À 4:15, grossière erreur que chacun doit éviter : il n'y a pas que i qui vérifie x carré +1=0, mais bien entendu également son opposé -i. Même si vous le savez et que c'est évident pour vous, ce genre de discours n'aide pas les élèves à se souvenir de toujours considérer les opposés comme solution. Faites attention :-)
merci pour cette vidéo. Je suis une future term spe maths et malgré n'ayant pas encore fait les primitives et intégrales (je connais mais pas de manière approfondit) j'ai compris cette vidéo avec la 2ème méthode plus simple et rapide. Je trouve votre chaîne superbe +1
Merci @Bleasy ! Trop sympa ! N'hésite pas à rejoindre le discord y a pas mal de lycéens et de prépa qui échangent sur les maths et l'orientation, les spé etc ;)
Vous auriez pu avoir le resultat directement en reduisant au meme dénominateur la valeur de c serait nulle a étant la seule constante sa valeur serait egale a 1 et vous auriez obtenu b avec l'expression le liant a A avec la puissance au carre par identification
Ça me fait plaisir ! n'hésitez pas à lui faire tester Studeo mon application où vous pourrez retrouver toutes nos centaines de vidéos et ressources de la seconde à la sup :)
@@TheMathsTailor oui bien sûr, c'est une grande chance pour elle les outils comme ça qu' elle a sa disposition. Les maths ça devient un amusement on y prend un goût pas comme malheureusement ce qu'on véhicule à savoir présenter les maths comme un casse tête.
Perso je fais en 2 étapes la décompo en éléments simples mais de manière je trouve plus intuitive : 1. Pour les fractions à terme constant au num, je fais ce que les anglophones appellent la "cover-up method" qui consiste en gros à se dire déno = 0 pour quelle valeur de x, et je remplace x par cette valeur dans l'expression initiale (évidemment sans le déno qu'on a pris sinon ça fait /0 c'est débile), et on trouve la valeur de la constante. Ici, quand est-ce que dans a/x le déno vaut 0, bah pour x = 0. Donc je mets x = 0 dans l'expression d'origine, déno étudié exclu, ça me fait bien 1/(0²+1) = 1 pour a. 2. Donc j'ai 1/(x(x²+1)) = 1/x+(bx+c)/(x²+1) à ce stade. Je multiplie tt par le déno d'origine. Donc j'ai 1 = x(x²+1)/x + x(bx+c). Je simplifie, je développe, je réduis et au besoin je factorise les coefficients par degrés de x, degrés que j'ordonne ensuite pour faire apparaître une forme polynômiale. Et en gros schématiquement là j'ai numérateur d'origine = polynôme. Bah le numérateur d'origine mm si c'est une constante (comme ici, c'est 1), il faut le voir comme un polynôme. Et donc si par exemple ax³+bx²+c (num d'origine) doit forcément être égal à nx⁴+mx³+px+r (polynôme trouve après dvpt réduction) Bah c'est que nécessairement, SIMULTANÉMENT, n = b = p = 0, a = m et c = r. Et en posant ça on a un système d'équations dont la résolution nous donne les solutions attendues. Ici typiquement : Donc j'ai 1 = x(x²+1)/x + x(bx+c). Soit 1 = x²+1+bx²+cx = (b+1)x²+cx+1 À gauche j'ai aucun terme en x^n donc tous les coeff des termes en x^n à droite doivent forcément être nuls pour que l'égalité soit respectée. Donc le système d'équations : b+1 = 0 c = 0 Donc b = -1 et c = 0. Ici c'est simple mais si on a je dis une connerie un élément en degré 1 au num et un autre au degré 2 au num, on peut facile se retrouver à avoir des délires du genre 3b+4c-a = 1/2 3-5a+c = 1 2-c+3a = 7 à résoudre comme système (bon lui jlai pris au hasard mm pas sûr qu'il ait des solutions mais vous avez compris l'idée), donc c'est pas forcément simple dans le sens où ça peut devenir un objet lourd Mais là est le point de pk je voulais apporter cette méthode : c'est parce que malgré l'éventuelle lourdeur du système d'équations en fonction du nombre de paramètres à faire apparaître ds la décompo en éléments simples, bah c'est une méthode qui s'affranchit d'office des nombres complexes. Alors bien sûr quand on connaît les complexes c'est bien plus salvateur, mais quand on ne les connait pas ou quand on ne les maîtrise pas, il est toujours utile d'avoir une méthode alternative. ;)
Elles sont excellentes tes vidéos, ça aide vraiment Est-ce que tu peux faire une playlist pour réussir l'examen d'entrée aux examens polytechniques de Belgique ?
Merci de cette vidéo ! Attention, l’intégrale diverge grossièrement sur ]0,+oo[. Aussi, je me permets une petite remarque : vous faites intervenir les complexes alors que x est réel. Je ne suis pas certain que cela soit rigoureux. Je propose l’égalisation des coefficients de deux polynômes égaux : vous aurez un polynôme de degré 2 à gauche et un de même degré à droite de l’égalité. Ainsi les coefficients sont identiques et l’on a trois équations à trois inconnues (a, b, c). Ce système se résout aisément ici. Bien à vous
Merci ! Sur l’usage des complexes c’est une méthode clairement post Lycée je le reconnais 😅. Elle est valide car on a le droit de considérer la fraction rationnelle dans C pendant quelques étapes :). J’avoue m’être fait plaisir pour vous montrer autre chose ici, mais la méthode d’identification est parfaitement valide bien sûr !
