Niesamowita seria, naprawdę fajnie pokazuje jak upadają kolejne ciche założenia, które mieliśmy o liczbach i jak rozszerza się ten świat po upadku naszych założeń.
Ech... szkoda, że nie miałem na studiach takiego nauczyciela. Wszystko by wtedy szybciej i łatwiej wchodziło do głowy. Czekam na kolejne wykłady. Fajnie jest sobie odświeżyć te tematy ze studiów informatyki.
Coś pięknego! Wykład bardzo klarowny, znajdujący równowagę pomiędzy liczbą przedstawionych szczegółów i minimalistycznym obrazem całości zagadnienia. Brawo!
Pamiętam jak na matmie w liceum nauczyciel coś nam wspominał o Alef zero i tak mnie to zafascynowało że trochę pogłębiłem temat. Teraz po prawie 10 latach znowu o tym słyszę i się łezka w oku kręci ;)
i w tym miejscu kończy się moja wiedza z matematyki. Mniej więcej na tym etapie matematyka kończy się dla przeciętnego inż, czy magistra po studiach technicznych, nie związanego bezpośrednio z matematyką. teraz z niecierpliwością i ciekawością czekam na kolejne odcinki :)
W tym miejscu zaczyna się przygoda studentów z matematyką, bo to przedmiot z I semestru, "Wstęp do matematyki", lub inaczej Logika z teorią mnogości. Jedni wysiadają, bo uważają to za zbyt trudne (spodziewali się rozwiązywania jakichś odjechanych pochodnych, całek, lub równań 5., czy 6. stopnia - co jak 200 lat temu paru ludzi udowodniło, jest w ogólności niemożliwe). Inni zaczynają się fascynować, bo to zupełnie inna matematyka, niż szkolna, częstokroć nudna, bo oparta o schematy. Generalnie na studiach technicznych, informatycznych, choć jest trochę poważnej matematyki, to po pierwsze chodzi głównie o tematy z XVII-XVIII i początków XIX wieku,a po drugie w technice i informatyce nikt nie chce zajmować się "filozoficznymi" rozważaniami o nieskończoności, czy obliczaniu w nieskończoność nieskończonego rozwinięcia pi. Wynik, program, wydruk, obliczenie, ma być na już, zaraz, nie musi być ścisły i dokładny matematycznie. Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze. Niestety w tej szybkości zatraca się sens i piękno matematyki, zwłaszcza teoretycznej. Tak swoją drogą, pan Cantor zdaje się, że z pół życia z depresją się męczył przez tą hipotezę. Widziałem też oznaczenie na 2 do potęgi continuum, gotyckie f. Pytanie. czy ta liczba kardynalna ma swoją specjalną nazwę.
@@tomaszgrabowski4424 może chodzi o wyobraźnię. Matematyka , jest pięknym narzędziem do organizowania rzeczywistości. Jednak by mieć kontakt ze światem , niestety, należy stale uważnie odróżniać i rozkręcać konstrukcje myślowe i opierać się na źródłach pojęć. To w zastosowaniu jest dość trudnym zajęciem, bo wymaga wprawy i znajomości metafizyki.
@@tomaszgrabowski4424 "Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze" - a jak na studiach technicznych konstruujemy kalkulator? ;) Ale serio, ta wiedza czasami przydaje się chociażby w informatyce. Jeśli ktoś pisze np. bibliotekę do obliczeń matematycznych do jakiegoś nowo powstającego języka programowania, to prawdopodobnie zaimplementuje funkcje sin, cos, exp przez aproksymację szeregiem Taylora.
22:10 no to rozwijajmy obie matematyki, a potem zapytajmy fizyków która im się bardziej przyda. a za jakiś czas zapytajmy inżynierów czy mogą użyć tej drugiej niepotrzebnej matematyki do skonstruowania czegoś poza.....
Rewelacja! Jedyne czego nie rozumiem to dowód, że moc zbioru R > moc zbioru N. Fragment: 09:47 Cantor założył, że w prawej kolumnie znajdują się wszystkie liczby rzeczywiste. Skoro tak, to dlaczego wyszło nam, że jest "ponad tym" liczba 0,92183288... Czy nie powinno jej jednak być w tej kolumnie od początku, zgodnie z naszym założeniem istnienia tam wszystkich liczb? I jeszcze jedno: czy temat różnych nieskończoności i liczb kardynalnych, oprócz tego, że jest po prostu ciekawy, ma jakieś praktyczne zastosowanie?
Liczbę 0.92... stworzyliśmy sztucznie w taki sposób, że na kolejnych miejscach po przecinku różni się od kolejnych liczb w tabeli. Oznacza to, że nawet jak znajdziemy w naszej tabeli liczbę bliźniaczo podobną do 0.92... to na co najmniej jednym miejscu po przecinku będzie się różnić. A skoro udało nam się taką liczbę znaleźć to nie wszystkie liczby rzeczywiste były w tabelce... otrzymujemy sprzeczność więc nasze założenie nie może być spełnione.
Też nigdy nie kupowałem tego dowodu, przecież to samo można zrobić z liczbami naturalnymi wystarczy usunąć 0, i po prawej stronie będziemy mieli liczby naturalne na których teoretycznie również możemy przeprowadzić to dodawanie +1 do każdej następnej cyfry, ale czy tym sposobem stworzymy liczbę która nie będzie zawierała się w nieskończoności?
@@_halav_4777 Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne. Ale faktycznie o egzystencji zbiorów nieprzeliczanych ma decydować metoda przekątniowa, a ta zawiera błąd potencjalnej autoreferencji, który omawiam w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (dostepne na e-bookowie). Tam też ciekawe inne antynomie i niejednoznaczne wyrażenia uzupełniające, jak w klasycznym paradoksie kłamcy...
@@mysl200 "Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne." Dlaczego? Przecież nie można zakładać skończoności liczb naturalnych, czy więc każdy nieskończony ciąg cyfr nie powinien być pełnoprawną liczbą naturalną? Tak samo jak bym wziął liczby pierwsze i utworzył zbiór z potęg liczb pierwszych: 2^2, 2^3, 2^4, ... 3^2, 3^3, 3^4, ... ... W każdym rzędzie będę miał nieskończenie wiele elementów, jednak liczba elementów ze wszystkich rzędów nadal powinna zamykać się w mocy zbioru liczb naturalnych.
Nie spotkałem się do tej pory z formą określenia hipotezy jako "niedowiedlna". Wszędzie tam, gdzie napotykałem "udowodniony brak dowodu", hipoteza była określana jako "niedowodliwa". A propos, może następny odcinek o tym, czym jest "dowód" w matematyce i o tym, że choć nie zawsze znamy dowód jakiejś hipotezy, to często możemy dowieść, że taki dowód w ogóle istnieje (hipoteza jest dowodliwa)?
Przy takim dowodzie, że liczb rzeczywistych nie da się ustawić w ciąg trzeba uważać na jeszcze jeden szczegół. Istnieje taki ciąg liczb rzeczywistych, że utworzona według wskazanej metody liczba to 0.49999... . Pytanie czy wtedy jest już ona w tym ciągu reprezentowana jako 0.5000..., bo obie te reprezentacje przedstawiają tę samą liczbę. Widać jednak, że 0.5000... też w tym ciągu być nie mogło, bo wtedy utworzona by miała albo na pierwszym miejscu po przecinku cyfrę 6 albo na którymś z kolejnych cyfrę 1.
Metod zamiany cyfr z przekątnej w rozwinięciu dziesiętnym może być bardzo dużo, ale w rozwinięciu binarnym sprawa robi się prostsza. 0->1;1->0. Co nie zmienia jednak tego, że metoda przekątniowa nie jest poprawna. Tu trzy pytania: 1. czy metoda powinna prawidłowo działać, tzn generować nowy obiekt (liczbę lub podzbiór), jeśli będzie działać na ciąg (nawet skończony)? 2. Czy liczba utworzona z cyfr po przekątnej -bez zamiany cyfr - może znaleźć się w ciągu, na jakim miejscu i jaką cyfrę będzie posiadać na miejscu indeksowanym ? 3.Z tw. Cantora wynika, że do każdej listy podzbiorów istnieje taki zbiór B, który nie może być obrazem liczby naturalnej na tej liście. A co ze zbiorem uzupełniającym? odpowiedzi znajdziecie w e-booku: NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN
@@marcinkrzyzynski5894 Clue jest takie, że żadna funkcja między N i R nie może być bijekcją. I tu nie ma miejsca na dopisywanie czegokolwiek tak naprawdę, ta różnica rozmiarów jest podobna do różnicy między liczbą naturalną a alef zero.
