Génial ! J'avais oublié la démonstration...avec le carré, puis avec la démonstration par le calcul de soustraction...je me suis tout remémoré. Merci, c'est passionnant !
super intéressant de vouloir expliquer quelque chose de plus compliqué mais avec cette approche très didactique que tu as , c un grand pallier que tu franchis pour ta chaine par cette vidéo et pourquoi pas étendre le concept a des objets mathématiques de plus en plus complexe
Tu as raison ! Ce serait vraiment 1 coup de pouce apprécié des lycéens qui "traînent" en math (NB/ j' ai fait l' Université, mais je n' oublierai pas ceux qui souffraient en math au lycée). Merci pour ta proposition 👍😆
Bonjour, j'avoue avoir envie de répondre avant de la visionner: logiquement l'addition de 1+1/2+1/4+etc avec le dénominateur qui double me fait penser que la réponse "tend vers 2" sans jamais l'atteindre. Ce n'est pas une réponse mathématique mais je pense que c'est juste, maintenant place au visionnage et aux explications ( démonstration) tellement agréables à écouter à chaque fois.
Merci d'avoir démontré cette formule je déteste plus que tout utiliser des formules sans savoir d'où elles viennent alors que la démonstration prend 30sec et est simple
Que dieux vous bénisse. C'est tellement facile d'apprendre les maths avec vous. On dirait que vous êtes dans nos têtes . Vous anticiper nos difficultés..Merci
Perso, pour ce genre de règles, considérant qu'elles sont stables, j'ai une règle assez simple Le plus grand nombre de la règle = x Le plus petit nombre de la règle = y On n'a qu'à faire 2x-y et on a la somme. 1+2+4+8+16 = 2*16-1 = 31 Ça marche pour toutes les suites de ce genre où on a un nombre définit de valeur. Par exemple, si on commence par un autre nombre 4+8+16+32+64+128= 2*128-4= 252
Super comme d’hab. Est ce que tu pourrais faire des exercices sur les limites et convergences des séries de Riemman? Ou encore la détermination de la nature d’une série grâce au critère des séries alternée, la règle de d’Alembert pour les séries positives dans le cas ou la limite un+1/un = 1?
bah c'est rien de difficile. c du cours faut juste regarder le puissance de n. Pareil pour les séries alternées, fzut que le suite soit positive, décroissante et tend. vers 0. Et quand un+1/un tend vers 1 faut utiliser une autre methode
Cela fait penser au paradoxe de Zénon d'Elée : Une flèche n'atteint jamais un mur car elle parcourt la moitié du chemin, puis la moitié de la moitié..etc
@@ludovicavillon1372 Elle ne le touchera pas quand même, d'où le terme de paradoxe et ce qu'il dit est vrai mais pas tout à fait car le résultat tend vers 2 mais n'y arrivera finalement... jamais.
son raisonement n'est pas correct il suppose que la somme des limites est egal a la limite de la somme mais cela est vrai que dans le cas ou la somme est finie .
@@nordineboufas4362 En fait, dans les séries entières, une somme infinie peut être égale à un nombre. Mais on ne voit pas ça au lycée. Dans les trucs un peu difficile à gérer pour notre cerveau, il y a aussi l'égalité 0.99999... = 1. Cette égalité est vraie.
je connaissais une solution un peu plus simple : S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..... On multiplie les deux cotés par 2, on a donc : 2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..... On remarque que l'on a donc : 2S = 2 + S Donc S = 2
@@zikilemini2 Non, ce n'est pas correct du tout. En faisant comme ça, on arriverait aussi à montrer que si S vaut 1+2+4+.... alors 2S = S - 1 donc S vaut -1, ce qui est absurde, car la somme tend vers l'infini positif. Il faut nécessairement démontrer que la somme converge avant de "jouer" avec.
J'ai fait les mêmes observations que vous et voudrais savoir pourquoi est-il possible de dire que si S=1+2+3+4+5+6+7..., S=-1/12 Et ici impossible de dire S=2?
@@lingoflowerman1155 On ne peut pas écrire que 1+2+3+.... = -1/12, c'est simplement faux. On peut par contre dire que le prolongement analytique de la fonction Zeta de Riemann pour -1 vaut -1/12, c'est différent, la fonction de Riemann "de base" (somme infinie des 1/n^s) n'étant définie que pour les valeurs réelles strictement supérieure à 1 (ou plus généralement les complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à 1). L'erreur consiste de partir du postulat qui est de dire que S existe, autrement dit que la somme converge. En partant de cette hypothèse, alors on peut alors dire que la solution ne peut-être que celle trouvée. Par contre, et le problème est là, dans votre exemple comme dans celui que j'ai donné plus haut, les sommes divergent, donc écrire l'égalité n'a aucun sens. Il faut donc obligatoirement prouver avant tout calcul de ce type la convergence (autrement dit, que la somme a un sens)
Il est très simple de visualiser le résultat avec un carré de côté 1. La somme 1/2+1/4+1/8 etc est la somme de tous les carrés contenu dans le carré de côté un. Le 1 du départ est un autre carré de côté 1. Visuellement, on comprend que le résultat est l'aire des 2 carrés, identiques, i.e. 2.
Allez, pour le fun, la démonstration LA PLUS RAPIDE possible. On écrit la somme... EN BASE 2 ! 1=1 1/2=0,1 1/4=0,01 1/8=0,001 etc. 1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n=1,111....1 (n chiffres après la virgule). Quand n tend vers l'infini, on se retrouve avec 1,1111.... c'est-à-dire 10 (donc 2 en base décimale). Voilà. Vous avez trouvé ça rigolo ?
Oui d'accord, le résultat tend vers 2. Ça me rappelle le paradoxe de Zénon où Achille court après une tortue mais ne peut jamais l'atteindre car, chaque fois qu'il franchit la distance, la tortue avance et creuse un nouvel écart. Là, on n'a jamais mangé la deuxième pizza en totalité car il il y a toujours un reste, si petit soit-il.
Non le résultat ne tend pas vers 2 il est strictement égal à 2. La subtilité réside dans le fait que la somme est infinie. On voit ça avec les séries dans le supérieur (je ne sais pas a quel niveau tu en es).
@@patricedeporter523 Tout nombre est différent d'un autre si on peut intercaler un troisième nombre entre les deux. Pas possible ici. 1/3=0,33... 3/3=0,99...=1
J'ai 50 ans et j'en découvre à chaque nouvelle vidéo que je regarde 👍 Moi qui était du style, pour partager 11 pommes équitablement entre 7 personnes, a faire de la purée... Je me régale de vos pizzas 🙏🙏🙏
On dit souvent que les maths ça ne sert à rien. Pourtant on voit bien que le seul fait de connaître les suites géométriques permet d'économiser deux pizzas. D'ailleurs si ça se trouve on vient de découvrir la cause de l'augmentation de l'obésité...
Cette vidéo m’a rappelé un paradoxe que mon père m’avait expliqué qui disait qu’avant qu’une flèche atteigne une cible il faut qu’elle atteigne la moitié du chemin mais avant ça il faut qu’elle atteigne le quart du chemin mais ça il faut qu’elle atteigne le huitième du chemin et ce jusqu’à l’infini pourtant quand on tire une flèche elle atteins sa cible Voilà j’espère que j’ai bien expliqué ce paradoxe
Pour plus de poésie: 1 = (x)^0 Ce qui donne S = (q^0 - q^n+1) / (1-q^1) = (q^n+1 - q^0) / (q^1-q^0) Soit "hauteur totale"/"hauteur de la première marche".
Ça marche mais tu manipules des sommes infinies ce que tu n'as pas le droit de faire (c'est de la bouille mathématique dirait mon prof de maths). En réalité pour être rigoureux il faudrait utiliser les séries mais je suppose que cette chaîne est plutôt destinée au lycée pour donner envie de continuer à faire des maths après le bac (et c'est très bien comme ça).