@@TheMathsTailor vous êtes sûr qu’on y a droit ? Je sais bien qu’on peut étendre l’ensemble des solutions d’un polynôme sur le corps IR à son unique clôture algébrique C (un peu mal dit), est-ce la raison ? Même via cet argument, ça ne m’a pas l’air évident… 🤔
En fait je pense qu’il faut le voir simplement comme une égalité entre nombre complexes. « Je veux qu’elle soit vraie pour tout complexe » -> notamment pour i ce qui me donne cette contrainte sur a b et c. La solution pour éviter de trop se compliquer la tâche en termes de validité par la suite (surtout niveau sup) : trouver le résultat par cette voie, puis vérifier la réciproque, le fait que ça marche bien avec les valeurs trouvées. Comme on sait qu’il y a unicité de la décomposition par ailleurs, aucun problème ;)
Pour être tout à fait précis, les deux fonctions se prolongent naturellement (et uniquement) en des fonctions méromorphes sur C. Le théoreme des zéros isolés nous dit alors que si les deux fonctions sont égales sur R (ou sur tout ensemble non discret) elles le sont sur C. Ce qui nous permet d'affirmer que l'égalité est toujours verifiée en i. Une autre manière est de voir les deux membres comme des fractions rationnelles formelles, des objets de R(X) et donc à posteriori de C(X) (qui contient R(X) ). On peut alors évaluer l'égalité en i sans aucun souci.
@@bourbe Voilà la ligne de code : from sympy import * x = symbols('x') # définir la fonction f = (x**3 + x + 1)/(x**3 + x) # Pour trouver la primitive : F = integrate(f) print(F)
Quand j'ai 1/x(1 + x²) = 1/x + (bx + c)/(1 + x²) et si je ne connais pas les complexes je peux aussi multiplier par x puis faire tendre x vers l'infini. Je trouve alors 0 = 1 + b d'où b = -1...c se déduit alors en faisant x = 1 : 1/2 = 1 + (-1 + c)/2 soit c=0
Salut , la méthode de résolution est sympa mais je dirai ne pas confondre primitive et intégrale car primitive ok à une constante près mais vu la fonction elle diverge à l'infini donc non intégrable après ça apprend la méthodologie évidemment bien à vous
Bonjour, Pour la décomposition : 1/x(x+1) = a/x +(bx+c)/(x^2+1) pour TOUT x dans I= ]0,+inf[ = [ax^2+a+bx^2+cx]/x(x^+1) Puisque c'est vrai pour TOUT x dans I: { a+b=0 et c=0 et a=1} d'où : a=1 , b=-1 , c=0.
Ce qui est problématique c'est qu'au final c'est vraiment des techniques mécanistes où le sens a été évacué, mais bon c'est peut-être ça les mathématiques parfois. Même je vois que globalement le sens de ce qu'est une primitive est assez perdu globalement au profit d'applications de méthodes.
@@BlackScholes17 oui en effet. Pour être précis quand j’arrive à l’équation après la simplification, je me mets dans cet univers-là où cette nouvelle fonction est bien définie en 0, et ça me permet de trouver la valeur du coefficient, qui se trouve être le même que pour notre fonction initiale (elle qui est non définie en 0)
Je n'ai pas trés bien compris pourquoi on doit poser un nombre complexe dans la décomposition en élément simple .Moi je savais juste que je voulais pour 1/x(x^2 + 1) du a/x + B/(x^2 +1). Si je les additionnes,j'ai du a X^2 + bx +a au numérateur et comme je veux 1 je prend a=1 et ce qui me ferait du x^2 donc je pose que b = -x pour l'enlever. Je trouve plus simple de faire ca que de poser un nombre complexe ,mais peut etre que mon raisonnement est faux .Si quelqu'un peut m'expliquer svp ?
Bonjour, pour la décomposition en éléments simples, l'égalité est vraie uniquement si x != 0 (sinon le dénominateur est égal à 0). Par conséquent pour trouver "a", je ne pense pas que vous pouviez fixer x = 0
@@TheMathsTailor Effectivement, mais pour pouvoir éliminer le x au dénominateur en multipliant par x, il faut que x != 0, sinon ce n'est pas une équivalence
Oui c'est une arnaque de physiciens. Fin je ne pense pas que ce soit rigoureux mais ca fonctionne. Pour le faire rigoureusement, peut etre faut utiliser les limites plutot que de "remplacer" directement.
Pour la méthode 1, pourquoi ne pas juste remettre au même dénominateur avec les termes a,b,c et faire une identification pour trouver les valeurs de a,b,c ? Je trouve cela plus rapide et plus simple que d’utiliser les complexes
Pourquoi ne pas factoriser par x au numérateur pour les deux premiers termes et séparer la fraction à partir de la ? Je suis le seul à voir que c’est plus simple ? 🤔
Bonjour Lily ! Je te rassure : sur cette chaîne je vous présente des exos qui poussent très loin la compréhension de la terminale ;) En général soit des exercices demandés à des concours que l'on passe en fin de terminale, soit des exos que je rencontre qui sont faisables avec le programme mais en effet loin d'être évidents !
@@TheMathsTailor Ah mais c’est pas moi qu’il faut rassurer j’étais prof de fac et je suis mathématicienne. Mais la décomposition en élément simple est maintenant au programme de terminale ?
