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この証明方法感動した。
数学ガールで感動した証明法！！
備忘録👏75G"【 整式(多項式)の除法 と 有理数無理数 】〖別解〗(2) 条件より、商と余りを 有理数係数の 多項式として、P(x)＝ (x³－2)Q(x)＋px²＋qx＋r と表すことができる。∛2＝α (∈無理数)とおくと 2＝α³ に注意して、P(α)＝0 より pα²＋qα＋r＝0 ･･･① α×①より、2p＋qα²＋rα＝0 ･･･② q×① －p×②より、(q²－pr)･α ＋qr－2p² ＝０ p,q,r∈有理数に注意して、q²－pr＝0 ･･･③, qr－2p² ＝0 ･･･④ (ⅰ) p＝0 のとき、③より q＝0, ①より r＝0 (ⅱ) p≠ 0 のとき、③より r＝q²/p, ④に代入して q³/p－2p²＝0 ⇔ (q/p)³＝2 ⇔ q/p＝∛2 これは (1)より適さない。以上より、p＝q＝r＝０ だから、P(x)＝ (x³－2)Q(x) ■ 示された。
分かりやすいです!
ルート素数が無理数であるという問題を解いた時点で3、4乗根ではどうなるんだろうと広げていける人が数学ができる人なんだろうなー
懐かしい〜 これ授業で苦戦したな〜
a、b、c、…が有理数でα、β、γ、…が無理数かつそれぞれが有利数倍じゃないときaα+bβ+cγ+…=0ならばa、b、c、…は全て0って暗黙の了解として証明なしに使っていいかと思ってた
問題2は「x^3-2がQ上既約多項式」であることを示すのが本質的に問われていることだと思います
2:24 √2の証明の動画が概要欄にあるんかなって思って確認したら無くて草
ここにも恒心教徒が、これはいい。
わかりやす
技巧的だなぁ
a√2+b=0ならa=b=0ってベクトルの一次独立を連想します有理数と√2は独立的な？？
てつあれい 有理数体上のベクトル空間を考えればそうですね
2^1/3が二次方程式の解であるなら、解の公式より、ある有理数p,q,rを用いて、2^1/3=p+q√rと書けるはず もし、√rが有理数なら、(1)に反するので√rは無理数。しかし、両辺を3乗すると、有理数s,tを用いて2=s+t√rとなる。ってかんじかなー？
昨日文系プラチカでやりましたー！文理共通なのかな？
貫太郎さん、ヨビノリさんとセットでいつも拝見しています。こんな先生に学生時代習いたかったなー。
いつも勉強させていただいています。p(2^2/3) + q(2^1/3) + r = 0 まで同じですが, 以下のようにしてはダメでしょうか？（古賀さんが説明された a√2 + b = 0 → a=b=0 を利用）(2^1/3){p(2^1/3) + q} + r = 0よりp(2^1/3) + q = 0, かつ r = 0 p(2^1/3) + q = 0が成立するためには、p = 0, かつ q = 0よって、p=q=r=0
動画でも解説されていますが、a√2+b=0⇒a=b=0は「a、bとも有理数」のときだけです。なので、おっしゃっているやり方ではダメですね。
@@数学むずかしい 「係数が有理数同士の割り算なのでp,q,rは有理数である」って書けばいける貴ガス
これは成立しませんよ。コメ主がやっているのを簡潔に書くと、(無理数1)*(無理数2)+(有理数)=0のとき(無理数2)は無理数だから、(無理数1)=(有理数)=0となる。となってしまい、明らかに成り立ちません。この方法を取りたいなら、無理数が1種類になるように式変形するしかないと思います。
有名な良問ですね
12:35 0をかけていない事は一言述べるべきですかね？
よく分かりませんが、別に0をかけたとしても両辺0であることには変わらないので不要だと思います（0で「割る」のはダメなので、なにか未知数などで割る際にそれが0ではないことを言うのは必要ですが）
なるほど初等的にもパズルっぽくそういう手もありましたか、好き嫌い分かれるかもしれませんが面白いですね。16:00 あたりからは折角なので(1)を用いるとすれば、p≠0とするとq/pが定義されこれが有理数なので、改めてここに対し(1)からp=0でなくてはならない、よって並びにq=0が従う。とするとまぁちょっとは節約ですかね。それにしても最小多項式としてみればもうそうとしか見えないw誘導にのり順当に受験ぽくやればいいのでしょうが、既約性とユークリッド除法を見抜いてそこから証明した受験生はどれくらいいたのでしょうね、ちょっと気になる木
大学数学ではどんな扱いになるのだろうか✨
古賀さんに質問です。もし差し支えなければ教えてください。入試問題の解説動画のラインナップに阪大のものが無いようなのですが、何か意図はありますか？個人的には東工大と同じレベルで、理系では東大京大に続くレベルかなと思っていました。数学の専門家として古賀さんの見解あれば聞いてみたいです。よろしくお願いします。
プラチカでやったわ
この前スタディサプリでやったやつだ。
青本の解説がよく分からない
私ならイキって無限降下法を使います
もちもちのもち それをするくらいなら普通の(教科書にあるような)証明で良くない？w無限降下法普通にだるそうw
@エモいじゃがいも どこが？
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
この証明方法感動した。
数学ガールで感動した証明法！！
備忘録👏75G"【 整式(多項式)の除法 と 有理数無理数 】〖別解〗(2) 条件より、商と余りを
有理数係数の 多項式として、P(x)＝ (x³－2)Q(x)＋px²＋qx＋r と表すことができる。
∛2＝α (∈無理数)とおくと 2＝α³ に注意して、P(α)＝0 より pα²＋qα＋r＝0 ･･･① α×①より、
2p＋qα²＋rα＝0 ･･･② q×① －p×②より、(q²－pr)･α ＋qr－2p² ＝０ p,q,r∈有理数に注意して、
q²－pr＝0 ･･･③, qr－2p² ＝0 ･･･④ (ⅰ) p＝0 のとき、③より q＝0, ①より r＝0 (ⅱ) p≠ 0 のとき、
③より r＝q²/p, ④に代入して q³/p－2p²＝0 ⇔ (q/p)³＝2 ⇔ q/p＝∛2 これは (1)より適さない。
以上より、p＝q＝r＝０ だから、P(x)＝ (x³－2)Q(x) ■ 示された。
分かりやすいです!