@@cyprienb9224 Si il a le droit, à condition de ne jamais modifier l'ordre des termes et de ne pas faire n'importe quoi si on somme deux sommes infinies. Notamment, si on a S1 = a1+a2+a3.... S2 = b1+b2+b3... je n'ai le droit de faire que S=S1+S2=(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)... dans cet ordre Avec cette règle, on se rend bien compte que la multiplication par un nombre reste distributive. On peut aussi facilement prouver que la division par un nombre l'est aussi. De fait, avec ces règles, cette démonstration devient parfaitement valide. Ce qui est invalide c'est la démonstration de 1+2+3+4....=-1/12 en manipulant les sommes infinies (comme dans la vidéo de micmath). Il faut passer la la limite de la fonction zeta en -1 pour obtenir ce résultat de façon plus exacte. La vidéo de Micmath : www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjM0oTCg4f5AhVDgRoKHQ5uDlgQwqsBegQIBhAB&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DxqTWRtNDO3U&usg=AOvVaw0E7Rzfj05xnqEuoo8WtN38 La vidéo de El Jj sur la fonction zeta de Riemann : www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi4idPag4f5AhUBrxoKHTZgAlIQtwJ6BAgHEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DdNpdMYB8pZs&usg=AOvVaw3xM8bpx3VzXyVoGOoeasAh
Oui si tu explicite clairement l'ordre des termes que tu sommes c'est déjà un peu plus clair ( même si c'est toujours plus rigoureux avec des séries). Mais je voulais revenir à la fonction zeta de riemann: j'ai appris en cours qu'elle n'était pas définie en -1 (car la somme des entiers naturels diverge) mais je me demandais pourquoi il y avait autant de démonstrations à ce sujet sur internet car le -1/12 ne provient en fait que du résultat de la fonction zeta en -1. Voilà je ne sais pas si tu as s une réponse à ça.
@@cyprienb9224 c'est en 1 qu'elle n'est pas définie. Car S=1+1/2+1/3... tend vers l'infini (c'est équivalent à lim de ln(x) pour x tend vers l'infini) Pour zeta(1) c'est parce que, si j'ai bien tout compris, zeta(1 +ou- epsilon) tend vers -1/12 lorsque que epsilon tend vers 0.
@@warny1978 tu dois savoir qu'on appelle série de Riemann les séries de terme général 1/(n**x) et il existe un théorème très important qui dit que la série converge si et seulement si x>1 donc effectivement 1+1/2+1/3... diverge (cas où x=1) mais c'est aussi le cas pour 1+2+3... (Cas où x=-1). Donc la somme des entiers naturels diverge d'après ce théorème. Donc la fonction zeta de riemann est définie sur ]1,+infini[
Bonjour, J'aime bien tes présentation mathématique. C'est super ! Je vois que tu touche un peu à l'infini, aussi, j'ai pensé qu'il serait super chouette que tu m'aides à faire la lumière sur cet infini ! En fait, je veux parler des ensembles établi par Georges Cantor et j'aimerais avoir ton opinion sur ce sujet controversé, si tu veux bien. Il est dit que puisque l'on peut «dénombrer» les entiers relatifs (c'est-à-dire les entiers positifs et négatifs) à partir des entier naturels, cela veut dire qu'ils sont le même cardinal !!! Tu vois, pour moi «dénombrer» n'égale pas «même cardinal». Je donne un exemple imagé : On écrit sur une feuille à partir du centre vers la droite : 0, 1, 2, 3 jusqu'au bout de la feuille où l'on mettra «...» Voilà l'ensemble des entiers naturels appelé l'ensemble «N». Ensuite, on écrira à la gauche du zéro jusqu'au bout de la feuille à gauche : -1, -2, -3... ce qui nous donnera l'ensemble des entiers relatifs. Les entiers relatifs comprennent donc les nombre positifs ET les nombres négatifs donc, au premier coup d’œil, il y en a deux fois plus que dans l'ensemble N. D'ailleurs, si on plie la feuille en deux par le centre où se trouve le '0', on verra que l'ensemble des entiers relatifs est à la fois l'image ET le miroir des entiers Naturel. Donc, il y a effectivement le double de nombre chez les entiers relatifs, puisqu'on y retrouve tous les entiers négatifs (qui sont infinis) et qui n'existe pas chez les entiers naturels. Alors de dire qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs simplement parce qu'on peut les dénombrer, pour moi, c'est une illusion d'optique qui se donne le droit d'éliminer toute logique. En fait, c'est comme si on utilisait l'infini pour dire : «ah ! c'est pas grave, l'infini élimine la différence !» et pour moi, ça n'a aucun sens. Et c'est la même chose pour l'ensemble des entiers rationnels qui sont les fractions que l'on retrouve entre CHAQUE entier. Parce que Cantor a trouvé une façon, encore une fois, de les dénombrer, il dira : cet ensemble est dénombrable donc, il a la même cardinalité, le même nombre d'éléments que l'ensemble des entiers naturels ! Le même infini. Mais voilà pourquoi ça ne marche pas : Entre 0 et 1 il y a déjà un nombre infini de fractions. Concrètement, nous ne parviendrons jamais à atteindre le chiffre 0 et, de l'autre côté, nous parviendrons jamais à atteindre le chiffre 1 ! Donc, avec l'ensemble des entiers naturels nous resterons éternellement à dénombrer le nombre infini de fractions qu'il y a entre 0 et 1 donc, JAMAIS nous pourrons parvenir jusqu'à 1. Alors JAMAIS nous ne pourrons dénombrer le reste des éléments de l'ensemble des nombre rationnels. Alors, encore une fois, dénombrer ne veut pas dire qu'ils aient le même nombre d'éléments. Ainsi, au niveau du premier niveau infini, c'est-à-dire «Aleph 0», à l'intérieur de ce premier niveau existe des ensemble qui ont le MÊME infini dénombrable SAUF, que ce même infini dénombrable se répète une deuxième fois dans l'ensemble des nombre relatifs et, dans l'ensemble des nombre rationnels (les fractions), ce même infini dénombrable se répètera à l'infini ! - c'est-à-dire, entre chaque nouvel entier positif et négatif donc, il se répètera à l'infini. Alors on voit que même si ces ensembles ont le même infini, ils n'ont pas la même cardinalité, puisque chez les entiers relatifs cet infini se répète deux fois et, chez les entiers rationnels, ils se répètent à l'infini. Trouvez vous tout cela logique, ou pensez vous vraiment que les trois ensemble naturel, relatif et rationnel ont tous la même cardinalité ? Merci à vous et félicitation encore pour vos superbes démonstrations
Réponse aux 4 premiers paragraphes : En fait, ton incompréhension vient du fait que le dénombrement ne correspond pas frontalement à compter le nombre d'éléments de l'ensemble, cela passe par la notion ensembliste de bijection (injection, surjection). Je ne m'étendrai pas dessus, c'est fastidieux à définir, tu trouveras facilement sur RUclips. Prend juste l'exemple de l'exponentielle de x. Chaque valeur de exp(x) est associée à un unique antécédent, et chaque antécédent admet réciproquement son image unique. Dire qu'un ensemble est dénombrable, ça consiste à choisir une bonne application pour réussir à construire une bijection de cet ensemble avec N. Ça marche avec N, ça marche avec 2N = {2n , n dans N), avec Z... Donc l'idée du cardinal a toujours été indirecte, mais oui, Z et N sont donc de même cardinal, c'est-à-dire +∞. Ce qui a l'air de te déranger, c'est de considérer que c'est le même infini, mais l'infini n'a jamais existé. On ne le manipule pas, on fait semblant. Quand on écrit f(x) -> +∞, on écrit f(x) -> Y, Y > M quelque soit le M que je choisis dans l'ensemble, aussi grand qu'il soit. Donc au fond, l'infini c'est juste une réécriture. De la même façon qu'on écrit que √2 est une solution de x²=2. On triche et on invente une notation pour dire que finalement c'est plus pratique d'utiliser une fonction ⁿ√x pour trouver les solutions d'une autre xⁿ
Petite précision subsidiaire : Du coup non, ça n'est pas "le même" infini, puisque par principe on ne le choisit pas. C'est juste plus haut qu'une valeur arbitrairement grande, peu importe celle que je choisis. C'est très pratique en réalité, ça nous permet de résoudre des tas de problèmes pour lesquels on s'intéresse à ce qui se passe. Mais ça implique des problèmes de représentation parce qu'on a du mal avec le concept, et donc c'est pas aussi intuitif que ça, de dire que "∞-∞ ≠ 0".