Est-ce que tu peux dire quelles applications et quel matériel tu utilise pour rédiger tes réponses telles qu'elles apparaissent dans la vidéo. Je cherche une solution pour donner des cours particuliers à distance avec mes petits enfants en utilisant un PC sous Windows 10 avec écran non tactile. Vu la date où je découvre ton site et ce premier exercice très bien ficelé, je te souhaite de bonnes vacances et plein de bonnes choses avec de bon-ne-s élèves.
Bonjour ! Pas mal de solutions, ça tourne autour des deux éléments suivants : -une tablette avec stylet (au début j’utilisais tablette graphique type Wacom pour moins de 100 euros, ou carrément iPad ou tablette android pour un peu plus cher) - un logiciel pour écrire avec la tablette, openboard.ch est pas mal sur pc, sur Mac notability (version bureau) Pour les vidéos j’utilise un iPad avec l’application notability. Je connecte l’iPad à mon pc en Bluetooth via une appli qui s’appelle « air server» et ensuite c’est facile d’enregistrer votre écran/le partager sur zoom sans problème. Je ferai peut-être une page bilan pour détailler mon matériel à l’avenir 😄 Bonnes vacances à vous !
Je n'ai pas compris la décomposition en éléments simples (mes cours de prépa commencent à remonter...) la décomposition est vraie pout tout x de R mais vous fixez x=i pour trouver b. Or i n'appartient pas à R mais à C. On a quand même le droit de l'utiliser ?
C’est une astuce que je souhaitais présenter en vidéo : il y a eu un petit débat la dessus dans une conversation antérieure des commentaires n’hésitez pas à aller voir ;)
Après la simplification par 1+1/(x*(x²+1)), le second terme peut être représenté par la fonction 1/u qui a comme primitive ln(u)+c, c que l'on considérera nul, je trouve alors F = x+ln(x*(x²+1)) = x+ln(x)+ln(x²+1), pourquoi est-ce que pour le troisième terme je ne trouve pas le 1/2 et pourquoi est-il positif?
Ta faute vient du fait que donne ln(u)+C comme primitive de 1/u, or ln(u) + C est la primitive de u'/u. Si u:x->x, alors u'(x)=1 et ca fonctionne comme tu l'as ecrit Sauf qu'ici, ta fonction est u:x->1/x(x²+1), n'ayant pas 1 comme fonction dérivée
@@girianshiido Tu as f(x)=1+1/x(x^2+1) Par linéarité de l’intégrale tu calcule l’intégrale de 1 puis de 1/x(x^2+1) Ensuite on connaît une primitive de 1 qui vaut x Et la PAR INTÉGRATION PAR PARTIES tu calcules l’intégrale de 1/x(x^2+1) Et 1/x(x^2+1)= (1/x)*(1/x^2+1) On pose u(x) et v’(x) u(x)=1/x^2+1. v’(x)=1/x Et ainsi de suite...
@@giosephgiovanna7216 ... et on se retrouve alors à chercher une primitive de -2xln(x)/(x^2+1)^2, ce qui est encore plus difficile que ce qu'on avait au départ. Il ne sert à rien de faire une IPP si c'est pour avoir une primitive encore plus complexe à déterminer.
On peut utiliser votre truc +1-1 directement en amont: (x^3+x+1)/(x(1+x^2))=(x^3+x^2+x+1)/(x(1+x^2))-x^2/(x(1+x^2))=(1-x^4)/(x(1-x)(1+x^2))-x/(1+x^2)=(1-x^2)/(x*(1-x))-x/(1+x^2)=(1+x)/x-x/(1+x^2)=1+1/x-x/(1+x^2)
Il n'a même pas trop cherché, à la fin de la vidéo, tu vas trouver F(x)=x+ln(x/√(x²+1)) lol. Ça se voit clairement que f(x)=[x(x²+1)+x²+1-x²]/[x(x²+1)] hihi.
Pcq balancer une réponse comme ça c’est nul. La chaîne est clairement destinée à une audience de bacheliers, qui trouveront bien plus utile des explications à leur niveau que « ça se voit clairement ». N’importe qui faisant des maths te dira que c’est pas la solution le plus important mais plutôt les explications 🙃
Je te l'accorde mais j'ai de moins en moins de temps, si j'ai pris la peine de donner une autre forme à la fonction à intégrer, c'était justement pour qu'un élève de terminale puisse se rendre compte qu'il s'agissait d'une somme de dérivée de logarithmes de fonctions, c'est vrai que je dois composer sur une matière qui en parle mais voilà, j'ai deux options: soit je rassemble ce que je sais pour faire ce que j'ai à faire, soit je rentre dans la logique de la chose d'où avant mes vacances, ma façon de procéder.
C'est totalement hors programme mdrrrr. C'est le programme de maths spé en PC, MP ou PSI 🤷🏽♂️ . C'est de l'intégration sur un intervalle quelconque de R. Or en Terminale si je ne m'abuse ils ne savent intégrer que sur un segment [a,b], à moins que Blanquer ait fait du bon travail pour une fois.
Sauf que la question n’est pas vraiment de calculer un intégrale (contrairement à ce qui est dit oralement) mais de déterminer une primitive. Il n’est donc pas question d’intégrale généralisée.
@@girianshiido Je sais pas si je comprends bien le debat mais "une intégration sur une intervalle quelconque de R" c'est littéralent le principe d'une primitive.. D'ailleurs "trouver une primitive de f" ça se dit bien "intégrer f". Simplement c'est pas une intégrale définie. Simplement en France les cours sont obnubilés par les intégrales définies x) Trouver une primitive de f => appliquer F(b) - F(a) pour des bornes quelconques dans le domaine approprié, enjoy .... Ça demande pas + concepts que l'intégrale "classique", définie.