ルート素数が無理数であるという問題を解いた時点で3、4乗根ではどうなるんだろうと広げていける人が数学ができる人なんだろうなー
懐かしい〜
これ授業で苦戦したな〜
a、b、c、…が有理数で
α、β、γ、…が無理数かつ
それぞれが有利数倍じゃないとき
aα+bβ+cγ+…=0ならば
a、b、c、…は全て0って
暗黙の了解として証明なしに使っていいかと思ってた
問題2は「x^3-2がQ上既約多項式」であることを示すのが本質的に問われていることだと思います
2:24 √2の証明の動画が概要欄にあるんかなって思って確認したら無くて草
ここにも恒心教徒が、これはいい。
わかりやす
技巧的だなぁ
a√2+b=0ならa=b=0ってベクトルの一次独立を連想します
有理数と√2は独立的な？？
てつあれい 有理数体上のベクトル空間を考えればそうですね
2^1/3が二次方程式の解であるなら、解の公式より、ある有理数p,q,rを用いて、2^1/3=p+q√rと書けるはず もし、√rが有理数なら、(1)に反するので√rは無理数。しかし、両辺を3乗すると、有理数s,tを用いて2=s+t√rとなる。ってかんじかなー？
昨日文系プラチカでやりましたー！文理共通なのかな？
貫太郎さん、ヨビノリさんとセットでいつも拝見しています。こんな先生に学生時代習いたかったなー。
いつも勉強させていただいています。
p(2^2/3) + q(2^1/3) + r = 0 まで同じですが, 以下のようにしてはダメでしょうか？（古賀さんが説明された a√2 + b = 0 → a=b=0 を利用）
(2^1/3){p(2^1/3) + q} + r = 0より
p(2^1/3) + q = 0, かつ r = 0
p(2^1/3) + q = 0が成立するためには、p = 0, かつ q = 0
よって、p=q=r=0
動画でも解説されていますが、
a√2+b=0⇒a=b=0
は「a、bとも有理数」のときだけです。なので、おっしゃっているやり方ではダメですね。
@@数学むずかしい 「係数が有理数同士の割り算なのでp,q,rは有理数である」って書けばいける貴ガス
これは成立しませんよ。
コメ主がやっているのを簡潔に書くと、
(無理数1)*(無理数2)+(有理数)=0のとき(無理数2)は無理数だから、(無理数1)=(有理数)=0となる。となってしまい、明らかに成り立ちません。
この方法を取りたいなら、無理数が1種類になるように式変形するしかないと思います。
有名な良問ですね
12:35 0をかけていない事は一言述べるべきですかね？
よく分かりませんが、別に0をかけたとしても両辺0であることには変わらないので不要だと思います
（0で「割る」のはダメなので、なにか未知数などで割る際にそれが0ではないことを言うのは必要ですが）
なるほど初等的にもパズルっぽくそういう手もありましたか、好き嫌い分かれるかもしれませんが面白いですね。
16:00 あたりからは折角なので(1)を用いるとすれば、p≠0とするとq/pが定義されこれが有理数なので、改めてここに対し(1)からp=0でなくてはならない、よって並びにq=0が従う。
とするとまぁちょっとは節約ですかね。
それにしても最小多項式としてみればもうそうとしか見えないw
誘導にのり順当に受験ぽくやればいいのでしょうが、既約性とユークリッド除法を見抜いてそこから証明した受験生はどれくらいいたのでしょうね、ちょっと気になる木
大学数学ではどんな扱いになるのだろうか✨
古賀さんに質問です。もし差し支えなければ教えてください。
入試問題の解説動画のラインナップに阪大のものが無いようなのですが、何か意図はありますか？
個人的には東工大と同じレベルで、
理系では東大京大に続くレベルかなと思っていました。数学の専門家として古賀さんの見解あれば聞いてみたいです。よろしくお願いします。
プラチカでやったわ
この前スタディサプリでやったやつだ。
青本の解説がよく分からない
私ならイキって無限降下法を使います
もちもちのもち
それをするくらいなら普通の(教科書にあるような)証明で良くない？w無限降下法普通にだるそうw
@エモいじゃがいも どこが？