Je t'invite à découvrir les nombres cardinaux avec notamment le fameux Hotel de Hilbert, qui consiste à utiliser des notations pour se représenter un infini... Puis deux, puis trois, etc. Ça nous permet de passer au-delà de l'abstraction et de résoudre des problèmes plus taquins (exemple avec l'hydre de Lerne et ses têtes qui repoussent par 2 quand on les coupe)
(concernant les paragraphes suivants, ils découlaient des incompréhensions décrites dans les premiers) Je me suis permis le tutoiement en tant que camarade amateur des mathématiques (et étudiant accessoirement) À bientôt, et bonne exploration des mathématiques ;)
@@pillowlavas_ Merci pour ton explication qui me fait redécouvrir cet ancien partage ! Je peux dire que depuis un mois ma compréhension sur ce sujet a progressé. En fait, ce que je comprend aujourd'hui, c'est que les trois ensemble (Nature, Relatif et Rationnel) sont trois ensemble infini. Et quand l'on dit d'eux qu'ils ont le même cardinal, c'est qu'en fait leur cardinal c'est l'infini. Et comme c'est trois ensemble infinis, l'infini devient donc ce cardinal qu'ils ont en commun. Là où mon esprit (légèrement autiste on dirait), émet un doute, c'est à propos du mot 'dénombrer' Oui, je comprend que par la bijection les entiers naturels dénombre les deux autres ensemble relatif et rationnel. Là où mon esprit accroche, c'est qu'étant donné qu'il s'agit d'ensemble infini, on ne finira jamais de les 'dénombrer' ! Pour moi, dénombrer veut dire 'donner un total' Comme par exemple, dans une classe d'étudiants, je pourrai dire qu'il y a 26 élèves. Ainsi, je viens de dénombrer le nombre d'étudiants dans cette classe. Mais pour ce qui est d'un ensemble infini, je ne pourrai jamais dire combien il y a d'éléments dans cet ensemble, puisqu'il est infini. Donc, puisque je ne finirai jamais de le 'dénombrer' et, par conséquent, que je ne pourrai jamais dire COMBIEN il y a d'éléments dans un ensemble infini (parce qu'il est infini justement) - explique pourquoi, en réalité, un ensemble infini ne peut être dénombrer. On peut le dénombrer dans le sens qu'on peut se mettre à les compter sans jamais en oublier un, mais dans un deuxième mouvement, ce dénombrement n'arrivera jamais à terme et, en ce sens, sans jamais en voir la fin, on finira par dire qu'il s'agit d'un ensemble infini. Le mot 'infini' devenant ainsi la réponse que le donnera quand on demandera qu'elle est son cardinal. Mais le mot 'infini' n'est pas un nombre ni une quantité qui vient nous éclairer. C'est un symbole qui nous dit que cela n'a pas de fin. Alors voilà pour les nuances au sujet du mot 'dénombrer' et cardinal car, de mon point de vue, bien que les trois ensemble aient le même cardinal, c'est-à-dire l'infini, cet infini chez les entier naturels se retrouve quand même deux fois chez les entiers relatifs. Une fois du côté des nombre positifs et, une deuxième fois du côté des nombre négatifs. Donc, l'infini des entiers naturels (aleph 0), se répète deux fois chez les entiers relatifs (désolé de me répéter); et, chez l'ensemble des rationnels (les fractions), l'infini des entiers naturels se répètera entre chaque entier où prennent place, à chaque fois, une infinité de fractions. Voilà ma compréhension. Ensuite, aleph 1 consistera à décrire un ensemble où certains éléments ne peuvent pas être prédits, révélant par le fait même qu'il s'agit d'un infini plus grand ! Alors voilà la contradiction, ici, qui prend place. Comment un infini peut-il être plus grand, alors qu'en même temps on essaie de nous dire que dans les trois premiers ensemble ils ont le même nombre d'éléments, le même infini; alors que pour un autre ensemble, parce qu'on ne peut le dénombrer complètement, lui il devient un ensemble dont le nombre d'éléments est plus grand ! Vous savez, que l'on parvienne à dénombrer ou non un ensemble infini, le fait qu'il soit infini ne le rend pas supérieur à cause de notre incapacité à le dénombrer ! Il s'agit simplement d'un autre ensemble infini et, comme il est infini, son cardinal sera symbolisé, lui aussi, par le mot infini - donc, le même cardinal, c'est-à-dire: infini. L'infini c'est l'infini, point. Si on suppose que l'espace est infini, pourrait-on dire que tel endroit de l'espace est plus infini parce qu'on ne sait pas ce qui s'y trouve ! Les ensemble numérique c'est pareil, en étant infini ça s'arrête là. Je disais au sujet des trois premiers ensemble qu'ils avaient le même infini, mais que cet infini se répétait une deuxième fois dans l'ensemble des entiers relatifs pour les nombre négatifs, et se répétait à l'infini pour les rationnels, entre chaque entier où prend place, à chaque fois, une infinité de fractions. Mais dans les réels, on pourrait simplement dire qu'il se répète une fois de plus pour tous ces nombres imprévisibles. Je vais terminer avec un exemple plus clair. Vous savez comme moi que si je divise en deux l'infini, l'infini reste quand même infini. (nous avons là les ensembles relatifs et naturels); Et vous savez comme moi que même si je divise l'infini à l'infini, l'infini reste toujours infini (et nous avons là l'ensemble des rationnels). De plus, même si je divisais éternellement l'infini à l'infini, ou l'infini par l'infini, l'infini restera éternellement infini (et nous avons là toute l'infini série infinie des aleph de 0 à l'infini). Bref, qu'il s'agisse de n'importe quel ensemble, aussitôt qu'il est défini par un cardinal infini, ça s'arrête là. Il ne peut pas être plus infini. Il n'existe pas d'infini qui soit plus grand que l'infini, puisque l'infini est déjà sans limite et sans fin. Dire cela ne fait qu'exprimer une incompréhension au sujet de l'infini, et ouvre ainsi la porte à déductions irréelles qui n'existe que dans l'imaginaire. Mais concrètement, il n'y a qu'un seul infini. Pensez-y : l'infini étant sans fin et sans limite, il ne connait donc pas de frontière. Il est vraiment sans fin. Donc, en étant sans fin et sans limite, éternellement, il ne peut donc en exister d'autre. Donc, l'infini est unique et absolu. J'aurais envie de continuer, mais cela deviendrait de la spiritualité, Source Infinie et absolue de toute réalité finie, potentiellement sans fin. Sincèrement, Éric Tarissan.
Somme = (1 + 1/2 + 1/4 + .... + dernier terme) 2 Somme = 2 + (1 + 1/2 + 1/4 + ... + dernier terme X 2) Les 2 additions dans les parenthèses sont égales car le dernier terme vaut 0 sinon ça ne marche pas. 2 Somme = 2 + Somme Somme = 2
Ben non. On ne peut pas utiliser une limite si on ne sait pas qu'elle existe. On doit utiliser les sommes partielles et dans ce cas tes 2 sommes ne sont plus les mêmes. Il manque un terme à la seconde. Désolé.
une autre façon c'est de dire que (1+2+4+8+16...+2^n)+1=2^(n+1) (facilement démontrable) alors 1+2+4+8+16...+2^n=2^(n+1)-1 1 est négligeable devant 2^n 1+2+4+8+16...+2^n=2^(n+1) il nous reste plus qu'a diviser par 2^n et l'on obtient: 1+1/2+1/4...+(1/2)^n=2
A nouveau, je crois que l'intuition passerait plutôt par le visuel : Je divise un carré en 2 et j'en pave une moitié (1/2) Je divise la moitié qui reste en 2 et je la pave aussi (1/4) Je suis ramené à une situation qui ressemble au point de départ et je peux continuer à paver ainsi à chaque fois la moitié qui reste Visuellement, les rectangles puis carrés qui restent sont de plus en plus petit et on sent intuitivement que si l'on continue ainsi (à l'infini) le carré initial sera complètement pavé. S'il faisait 1 unité, la somme de ses moitiés successives fait aussi 1
... j'avais trouvé la formule/résultat plus simple = 1+ (n-1 sur n)... elle me semble bonne aussi, non ? Si n tend vers l'infini, n-1 sur n tend vers 1...