@@marcinkrzyzynski5894 przypuszczamy, że liczb rzeczywistych jest tyle co naturalnych. Wtedy da się je ustawić w ciąg. Stosując metodę przekątniową udaje nam się zdefiniować nową liczbę rzeczywistą, która różni się od wszystkich wypisanych. Wynika stąd, że (wbrew naszemu założeniu) nasza nieskończona lista nie zawierała nadal wszystkich liczb rzeczywistych, czyli sprzeczność. Do sprzeczności zaprowadziło nas przypuszczenie, że da się ustawić wszystkie liczby rzeczywiste w ciąg.
Odnośnie dowodu ok. 10:10, gdy zbudujemy taką liczbę niesparowaną, to możemy wszytkie sparowane "poprosic" o przesunięcie sie o jeden numer dalej i mamy wolne mniejsce dla liczby niesparowanej i tak w nieskonczonosc....... (taka analogia do hotelu z nieskonczoną liczbą pokoi)
I w nieskończoność NIE będzie istnieć kompletne sparowanie. W historii o nieskończonym hotelu nigdy nie zdarza się, żeby przemeldowywanie nieskończenie wielu gości następowało nieskończenie wiele razy.
Nie wiem czy dobrze to rozumiem. Liczbę alef zero wyobrażam sobie jako nieskończoną linię a liczbę continuum jako nieskończoną płaszczyznę 2d. Jakby ta linia 1D wskazuje nieskończony ciąg a płaszczyzna oznacza, że każda z liczb na jednej linii ma swój własny nieskończony ciąg co razem tworzy płaszczyznę. Idąc dalej po kolejnych liczbach kardynalnych dodaje się kolejne wymiary ciągu liczbowego ewentualnie tetracje, pentacje itd. liczby wymiarów. Czy to jest poprawne wyobrażenie?
Nie, to nie jest dobra intuicja. Zarówno prosta jak i płaszczyzna mają moc continuum. Można powiedzieć, że liczby kardynalne są "ślepe" na wymiar geometryczny. Jeśli już wyobrażać sobie alef zero, to lepszy jest nieskończony zbiór dyskretnych punktów (np. liczby naturalne na osi liczbowej), taki nieskończony ciąg "kropek". Z kolei continuum to liczba punktów w prostej (chodzi o ciągłą linię, bez przerw czy dziur). Co do innych liczb kardynalnych, to raczej nie da się ich dobrze zwizualizować geometrycznie. Jak wspomniałem, zwiększenie liczby wymiarów nic tu nie daje.
Nieskończoność i tak jest skończona, gdyż umysł ludzki jest skończony i może operować tylko do określonej liczby. Jeśli są maszyny liczące, one też mają skończone wymiary. Kosmos chociaż jest nieskończony, lecz gdzieś się kończy a podążanie dalej jest już nicością, która nie ma wymiaru praktycznego. Podążanie dalej nie ma sensu. Nawet wyliczenie wszystkich orbit wszystkich obiektów w kosmosie i tak nie zbliży nas do nieskończoności, bo i po co? Dodatkowo gdy patrzymy na nieskończoność, to widzimy tutaj dwa "końce" nieskończoności na "minus" i na "plus". Czy świat mógłby istnieć bez matematyki? Wracając do samego początku stworzenia, ludziom wystarczyło w raju liczyć tylko do siedmiu. Świat rajski był taki prosty a zarazem taki szczęśliwy. Pozostaje nam filozofia matematyczna i zabawa w nieskończoność, która i tak jest skończona u ludzi.
Dobry żart tynfa wart. Wymyślenie problemu, w którym nie wiadomo o co chodzi, jest tym prostsze, im bardziej nie wiemy o co - w ogólności - chodzi. I tak, gdy konsekwentnie kontynuujemy myśl twórczą, dochodzimy do parakartezjańskiego twierdzenia, że im bardziej popadamy w stan bezmyślności, tym bardziej nas nie ma. W ten sposób metamatematycznie zapracowana ludzkość pragmatycznie zmierza do powszechnego stanu metafizyki docześnie stosowanej.
Rozumiem, że nie lubisz sam ze swego pięknego hobby żartować: "każdego myślącego porusza, przeszywa ludzki rozum; Jak pocisk - myśl Kartezjusza: Cogito - ergo Sum"; Więc STARY homo sapiens wciąż myśli, konsekwentnie rozważa dylemat: "Czy popaść w stan bezmyślności, nie byłoby tym, co najlepsze‽" Po prostu przejąłem się bólem zmysłowego istnienia rodzaju ludzkiego w matematycznym bezkresie kosmosu pojęć i relacji widmowych. Wszyscy jesteśmy chwilowo widmami w żywych ludzkich skórach. Kwaterniony "czwarki" przeszły w ustawicznie jęczące multitudiony. Pozdrawiam z doczesnego wycinka czasoprzestrzeni.
Skoro możemy sobie hipotetycznie założyć prezentacje nieskończonego zbioru liczb R, którego każdy element jest przedstawiony pod postacią rozwiniecia dziesiętnego zajmującego kolejny wiersz, numerowany liczbą naturalną, to tworznie nieistniejącego rozwinięcia dzięsiętnego "z przekątnej" dowodzi,że tak nowo utworzony zbiór wykracza poza możliwośći opisowe zbioru N użytego do jego numeracji. Jednak w ten sam sposób hipotetycznie mogę sobie rozpisać zbiór wszystkich liczb wymiernch Q którego każdy element jest przedstawiony pod postacią rozwinięcia dziesiętnego zajmującego kolejny wiersz, numerowany liczbą naturalną i również mogę stworzyć z "przekątnej" nieistniejące rozwinęcie dziesiętne liczby Q, no bo jak udowodnić,że takie nowo utworzone rozwinięcie dziesiętne nie jest liczbą Q? Rozwinięcie dziesiętne samo w sobie nie ma "ograniczenia mocy",bo nie jest zbiorem. Teoretycznie z innej metody wynika,że Q jest równoliczne z N, wię czy to nie obala metody dowodzenia "z przekątną" dla jakichkolwiek zbiorów nieskończonych, a dowodzi jedynie to że rozwinięcie dziesiętne nie ma "ograniczenia mocy"?
Dobre pytanie! Odpowiedź kryje się tuż za tym fragmentem: "i również mogę stworzyć z "przekątnej" nieistniejące rozwinięcie dziesiętne liczby Q". Sęk w tym właśnie, że nie da się wykazać (bez dodatkowych założeń na wygląd prawej kolumny), czy nowo utworzone rozwinięcie dziesiętne reprezentuje liczbę wymierną, czy niewymierną. Próba zastosowania metody przekątniowej się w tym momencie po prostu zawiesza i nie dowodzi ani tezy, ani jej zaprzeczenia. Bardziej szczegółowe popularnonaukowe wyjaśnienie można znaleźć tutaj: www.mathpages.com/home/kmath371.htm
A jaka jest moc zbioru liczb pierwszych P? Czy jest to alef0? Zbiór P jest nieskończony więc powinien mieć przypisaną jakąś liczbę pozaskończoną |P|. Zbiór potęgowy zbioru P ma moc 2^|P|. Każdemu podzbiorowi P można przypisać unikalną liczbę naturalną (Euclid) po prostu przez przemnożenie wszystkich elementów tego podzbioru. W ten sposób dostajemy podzbiór liczb naturalnych o mocy 2^|P|. Jako podzbiór liczb naturalnych jego moc nie jest większa niż alef0. Przyjmijmy, że jest to alef0. Wtedy alef0=2^|P|. Jeśli |P|=alef0, to Cantor będzie się w grobie przewracał bo wtedy alef0=2^alef0, a on wierzył, że żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym. Pozostaje nam wymyślić gotycką literkę na oznaczenie mocy zbioru liczb pierwszych. Wtedy |P|
Nope, zbiór potęgowy zbioru P zawiera także NIESKOŃCZONE podzbiory, np. taki zawierający tylko "co drugą" liczbę pierwszą. Dla takich nieskończonych podzbiorów Twoje rozumowanie się załamuje, bo wymnażając ich elementy, nie dostaniesz liczby naturalnej.
Dowód zasadza się wlaśnie na tym, że JEŚLI dałoby się utworzyć listę (ponumerowaną liczbami naturalnymi) zawierającą wszystkie liczby rzeczywiste, to na bazie tej listy dałoby się wskazać liczbę rzeczywistą spoza niej. To jest oczywiście absurd i stąd logiczny wniosek, że takiej listy utworzyć się nie da.
@@rigelheron9997 jest chyba jeszcze gorzej: CH w ogóle nie jest problemem, bo Alef 1=Alef 0= c , co wynika z błędności metody diagonalnej, co pokazuję w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (na e-bookowie)
2:02 ja myślę że liczby przeciwne są błędnie zapisywane na wykresie x, w drugą stronę po prostu, tzn 3do-nesk. to liczba przeciwna powinna na osi x wyglądać jakoś -3do +neskończ., a zbiór wspólny to od3 do -3 no nie, Doktorku???
