Cette mini-série basée sur les exercices est très intéressante et je suis sûr qu'ellle va permettre de débloquer l'aventure mathématique de nombreux élèves
Personnellement en écrivant la somme pour n=7, j'ai remarqué qu'elle pouvait s'écrire 3*1+5*2+7*3+9*4+11*5+13*6+1*7 ce qui veut dire que cette somme vaut la somme de k allant de 1 à (n-1) de (2k+1)*k + n. J'ai ensuite séparé les deux sommes et me suis souvenu de la formule de la somme de k^2 ainsi que celle de k en n'oubliant pas de soustraire le dernier terme car la somme que je considère s'arrête à (n-1). Et puis voilà j'arrive au résultat sans trop de difficulté. En tout cas j'adore vos exercices et l'approche que vous avez pour les résoudre !
J’ai eu cet exercice en dm cette année et je trouve que passer par des ensembles est plus compliqué que de se reposer sur l’intuition du comportement de la somme (qui se fait formellement après), juste en passant par le fait qu’il y a un nombre impaire de termes entre 2 carrés parfait (a^2 - (a-1)^2 = 2k+1) mais les deux méthodes fonctionnent quand même
Oh oui, sans conteste ! J'ai choisi la méthode des ensembles pour permettre aux spectateurs de se familiariser avec, notamment dans les cas où aucune esquive n'est possible 😁! Mais c'est une couche de formalisme qui a tendance à faire relativement mal. Ce qui est encore plus chouette, c'est d'examiner une solution à la lumière de l'autre 👍🏻.
Je ne suis malheureusement pas assez doué pour comprendre cette syntaxe. Au début on prend n=1, et il est dit "le seul terme de la somme est 1", pourquoi ? Puis ensuite n=2 ..... mais k que devient-il ? C'est quoi k dans tout ça ? Désolé, je suis assez nul, mais j'ai toujours eu du mal à saisir cette écriture.
Pour comprendre cette écriture, il faut faire deux petites manipulations mentales. Par exemple, disons qu'on considère la somme de k = 1 à 4 des k². → On écrit la liste des k² pour k allant de 1 à 4: [1², 2², 3², 4²]. → On fait la somme de tous les éléments de la liste: 1² + 2² + 3² + 4². Sur le modèle de cet exemple, je suis sûr que vous pourrez comprendre les deux que vous citez 😇.
Haha 🤣! Ce n'est pas les vidéos « détente » qu'on trouve sur RUclips, ce sont maintenant des vidéos « sanction » qui font mal au crâne 🫡! Plus sérieusement, je reconnais que le passage par les ensembles a de quoi désemparer !!
mouais, pas convaincu du cheminement, autant chercher directement où est ce qu'on passe d'un paquet à un autre, ben forcément aux carrés parfaits, on coupe la somme et on calcule, fini, pas besoin de se prendre la tête avec des découpages d'intervalle en employant plusieurs variables pour résoudre des équations...
Bof sa méthode est bien, elle est surtout utile car c est le même raisonnement que tu vas avoir lorsque tu vas utiliser le theoreme de sommation par paquet pour les famille sommables donc ça entraîne déjà
Tout dépend du point de vue que l'on adopte, en effet. Si l'objectif était d'aboutir au résultat le plus rapidement possible, j'aurais pu emprunter un chemin plus court. Mais ce n'est pas l'approche que j'ai choisie dans cette vidéo, et sur cette chaîne plus généralement. En l'occurrence, je privilégie toujours les enseignements qu'on peut tirer d'un exercice, et il est important de savoir gérer de tels ensembles (sommation par paquets, mais aussi écriture d'événements complexes en probabilités, par exemple) 👨🏻🏫.