Un peu (beaucoup) plus court: On remarque que 1 + 1/2 = 2 - 1/2 Puis 1 + 1/2 + 1/4 = 2 - 1/4 Etc 1 + 1/2 + 1/4 +... + 1/2^n = 2 - 1/2^n Comme 1/ 2^n tend vers zéro, cette somme tend vers 2. C'est simple, non ?
C'est vrai que l'explication de la pizza est logique mais perso j'ai préféré demander la réponse à mon pc avc ce script 😂 : x = 1 r = 0 while(True): r = r + x x = x/2 print(r)
c'est la formule de MAC-LAURIN , on va vers des termes de plus en plus petits puisque 1/2 plus petit que 1 donc cette suite a une limite la formule générale est S= 1/ 1- x si x plus petit que 1 ici nous avons x = 1/2 la limite sera S = 1 / 1-1/2 S = 2 je vais regarder la démo du prof pour voir si on utilise actuellement la même démarche .
Vu , il m'a fait peur en commençant par la fin avant de démontrer S' = 1-q p. (n+1) / 1 - q quand q plus grand que 1 j'ai bien aimé l'astuce S - qS possible puisque qS plus petit .
Cette somme de termes de plus en plus petits permet-elle de comprendre de manière mathématique pourquoi on ne peut pas plier indéfiniment une feuille sur elle-même ?
Eh bien, je vais essayer de te dire où. 1) l'infini-1 égal l'infini... ça commence mal. 2) l'infini/l'infini c'est indéterminé, on ne sait pas à l'avance ce que ça donne, donc on ne peut pas l'utiliser ainsi. 3) une somme infinie de termes positifs ne tend pas forcément vers l'infini. C'est l'intérêt de cet exemple puisque ici ça tend vers 2. Courage...
Envisager 2 pizzas sans sourciller, même la seconde jusqu'aux dernières miettes. Manifestement, vous faire une fixette sur les pizzas. Au point de vous en faire péter la sous-ventrière 😁 !? Petit glouton, va ! Mais si la pizza a conquis le monde, c'est pleinement justifié. Met populaire, goûteux, simple et rapide, avec tellement de garnitures possible 👍. En la matière, nous vous suivons sans hésiter 😉.
Bonjour, Belle vidéo merci. Mais une questions : ça fait un moment que j’ai quitté l’école mais j’aurais dit que ça fait 2- (« moins »). Ne parles t-on pas de limites + et - ? A l’évidence pas toujours, donc dans quel cas parles t’on de limite +/- et dans quel cas sans signe ? Merci
J'ai trouvé la solution en quelques secondes en posant Soit x, la somme infinie. x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... Puis j'ai multiplié par 2 les deux termes de l'équation. 2x = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +... Autrement dit 2x = 2 + x D'où x = 2
cette somme vaut S = SOM((1/2)^k) pour k compris entre 1 et n , ce qui donne S = (1-(1/2)^(n+1) ) /(1-1/2) = 2(1- (1/2)^(n+1)) quand n tend vers l'infini tout cela tand vers 2
Bon, j'avais pensé à 2 -1/(2^n) car il suffit de rajouter 1/(2^n) pour toujours arriver au total de 2. (si si par exemple si on est à 1+...+1/16 et qu'on rajoute 1/16 ca fait 1/8+1/8=1/4 etc...=2) on peut le prouver par itérations.
Le temps, c'est l'accélération de l'expansion de l'univers. Nos systèmes de calcul ne devraient-ils pas tenir tenir compte de cette accélération, par exemple en modifiant constamment la valeur des nombres ? S'il n'y avait pas d'accélération, le temps n'existerait pas, la vie non plus, les maths non plus bien sur. La matière serait figée. Le temps et la vie qui passent dépendent d'une modification dans l'organisation de tout ce qui existe. Cette modification, c’est l’accélération de l’expansion,
J'avais la solution en lisant le sujet, serait-il donc possible que je sois un génie incompris ou plutôt intentionellement délaissé par cette société jalouse autant qu'avide ? Question réthorique, la réponse étant encore une fois évidente pour tousse 😏
![SahBabii - Viking [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/D37cL92JX0I/mqdefault.jpg)
Génial ! J'avais oublié la démonstration...avec le carré, puis avec la démonstration par le calcul de soustraction...je me suis tout remémoré.
Merci, c'est passionnant !
Le résultat tend vers 2... 3 secondes 😉.
Merci mon cher pour ton travail, au fil de tes vidéos, tu m'a fait me remettre dans les maths.
✌️👍
super intéressant de vouloir expliquer quelque chose de plus compliqué mais avec cette approche très didactique que tu as , c un grand pallier que tu franchis pour ta chaine par cette vidéo et pourquoi pas étendre le concept a des objets mathématiques de plus en plus complexe
Tu as raison ! Ce serait vraiment 1 coup de pouce apprécié des lycéens qui "traînent" en math (NB/ j' ai fait l' Université, mais je n' oublierai pas ceux qui souffraient en math au lycée). Merci pour ta proposition 👍😆
Bonjour, j'avoue avoir envie de répondre avant de la visionner: logiquement l'addition de 1+1/2+1/4+etc avec le dénominateur qui double me fait penser que la réponse "tend vers 2" sans jamais l'atteindre. Ce n'est pas une réponse mathématique mais je pense que c'est juste, maintenant place au visionnage et aux explications ( démonstration) tellement agréables à écouter à chaque fois.
Merci d'avoir démontré cette formule je déteste plus que tout utiliser des formules sans savoir d'où elles viennent alors que la démonstration prend 30sec et est simple
Avec vous tout est simple, merci pour vos vidéo.
Que dieux vous bénisse. C'est tellement facile d'apprendre les maths avec vous. On dirait que vous êtes dans nos têtes . Vous anticiper nos difficultés..Merci
Ça fait partie des retours que j’affectionne particulièrement. Merci d’avoir pris le temps 😊
Ça fait 2 !
Parce que moi et les mathématiques ça fait toujours 2 ;)
Très belle démonstration et explication 💪
Déjà 1/2 million, bien joué pour une chaîne qui parle que de maths.
Belle démonstration, on espère qu'il y en aura d'autres. Peut-être sur les nombres premiers ?
Merci beaucoup , avec toi je comprends que les mathématiques s'ont très important et que c'est la base de tout.
Merci beaucoup de rendre les mathématiques aussi simples et faciles!
Soyez béni!!!
Le problème. Avec vos vidéos, c'est que lorsqu'on a commencé, on ne peut plus arrêter ! Un délice.
Insane! J'ai passé le bac y a 10 ans j'ai eu 5 en math j'aurais kiffé t'avoir en prof
Perso, pour ce genre de règles, considérant qu'elles sont stables, j'ai une règle assez simple
Le plus grand nombre de la règle = x
Le plus petit nombre de la règle = y
On n'a qu'à faire 2x-y et on a la somme.
1+2+4+8+16 = 2*16-1 = 31
Ça marche pour toutes les suites de ce genre où on a un nombre définit de valeur.
Par exemple, si on commence par un autre nombre
4+8+16+32+64+128= 2*128-4= 252
Super comme d’hab. Est ce que tu pourrais faire des exercices sur les limites et convergences des séries de Riemman? Ou encore la détermination de la nature d’une série grâce au critère des séries alternée, la règle de d’Alembert pour les séries positives dans le cas ou la limite un+1/un = 1?
la somme est vraie pour n finie mais pour n infini la somme des limites n'est pas la limite de la somme .
bah c'est rien de difficile. c du cours faut juste regarder le puissance de n. Pareil pour les séries alternées, fzut que le suite soit positive, décroissante et tend. vers 0. Et quand un+1/un tend vers 1 faut utiliser une autre methode
Tu es dois etre marrant dans la vie...
Cela fait penser au paradoxe de Zénon d'Elée : Une flèche n'atteint jamais un mur car elle parcourt la moitié du chemin, puis la moitié de la moitié..etc
Bah t'a qu'à tirer la flèche plus près du mur si tu veux vrm qu'elle le touche
@@ludovicavillon1372 Elle ne le touchera pas quand même, d'où le terme de paradoxe et ce qu'il dit est vrai mais pas tout à fait car le résultat tend vers 2 mais n'y arrivera finalement... jamais.