@@vazn4143 Il est bien connu qu'il est très difficile (voire impossible en un certain sens à préciser) de déterminer des primitives de certaines fonctions alors qu'on est capable de déterminer l'intégrale de ces mêmes fonctions sur certains intervalles. Le calcul d'une intégrale ne passe pas forcément par le calcul d'une primitive !
@@vazn4143 voici un exemple très simple : la fonction de Heaviside H définie par H(x)=0 si x=0. Tu peux très facilement trouver l’intégrale de H entre deux valeurs a et b quelconques mais tu ne peux pas trouver de primitive de H sur R (il y a un problème en 0).
@@girianshiido Je comprends pas comment tu définis une intégrale entre a et b alors. Normalement la définition du "calcul d'une intégrale" c'est le théorème fondamental du calcul non ? Donc F(b) - F(a). Je dis pas qu'on peut pas calculer l'aire sous la courbe de plein d'autres manières. Mais normalement "calculer une intégrale" nécessite forcément d'avoir une primitive à un moment ? Je suis pas spécialiste aprés, je suis en reprise d'études en maths ..
Pour le "+1 -1" mon prof de prépa de deuxième année disait que l'on ferait la méthode Darty: rembourser la différence
😂
Le miens appelait ça "l'astuce de sioux".
Ça revient juste à faire une div euclidienne pour avoir une fraction de degrés négatif
Mon prof appelait ça "l'astuce belge"
Mon prof l'astuce juive
C'est très bien de commencer ce genre de trucs dès la terminale, ceux qui feront prépa te remercieront
Merci!
À 4:15, grossière erreur que chacun doit éviter : il n'y a pas que i qui vérifie x carré +1=0, mais bien entendu également son opposé -i. Même si vous le savez et que c'est évident pour vous, ce genre de discours n'aide pas les élèves à se souvenir de toujours considérer les opposés comme solution. Faites attention :-)
a^2=(-a)^2 fonctionnerait aussi pour l'ensemble C (comme c'est le cas pour N et R) ?
@@undefinedperson7816 Oui les propriétés des exponentielles sont grosso modo les mêmes
merci pour cette vidéo. Je suis une future term spe maths et malgré n'ayant pas encore fait les primitives et intégrales (je connais mais pas de manière approfondit) j'ai compris cette vidéo avec la 2ème méthode plus simple et rapide. Je trouve votre chaîne superbe +1
Merci @Bleasy ! Trop sympa ! N'hésite pas à rejoindre le discord y a pas mal de lycéens et de prépa qui échangent sur les maths et l'orientation, les spé etc ;)
La décomposition en éléments simples n’était pas nécessaire :
1/(x³+x) = 1/( x³(1+x⁻²)
= x⁻³/(1+x⁻²)
= -1/2 × 1/(1+x⁻²) × d(1+x⁻²)/dx
= d(-1/2 ln(1+x⁻²) )/dx
Donc 1+1/(x³+x) = dx/dx + d(-1/2 ln(1+x⁻²) )/dx
= d(x-1/2 ln(1+x⁻²) )/dx.
Vous auriez pu avoir le resultat directement en reduisant au meme dénominateur la valeur de c serait nulle a étant la seule constante sa valeur serait egale a 1 et vous auriez obtenu b avec l'expression le liant a A avec la puissance au carre par identification
bah oui, c'est 100 fois plus simple
Vous êtes excellent monsieur. J'ai fini l'école ya quelques années mais je me régale
Merci!
super vidéo, la décomposition en fractions partielles est parfois vue en dernière année en Belgique
Merci! L’intégrale vient d’un parent sur Bruxelles ;)
Merci pour votre chaîne très utile ma fille intègre le lycée l'année prochaine j'espère qu'elle profitera bien de vos astuces
Ça me fait plaisir ! n'hésitez pas à lui faire tester Studeo mon application où vous pourrez retrouver toutes nos centaines de vidéos et ressources de la seconde à la sup :)
@@TheMathsTailor oui bien sûr, c'est une grande chance pour elle les outils comme ça qu' elle a sa disposition. Les maths ça devient un amusement on y prend un goût pas comme malheureusement ce qu'on véhicule à savoir présenter les maths comme un casse tête.
@@AbouhafsaOutmazirte Bien d'accord :)
Perso je fais en 2 étapes la décompo en éléments simples mais de manière je trouve plus intuitive :
1. Pour les fractions à terme constant au num, je fais ce que les anglophones appellent la "cover-up method" qui consiste en gros à se dire déno = 0 pour quelle valeur de x, et je remplace x par cette valeur dans l'expression initiale (évidemment sans le déno qu'on a pris sinon ça fait /0 c'est débile), et on trouve la valeur de la constante. Ici, quand est-ce que dans a/x le déno vaut 0, bah pour x = 0. Donc je mets x = 0 dans l'expression d'origine, déno étudié exclu, ça me fait bien 1/(0²+1) = 1 pour a.
2. Donc j'ai 1/(x(x²+1)) = 1/x+(bx+c)/(x²+1) à ce stade. Je multiplie tt par le déno d'origine.
Donc j'ai 1 = x(x²+1)/x + x(bx+c). Je simplifie, je développe, je réduis et au besoin je factorise les coefficients par degrés de x, degrés que j'ordonne ensuite pour faire apparaître une forme polynômiale.