S1=1 S2=1+1+1+2 =3*1 +2 S3=1+1+1+2+2+2+2+2+3=3*1+5*2 +3 entre deux carrés parfaits tels que n²⩽ k < (n+1)² il y a (n+1)²-n² "k" qui répondent à cette inégalité, soit 2n+1 nombres . donc on passe de Sn à Sn+1 en ajoutant (2n+1) termes chacune des racines carrées de ces nombres a une partie entière égale à n je découpe la somme en tranches de carrés : S= S1 + S2 +... Sn-1 +n ou chaque Si=∑de i² à (i+1)²-1 des i et il y a 2i+1 termes Chaque Si vaut donc (2i+1)i S= ∑(pour i variant entre 1 et n-1) de i*(2i+1) +n S=n+(n-1)*n/2+2*∑(de i=1 à n-1) des i² Bon, le résultat n'est pas si simple
Au top🏆! Avec votre constat: « on passe de Sn à Sn+1 en ajoutant (2n+1) termes chacune des racines carrées de ces nombres a une partie entière égale à n », on pourrait peut-être aussi envisager une récurrence, du coup. Mais c'est moins puissant, dans le sens où on ne pourrait pas y procéder sans le résultat… Et pour le reste, je me suis chargé du calcul 😇.
@@oljenmaths pour le bonbon divisibilité par 6 A=n(4n²-3n+5) congruence mod 2 si n≡0 (mod2) A≡0 (mod2) par produit avec n≡0 si n≡1 A≡1*(0-1+1) A≡0 donc A toujours divisible par 2 congruence mod 3 si n ≡ 0 mod 3 A≡0 mod3 par produit avec n≡0 si n≡ 1 A≡1*(4-3+2) ≡0 mod3 si n≡2 n²≡1 (mod3) A≡2*(1-3+2)≡0 donc A toujours divisible par 3 A divisible par 2 et 3 ; premiers, est donc divisible par 6
![[LP#5] Une propriété de symétrie d'un polynôme](http://i.ytimg.com/vi/em6vDxl1yek/mqdefault.jpg)
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Cette mini-série basée sur les exercices est très intéressante et je suis sûr qu'ellle va permettre de débloquer l'aventure mathématique de nombreux élèves
Oui
une methode explicative exceptionnelle, merci !
Merci beaucoup pour ce retour 😇!
Un exercice d’une élégance magistrale. Je m’abonne
Magnifique cet exercice
Ah, les souvenirs ! J'ai eu cet exercice lors de ma première khôlle de math en sup, il y a environ 5 ans. Merci pour cette vidéo.
Personnellement en écrivant la somme pour n=7, j'ai remarqué qu'elle pouvait s'écrire 3*1+5*2+7*3+9*4+11*5+13*6+1*7 ce qui veut dire que cette somme vaut la somme de k allant de 1 à (n-1) de (2k+1)*k + n. J'ai ensuite séparé les deux sommes et me suis souvenu de la formule de la somme de k^2 ainsi que celle de k en n'oubliant pas de soustraire le dernier terme car la somme que je considère s'arrête à (n-1). Et puis voilà j'arrive au résultat sans trop de difficulté. En tout cas j'adore vos exercices et l'approche que vous avez pour les résoudre !
Très belle écriture de la somme 🤩! Merci du partage !
Prodigieux
J’ai eu cet exercice en dm cette année et je trouve que passer par des ensembles est plus compliqué que de se reposer sur l’intuition du comportement de la somme (qui se fait formellement après), juste en passant par le fait qu’il y a un nombre impaire de termes entre 2 carrés parfait (a^2 - (a-1)^2 = 2k+1)
mais les deux méthodes fonctionnent quand même
Oh oui, sans conteste ! J'ai choisi la méthode des ensembles pour permettre aux spectateurs de se familiariser avec, notamment dans les cas où aucune esquive n'est possible 😁! Mais c'est une couche de formalisme qui a tendance à faire relativement mal. Ce qui est encore plus chouette, c'est d'examiner une solution à la lumière de l'autre 👍🏻.
Wouhouhou alors celui la il est joli ☺️😮
Je ne suis malheureusement pas assez doué pour comprendre cette syntaxe.
Au début on prend n=1, et il est dit "le seul terme de la somme est 1", pourquoi ?
Puis ensuite n=2 ..... mais k que devient-il ?
C'est quoi k dans tout ça ?
Désolé, je suis assez nul, mais j'ai toujours eu du mal à saisir cette écriture.