@@nobuovangelis1687 c’est une limite quoi 😅
son raisonement n'est pas correct il suppose que la somme des limites est egal a la limite de la somme mais cela est vrai que dans le cas ou la somme est finie .
@@nordineboufas4362 En fait, dans les séries entières, une somme infinie peut être égale à un nombre. Mais on ne voit pas ça au lycée. Dans les trucs un peu difficile à gérer pour notre cerveau, il y a aussi l'égalité 0.99999... = 1. Cette égalité est vraie.
Tres bonne explication
Excellent. Merci
je connaissais une solution un peu plus simple :
S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....
On multiplie les deux cotés par 2, on a donc :
2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....
On remarque que l'on a donc :
2S = 2 + S
Donc S = 2
Au début de la vidéo j'ai fait comme ça pour résoudre la question mais je sais pas si le formalisme serait correct
@@zikilemini2 Non, ce n'est pas correct du tout. En faisant comme ça, on arriverait aussi à montrer que si S vaut 1+2+4+.... alors 2S = S - 1 donc S vaut -1, ce qui est absurde, car la somme tend vers l'infini positif. Il faut nécessairement démontrer que la somme converge avant de "jouer" avec.
J'ai fait les mêmes observations que vous et voudrais savoir pourquoi est-il possible de dire que si
S=1+2+3+4+5+6+7..., S=-1/12
Et ici impossible de dire S=2?
@@lingoflowerman1155 On ne peut pas écrire que 1+2+3+.... = -1/12, c'est simplement faux.
On peut par contre dire que le prolongement analytique de la fonction Zeta de Riemann pour -1 vaut -1/12, c'est différent, la fonction de Riemann "de base" (somme infinie des 1/n^s) n'étant définie que pour les valeurs réelles strictement supérieure à 1 (ou plus généralement les complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à 1).
L'erreur consiste de partir du postulat qui est de dire que S existe, autrement dit que la somme converge. En partant de cette hypothèse, alors on peut alors dire que la solution ne peut-être que celle trouvée.
Par contre, et le problème est là, dans votre exemple comme dans celui que j'ai donné plus haut, les sommes divergent, donc écrire l'égalité n'a aucun sens. Il faut donc obligatoirement prouver avant tout calcul de ce type la convergence (autrement dit, que la somme a un sens)
Ta chaîne est une bénédiction !
J'aime tellement les démonstrations
Il est très simple de visualiser le résultat avec un carré de côté 1.
La somme 1/2+1/4+1/8 etc est la somme de tous les carrés contenu dans le carré de côté un.
Le 1 du départ est un autre carré de côté 1.
Visuellement, on comprend que le résultat est l'aire des 2 carrés, identiques, i.e. 2.
Excellent pédagogue !
Chapeau. Manière très explicite. Bravo.
Allez, pour le fun, la démonstration LA PLUS RAPIDE possible.
On écrit la somme... EN BASE 2 !
1=1
1/2=0,1
1/4=0,01
1/8=0,001
etc.
1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^n=1,111....1 (n chiffres après la virgule).
Quand n tend vers l'infini, on se retrouve avec 1,1111.... c'est-à-dire 10 (donc 2 en base décimale).
Voilà. Vous avez trouvé ça rigolo ?
Merci, ça me rappelle des souvenirs. Question : si n tend vers l'infini , peut-on dire que n+1 tend vers "l'infini et l'au-delà" ?
si n tend vers l'infini, n-1, n-2, n-3 tendent aussi vers l'infini
C'est ce que j'ai présenté pour mon grand oral du bac, avec l'exemple du paradoxe de Zenon
Oui d'accord, le résultat tend vers 2. Ça me rappelle le paradoxe de Zénon où Achille court après une tortue mais ne peut jamais l'atteindre car, chaque fois qu'il franchit la distance, la tortue avance et creuse un nouvel écart. Là, on n'a jamais mangé la deuxième pizza en totalité car il il y a toujours un reste, si petit soit-il.
Non le résultat ne tend pas vers 2 il est strictement égal à 2. La subtilité réside dans le fait que la somme est infinie. On voit ça avec les séries dans le supérieur (je ne sais pas a quel niveau tu en es).
@@cyprienb9224 Il manquera toujours un morceau, c'est comme certains qui prétendent que 0.99999..... := 1 avec de fausses démonstrations
@@patricedeporter523 Tout nombre est différent d'un autre si on peut intercaler un troisième nombre entre les deux. Pas possible ici. 1/3=0,33... 3/3=0,99...=1
@@ezen3853 Non 1/3 c'est 1/3 et pas 0.3333...
J'ai 50 ans et j'en découvre à chaque nouvelle vidéo que je regarde 👍
Moi qui était du style, pour partager 11 pommes équitablement entre 7 personnes, a faire de la purée... Je me régale de vos pizzas 🙏🙏🙏
Bonne démonstration 👏
On pouvait aussi faire un raisonnement par récurrence
On dit souvent que les maths ça ne sert à rien. Pourtant on voit bien que le seul fait de connaître les suites géométriques permet d'économiser deux pizzas.
D'ailleurs si ça se trouve on vient de découvrir la cause de l'augmentation de l'obésité...
J’ai bouffé les séries numériques toute cette année en L2 maths du coup j’ai trouvé le résultat presque immédiatement
Cette vidéo m’a rappelé un paradoxe que mon père m’avait expliqué qui disait qu’avant qu’une flèche atteigne une cible il faut qu’elle atteigne la moitié du chemin mais avant ça il faut qu’elle atteigne le quart du chemin mais ça il faut qu’elle atteigne le huitième du chemin et ce jusqu’à l’infini pourtant quand on tire une flèche elle atteins sa cible
Voilà j’espère que j’ai bien expliqué ce paradoxe
Pour plus de poésie: 1 = (x)^0
Ce qui donne S = (q^0 - q^n+1) / (1-q^1) = (q^n+1 - q^0) / (q^1-q^0)
Soit "hauteur totale"/"hauteur de la première marche".
Oui formule de la somme des termes consécutifs du suite géometrique de raison 1/2 et de 1er terme 1 = U(0)x (1-q^(n+1))/(1-q)
Merci !
J'avais une démo qui devise par q au lieu de multiplier:
S=1+1/2+1/4+...
Donc 2S=2+1+1/2+1/4+...
Donc 2S=2+S
Donc S=2
Ça marche mais tu manipules des sommes infinies ce que tu n'as pas le droit de faire (c'est de la bouille mathématique dirait mon prof de maths). En réalité pour être rigoureux il faudrait utiliser les séries mais je suppose que cette chaîne est plutôt destinée au lycée pour donner envie de continuer à faire des maths après le bac (et c'est très bien comme ça).
@@cyprienb9224 Si il a le droit, à condition de ne jamais modifier l'ordre des termes et de ne pas faire n'importe quoi si on somme deux sommes infinies.
Notamment, si on a
S1 = a1+a2+a3....
S2 = b1+b2+b3...
je n'ai le droit de faire que S=S1+S2=(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)... dans cet ordre
Avec cette règle, on se rend bien compte que la multiplication par un nombre reste distributive. On peut aussi facilement prouver que la division par un nombre l'est aussi.
De fait, avec ces règles, cette démonstration devient parfaitement valide.
Ce qui est invalide c'est la démonstration de 1+2+3+4....=-1/12 en manipulant les sommes infinies (comme dans la vidéo de micmath). Il faut passer la la limite de la fonction zeta en -1 pour obtenir ce résultat de façon plus exacte.
La vidéo de Micmath : www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjM0oTCg4f5AhVDgRoKHQ5uDlgQwqsBegQIBhAB&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DxqTWRtNDO3U&usg=AOvVaw0E7Rzfj05xnqEuoo8WtN38
La vidéo de El Jj sur la fonction zeta de Riemann : www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwi4idPag4f5AhUBrxoKHTZgAlIQtwJ6BAgHEAI&url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DdNpdMYB8pZs&usg=AOvVaw3xM8bpx3VzXyVoGOoeasAh
Oui si tu explicite clairement l'ordre des termes que tu sommes c'est déjà un peu plus clair ( même si c'est toujours plus rigoureux avec des séries). Mais je voulais revenir à la fonction zeta de riemann: j'ai appris en cours qu'elle n'était pas définie en -1 (car la somme des entiers naturels diverge) mais je me demandais pourquoi il y avait autant de démonstrations à ce sujet sur internet car le -1/12 ne provient en fait que du résultat de la fonction zeta en -1. Voilà je ne sais pas si tu as s une réponse à ça.