Jest inny dowód, który przeczy stwierdzeniu, że liczb R jest więcej niż N. Hotel z nieskonczoną ilością pokoi. Wszystkie zajęte. Przyjeżdża nowy gość Przekątniowy. Prosi o pokuj. Recepcjonista prosi o zmianę pokoi. Gość z pokoju nr1 do nr2 itd. Pan Przekątniowy dostaje pokuj nr1. Takich gości może przybyć jeszcze nieskonczona ilość i każdy dostanie pokuj gdyż wczasniejsi goście są spolegliwi i przenoszą się za każdym razem do pokoju o wyższym numerze.
@@rigelheron9997 muszę zacząć od poprawki. Pokój przez "ó". Na Waszej planecie jest tyle języków. Wiele z nich jak polski ma trudną ortografię. Do meritum - sam chciałbym to pojąć. Nie jestem matematykiem. W pracy używam algebry i geometri na poziomie szkoły podstawowej. Widziałem filmy o dowodzie przekątniowym Georga Cantora. Pewnie znasz ten dowód. Powiedz mi zatem w czym problem aby każdą nowo utworzoną liczbę R umieścić na kolejnym miejscu na liście liczb N, których nie zabraknie. Mało tego w kolumnie liczb N również nożna wykonać tworzenie po przekątnej ze zmianą cyfry.
@@MrPeterpeter33 *Powiedz mi zatem w czym problem aby każdą nowo utworzoną liczbę R umieścić na kolejnym miejscu na liście liczb N, których nie zabraknie.* Problem w tym, że to nic nie da. Choćbyś nawet umieścił w ten sposób nieskończenie wiele nowo utworzonych liczb rzeczywistych, i tak zawsze będziesz mógł utworzyć taką, której nie ma na liście. Innymi słowy, prawa kolumna nigdy nie będzie zawierać wszystkich liczb rzeczywistych. *Mało tego w kolumnie liczb N również nożna wykonać tworzenie po przekątnej ze zmianą cyfry.* Czyżby? To napisz proszę, jaką liczbę naturalną w ten sposób otrzymasz.
@@rigelheron9997 prawa kolumna nigdy nie będzie zawierać wszystkich liczb R - to prawda. Lewa kolumna również NIGDY nie będzie zawierać wszystkich liczb N. Tworząc nowe liczby metodą po przekątnej obojętnie N czy R zawsze będzie to inna, więc kolejna liczba. To jest dla mnie trudne do pełnego zrozumienia. W wolnych chwilach rozmyślam o tym. Jak to ogarnąć, aby pozbyć się myślenia w kategoriach czasu w jakim żyjemy. Ty również używasz stwierdzenia NIGDY. Samo stworzenie uporządkowane listy N i R w czasie jest nie możliwe. N (1) , a w R ( 0,000......nieskończenie wiele zer i na końcu 1) Mało tego, każdą z liczb R można zapisać w liczniku i zapisać z nieskonczoną kombinacją mianowników. Jednak miajsca w kolumnie N nie zabraknie jakby nie kombinować z R. Chyba, że zrozumiem to gdy lepiej poznam matematykę. Obecnie mój poziom to swobodne korzystanie z funkcji trygonometrycznych i geometri poziomu liceum.
@@MrPeterpeter33 Ale lewa kolumna ZAWIERA wszystkie liczby naturalne. No bo której niby nie zawiera? Co więcej, sztuczka z przekątną w przypadku lewej kolumny nie działa. Jeśli nie wierzysz, to spróbuj ją zastosować i napisz, jaką liczbę skonstruowałeś. Czy ta nowa liczba przypadkiem nie ma nieskończenie wielu cyfr po (albo przed) przecinkiem? Jeśli tak, to nie jest to liczba naturalna ;P
I już wiem, dlaczego nie jestem wybitnym matematykiem. Ba, nie jestem matematykiem w ogóle... A założenie, że nie ma jakiegoś elementu w NIESKOŃCZONYM zbiorze elementów (9:55) zryło mi inżynierską banię dokumentnie. :D
Tu potrzebne są podstawy filozoficzne, a te zostały przez Cantora i następców niezbadane. I został popełniony błąd uogólnienia formuł potencjalnie autoreferencyjnych na wszystkie możliwości. Omawiam to w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" w posłowiu, bo wstęp to część beletrystyczna mająca wprowadzić laika w ten świat nieskończoności.
Wydaje się to absurdalne to że liczba elementów N równa się Z, oznaczyło by to że na osi liczbowej odejmujac te zbiory zostało by nic. A zostaje wszystkie całkowite na lewo od 0 😱
Ktoś to jeszcze śpiewa? (na melodię "oj umarł Maciek, umarł") Oj, myślę sobie czasem, aże sam się śmieję, Oj, czemu to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. Oj, byłby to hałas spory, Gdyby zebrać wszystkie zbiory
Kompletnie nie umiem pojąć, jakim cudem liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo. Dodatkowo o ile pamiętam, w szkole zbiór liczb całkowitych zawierał w sobie zbiór liczb naturalnych, czyli N należy do C. Jeżeli mamy dwa zbiory liczb naturalnych i nagle do liczb z pierwszego zbioru dodamy minusy i połączymy te dwa zbiory to dopiero wówczas postanie zbiór liczb całkowitych. Idąc logiką z filmu można by powiedzieć, że jeden zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z dwoma zbiorami liczb naturalnych i co za tym idzie jeden zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z dowolną ilością zbiorów liczb naturalnych. A to by z kolei oznaczało, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z KAŻDYM zbiorem nieskończonym. Bo na przykład każdej liczbie rzeczywistej da się przyporządkować liczbę naturalną, czyli np. 0->0, 0,0000001->1, 0,00000000004->2 itd. Par jest nieskończona ilość i nie zabraknie liczb w żadnym ze zbiorów.
Dokonujesz skoku logicznego w zdaniu "A to by z kolei oznaczało, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z KAŻDYM zbiorem nieskończonym.". W poprzednim zdaniu piszesz o "dowolnej ilości zbiorów naturalnych", ale mowa w nim o SKOŃCZONEJ ilości, a wyciągasz wniosek na temat NIESKOŃCZONEJ ilości. A tu właśnie trzeba zachować ostrożność. Ok. 9 minuty masz omówiony argument przekątniowy. Zastosuj go do dowolnej zaproponowanej przez siebie listy przyporządkowującej liczby naturalne do rzeczywistych i dojdź do sprzeczności. Taka sprzeczność oznacza, że taka lista przyporządkowująca, która zawierałaby WSZYSTKIE liczby rzeczywiste, nie może istnieć.
@@rigelheron9997 A czy wg Ciebie SUMA zbiorów liczna naturalnych i liczb naturalnych z minusem jest równoliczna ze zbiorem liczb całkowitych? Inaczej mówić czy N + (-N) = Z czy może 2Z ?
@@sprytnyjacek4555 Tak, ponieważ elementy zbioru Z i elementy zbioru N ∪ (−N) da się "sparować". Nawiasem mówiąc, oznaczenie 2Z rozumie się zwykle jako zbiór parzystych liczb całkowitych (który zresztą też jest równoliczny ze zbiorem N). Rozumiem zdziwienie, że zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem, ale to dlatego, że nasza intuicja jest zakorzeniona raczej w zbiorach skończonych, dla których taki efekt jest niemożliwy. Tymczasem dla zbiorów nieskończonych - jest. Prosty przykład dla podzbiorów R: Funkcja f(x) = arctg x każdej liczbie rzeczywistej jednoznacznie przyporządkowuje liczbę z przedziału (−π/2, π/2), który jest wszak podzbiorem właściwym zbioru R.
7:00 za nic nie mogę pojąć, czy prawdziwość tej teorii ma polegać na tym, że po prostu jest tak dużo liczb naturalnych, że jakiej byśmy nie wymyśleli, to znajdziemy odpowiednią w wyliczance liczbę całkowitą? Czylinp. parzystych liczb naturalnych będzie tyle samo, co wszystkich liczb naturalnych? Logika wydaje się tu być zupełnie bezużyteczna, kiedy wiemy, że jeden z dwóch zbiorów zawiera drugi zbiór i coś poza. Co z przedstawieniem graficznym? Czemu nikt nie podchodzi to tego tak, że zostanie nam się coś po graficznym wyeliminowaniu drugiego zbioru (np. gdy usuniemy liczby naturalne ze zbioru liczb całkowitych zostaną nam się przecież same liczby ujemne)?