Et en gros schématiquement là j'ai numérateur d'origine = polynôme. Bah le numérateur d'origine mm si c'est une constante (comme ici, c'est 1), il faut le voir comme un polynôme.
Et donc si par exemple ax³+bx²+c (num d'origine) doit forcément être égal à nx⁴+mx³+px+r (polynôme trouve après dvpt réduction)
Bah c'est que nécessairement, SIMULTANÉMENT, n = b = p = 0, a = m et c = r. Et en posant ça on a un système d'équations dont la résolution nous donne les solutions attendues.
Ici typiquement :
Donc j'ai 1 = x(x²+1)/x + x(bx+c).
Soit
1 = x²+1+bx²+cx = (b+1)x²+cx+1
À gauche j'ai aucun terme en x^n donc tous les coeff des termes en x^n à droite doivent forcément être nuls pour que l'égalité soit respectée.
Donc le système d'équations :
b+1 = 0
c = 0
Donc b = -1 et c = 0.
Ici c'est simple mais si on a je dis une connerie un élément en degré 1 au num et un autre au degré 2 au num, on peut facile se retrouver à avoir des délires du genre
3b+4c-a = 1/2
3-5a+c = 1
2-c+3a = 7
à résoudre comme système (bon lui jlai pris au hasard mm pas sûr qu'il ait des solutions mais vous avez compris l'idée), donc c'est pas forcément simple dans le sens où ça peut devenir un objet lourd
Mais là est le point de pk je voulais apporter cette méthode : c'est parce que malgré l'éventuelle lourdeur du système d'équations en fonction du nombre de paramètres à faire apparaître ds la décompo en éléments simples, bah c'est une méthode qui s'affranchit d'office des nombres complexes. Alors bien sûr quand on connaît les complexes c'est bien plus salvateur, mais quand on ne les connait pas ou quand on ne les maîtrise pas, il est toujours utile d'avoir une méthode alternative. ;)
Merci pour ce niveau de détail ! Très bien expliqué
La technique du +1-1 est utilisée même en modélisation financière. Du moins, c'est dans ce contexte que je l'ai vu appliquer pour la première fois.
J'adore tes vidéos , continue ainsi je suis en seconde et tout est clair !
Merci!
Que fais donc un élève de seconde sur une video de terminale ?
@@alphanost806 Par curiosité , il le droit nan ?
@@endritlajqi21 Mais parfaitement, j'ai fais la même chose en seconde, c'était par simple curiosité également
Il faut dire que l'ordre des programmes de mathématiques n'est pas toujours le plus intéressant.
Elles sont excellentes tes vidéos, ça aide vraiment
Est-ce que tu peux faire une playlist pour réussir l'examen d'entrée aux examens polytechniques de Belgique ?
Merci!
Avec plaisir pour jeter un œil! Pouvez vous m’envoyer des exemples sur le discord ?
@@TheMathsTailor Yes, j'ai envoyé, merci beaucoup !
Merci de cette vidéo !
Attention, l’intégrale diverge grossièrement sur ]0,+oo[.
Aussi, je me permets une petite remarque : vous faites intervenir les complexes alors que x est réel. Je ne suis pas certain que cela soit rigoureux. Je propose l’égalisation des coefficients de deux polynômes égaux : vous aurez un polynôme de degré 2 à gauche et un de même degré à droite de l’égalité. Ainsi les coefficients sont identiques et l’on a trois équations à trois inconnues (a, b, c). Ce système se résout aisément ici.
Bien à vous
Merci !
Sur l’usage des complexes c’est une méthode clairement post Lycée je le reconnais 😅.
Elle est valide car on a le droit de considérer la fraction rationnelle dans C pendant quelques étapes :). J’avoue m’être fait plaisir pour vous montrer autre chose ici, mais la méthode d’identification est parfaitement valide bien sûr !
@@TheMathsTailor vous êtes sûr qu’on y a droit ? Je sais bien qu’on peut étendre l’ensemble des solutions d’un polynôme sur le corps IR à son unique clôture algébrique C (un peu mal dit), est-ce la raison ? Même via cet argument, ça ne m’a pas l’air évident… 🤔
En fait je pense qu’il faut le voir simplement comme une égalité entre nombre complexes.
« Je veux qu’elle soit vraie pour tout complexe » -> notamment pour i ce qui me donne cette contrainte sur a b et c.
La solution pour éviter de trop se compliquer la tâche en termes de validité par la suite (surtout niveau sup) : trouver le résultat par cette voie, puis vérifier la réciproque, le fait que ça marche bien avec les valeurs trouvées. Comme on sait qu’il y a unicité de la décomposition par ailleurs, aucun problème ;)
Pour être tout à fait précis, les deux fonctions se prolongent naturellement (et uniquement) en des fonctions méromorphes sur C. Le théoreme des zéros isolés nous dit alors que si les deux fonctions sont égales sur R (ou sur tout ensemble non discret) elles le sont sur C. Ce qui nous permet d'affirmer que l'égalité est toujours verifiée en i.
Une autre manière est de voir les deux membres comme des fractions rationnelles formelles, des objets de R(X) et donc à posteriori de C(X) (qui contient R(X) ). On peut alors évaluer l'égalité en i sans aucun souci.
@@Key-te2ls parfait, oui j’avais pensé à l’unicité du prolongement sur C.
merci
merci pour la vidéo =) je suis en licence et ça aide toujours de faire ce genre de primitive
C'est super la partie théorique !