@@cyprienb9224 c'est en 1 qu'elle n'est pas définie. Car S=1+1/2+1/3... tend vers l'infini (c'est équivalent à lim de ln(x) pour x tend vers l'infini)
Pour zeta(1) c'est parce que, si j'ai bien tout compris, zeta(1 +ou- epsilon) tend vers -1/12 lorsque que epsilon tend vers 0.
@@warny1978 tu dois savoir qu'on appelle série de Riemann les séries de terme général 1/(n**x) et il existe un théorème très important qui dit que la série converge si et seulement si x>1 donc effectivement 1+1/2+1/3... diverge (cas où x=1) mais c'est aussi le cas pour 1+2+3... (Cas où x=-1). Donc la somme des entiers naturels diverge d'après ce théorème. Donc la fonction zeta de riemann est définie sur ]1,+infini[
Bonjour,
J'aime bien tes présentation mathématique. C'est super !
Je vois que tu touche un peu à l'infini, aussi, j'ai pensé qu'il serait super chouette que tu m'aides à faire la lumière sur cet infini !
En fait, je veux parler des ensembles établi par Georges Cantor et j'aimerais avoir ton opinion sur ce sujet controversé, si tu veux bien.
Il est dit que puisque l'on peut «dénombrer» les entiers relatifs (c'est-à-dire les entiers positifs et négatifs) à partir des entier naturels,
cela veut dire qu'ils sont le même cardinal !!!
Tu vois, pour moi «dénombrer» n'égale pas «même cardinal».
Je donne un exemple imagé : On écrit sur une feuille à partir du centre vers la droite : 0, 1, 2, 3 jusqu'au bout de la feuille où l'on mettra «...»
Voilà l'ensemble des entiers naturels appelé l'ensemble «N».
Ensuite, on écrira à la gauche du zéro jusqu'au bout de la feuille à gauche : -1, -2, -3... ce qui nous donnera l'ensemble des entiers relatifs.
Les entiers relatifs comprennent donc les nombre positifs ET les nombres négatifs donc, au premier coup d’œil, il y en a deux fois plus que dans l'ensemble N.
D'ailleurs, si on plie la feuille en deux par le centre où se trouve le '0', on verra que l'ensemble des entiers relatifs est à la fois l'image ET le miroir des entiers Naturel.
Donc, il y a effectivement le double de nombre chez les entiers relatifs, puisqu'on y retrouve tous les entiers négatifs (qui sont infinis) et qui n'existe pas chez les entiers naturels.
Alors de dire qu'il y a autant d'entiers naturels que d'entiers relatifs simplement parce qu'on peut les dénombrer, pour moi, c'est une illusion d'optique qui se donne le droit d'éliminer toute logique.
En fait, c'est comme si on utilisait l'infini pour dire : «ah ! c'est pas grave, l'infini élimine la différence !» et pour moi, ça n'a aucun sens.
Et c'est la même chose pour l'ensemble des entiers rationnels qui sont les fractions que l'on retrouve entre CHAQUE entier.
Parce que Cantor a trouvé une façon, encore une fois, de les dénombrer, il dira : cet ensemble est dénombrable donc, il a la même cardinalité, le même nombre d'éléments que l'ensemble des entiers naturels ! Le même infini.
Mais voilà pourquoi ça ne marche pas : Entre 0 et 1 il y a déjà un nombre infini de fractions.
Concrètement, nous ne parviendrons jamais à atteindre le chiffre 0 et, de l'autre côté, nous parviendrons jamais à atteindre le chiffre 1 !
Donc, avec l'ensemble des entiers naturels nous resterons éternellement à dénombrer le nombre infini de fractions qu'il y a entre 0 et 1 donc, JAMAIS
nous pourrons parvenir jusqu'à 1. Alors JAMAIS nous ne pourrons dénombrer le reste des éléments de l'ensemble des nombre rationnels.
Alors, encore une fois, dénombrer ne veut pas dire qu'ils aient le même nombre d'éléments.
Ainsi, au niveau du premier niveau infini, c'est-à-dire «Aleph 0», à l'intérieur de ce premier niveau existe des ensemble qui ont le MÊME infini dénombrable SAUF,
que ce même infini dénombrable se répète une deuxième fois dans l'ensemble des nombre relatifs et, dans l'ensemble des nombre rationnels (les fractions),
ce même infini dénombrable se répètera à l'infini ! - c'est-à-dire, entre chaque nouvel entier positif et négatif donc, il se répètera à l'infini.
Alors on voit que même si ces ensembles ont le même infini, ils n'ont pas la même cardinalité, puisque chez les entiers relatifs cet infini se répète deux fois et,
chez les entiers rationnels, ils se répètent à l'infini.
Trouvez vous tout cela logique, ou pensez vous vraiment que les trois ensemble naturel, relatif et rationnel ont tous la même cardinalité ?
Merci à vous et félicitation encore pour vos superbes démonstrations
Réponse aux 4 premiers paragraphes :
En fait, ton incompréhension vient du fait que le dénombrement ne correspond pas frontalement à compter le nombre d'éléments de l'ensemble, cela passe par la notion ensembliste de bijection (injection, surjection). Je ne m'étendrai pas dessus, c'est fastidieux à définir, tu trouveras facilement sur RUclips. Prend juste l'exemple de l'exponentielle de x. Chaque valeur de exp(x) est associée à un unique antécédent, et chaque antécédent admet réciproquement son image unique.
Dire qu'un ensemble est dénombrable, ça consiste à choisir une bonne application pour réussir à construire une bijection de cet ensemble avec N. Ça marche avec N, ça marche avec 2N = {2n , n dans N), avec Z...
Donc l'idée du cardinal a toujours été indirecte, mais oui, Z et N sont donc de même cardinal, c'est-à-dire +∞.
Ce qui a l'air de te déranger, c'est de considérer que c'est le même infini, mais l'infini n'a jamais existé. On ne le manipule pas, on fait semblant.
Quand on écrit f(x) -> +∞, on écrit f(x) -> Y, Y > M quelque soit le M que je choisis dans l'ensemble, aussi grand qu'il soit.
Donc au fond, l'infini c'est juste une réécriture. De la même façon qu'on écrit que √2 est une solution de x²=2. On triche et on invente une notation pour dire que finalement c'est plus pratique d'utiliser une fonction ⁿ√x pour trouver les solutions d'une autre xⁿ
Petite précision subsidiaire :
Du coup non, ça n'est pas "le même" infini, puisque par principe on ne le choisit pas. C'est juste plus haut qu'une valeur arbitrairement grande, peu importe celle que je choisis.
C'est très pratique en réalité, ça nous permet de résoudre des tas de problèmes pour lesquels on s'intéresse à ce qui se passe.
Mais ça implique des problèmes de représentation parce qu'on a du mal avec le concept, et donc c'est pas aussi intuitif que ça, de dire que "∞-∞ ≠ 0".
Je t'invite à découvrir les nombres cardinaux avec notamment le fameux Hotel de Hilbert, qui consiste à utiliser des notations pour se représenter un infini... Puis deux, puis trois, etc. Ça nous permet de passer au-delà de l'abstraction et de résoudre des problèmes plus taquins (exemple avec l'hydre de Lerne et ses têtes qui repoussent par 2 quand on les coupe)
(concernant les paragraphes suivants, ils découlaient des incompréhensions décrites dans les premiers)
Je me suis permis le tutoiement en tant que camarade amateur des mathématiques (et étudiant accessoirement)
À bientôt, et bonne exploration des mathématiques ;)
@@pillowlavas_ Merci pour ton explication qui me fait redécouvrir cet ancien partage !
Je peux dire que depuis un mois ma compréhension sur ce sujet a progressé.
En fait, ce que je comprend aujourd'hui, c'est que les trois ensemble (Nature, Relatif et Rationnel) sont trois ensemble infini.
