прямоуг-м треуг. АВН катет равен половине гипотенузы, тогда он лежит против угла в 30 град. Тогда угол С=30 град. т.к.треуг-ки АВН и НВС подобны.
А можно просто через формулу медианы быстро найти длину третьей стороны. А дальше через теорему косинусов находим угол
Да, но это скучно.
Классическим путем находим третью сторону √12. Тогда треугольник прямоугольный. Угол равен 30°(катет=гип/2)
Формулу с диагоналями параллелограмма не вспомнил. По т.косинусов в треугольнике АДС нашел угол АСД=120. По той же т. косинусов находим ВС, понимаем, что исходный треугольник прямоугольный и открываем шампанское! Всех с наступающим!
Подолжить отрезок ,равный корень их 7 и достроить треугольник до параллелограмма и использовать свойство диагоналей параллелограмма.
2:55 Поняв наличие шанса что tg α = √3, многие начали что-то подозревать. 😉
Пороха не выдумаю, но иногда иную задачу все же решу.😂
а=2, в=4
Применим 3 формулы
1)Для медианы
m=√(2a^2+2в^2-с^2)/2
(√7)^2=√(2×2^2+2×4^2-c2)
c=2√3
2) Формулу Герона
S=√[p(p-a)(p-в)(р-с)], где
р -- полупериметр
а, в, с стороны треугольника
р=(а+в+с)/2=(2+4+2√3)/2=3+√3
S=√[(3+√3)(3+√3-2)(3+√3-4)(3+√3-2√3)] = 2√3
3) Формулу S=в×с×sinα/2
sinα=2S/вс=2√3/(4×2√3)
sinα=1/2 ➡️ α=30° 🌺
С допущением легко - проверяем треугольник на расовую прямоугольность. Если одна из равных сторон √3, то верхний прямоугольный, больший катет тогда 2√3, а прямой угол общий, тогда общий же треугольник кратен 1;2;√3, у которого углы известны - 90;60;30. Без допущений сложнее, подозреваю.
Из допущения может и следует что-то, но не факт что чего-то другого не следует из его отрицания.
@@-wx-78- например?
@@-wx-78- можно, конечно, взять три раза формулу Герона, половинку неизвестного катета за х: 2...√7...х+√7...4...х=2...4...2х. Уверен, на этот пресловутый √3 системка выведет.
@@zawatsky Чем прекрасен этот канал - во многих случаях можно найти подходящую задачу. v=JYuSNR7XsVU, там про треугольник 3-5 и вписанную радиуса 1. Гипотеза что треух прямоугольный приводит к верному варианту, но есть ещё и другой, малость иррациональный.
а давайте допустим, что не прямоугольный и сторона получается √3,2 например...чувствуете, что нам надо ещё что-то доказать?
Имеем египетский треугольник с углом С= 30 град.
Таких египетских не бывает. 😉
По формулы медиана найдем дилины третвц сторон а потом по тероемы косинусов найдем угла 60 гр.
4=4х^2+16-2*2х*4соs (a)
7=x^2+16-2x*4cos(a)
8xcos(a)=9+x^2
4=4х^2+16-18-2x^2
3=x^2
x=sqrt3
cos(a)=12/(8sqrt3)=(sqrt3)/2
a=pi/6
Это чей свойство ?
Способ №1.
∠ACB=𝜶; BM=CM=x; BC=2*x.
B ∆ACM, AM²=AC²+CM²-2*AC*CM*cos𝜶;
7=16+x²-8*x*cos𝜶; cos𝜶=(x²+9)/(8*x).
B ∆ABC
Проведем от угла В к стороне АС медиану ВД. Получаем треугольник АВД' равнобедренный (АВ = Ад= 2см). Далее из угла А параллельно ВД проведем АК' которая также равна 2см. По итогу у нас получился ромб АВДК со стороной 2см. Теперь соеденим точку К и вершину С. И у нас получается 2 равных треугольника ВСД и ДСК. При этом это равнобедренные треугольники' ибо ВД=ДС и ДС=КС. соответственно углы ВДС и СДК по 120гр. Отсюда искомый альфа 30гр' треугольник АВС прямоугольный. А зачем здесь медиана непонятно. Она не используется😊
Поздравляю Всех с наступающим Новым Годом! Отдельное безмерное спасибо автору канала! Спасибо за ваш труд. За то' что помогаете уставшему хирургу отвлечься от болезней' пациентов))). Спасибо! Здоровья' успехов!!!
Уставший херург хуже татарина.
/
@indarokov2006
Стесняюсь спросить, вы какую задачку решаете?
/
@@second3160я всё таки Хирург! Во вторых юмор про татарина неуместен. В третьих' ту задачу' которую комментирую
@@indarokov2006
Вот опять у меня на пути люди в белых халатах,
без АМ вам куток не найти.
@@second3160возьмите ручку' бумагу. Нарисуйте' как я нарисовал. И найдите у меня ошибку). Ответ совпал Не просатривая видео. Ответ Совпал после подстановки по итогу. Вывод? Прежде' чем комментировать' надо подумать
1. Совершить поворот вокруг точки М и с помощью теоремы Стюарта найти МС.
2. Дальше убедиться с помощью обратной теоремы Пифагора, что тр-к АВС прямоугольный.
3. Катет в два раза меньше гипотенузы - угол С 30°