Graficzne przedstawianie zbiorów nieskończonych jest wysoce niejednoznaczne. Weźmy zbiór liczb całkowitych Z. Zwykle przedstawia się go graficznie tak: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,..., ale można przecież poukładać te elementy inaczej, np. tak żeby na lewo od zera już nic nie było: 0,1,-1,2,-2,3,-3,... Dlatego nie definiuje się "liczby elementów" zbioru na bazie jego graficznej reprezentacji. Co do pierwszego pytania, to nie do końca. Dwa zbiory są równoliczne, gdy ich elementy da się "połączyć w pary". Tam pokazuję właśnie przykład "połączenia w pary" kolejnych liczb naturalnych z liczbami całkowitymi. Każda liczba naturalna ma tu odpowiadającą liczbę całkowitą. I odwrotnie, każda liczba całkowita ma odpowiadającą jej liczbę naturalną. Co do drugiego pytania, tak, zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
@@robertpawowski2160 Pewno przydałoby się Piękno, ale bez Prawdy i Piękno staje się zakłamane. A tu są poważne wątpliwości - polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN
Kompletnie do mnie nie przemawia że N jest równoliczny ze zbiorem Z. Jak dla mnie są dwie hipotezy. Albo mamy nieskończoność, która jest nieskończonością absolutną i próba jej objęcia w zbiór jest nie możliwa. Albo chcemy objąć je w zbiór i wtedy są mniejsze i większe nieskończoności. Np zbiór liczb całkowitych większych od 1 jest większy o jeden element od zbioru liczb całkowitych większych od 2.
Pierwsza możliwość prowadzi do bardzo ubogiej matematyki. Druga możliwość jest bliska temu, co dzieje się przy konstrukcji liczb porządkowych (następny odcinek). Natomiast podana przez Cantora definicja równoliczności prowadzi do możliwości trzeciej. Zgadzam się, że nieintuicyjnej ;)
@@tomaszmiller8030 Pewnie ma to sens. Rozumiem, że nie jestem w stanie tego objąć oglądając kilkudziesięciu minutowy film. Pewnie i Cantora by to nie przekonało kiedyś. Zawsze przekonywałem innych, że matematyka jest prosta bo jest oczywista. Sądząc po Pana podejściu chyba tak jest. Aż nie mogę zrozumieć, że tego nie rozumiem. Świetnie Pan gestykuluje. Mam wrażenie, że gesty, nawet te najmniejsze, idealnie łączą się z przekazem. Fantastyczna pasja.
@@tomaszmiller8030 Aż musiałem obejrzeć jeszcze raz. Alef 0 jest liczbą nieskończoną ale dającą się przyporządkować, a próba przyporządkowania elementów zbioru continuum jest niemożliwa, bo porządkując tworzymy nieskończenie wiele elementów do dalszego przyporządkowania?
Jeszcze narodziło mi się takie pytanie trochę nie na temat, a związane może raczej z odcinkiem o największych liczbach w pracach naukowych. Ilu elementowy jest największy ręcznie zapisany ciąg liczb naturalnych?
@@MietowyMisio Bardzo dziękuję! I tak, to całkiem dobre podsumowanie dowodu przekątniowego Cantora. Co do tego najdłuższego ręcznie napisanego ciągu, to nie wiem, ale nie zdziwiłbym się, gdyby rekord należał do polskiego artysty Romana Opałki, który przez dekady zapełniał kolejne płótna kolejnymi liczbami naturalnymi. Doszedł do 5 590 000.
Pierwszy człon zdania : zgadzam się w pełni . Lecz człowiek skończony jest bez dwóch zdań . Dlaczego mu tego uniemożliwiać ? Niech ma . Niech wie . Że jest i że go kuna nie będzie kiedyś tam tyle ,to wszystko chyba . Bo nieskończoności nie ma jest tylko wirtualnym bytem lub wcześniej jakimś coś jak by wyobraźni tworem . Tak nie znajomość matematyki może kogoś poniżyć , tłamsić lecz jak po co ? I gdzie ? Matematyka to piekna dziedzina wiedzy lecz nie jest realna to tak jak ......... i zbliża sie tam fizyka teoretyczna . Nie odniosę sie do drugiego członu zdana , nie mogę go otworzyć bo jebany youtobe mi tę możliwość zablokował . Se you son
Tak, choć inna. Aby formalnie zdefiniować "połowę nieskończoności", trzeba wyjść poza liczby kardynalne (dla których dzielenie jest niezdefiniowane). W odcinku #9 o liczbach nadrzeczywistych taka "połowa nieskończoności" nawet się pojawia w tle ruclips.net/video/BFsIh08eHg4/видео.html
@@tomaszmiller8030 Niekoniecznie. Polowa liczb naturalnych np. parzyste jest ich nieskonczenie wiele i jest to taka sama nieskonczonosc jak nieskonczonosc wszystkich liczb naturalnych.
@@krzysztofzajac7060 Taka definicja przez przykład jest niewystarczająca z matematycznego punktu widzenia. Ale fakt, w liczbach kardynalnych można zdefiniować (częściowo) dzielenie, zgodnie z którym "a/2 = a" dla każdej liczby pozaskończonej a. Tyle że takie dzielenie jest nieciekawe ;)
@@tomaszmiller8030 Oczywiscie. "Polowa nieskonczonosci" nie znaczy, ze dzielimy alef 0 na 2. Chodzilo mi tylko o pokazanie, ze intuicyjnie liczb parzystych powinno byc mniej niz naturalnych. Ale tak jak bylo powiedziane w materiale - intuicja tu zawodzi. Poza tym czy w ogole jest sens mowic o polowie nieskonczonosci? A jeszcze poza tym ja jestem tylko fizykiem a nie matematykiem :))))
Pare lat temu znalazłem błąd w zaprezentowanym tu dowodzie. Kontaktowałem się z UJ'em ale mnie zignorowali. W razie czego proszę o kontakt i może razem uda się obalić zaprezentowane tu twierdzenie, być może dlatego zostało udowodnione że niedowiedlne było omawiane twierdzenie na podstawie standardowych aksjomatów matematyki.
Cenzura nie tylko Ciebie spotyka. MYŚL! - to pierwsza książka, w której pokazywałem na jednym przykładzie wadliwość metody przekątniowej, a ostatnio w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" znajduję przyczynę leżącą u podstaw. Spotkajmy się na stronie mysl..., gdzie wszystkich zapraszam do dyskusji
@@Mateusz-zp2lo no udało mi się obalić dowód mający świadczyć że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych w taki sposób, że używając wcześniej przedstawionego dowodu udało mi się udowodnić że pośród wszystkich liczb naturalnych jest taka liczba naturalna której nie ma wśród liczb naturalnych. Czyli dowód jest błędny bo jest to sprzeczność. Idąc dalej udało mi się stworzyć coś na krztałt transformaty która przypisuje dokładnie 1 do 1 dowolną liczbę rzeczywistą liczbie naturalnej i odwortnie zatem udało mi się wykazać równoliczność tych zbiorów.
@@Mateusz-zp2lo to musiałbym prezentację na tablicy zrobić bo ot tak nie dam rady tego opisać, niestety potrzebna jest ilustracją która pomoże to zrozumieć
Czy nie prościej byłoby zamiast stosowania metody przekątniowej przeprowadzić dowód następujący? 1. Do każdej liczby całkowitej dopisujemy inny ułamek niewymierny..tworząc nieskończenie długą listę tych ułamków. 2. Teraz biorę dwa dowolne ułamki niewymierne z tej listy. Ponieważ ułamki te są różne to jeden z nich musi być większy niż drugi. Pytanie mam tutaj do matematyków takie. Ile można stworzyć ułamków niewmiernych takich żd będą one zawierały się w przedziale granicami którego będą wzięte z listy te dwa ułamki niewymierne. Sądzę, byc może błednie, że takich ułamków niewymiernych można by stworzyć nieskończenie wiele. Jeśli mam rację to teraz z tych naszych nowych nieskończenie wielu ułamków niewymiernych ponownie wybieramy dwa które tworzyc będą przedział w którym bedzie można utworzyć znów nieskończoną liczbę ułamków niewymiernych. Operację taką można powtarzać w nieskączoność. Ma to sens? Wtedy niejako wprost udowodnilibyśmy niepoliczalność nieskączoności ułamków niewymiernych. Bez znaczenia tutaj byłby fakt że jakieś ułamki w nowej liście będą uż widnialy w którejś z poprzednich. Możemy sobie je zignorować bo: ∞-minus dowolna liczba tych które się powtórzyły to nadal ∞. Istotne jest by na każdej osobno liście ułamki były wszystkie różne. Pzdr.
Niestety nie dowodzi to niepoliczalności liczb rzeczywistych. Powód jest prosty: analogiczne rozumowanie można przeprowadzić zastępując wszędzie słowo "niewymierne" słowem "wymierne". A jak wiadomo, liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Pozdrawiam!