Et quand l'on dit d'eux qu'ils ont le même cardinal, c'est qu'en fait leur cardinal c'est l'infini.
Et comme c'est trois ensemble infinis, l'infini devient donc ce cardinal qu'ils ont en commun.
Là où mon esprit (légèrement autiste on dirait), émet un doute, c'est à propos du mot 'dénombrer'
Oui, je comprend que par la bijection les entiers naturels dénombre les deux autres ensemble relatif et rationnel.
Là où mon esprit accroche, c'est qu'étant donné qu'il s'agit d'ensemble infini, on ne finira jamais de les 'dénombrer' !
Pour moi, dénombrer veut dire 'donner un total'
Comme par exemple, dans une classe d'étudiants, je pourrai dire qu'il y a 26 élèves. Ainsi, je viens de dénombrer le nombre d'étudiants dans cette classe.
Mais pour ce qui est d'un ensemble infini, je ne pourrai jamais dire combien il y a d'éléments dans cet ensemble, puisqu'il est infini.
Donc, puisque je ne finirai jamais de le 'dénombrer' et, par conséquent, que je ne pourrai jamais dire COMBIEN il y a d'éléments dans un ensemble infini
(parce qu'il est infini justement) - explique pourquoi, en réalité, un ensemble infini ne peut être dénombrer.
On peut le dénombrer dans le sens qu'on peut se mettre à les compter sans jamais en oublier un,
mais dans un deuxième mouvement, ce dénombrement n'arrivera jamais à terme et, en ce sens, sans jamais en voir la fin,
on finira par dire qu'il s'agit d'un ensemble infini.
Le mot 'infini' devenant ainsi la réponse que le donnera quand on demandera qu'elle est son cardinal.
Mais le mot 'infini' n'est pas un nombre ni une quantité qui vient nous éclairer.
C'est un symbole qui nous dit que cela n'a pas de fin.
Alors voilà pour les nuances au sujet du mot 'dénombrer' et cardinal car, de mon point de vue,
bien que les trois ensemble aient le même cardinal, c'est-à-dire l'infini, cet infini chez les entier naturels se retrouve quand même deux fois chez les entiers relatifs.
Une fois du côté des nombre positifs et, une deuxième fois du côté des nombre négatifs.
Donc, l'infini des entiers naturels (aleph 0), se répète deux fois chez les entiers relatifs (désolé de me répéter);
et, chez l'ensemble des rationnels (les fractions), l'infini des entiers naturels se répètera entre chaque entier où prennent place, à chaque fois, une infinité de fractions.
Voilà ma compréhension.
Ensuite, aleph 1 consistera à décrire un ensemble où certains éléments ne peuvent pas être prédits, révélant par le fait même qu'il s'agit d'un infini plus grand !
Alors voilà la contradiction, ici, qui prend place.
Comment un infini peut-il être plus grand, alors qu'en même temps on essaie de nous dire que dans les trois premiers ensemble ils ont le même nombre d'éléments,
le même infini; alors que pour un autre ensemble, parce qu'on ne peut le dénombrer complètement, lui il devient un ensemble dont le nombre d'éléments est plus grand !
Vous savez, que l'on parvienne à dénombrer ou non un ensemble infini, le fait qu'il soit infini ne le rend pas supérieur à cause de notre incapacité à le dénombrer !
Il s'agit simplement d'un autre ensemble infini et, comme il est infini, son cardinal sera symbolisé, lui aussi, par le mot infini - donc, le même cardinal, c'est-à-dire: infini.
L'infini c'est l'infini, point.
Si on suppose que l'espace est infini, pourrait-on dire que tel endroit de l'espace est plus infini parce qu'on ne sait pas ce qui s'y trouve !
Les ensemble numérique c'est pareil, en étant infini ça s'arrête là.
Je disais au sujet des trois premiers ensemble qu'ils avaient le même infini, mais que cet infini se répétait une deuxième fois dans l'ensemble des entiers relatifs pour les nombre négatifs, et se répétait à l'infini pour les rationnels, entre chaque entier où prend place, à chaque fois, une infinité de fractions.
Mais dans les réels, on pourrait simplement dire qu'il se répète une fois de plus pour tous ces nombres imprévisibles.
Je vais terminer avec un exemple plus clair.
Vous savez comme moi que si je divise en deux l'infini, l'infini reste quand même infini. (nous avons là les ensembles relatifs et naturels);
Et vous savez comme moi que même si je divise l'infini à l'infini, l'infini reste toujours infini (et nous avons là l'ensemble des rationnels).
De plus, même si je divisais éternellement l'infini à l'infini, ou l'infini par l'infini, l'infini restera éternellement infini (et nous avons là toute l'infini série infinie des aleph de 0 à l'infini).
Bref, qu'il s'agisse de n'importe quel ensemble, aussitôt qu'il est défini par un cardinal infini, ça s'arrête là. Il ne peut pas être plus infini.
Il n'existe pas d'infini qui soit plus grand que l'infini, puisque l'infini est déjà sans limite et sans fin.
Dire cela ne fait qu'exprimer une incompréhension au sujet de l'infini, et ouvre ainsi la porte à déductions irréelles qui n'existe que dans l'imaginaire.
Mais concrètement, il n'y a qu'un seul infini.
Pensez-y : l'infini étant sans fin et sans limite, il ne connait donc pas de frontière. Il est vraiment sans fin.
Donc, en étant sans fin et sans limite, éternellement, il ne peut donc en exister d'autre.
Donc, l'infini est unique et absolu.
J'aurais envie de continuer, mais cela deviendrait de la spiritualité, Source Infinie et absolue de toute réalité finie, potentiellement sans fin.
Sincèrement,
Éric Tarissan.
Au top !
Une petite vidéo sur la suite de Ramanujan ? (somme des entiers naturel ? :) )
De tête -1/12 :)
On peut aussi dire :
x = 1 + 1÷2 + 1÷4 + 1÷8…
x = 1 + (1÷2)x
(1÷2)x = 1
x = 2
Bravo ! Tu as procédé à cette démonstration en utilisant un raisonnement par récurrence ?
Somme = (1 + 1/2 + 1/4 + .... + dernier terme)
2 Somme = 2 + (1 + 1/2 + 1/4 + ... + dernier terme X 2)
Les 2 additions dans les parenthèses sont égales car le dernier terme vaut 0 sinon ça ne marche pas.
2 Somme = 2 + Somme
Somme = 2
Ben non. On ne peut pas utiliser une limite si on ne sait pas qu'elle existe. On doit utiliser les sommes partielles et dans ce cas tes 2 sommes ne sont plus les mêmes. Il manque un terme à la seconde. Désolé.
Bien joué !
Génial !
Super, mais vous réveillez en moi la nostalgie de ma jeunesse, notamment ma terminale C 1969-1970.
une autre façon c'est de dire que (1+2+4+8+16...+2^n)+1=2^(n+1) (facilement démontrable)
alors 1+2+4+8+16...+2^n=2^(n+1)-1
1 est négligeable devant 2^n
1+2+4+8+16...+2^n=2^(n+1)
il nous reste plus qu'a diviser par 2^n et l'on obtient:
1+1/2+1/4...+(1/2)^n=2
en mode rapide je dirai 16/16 + 8/16 + 4/16 + 2/16 + 1/16 = 31/16 soit presque 2 donc avec le reste on tend vers 2
(1/2)^n = 1^n/2^n or 1^n = 1. En divisant 1 par un nombre très grand on obtient presque 0...
J'ai aimé ta vidéo
Pour la limite, peut être le mieux est d'écrire que (1/2)^n = 1/(2^n) ensuite lorsque n-->00 2^n-->00 donc 1/(2^n)-->0
@@gualtiero2052 Je ne parle que de la limite du terme " 1/2^n " et non pas de leur somme relisez mieux !
@@michelbernard9092 oui pardon j'avais mal lu en effet !
A nouveau, je crois que l'intuition passerait plutôt par le visuel :
Je divise un carré en 2 et j'en pave une moitié (1/2)
Je divise la moitié qui reste en 2 et je la pave aussi (1/4)
Je suis ramené à une situation qui ressemble au point de départ et je peux continuer à paver ainsi à chaque fois la moitié qui reste
Visuellement, les rectangles puis carrés qui restent sont de plus en plus petit et on sent intuitivement que si l'on continue ainsi (à l'infini) le carré initial sera complètement pavé.