Avec python j'ai trouvé la primitive en 2secondes
Salut comment t'a fait avec python pour avoir la primitive ?
@@bourbe
Voilà la ligne de code :
from sympy import *
x = symbols('x')
# définir la fonction
f = (x**3 + x + 1)/(x**3 + x)
# Pour trouver la primitive :
F = integrate(f)
print(F)
Super vidéo sauf que je suis en 3 eme et ya 1 ou 2 trucs que j'ai pas compris
Excellente présentation. Merci !
Merci @Bruno !
Quand j'ai 1/x(1 + x²) = 1/x + (bx + c)/(1 + x²) et si je ne connais pas les complexes je peux aussi multiplier par x puis faire tendre x vers l'infini. Je trouve alors 0 = 1 + b d'où b = -1...c se déduit alors en faisant x = 1 : 1/2 = 1 + (-1 + c)/2 soit c=0
Salut , la méthode de résolution est sympa mais je dirai ne pas confondre primitive et intégrale car primitive ok à une constante près mais vu la fonction elle diverge à l'infini donc non intégrable après ça apprend la méthodologie évidemment bien à vous
Vous avez bien raison!
Bonjour,
Pour la décomposition :
1/x(x+1) = a/x +(bx+c)/(x^2+1) pour TOUT x dans I= ]0,+inf[
= [ax^2+a+bx^2+cx]/x(x^+1)
Puisque c'est vrai pour TOUT x dans I:
{ a+b=0 et c=0 et a=1} d'où :
a=1 , b=-1 , c=0.
A titre perso je préfère cela mais si vous pouviez modifier le message, il y a quelques coquilles (x^2+1 transformé en x+1)
Un exercice a des années lumières au dessus du niveau des élèves de terminale en France.
Oui ici j'aime bien essayer de pousser la compréhension du programme; pour ceux que ça motive :)
Non abuse pas, un bon élève de bac+1(donc ne me parle pas du noob) voit directement quoi faire dès les 1er mois...
@@louisdrouard9211 debut bac+1 c'est comme un terminal mdrr..
Surtout au vu du niveau.
Challenge: Primitive de racine de tan(x).
Ce qui est problématique c'est qu'au final c'est vraiment des techniques mécanistes où le sens a été évacué, mais bon c'est peut-être ça les mathématiques parfois. Même je vois que globalement le sens de ce qu'est une primitive est assez perdu globalement au profit d'applications de méthodes.
On peut même ajouter et enlever x^2
Salut, vidéo super intéressante !
Je crois que ta technique +1 -1 s'appelle une opération blanche ;)
Ha oui merci!
Excellent, merci!
Avec plaisir !
La fonction n’est pas définie en 0 mais vous prenez le cas x=0 pour trouver a. Est-ce correct?
Le moment où je mets x=0 l’expression est bien définie ;)
Le fait de simplifier par x l’étape d’avant sous entend que x est différent de 0, non?
@@BlackScholes17 oui en effet. Pour être précis quand j’arrive à l’équation après la simplification, je me mets dans cet univers-là où cette nouvelle fonction est bien définie en 0, et ça me permet de trouver la valeur du coefficient, qui se trouve être le même que pour notre fonction initiale (elle qui est non définie en 0)
Je n'ai pas trés bien compris pourquoi on doit poser un nombre complexe dans la décomposition en élément simple .Moi je savais juste que je voulais pour 1/x(x^2 + 1) du a/x + B/(x^2 +1). Si je les additionnes,j'ai du a X^2 + bx +a au numérateur et comme je veux 1 je prend a=1 et ce qui me ferait du x^2 donc je pose que b = -x pour l'enlever.
Je trouve plus simple de faire ca que de poser un nombre complexe ,mais peut etre que mon raisonnement est faux .Si quelqu'un peut m'expliquer svp ?
Les deux sont bons !
je suis belge, j’ai 17 ans et j’ai réussi à trouver cette primitive assez facilement.
Bien joué @Alexis !
Anecdote : c’est un parent d’élève du lycée français de Bruxelles qui me l’avait envoyé 😁
À mon avis on vient juste de trouver une PRIMITIVE (parmi une infinité)
Maintenant il faut l'intégrer entre zéro et l'infini. Alors on fait quoi?
Tu as gagné, je m'abonne
Bonjour, pour la décomposition en éléments simples, l'égalité est vraie uniquement si x != 0 (sinon le dénominateur est égal à 0).
Par conséquent pour trouver "a", je ne pense pas que vous pouviez fixer x = 0
Hello ! Je fixe x=0 à un moment où il n'y a plus de division par 0 ;)
@@TheMathsTailor Effectivement, mais pour pouvoir éliminer le x au dénominateur en multipliant par x, il faut que x != 0, sinon ce n'est pas une équivalence
@@matthieuguillot9108 on est sur R+* ...
@@sinouegad7969 Dans ce cas on ne peut pas prendre x = 0 pour trouver "a"...
Oui c'est une arnaque de physiciens.
Fin je ne pense pas que ce soit rigoureux mais ca fonctionne.
Pour le faire rigoureusement, peut etre faut utiliser les limites plutot que de "remplacer" directement.