@rigelheron9997 Jasne a jeszcze lepiej słowo niewymierne zastąpić zastąpić słowem wymierne i dodać znane w starożytnym Egipcie, to nie tylko będą policzalne, ale już policzone. A poważnie jeżeli masz listę ułamków wymiernych od 1/∞ do ∞/∞ To napisz taki którego tu nie ma,. Natomiast do dowolnej listy ułamków i niewymiernych można dodawać w nieskończoność nowe ułamki niewymierne iniepowtarzające się z żadnym będącym już na liście. Inaczej jeszcze: Ja ci napisałem najmniejszy i największy ułamek wymierny czegoś takiego nie można zrobić w zbiorze ułamków niewymiernych. Pzdr.,
@@krzysztofturski9070 Z napisami 1/∞ i ∞/∞ są poważne problemy. Ten pierwszy można zinterpretować jako 0, ale problem z nim jest taki, że następny obiekt na takiej liście, czyli 2/∞, też odnosiłby się do zera. Z kolei napis ∞/∞ nie ma sensu liczbowego. Przypominam, że liczba wymierna to liczba postaci p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą, a q liczbą naturalną większą od zera. Ani p, ani q nie mogą być równe ∞, bo nieskończoność nie jest liczbą całkowitą. Ale z ciekawości, pomijając nawet to wszystko: gdzie na Twojej liście jest np. (2/3)/∞ ? I drugie pytanie: skoro ∞/∞ jest ostatnią liczbą na Twojej liście, to jak wygląda PRZEDostatnia?
@@rigelheron9997 Nie mam "swojej" listy. Na liście stworzonej wg. procedury G. Cantora, ułamek 2/3 jest na 7 miejscu. Za "problemy z napisami" z tego co obiło mi się o uszy, to odpowiedzialnie są często tzw. graficiarze,. Może lepiej z nimi o nich podyskutuj. Ja się nie orientuję w tym temacie zupełnie. W temacie ułamków 1/∞ i 2/∞ to no cóż masz takie o nich opinie jakie masz i w porzo a mniej sobie jakie chcesz.. Są tacy, to nie żart. Dla których jest on wart. Mniej niż zero. Mniej niż zero. Oooo Ooo Oo O. Dobra proponuje remis w naszej dyskusji ok? Pzdr.
@@krzysztofturski9070 Nie pytałem o 2/3, tylko o (2/3)/∞. Takiego czegoś nie ma na tamtej liście Cantora przecież, podobnie jak wspomnianych przez Ciebie obiektów "1/∞" oraz "∞/∞". Chętnie poznałbym Twoją opinię na ich temat, skoro moja Cię nie przekonuje. Ale OK, może lepiej faktycznie podyskutuję z kim innym. Pozdrawiam!
Gdzie jest błąd w następującym rozumowaniu?: Skoro nie da się dowieźć zaprzeczenia hipotezy continuum, to nie da się dowieźć istnienia liczby kardynalnej pomiędzy alef_0 i 2^alef_0. No to przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: Gdyby taka liczba istniała, to sama w sobie byłaby dowodem zaprzeczenia HC. A skoro wiemy, że taki dowód nie może istnieć, to zarazem taka liczba nie może istnieć. To dowodzi hipotezy continuum. Qed. 😁🤡
@@rigelheron9997 Czemu? Przecież to jest jedno z podstawowych praw logicznych. Mamy implikację: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum istnieje TO dowodzi ona zaprzeczenia hipotezy continuum". I zarazem wiemy, że taki dowód nie istnieje. (p=>q) i ~q Ergo: ~p
@@przemysawkwiatkowski2674 Gdyby Twoje rozumowanie było logicznie poprawne, to analogicznie mógłbym napisać: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum NIE istnieje, to dowodzi to HC." Jednocześnie wiemy, że taki dowód nie istnieje. Ergo, właśnie wykazałem na identycznej zasadzie jak Ty, że jednak istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum. Wniosek: obaj robimy coś logicznie nieuprawnionego. Podejrzewam, że szkopuł tkwi w słowie "dowód". Ściśle rzecz biorąc, gdy mówimy, że "dowody HC i ~HC nie istnieją", mamy na myśli, że nie istnieją dowody wychodzące ze standardowych aksjomatów teorii mnogości. A stwierdzenie "istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum" nie jest dowodem wychodzącym ze standardowych aksjomatów teorii mnogości ;)
A zbiór liczb niewymiernych to zbiór nieskończony jak zbiór liczb całkowitych czy rzeczywistych? 🤔 Zakładam że jak całkowitych ale to podpowiada "chłopski rozum". Ktoś coś?
Liczb niewymiernych jest tyle samo, co rzeczywistych. Można to uzasadnić tak: Oznaczmy zbiór liczb niewymiernych przez X. Z samej definicji wiemy, że R = suma rozłączna Q i X. Z definicji dodawania liczb kardynalnych (17:56) mamy więc, że |R| = |Q| + |X|. Wiemy też, że |Q| = ℵ_0, natomiast |R| = c, więc otrzymujemy, że c = ℵ_0 + |X|. I teraz z tego, co powiedziałem o dodawaniu liczb kardynalnych (18:37) wynika już, że |X| musi być równe c.
@@tomaszmiller8030 Panie Tomaszu, wysyłałem do Pana przed opublikowaniem tego filmu esej w którym podważałem poprawność metody diagonalnej. Do przemyślenia polecam posłowie "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie analizuję antynomie oraz ich niewłaściwe zastosowanie przez Cantora w metodzie przekątniowej. Bardzo proszę o przeanalizowanie tekstów - i oczywiście będę wdzięczny, gdy znajdzie pan jakieś luki merytoryczne, a za zaangażowanie oferuję "żywą gęś", Pozdrawiam i wesołych świąt!
@@mysl200 Przykro mi, ale nic nie dostałem... Proszę wysłać na mojego UJ-owego maila, chętnie spojrzę w wolnej chwili: tomasz[kropka]miller[małpa]uj[kropka]edu[kropka]pl
I jeszcze jedno dlaczego sama matematyka miała by mnie cos ? Tak ogólnie . To jest nie normalne . Budzę sie i matematyka mi cos jak gdzie i po co? Mi cos ? Jak jej nie ma ? Bądź jest tylko ... w . Mojej głowie
Wszystkim życzę zdrowych spokojnych Świąt BN, a do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.
@@elizabethharper9081 Nie uwzględnia możliwości definiowania skończonym tekstem obiektów: liczb rzeczywistych, podzbiorów - gdzie może pojawić się autoreferencyjność sformułowań stanowiących podstawę sprzeczności w dowodach nie wprost. Takich dowodów nie powinno się stosować, gdy nie obowiązuje prawo wyłączonego środka - gdy ani dowodzona teza nie jest poprawna ani jej zaprzeczenie, bo obie rodzą sprzeczności.
@@elizabethharper9081 Jeśli formuła mająca definiować zbiór B z twierdzenia Cantora definiuje zbiór, to proszę się zastanowić, jaka formuła definiuje zbiór uzupełniający. Dalej, czy może ona być wartością funkcji f i dla jakiego argumentu oraz czy ten argument a) może należeć do wartości i b)może nie należeć do wartości dla tego samego argumentu.
Zdecydowanie zbyt długo czekaliśmy na porządny polski kanał o matematyce. Znakomicie!
A matemaks???Tomasz Gwiazda?!?
Oglądanie tych wykładów generuje jednostkę chorobową o nazwie ból mózgu 🤕
Dziękujemy.
Niesamowita seria, naprawdę fajnie pokazuje jak upadają kolejne ciche założenia, które mieliśmy o liczbach i jak rozszerza się ten świat po upadku naszych założeń.
Ech... szkoda, że nie miałem na studiach takiego nauczyciela. Wszystko by wtedy szybciej i łatwiej wchodziło do głowy. Czekam na kolejne wykłady. Fajnie jest sobie odświeżyć te tematy ze studiów informatyki.
Tyle ciekawej wiedzy, a ja taki gupi 🤯 Muszę to obejrzeć kilka razy, by mieć szansę to zrozumieć 😱
świetne efekty i wstawki humorystyczne. Wykład też bardzo ciekawy ale z nimi to wyższy poziom
Coś pięknego! Wykład bardzo klarowny, znajdujący równowagę pomiędzy liczbą przedstawionych szczegółów i minimalistycznym obrazem całości zagadnienia. Brawo!
Ale super wykład! Póki co najlepszy odcinek z tej serii.
Mózg mi wybuchł po raz drugi (bo miałem to na studiach). Nadal mnie to zadziwia. Świetna seria
do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.
Ta to ciekawe jak dalej żyjesz
Jednak o trudnych pojęciach można mówić w sposób łatwy. Dziękuję. Objaśnianie symboli, bezcenne :)
Jest jeden z najlepszych wykładowców copernicusa. Niestety temat dla mnie jest najbardziej enigmatyczny :D
Nareszcie fajny Polski film na ten temat
lol, najciekawszy materiał który oglądałem od bardzo.... dawna. Pozdrawiam serdecznie!
Każdy kolejny odcinek jest coraz lepszy. Bardzo ciekawa seria
:DDD, w końcu nowy odcinek. Nie mogę się doczekać kolejnych części.
Słucha się tego bardzo przyjemnie :) Czekam na dalsze odcinki.