S'il faisait 1 unité, la somme de ses moitiés successives fait aussi 1
Bon travail
(1/2)^n = 1^n /2^n ; 1^n=1 et 2^n => infini donc 1/2^n =>0
... j'avais trouvé la formule/résultat plus simple = 1+ (n-1 sur n)... elle me semble bonne aussi, non ? Si n tend vers l'infini, n-1 sur n tend vers 1...
Un peu (beaucoup) plus court:
On remarque que 1 + 1/2 = 2 - 1/2
Puis 1 + 1/2 + 1/4 = 2 - 1/4
Etc 1 + 1/2 + 1/4 +... + 1/2^n = 2 - 1/2^n
Comme 1/ 2^n tend vers zéro, cette somme tend vers 2.
C'est simple, non ?
Bravo mon niveau 3è apprécie
Je dirais plutôt que cette suite tend vers 2 plutôt qu'égale à 2.
C'est vrai que l'explication de la pizza est logique mais perso j'ai préféré demander la réponse à mon pc avc ce script 😂 :
x = 1
r = 0
while(True):
r = r + x
x = x/2
print(r)
J'adore les démonstrations mathmtq
Easy but nice
Formidable
c'est la formule de MAC-LAURIN , on va vers des termes de plus en plus petits puisque 1/2 plus petit que 1 donc cette suite a une limite la formule générale est S= 1/ 1- x si x plus petit que 1 ici nous avons
x = 1/2 la limite sera S = 1 / 1-1/2 S = 2 je vais regarder la démo du prof pour voir si on utilise actuellement la même démarche .
Vu , il m'a fait peur en commençant par la fin avant de démontrer S' = 1-q p. (n+1) / 1 - q quand q plus grand que 1 j'ai bien aimé l'astuce S - qS possible puisque qS plus petit .
A=1+1/2+1/4+1/8+......=1+1/2(1+1/2+1/4+1/8+........)=1+1/2 a
Donc a=1+1/2 a
A_1/2a=1
1/2 a=1
Alors a=2
Cette somme de termes de plus en plus petits permet-elle de comprendre de manière mathématique pourquoi on ne peut pas plier indéfiniment une feuille sur elle-même ?
J'aime bien vos vidéos ! Pour celle-ci, j'ai pensé presque tout de suite à 1 + (infini-1) / infini. Je dois me gourer mais je ne vois pas où ... 😁
Eh bien, je vais essayer de te dire où.
1) l'infini-1 égal l'infini... ça commence mal.
2) l'infini/l'infini c'est indéterminé, on ne sait pas à l'avance ce que ça donne, donc on ne peut pas l'utiliser ainsi.
3) une somme infinie de termes positifs ne tend pas forcément vers l'infini. C'est l'intérêt de cet exemple puisque ici ça tend vers 2.
Courage...
Très exactement, 2 - 1/∞
Moi j'ai trouvé 2 parce que 1/2+1/4+1/8+1/16....=1 donc 1+1=2 merci monsieur
11:24
2 - ( 1/2^∞ )...
Donc 1,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999~
Continuez comme ça, ça arrivera à 2 une fois atteint l'infini, bon courage (c'est long pour y arriver, surtout vers la fin 🙂)
1,9+[0-9]+75 (ou plus simplement, 2-)
Envisager 2 pizzas sans sourciller, même la seconde jusqu'aux dernières miettes. Manifestement, vous faire une fixette sur les pizzas. Au point de vous en faire péter la sous-ventrière 😁 !? Petit glouton, va !
Mais si la pizza a conquis le monde, c'est pleinement justifié. Met populaire, goûteux, simple et rapide, avec tellement de garnitures possible 👍. En la matière, nous vous suivons sans hésiter 😉.
Bonjour,
Belle vidéo merci.
Mais une questions : ça fait un moment que j’ai quitté l’école mais j’aurais dit que ça fait 2- (« moins »). Ne parles t-on pas de limites + et - ? A l’évidence pas toujours, donc dans quel cas parles t’on de limite +/- et dans quel cas sans signe ?
Merci
@@mustaphaelmarkahi6511 non le reste qu’on diviserait par 2 tendrait vers 1- et non vers 0. Et ce n’est pas une aberration, c’est une limite
J'ai trouvé la solution en quelques secondes en posant
Soit x, la somme infinie.
x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...
Puis j'ai multiplié par 2 les deux termes de l'équation.
2x = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...
Autrement dit
2x = 2 + x
D'où x = 2
Top de top
toujours bon
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = (16*2)-1 sur 16
cette somme vaut S = SOM((1/2)^k) pour k compris entre 1 et n , ce qui donne S = (1-(1/2)^(n+1) ) /(1-1/2) = 2(1- (1/2)^(n+1)) quand n tend vers l'infini tout cela tand vers 2
Le résultat est. 1,9999999999999999999999999999999999999999999999999999.......etc Je le sais ,j'ai fait l'adition .
J'ai trouvé la réponse juste en regardant la vignette de la vidéo. Et vue mon niveau de math, je suis trop fier de moi. 😁
On peut aussi écrire (1/2)^(0) + (1/2)^(1) +.....+ (1/2)^(n)
Bon, j'avais pensé à 2 -1/(2^n) car il suffit de rajouter 1/(2^n) pour toujours arriver au total de 2. (si si par exemple si on est à 1+...+1/16 et qu'on rajoute 1/16 ca fait 1/8+1/8=1/4 etc...=2) on peut le prouver par itérations.
Pour le dire plus simplement: 1 + 1/2 = 2 - 1/2, etc.
1 +1/2+...+1/2^n = 2 - 1/2^n et 1/2^n tend vers 0 donc la limite est 2.
Comme ça j'aurais dit ≈ 2 sans jamais l'atteindre
tend vers 2 y= 1 + 1/x si x tend vers l' infini y = 2
x= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ... x = 1 + 1/2(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8) = 1+ x/2 donc x/2= 1 donc x = 2
Le temps, c'est l'accélération de l'expansion de l'univers. Nos systèmes de calcul ne devraient-ils pas tenir tenir compte de cette accélération, par exemple en modifiant constamment la valeur des nombres ?
S'il n'y avait pas d'accélération, le temps n'existerait pas, la vie non plus, les maths non plus bien sur. La matière serait figée. Le temps et la vie qui passent dépendent d'une modification dans l'organisation de tout ce qui existe. Cette modification, c’est l’accélération de l’expansion,
J'avais la réponse mais pas l'explication ! C'est grave docteur ?
X = 1 + (1/2)X (1/2)X = 1 X = 2
Il faudrait un signe en mathématiques pour désigner l'infiniment petit, parce qu'en réalité cette somme c'est 2 moins l'infiniment petit.
1/♾
L infini petit en math c est epsilon c est aussi la dénomination epsilon en classe math elem je te laisse le soin de deviner pourquoi cdt
@@jeanclaudeklotz3723 Ah merci, j'avais oublié ! Élémentaire mon cher Watson !
Si l'internet était déjà très développé à notre époque j'aurais la moyenne en maths au bac
J'en ai une autre pas mal, vue sur une chaîne anglophone
Montrer que 1^3 + 2^3 + 3^3 + n^3 = (1+2+3+n)²
La somme de n qui tend de 1 à l'infini de a/b^n vaut a/b-1 sauf pour a, b = 1 ou 0 ^^'
Ca serait pas utile de mentionner que l exposant de la raison est le nombre de termes .
Cordialement .
Pourquoi il ne prend pas q*n-1 dans la simplification
Facile 2.
c pas 1.999999 etc le resultat?
2xSn = 2 + Sn donc Sn = 2
J'avais la solution en lisant le sujet,
serait-il donc possible que je sois un génie incompris ou plutôt intentionellement délaissé par cette société jalouse autant qu'avide ?
Question réthorique, la réponse étant encore une fois évidente pour tousse 😏
J ai tout de suite vu que cette somme faisait 2 paske t'additionne des valeurs de plus en plus petites et que ça se rapproche de 2
Tu aurais pu dire également que c'est 2^0 + 2^-1 + 2^-3 + 2^-4...
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