Pour comprendre cette écriture, il faut faire deux petites manipulations mentales.
Par exemple, disons qu'on considère la somme de k = 1 à 4 des k².
→ On écrit la liste des k² pour k allant de 1 à 4: [1², 2², 3², 4²].
→ On fait la somme de tous les éléments de la liste: 1² + 2² + 3² + 4².
Sur le modèle de cet exemple, je suis sûr que vous pourrez comprendre les deux que vous citez 😇.
Très bonne vidéo avev cette somme de partie entière. J'avais eu un exo en khôlle où il fallait majorer la somme de x à puissance partie entière de k.
🤍
… quelqu’un a de l’aspirine ? 😅
Haha 🤣! Ce n'est pas les vidéos « détente » qu'on trouve sur RUclips, ce sont maintenant des vidéos « sanction » qui font mal au crâne 🫡! Plus sérieusement, je reconnais que le passage par les ensembles a de quoi désemparer !!
@@oljenmaths non, c’est simplement la partie entière et le n2… tout simplement…😰
mouais, pas convaincu du cheminement, autant chercher directement où est ce qu'on passe d'un paquet à un autre, ben forcément aux carrés parfaits, on coupe la somme et on calcule, fini, pas besoin de se prendre la tête avec des découpages d'intervalle en employant plusieurs variables pour résoudre des équations...
Bof sa méthode est bien, elle est surtout utile car c est le même raisonnement que tu vas avoir lorsque tu vas utiliser le theoreme de sommation par paquet pour les famille sommables donc ça entraîne déjà
Tout dépend du point de vue que l'on adopte, en effet. Si l'objectif était d'aboutir au résultat le plus rapidement possible, j'aurais pu emprunter un chemin plus court. Mais ce n'est pas l'approche que j'ai choisie dans cette vidéo, et sur cette chaîne plus généralement. En l'occurrence, je privilégie toujours les enseignements qu'on peut tirer d'un exercice, et il est important de savoir gérer de tels ensembles (sommation par paquets, mais aussi écriture d'événements complexes en probabilités, par exemple) 👨🏻🏫.
S1=1
S2=1+1+1+2 =3*1 +2
S3=1+1+1+2+2+2+2+2+3=3*1+5*2 +3
entre deux carrés parfaits tels que n²⩽ k < (n+1)² il y a (n+1)²-n² "k" qui répondent
à cette inégalité, soit 2n+1 nombres . donc on passe de Sn à Sn+1 en ajoutant (2n+1) termes
chacune des racines carrées de ces nombres a une partie entière égale à n
je découpe la somme en tranches de carrés :
S= S1 + S2 +... Sn-1 +n ou chaque Si=∑de i² à (i+1)²-1 des i et il y a 2i+1 termes
Chaque Si vaut donc (2i+1)i
S= ∑(pour i variant entre 1 et n-1) de i*(2i+1) +n
S=n+(n-1)*n/2+2*∑(de i=1 à n-1) des i²
Bon, le résultat n'est pas si simple
Au top🏆! Avec votre constat: « on passe de Sn à Sn+1 en ajoutant (2n+1) termes
chacune des racines carrées de ces nombres a une partie entière égale à n », on pourrait peut-être aussi envisager une récurrence, du coup. Mais c'est moins puissant, dans le sens où on ne pourrait pas y procéder sans le résultat… Et pour le reste, je me suis chargé du calcul 😇.
@@oljenmaths pour le bonbon
divisibilité par 6
A=n(4n²-3n+5)
congruence mod 2
si n≡0 (mod2) A≡0 (mod2) par produit avec n≡0
si n≡1 A≡1*(0-1+1) A≡0
donc A toujours divisible par 2
congruence mod 3
si n ≡ 0 mod 3 A≡0 mod3 par produit avec n≡0
si n≡ 1 A≡1*(4-3+2) ≡0 mod3
si n≡2 n²≡1 (mod3) A≡2*(1-3+2)≡0
donc A toujours divisible par 3
A divisible par 2 et 3 ; premiers, est donc divisible par 6
@@michelbernard9092 🍬!