Pamiętam jak na matmie w liceum nauczyciel coś nam wspominał o Alef zero i tak mnie to zafascynowało że trochę pogłębiłem temat. Teraz po prawie 10 latach znowu o tym słyszę i się łezka w oku kręci ;)
Polecam " Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden", gdzie temat jest znacznie pogłębiony, a nieskończoność powiększona, choć Cantorowska spłycona 😀
Dziekuje, za przypominanie piekna ktore sie mi juz troche przykurzylo.
Super program daje suba
Dzięki
Niesamowita seria wykładów 💓
Dziękuję za ciekawy materiał.
Uważam, że prowadzący powinien być wymieniony w tytule. Bardzo strawnie i ciekawie Pan opowiada. Pozdrawiam.
Audycje Pana Milera są bardzo inspirujące!
Zgadzam się w 100%. Obok Prof. Krzysztofa Meissnera jeden z moich ulubionych wykładowców. Pozdrawiam.
Jezu, jakie to jest dobre :)
Rewelacja. Z wyksztalcenia jestem matematykiem, ale sluchalem tego wykladu jak dobrej powiesci. Zapisuje sie po wiecej ...
bardzo fajnie sie slucha , ze jesli ktos komus cos , ewentualnie itd .
i w tym miejscu kończy się moja wiedza z matematyki. Mniej więcej na tym etapie matematyka kończy się dla przeciętnego inż, czy magistra po studiach technicznych, nie związanego bezpośrednio z matematyką. teraz z niecierpliwością i ciekawością czekam na kolejne odcinki :)
W tym miejscu zaczyna się przygoda studentów z matematyką, bo to przedmiot z I semestru, "Wstęp do matematyki", lub inaczej Logika z teorią mnogości. Jedni wysiadają, bo uważają to za zbyt trudne (spodziewali się rozwiązywania jakichś odjechanych pochodnych, całek, lub równań 5., czy 6. stopnia - co jak 200 lat temu paru ludzi udowodniło, jest w ogólności niemożliwe). Inni zaczynają się fascynować, bo to zupełnie inna matematyka, niż szkolna, częstokroć nudna, bo oparta o schematy. Generalnie na studiach technicznych, informatycznych, choć jest trochę poważnej matematyki, to po pierwsze chodzi głównie o tematy z XVII-XVIII i początków XIX wieku,a po drugie w technice i informatyce nikt nie chce zajmować się "filozoficznymi" rozważaniami o nieskończoności, czy obliczaniu w nieskończoność nieskończonego rozwinięcia pi. Wynik, program, wydruk, obliczenie, ma być na już, zaraz, nie musi być ścisły i dokładny matematycznie. Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze. Niestety w tej szybkości zatraca się sens i piękno matematyki, zwłaszcza teoretycznej. Tak swoją drogą, pan Cantor zdaje się, że z pół życia z depresją się męczył przez tą hipotezę. Widziałem też oznaczenie na 2 do potęgi continuum, gotyckie f. Pytanie. czy ta liczba kardynalna ma swoją specjalną nazwę.
@@tomaszgrabowski4424 może chodzi o wyobraźnię. Matematyka , jest pięknym narzędziem do organizowania rzeczywistości. Jednak by mieć kontakt ze światem , niestety, należy stale uważnie odróżniać i rozkręcać konstrukcje myślowe i opierać się na źródłach pojęć. To w zastosowaniu jest dość trudnym zajęciem, bo wymaga wprawy i znajomości metafizyki.
@@tomaszgrabowski4424 "Studenci na kierunkach technicznych uczą się (czasem) na analizie o wzorze Taylora, pozwala on w miarę szybko oszacować np. sinus 18 stopni, ale kalkulatory i inne narzędzia są szybsze" - a jak na studiach technicznych konstruujemy kalkulator? ;)
Ale serio, ta wiedza czasami przydaje się chociażby w informatyce. Jeśli ktoś pisze np. bibliotekę do obliczeń matematycznych do jakiegoś nowo powstającego języka programowania, to prawdopodobnie zaimplementuje funkcje sin, cos, exp przez aproksymację szeregiem Taylora.
Swietne wykłady. Nie sądzę, ze da się tłumaczyć tę trudną dziedzinę prościej...
Nieskończoność dodaje Ci skrzydeł.
22:10 no to rozwijajmy obie matematyki, a potem zapytajmy fizyków która im się bardziej przyda. a za jakiś czas zapytajmy inżynierów czy mogą użyć tej drugiej niepotrzebnej matematyki do skonstruowania czegoś poza.....
Drugi człon zdania , tak rownież prawda , człowiek nie jest wstanie ogarnąć nieskończoności bo jest kuna skończony
Najlepsze!
Kto chce następny wykład o notacji Knutha ręka do góry !!
Właściwie trzeba by się spierać o punkt wspólny bo 3 i -3,nie należą do części wspólnej, zgodnie z definicją liczb rzeczywistych
W liceum mnie uczyli, że liczby naturalne zaczynają się od 1. Co prawda z zastrzeżeniem, że matematycy nie są zgodni i czasem od zera. :-)
Rewelacja! Jedyne czego nie rozumiem to dowód, że moc zbioru R > moc zbioru N. Fragment: 09:47 Cantor założył, że w prawej kolumnie znajdują się wszystkie liczby rzeczywiste. Skoro tak, to dlaczego wyszło nam, że jest "ponad tym" liczba 0,92183288... Czy nie powinno jej jednak być w tej kolumnie od początku, zgodnie z naszym założeniem istnienia tam wszystkich liczb?
I jeszcze jedno: czy temat różnych nieskończoności i liczb kardynalnych, oprócz tego, że jest po prostu ciekawy, ma jakieś praktyczne zastosowanie?
Liczbę 0.92... stworzyliśmy sztucznie w taki sposób, że na kolejnych miejscach po przecinku różni się od kolejnych liczb w tabeli. Oznacza to, że nawet jak znajdziemy w naszej tabeli liczbę bliźniaczo podobną do 0.92... to na co najmniej jednym miejscu po przecinku będzie się różnić. A skoro udało nam się taką liczbę znaleźć to nie wszystkie liczby rzeczywiste były w tabelce... otrzymujemy sprzeczność więc nasze założenie nie może być spełnione.
@@krzysztofpecyna7628 to błąd logiczny
Też nigdy nie kupowałem tego dowodu, przecież to samo można zrobić z liczbami naturalnymi wystarczy usunąć 0, i po prawej stronie będziemy mieli liczby naturalne na których teoretycznie również możemy przeprowadzić to dodawanie +1 do każdej następnej cyfry, ale czy tym sposobem stworzymy liczbę która nie będzie zawierała się w nieskończoności?
@@_halav_4777 Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne. Ale faktycznie o egzystencji zbiorów nieprzeliczanych ma decydować metoda przekątniowa, a ta zawiera błąd potencjalnej autoreferencji, który omawiam w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (dostepne na e-bookowie). Tam też ciekawe inne antynomie i niejednoznaczne wyrażenia uzupełniające, jak w klasycznym paradoksie kłamcy...
@@mysl200 "Usunięcie zera i przecinka z lewej pozostawia nieskończony łańcuch cyfr w każdej linijce, a to nie są liczby naturalne." Dlaczego? Przecież nie można zakładać skończoności liczb naturalnych, czy więc każdy nieskończony ciąg cyfr nie powinien być pełnoprawną liczbą naturalną?
Tak samo jak bym wziął liczby pierwsze i utworzył zbiór z potęg liczb pierwszych:
2^2, 2^3, 2^4, ...
3^2, 3^3, 3^4, ...
...
W każdym rzędzie będę miał nieskończenie wiele elementów, jednak liczba elementów ze wszystkich rzędów nadal powinna zamykać się w mocy zbioru liczb naturalnych.
Hehe Świetny Wykład! ☺
Super wykład !!!! ;) Czy opisane dzisiaj cechy nieskończoności i działania na nich maja jakieś praktyczne zastosowanie? Pozdrawiam !
Super seria :3
:) Super, super!
BRAWOOOO!!
Geniusz dzieki 💪💪
super
Nie spotkałem się do tej pory z formą określenia hipotezy jako "niedowiedlna". Wszędzie tam, gdzie napotykałem "udowodniony brak dowodu", hipoteza była określana jako "niedowodliwa". A propos, może następny odcinek o tym, czym jest "dowód" w matematyce i o tym, że choć nie zawsze znamy dowód jakiejś hipotezy, to często możemy dowieść, że taki dowód w ogóle istnieje (hipoteza jest dowodliwa)?
Liczby Kardynała - "Co łaska"
Przy takim dowodzie, że liczb rzeczywistych nie da się ustawić w ciąg trzeba uważać na jeszcze jeden szczegół. Istnieje taki ciąg liczb rzeczywistych, że utworzona według wskazanej metody liczba to 0.49999... . Pytanie czy wtedy jest już ona w tym ciągu reprezentowana jako 0.5000..., bo obie te reprezentacje przedstawiają tę samą liczbę. Widać jednak, że 0.5000... też w tym ciągu być nie mogło, bo wtedy utworzona by miała albo na pierwszym miejscu po przecinku cyfrę 6 albo na którymś z kolejnych cyfrę 1.