Pour la méthode 1, pourquoi ne pas juste remettre au même dénominateur avec les termes a,b,c et faire une identification pour trouver les valeurs de a,b,c ? Je trouve cela plus rapide et plus simple que d’utiliser les complexes
Hello j’ai voulu vous montrer la méthode la plus « générale » qu’on voit dans le supérieur qui est la division en pôles. Identifier marche aussi 😊!
Sinon on peut remplacer x par deux valeurs réelles assez simples pour avoir un système permettant d’obtenir les valeurs de b et de c.
@@girianshiido bah oui mais pour ça il faut admettre que ça se décompose de cette manière
Pourquoi ne pas factoriser par x au numérateur pour les deux premiers termes et séparer la fraction à partir de la ? Je suis le seul à voir que c’est plus simple ? 🤔
tu peux pas séparer une fonction avec une factorisation, c'est qu'avec la DES que tu peux le faire
ln |x|, log de valeur absolue de x, à la fin, pour être rigoureux. Et + constante, l'intégrale étant indéfinie.
self reply: je n'avais pas remarqué le domaine de définition > 0 donnée dans la question, donc pas besoin de |x|
@@Risu0chan self reply
Bonsoir, il y a une petite confusion entre intégrale et primitive.
Langage rapide de ma part en effet!
Il’faudrait détailler les calculs.
Bonjour, parfait j'essaierai de le faire plus la prochaine vidéo !
Très intéressant 👍
Ça paraît dur pour du terminale je suis surprise
Bonjour Lily !
Je te rassure : sur cette chaîne je vous présente des exos qui poussent très loin la compréhension de la terminale ;)
En général soit des exercices demandés à des concours que l'on passe en fin de terminale, soit des exos que je rencontre qui sont faisables avec le programme mais en effet loin d'être évidents !
@@TheMathsTailor Ah mais c’est pas moi qu’il faut rassurer j’étais prof de fac et je suis mathématicienne. Mais la décomposition en élément simple est maintenant au programme de terminale ?
Est-ce que tu peux dire quelles applications et quel matériel tu utilise pour rédiger tes réponses telles qu'elles apparaissent dans la vidéo. Je cherche une solution pour donner des cours particuliers à distance avec mes petits enfants en utilisant un PC sous Windows 10 avec écran non tactile.
Vu la date où je découvre ton site et ce premier exercice très bien ficelé, je te souhaite de bonnes vacances et plein de bonnes choses avec de bon-ne-s élèves.
Bonjour !
Pas mal de solutions, ça tourne autour des deux éléments suivants :
-une tablette avec stylet (au début j’utilisais tablette graphique type Wacom pour moins de 100 euros, ou carrément iPad ou tablette android pour un peu plus cher)
- un logiciel pour écrire avec la tablette, openboard.ch est pas mal sur pc, sur Mac notability (version bureau)
Pour les vidéos j’utilise un iPad avec l’application notability.
Je connecte l’iPad à mon pc en Bluetooth via une appli qui s’appelle « air server» et ensuite c’est facile d’enregistrer votre écran/le partager sur zoom sans problème.
Je ferai peut-être une page bilan pour détailler mon matériel à l’avenir 😄
Bonnes vacances à vous !
Je n'ai pas compris la décomposition en éléments simples (mes cours de prépa commencent à remonter...) la décomposition est vraie pout tout x de R mais vous fixez x=i pour trouver b. Or i n'appartient pas à R mais à C. On a quand même le droit de l'utiliser ?
C’est une astuce que je souhaitais présenter en vidéo : il y a eu un petit débat la dessus dans une conversation antérieure des commentaires n’hésitez pas à aller voir ;)
Après la simplification par 1+1/(x*(x²+1)), le second terme peut être représenté par la fonction 1/u qui a comme primitive ln(u)+c, c que l'on considérera nul, je trouve alors F = x+ln(x*(x²+1)) = x+ln(x)+ln(x²+1), pourquoi est-ce que pour le troisième terme je ne trouve pas le 1/2 et pourquoi est-il positif?
Ta faute vient du fait que donne ln(u)+C comme primitive de 1/u, or ln(u) + C est la primitive de u'/u.
Si u:x->x, alors u'(x)=1 et ca fonctionne comme tu l'as ecrit
Sauf qu'ici, ta fonction est u:x->1/x(x²+1), n'ayant pas 1 comme fonction dérivée
@@Tiotere d'accord merci, je vais essayer de le retenir
Étant donné qu'on trouve 1+blabla et que l'intégrale de 0 à +∞ diverge de 1 diverge est-ce que ça vaut le coup de continuer ?
C’est pas la question demandée en fait
En vrai c est tout court un exo de maths sup pour moi
Sans avoir vu on simplifié le bas en 3x^3 + x et on simplifie
Ils font plus les nombres complexes au lycée en s?
Ils le font dans le module de maths expert, mais pas dans le module de maths spécialité ;)
Division euclidienne
👍
Ou sinon, on fait juste une division de polynôme ?
Je n'ai pas tenté, mais je pense que ça doit mener à la même décomposition en éléments simples donc ça doit marcher ;)
Je crois qu'il y'a une erreur avec la 2e méthode, car tu ne trouve pas la même expression avec les 2 méthodes, le 1 doit être sûr x il me semble
Regardez bien l’erreur ne reste pas longtemps j’ai corrigé en direct à 7:32 ;)
@@TheMathsTailor autant pour moi ^^
💜💜💜
Bonjour, pourquoi ne pas faire une intégration par parties ?