Metod zamiany cyfr z przekątnej w rozwinięciu dziesiętnym może być bardzo dużo, ale w rozwinięciu binarnym sprawa robi się prostsza. 0->1;1->0. Co nie zmienia jednak tego, że metoda przekątniowa nie jest poprawna. Tu trzy pytania: 1. czy metoda powinna prawidłowo działać, tzn generować nowy obiekt (liczbę lub podzbiór), jeśli będzie działać na ciąg (nawet skończony)? 2. Czy liczba utworzona z cyfr po przekątnej -bez zamiany cyfr - może znaleźć się w ciągu, na jakim miejscu i jaką cyfrę będzie posiadać na miejscu indeksowanym ? 3.Z tw. Cantora wynika, że do każdej listy podzbiorów istnieje taki zbiór B, który nie może być obrazem liczby naturalnej na tej liście. A co ze zbiorem uzupełniającym? odpowiedzi znajdziecie w e-booku: NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN
ladny Kolowrotek .
Obejrzałem już 3 razy fragment o nieskończoność liczb naturalnych rzeczywistych i nadal nie rozumiem tej sprzeczności
Znaczy, nie widzę problemu w tym żeby istniała ta liczba po przekątnej, ale też nie ma problemu żeby dopisać do niej kolejną naturalną
do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.
@@marcinkrzyzynski5894
Clue jest takie, że żadna funkcja między N i R nie może być bijekcją.
I tu nie ma miejsca na dopisywanie czegokolwiek tak naprawdę, ta różnica rozmiarów jest podobna do różnicy między liczbą naturalną a alef zero.
@@marcinkrzyzynski5894 przypuszczamy, że liczb rzeczywistych jest tyle co naturalnych. Wtedy da się je ustawić w ciąg. Stosując metodę przekątniową udaje nam się zdefiniować nową liczbę rzeczywistą, która różni się od wszystkich wypisanych. Wynika stąd, że (wbrew naszemu założeniu) nasza nieskończona lista nie zawierała nadal wszystkich liczb rzeczywistych, czyli sprzeczność. Do sprzeczności zaprowadziło nas przypuszczenie, że da się ustawić wszystkie liczby rzeczywiste w ciąg.
10:00 nie rozumiem. proszę o wyjaśnienie gdyż nie rozumiem czemu jej nie ma.
dwa do jakiej potęgi da alef zero? czy to będzie kolejna liczba kardynalna?
Dla mnie nieskończoność to ciągłość a nie ilość.
nieskonczonosc to N +1
Odnośnie dowodu ok. 10:10, gdy zbudujemy taką liczbę niesparowaną, to możemy wszytkie sparowane "poprosic" o przesunięcie sie o jeden numer dalej i mamy wolne mniejsce dla liczby niesparowanej i tak w nieskonczonosc....... (taka analogia do hotelu z nieskonczoną liczbą pokoi)
I w nieskończoność NIE będzie istnieć kompletne sparowanie. W historii o nieskończonym hotelu nigdy nie zdarza się, żeby przemeldowywanie nieskończenie wielu gości następowało nieskończenie wiele razy.
14:10 - czyli oś liczb rzeczywistych jest "hologramem" płaszczyzny liczb zespolonych?
Nie wiem czy dobrze to rozumiem. Liczbę alef zero wyobrażam sobie jako nieskończoną linię a liczbę continuum jako nieskończoną płaszczyznę 2d. Jakby ta linia 1D wskazuje nieskończony ciąg a płaszczyzna oznacza, że każda z liczb na jednej linii ma swój własny nieskończony ciąg co razem tworzy płaszczyznę. Idąc dalej po kolejnych liczbach kardynalnych dodaje się kolejne wymiary ciągu liczbowego ewentualnie tetracje, pentacje itd. liczby wymiarów. Czy to jest poprawne wyobrażenie?
Nie, to nie jest dobra intuicja. Zarówno prosta jak i płaszczyzna mają moc continuum. Można powiedzieć, że liczby kardynalne są "ślepe" na wymiar geometryczny. Jeśli już wyobrażać sobie alef zero, to lepszy jest nieskończony zbiór dyskretnych punktów (np. liczby naturalne na osi liczbowej), taki nieskończony ciąg "kropek". Z kolei continuum to liczba punktów w prostej (chodzi o ciągłą linię, bez przerw czy dziur). Co do innych liczb kardynalnych, to raczej nie da się ich dobrze zwizualizować geometrycznie. Jak wspomniałem, zwiększenie liczby wymiarów nic tu nie daje.
Panie Tomku jeszcze jeden taki numer i daje lapke w dol
Czy istnieje liczba większa od niskończoności
Tomek powinien założyć kanał na yt i wrzucać więcej o matematyce
Popieram!
Nieskończoność i tak jest skończona, gdyż umysł ludzki jest skończony i może operować tylko do określonej liczby. Jeśli są maszyny liczące, one też mają skończone wymiary. Kosmos chociaż jest nieskończony, lecz gdzieś się kończy a podążanie dalej jest już nicością, która nie ma wymiaru praktycznego. Podążanie dalej nie ma sensu. Nawet wyliczenie wszystkich orbit wszystkich obiektów w kosmosie i tak nie zbliży nas do nieskończoności, bo i po co? Dodatkowo gdy patrzymy na nieskończoność, to widzimy tutaj dwa "końce" nieskończoności na "minus" i na "plus". Czy świat mógłby istnieć bez matematyki? Wracając do samego początku stworzenia, ludziom wystarczyło w raju liczyć tylko do siedmiu. Świat rajski był taki prosty a zarazem taki szczęśliwy. Pozostaje nam filozofia matematyczna i zabawa w nieskończoność, która i tak jest skończona u ludzi.
"lecz gdzieś się kończy a podążanie dalej jest już nicością" - tego nie wiemy, może się kiedyś dowiemy a może nie ;)
Wyśmienity wykładzik
Dobry żart tynfa wart. Wymyślenie problemu, w którym nie wiadomo o co chodzi, jest tym prostsze, im bardziej nie wiemy o co - w ogólności - chodzi. I tak, gdy konsekwentnie kontynuujemy myśl twórczą, dochodzimy do parakartezjańskiego twierdzenia, że im bardziej popadamy w stan bezmyślności, tym bardziej nas nie ma. W ten sposób
metamatematycznie zapracowana ludzkość pragmatycznie zmierza do powszechnego stanu metafizyki docześnie stosowanej.
@@jerzymadej1256 Czyli nadal nic nie rozumiesz.
Rozumiem, że nie lubisz sam ze swego pięknego hobby żartować:
"każdego myślącego porusza, przeszywa ludzki rozum;
Jak pocisk - myśl Kartezjusza: Cogito - ergo Sum";
Więc STARY homo sapiens wciąż myśli, konsekwentnie rozważa dylemat: "Czy popaść w stan bezmyślności, nie byłoby tym, co najlepsze‽" Po prostu przejąłem się bólem zmysłowego istnienia rodzaju ludzkiego w matematycznym bezkresie kosmosu pojęć i relacji widmowych. Wszyscy jesteśmy chwilowo widmami w żywych ludzkich skórach. Kwaterniony "czwarki" przeszły w ustawicznie jęczące multitudiony. Pozdrawiam z doczesnego wycinka czasoprzestrzeni.
Skoro możemy sobie hipotetycznie założyć prezentacje nieskończonego zbioru liczb R,
którego każdy element jest przedstawiony pod postacią rozwiniecia dziesiętnego
zajmującego kolejny wiersz,
numerowany liczbą naturalną,
to tworznie nieistniejącego rozwinięcia dzięsiętnego "z przekątnej"
dowodzi,że tak nowo utworzony zbiór wykracza poza możliwośći opisowe zbioru N użytego do jego numeracji.
Jednak w ten sam sposób hipotetycznie mogę sobie rozpisać zbiór wszystkich liczb wymiernch Q
którego każdy element jest przedstawiony pod postacią rozwinięcia dziesiętnego
zajmującego kolejny wiersz,
numerowany liczbą naturalną
i również mogę stworzyć z "przekątnej" nieistniejące rozwinęcie dziesiętne liczby Q,
no bo jak udowodnić,że takie nowo utworzone rozwinięcie dziesiętne nie jest liczbą Q?
Rozwinięcie dziesiętne samo w sobie nie ma "ograniczenia mocy",bo nie jest zbiorem.
Teoretycznie z innej metody wynika,że Q jest równoliczne z N,
wię czy to nie obala metody dowodzenia "z przekątną" dla jakichkolwiek zbiorów nieskończonych,
a dowodzi jedynie to że rozwinięcie dziesiętne nie ma "ograniczenia mocy"?