Bonjour ! Ça vaut le coup de tenter ;)
La raison principale est que je voulais le faire au maximum pour qu’un public de terminale puisse suivre
@@TheMathsTailor l'ipp est de nouveau au programme ceci dit. Pour autant ça revient à utiliser un bazooka pour tuer une mouche...
L’intégration par parties est au programme mais je ne vois pas trop comment une ipp permettrait de trouver facilement une primitive dans ce cas.
@@girianshiido Tu as f(x)=1+1/x(x^2+1)
Par linéarité de l’intégrale tu calcule l’intégrale de 1 puis de 1/x(x^2+1)
Ensuite on connaît une primitive de 1 qui vaut x
Et la
PAR INTÉGRATION PAR PARTIES
tu calcules l’intégrale de 1/x(x^2+1)
Et 1/x(x^2+1)= (1/x)*(1/x^2+1)
On pose u(x) et v’(x)
u(x)=1/x^2+1. v’(x)=1/x
Et ainsi de suite...
@@giosephgiovanna7216 ... et on se retrouve alors à chercher une primitive de -2xln(x)/(x^2+1)^2, ce qui est encore plus difficile que ce qu'on avait au départ.
Il ne sert à rien de faire une IPP si c'est pour avoir une primitive encore plus complexe à déterminer.
On peut utiliser votre truc +1-1 directement en amont: (x^3+x+1)/(x(1+x^2))=(x^3+x^2+x+1)/(x(1+x^2))-x^2/(x(1+x^2))=(1-x^4)/(x(1-x)(1+x^2))-x/(1+x^2)=(1-x^2)/(x*(1-x))-x/(1+x^2)=(1+x)/x-x/(1+x^2)=1+1/x-x/(1+x^2)
Il n'a même pas trop cherché, à la fin de la vidéo, tu vas trouver F(x)=x+ln(x/√(x²+1)) lol. Ça se voit clairement que f(x)=[x(x²+1)+x²+1-x²]/[x(x²+1)] hihi.
Non
Pourquoi dis-tu non? Je n'ai pas suivi la vidéo, parle je suis toute ouïe.
Pcq balancer une réponse comme ça c’est nul. La chaîne est clairement destinée à une audience de bacheliers, qui trouveront bien plus utile des explications à leur niveau que « ça se voit clairement ». N’importe qui faisant des maths te dira que c’est pas la solution le plus important mais plutôt les explications 🙃
Je te l'accorde mais j'ai de moins en moins de temps, si j'ai pris la peine de donner une autre forme à la fonction à intégrer, c'était justement pour qu'un élève de terminale puisse se rendre compte qu'il s'agissait d'une somme de dérivée de logarithmes de fonctions, c'est vrai que je dois composer sur une matière qui en parle mais voilà, j'ai deux options: soit je rassemble ce que je sais pour faire ce que j'ai à faire, soit je rentre dans la logique de la chose d'où avant mes vacances, ma façon de procéder.
Barf tqt j’ai surtout dit « non » pour t’embêter ahah
♥️♥️
A mon époque cet exercice était au programme du bac 1986. Rien de difficile.
pas ouf de poser ça à des terminales mais ok
ultra simple comme intégrale et pourtant je suis en première
normal si t'es passionné de maths lol
+C ^^
Je suis un élève marocain SM de Bac je n'ai même pas surpassé 60s pour la résolution!!!!
Facile
C'est totalement hors programme mdrrrr. C'est le programme de maths spé en PC, MP ou PSI 🤷🏽♂️ . C'est de l'intégration sur un intervalle quelconque de R. Or en Terminale si je ne m'abuse ils ne savent intégrer que sur un segment [a,b], à moins que Blanquer ait fait du bon travail pour une fois.
Sauf que la question n’est pas vraiment de calculer un intégrale (contrairement à ce qui est dit oralement) mais de déterminer une primitive. Il n’est donc pas question d’intégrale généralisée.
@@girianshiido Je sais pas si je comprends bien le debat mais "une intégration sur une intervalle quelconque de R" c'est littéralent le principe d'une primitive..
D'ailleurs "trouver une primitive de f" ça se dit bien "intégrer f". Simplement c'est pas une intégrale définie.
Simplement en France les cours sont obnubilés par les intégrales définies x)
Trouver une primitive de f => appliquer F(b) - F(a) pour des bornes quelconques dans le domaine approprié, enjoy ....
Ça demande pas + concepts que l'intégrale "classique", définie.
@@vazn4143 Il est bien connu qu'il est très difficile (voire impossible en un certain sens à préciser) de déterminer des primitives de certaines fonctions alors qu'on est capable de déterminer l'intégrale de ces mêmes fonctions sur certains intervalles. Le calcul d'une intégrale ne passe pas forcément par le calcul d'une primitive !
@@vazn4143 voici un exemple très simple : la fonction de Heaviside H définie par H(x)=0 si x=0.
Tu peux très facilement trouver l’intégrale de H entre deux valeurs a et b quelconques mais tu ne peux pas trouver de primitive de H sur R (il y a un problème en 0).
@@girianshiido Je comprends pas comment tu définis une intégrale entre a et b alors.
Normalement la définition du "calcul d'une intégrale" c'est le théorème fondamental du calcul non ?
Donc F(b) - F(a).
Je dis pas qu'on peut pas calculer l'aire sous la courbe de plein d'autres manières.
Mais normalement "calculer une intégrale" nécessite forcément d'avoir une primitive à un moment ?
Je suis pas spécialiste aprés, je suis en reprise d'études en maths ..
💜💜💜
♥️♥️♥️