Dobre pytanie! Odpowiedź kryje się tuż za tym fragmentem: "i również mogę stworzyć z "przekątnej" nieistniejące rozwinięcie dziesiętne liczby Q". Sęk w tym właśnie, że nie da się wykazać (bez dodatkowych założeń na wygląd prawej kolumny), czy nowo utworzone rozwinięcie dziesiętne reprezentuje liczbę wymierną, czy niewymierną. Próba zastosowania metody przekątniowej się w tym momencie po prostu zawiesza i nie dowodzi ani tezy, ani jej zaprzeczenia. Bardziej szczegółowe popularnonaukowe wyjaśnienie można znaleźć tutaj: www.mathpages.com/home/kmath371.htm
A jaka jest moc zbioru liczb pierwszych P? Czy jest to alef0? Zbiór P jest nieskończony więc powinien mieć przypisaną jakąś liczbę pozaskończoną |P|. Zbiór potęgowy zbioru P ma moc 2^|P|. Każdemu podzbiorowi P można przypisać unikalną liczbę naturalną (Euclid) po prostu przez przemnożenie wszystkich elementów tego podzbioru. W ten sposób dostajemy podzbiór liczb naturalnych o mocy 2^|P|. Jako podzbiór liczb naturalnych jego moc nie jest większa niż alef0. Przyjmijmy, że jest to alef0. Wtedy alef0=2^|P|. Jeśli |P|=alef0, to Cantor będzie się w grobie przewracał bo wtedy alef0=2^alef0, a on wierzył, że żaden zbiór nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym. Pozostaje nam wymyślić gotycką literkę na oznaczenie mocy zbioru liczb pierwszych. Wtedy |P|
Nope, zbiór potęgowy zbioru P zawiera także NIESKOŃCZONE podzbiory, np. taki zawierający tylko "co drugą" liczbę pierwszą. Dla takich nieskończonych podzbiorów Twoje rozumowanie się załamuje, bo wymnażając ich elementy, nie dostaniesz liczby naturalnej.
Nie mogę się niezgodzic. Dziękuję za sprostowanie i wyjaśnienie.
Nie trafia do mnie dowód z 9:30. Skąd twierdzenie, że nie ma tej liczby, skoro są wszystkie rzeczywiste?
Dowód zasadza się wlaśnie na tym, że JEŚLI dałoby się utworzyć listę (ponumerowaną liczbami naturalnymi) zawierającą wszystkie liczby rzeczywiste, to na bazie tej listy dałoby się wskazać liczbę rzeczywistą spoza niej. To jest oczywiście absurd i stąd logiczny wniosek, że takiej listy utworzyć się nie da.
czy ja usłyszałem słowo 'trywialne'
💗
Próbowałem nie probowalne dotykać rzeczy
Coś przeoczyłem? Hipoteza continuum została udowodniona?
Nie. Udowodniono, że nie da się jej udowodnić.
@@rigelheron9997 jest chyba jeszcze gorzej:
CH w ogóle nie jest problemem, bo Alef 1=Alef 0= c , co wynika z błędności metody diagonalnej, co pokazuję w "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" (na e-bookowie)
Wykazano, że jest ona niezależna od przyjętych aksjomatów w teorii mocy (wliczam w to aksjomat wyboru)
2:02 ja myślę że liczby przeciwne są błędnie zapisywane na wykresie x, w drugą stronę po prostu, tzn 3do-nesk. to liczba przeciwna powinna na osi x wyglądać jakoś -3do +neskończ., a zbiór wspólny to od3 do -3 no nie, Doktorku???
Jest inny dowód, który przeczy stwierdzeniu, że liczb R jest więcej niż N. Hotel z nieskonczoną ilością pokoi. Wszystkie zajęte. Przyjeżdża nowy gość Przekątniowy. Prosi o pokuj. Recepcjonista prosi o zmianę pokoi. Gość z pokoju nr1 do nr2 itd. Pan Przekątniowy dostaje pokuj nr1. Takich gości może przybyć jeszcze nieskonczona ilość i każdy dostanie pokuj gdyż wczasniejsi goście są spolegliwi i przenoszą się za każdym razem do pokoju o wyższym numerze.
I jak niby z tej historii ma wynikać, że liczb R nie jest więcej niż N?
@@rigelheron9997 muszę zacząć od poprawki. Pokój przez "ó". Na Waszej planecie jest tyle języków. Wiele z nich jak polski ma trudną ortografię.
Do meritum - sam chciałbym to pojąć. Nie jestem matematykiem. W pracy używam algebry i geometri na poziomie szkoły podstawowej.
Widziałem filmy o dowodzie przekątniowym Georga Cantora. Pewnie znasz ten dowód. Powiedz mi zatem w czym problem aby każdą nowo utworzoną liczbę R umieścić na kolejnym miejscu na liście liczb N, których nie zabraknie.
Mało tego w kolumnie liczb N również nożna wykonać tworzenie po przekątnej ze zmianą cyfry.
@@MrPeterpeter33 *Powiedz mi zatem w czym problem aby każdą nowo utworzoną liczbę R umieścić na kolejnym miejscu na liście liczb N, których nie zabraknie.*
Problem w tym, że to nic nie da. Choćbyś nawet umieścił w ten sposób nieskończenie wiele nowo utworzonych liczb rzeczywistych, i tak zawsze będziesz mógł utworzyć taką, której nie ma na liście. Innymi słowy, prawa kolumna nigdy nie będzie zawierać wszystkich liczb rzeczywistych.
*Mało tego w kolumnie liczb N również nożna wykonać tworzenie po przekątnej ze zmianą cyfry.*
Czyżby? To napisz proszę, jaką liczbę naturalną w ten sposób otrzymasz.
@@rigelheron9997 prawa kolumna nigdy nie będzie zawierać wszystkich liczb R - to prawda. Lewa kolumna również NIGDY nie będzie zawierać wszystkich liczb N.
Tworząc nowe liczby metodą po przekątnej obojętnie N czy R zawsze będzie to inna, więc kolejna liczba.
To jest dla mnie trudne do pełnego zrozumienia. W wolnych chwilach rozmyślam o tym. Jak to ogarnąć, aby pozbyć się myślenia w kategoriach czasu w jakim żyjemy. Ty również używasz stwierdzenia NIGDY.
Samo stworzenie uporządkowane listy N i R w czasie jest nie możliwe. N (1) , a w R ( 0,000......nieskończenie wiele zer i na końcu 1)
Mało tego, każdą z liczb R można zapisać w liczniku i zapisać z nieskonczoną kombinacją mianowników.
Jednak miajsca w kolumnie N nie zabraknie jakby nie kombinować z R.
Chyba, że zrozumiem to gdy lepiej poznam matematykę.
Obecnie mój poziom to swobodne korzystanie z funkcji trygonometrycznych i geometri poziomu liceum.
@@MrPeterpeter33 Ale lewa kolumna ZAWIERA wszystkie liczby naturalne. No bo której niby nie zawiera? Co więcej, sztuczka z przekątną w przypadku lewej kolumny nie działa. Jeśli nie wierzysz, to spróbuj ją zastosować i napisz, jaką liczbę skonstruowałeś. Czy ta nowa liczba przypadkiem nie ma nieskończenie wielu cyfr po (albo przed) przecinkiem? Jeśli tak, to nie jest to liczba naturalna ;P
I już wiem, dlaczego nie jestem wybitnym matematykiem. Ba, nie jestem matematykiem w ogóle... A założenie, że nie ma jakiegoś elementu w NIESKOŃCZONYM zbiorze elementów (9:55) zryło mi inżynierską banię dokumentnie. :D
Tu potrzebne są podstawy filozoficzne, a te zostały przez Cantora i następców niezbadane.
I został popełniony błąd uogólnienia formuł potencjalnie autoreferencyjnych na wszystkie możliwości.
Omawiam to w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" w posłowiu, bo wstęp to część beletrystyczna mająca wprowadzić laika w ten świat nieskończoności.
Wydaje się to absurdalne to że liczba elementów N równa się Z, oznaczyło by to że na osi liczbowej odejmujac te zbiory zostało by nic. A zostaje wszystkie całkowite na lewo od 0 😱
I dlatego właśnie nie da się sensownie zdefiniować odejmowania liczb kardynalnych na bazie operacji odejmowania zbiorów ;)
Ktoś to jeszcze śpiewa? (na melodię "oj umarł Maciek, umarł")
Oj, myślę sobie czasem, aże sam się śmieję,
Oj, czemu to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje.
Oj, byłby to hałas spory,
Gdyby zebrać wszystkie zbiory
Czy Pan jest kuzynem/bratem/rodziną dla Bartłomieja Radziejewskiego z Nowej Konfederacji?
Kompletnie nie umiem pojąć, jakim cudem liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo. Dodatkowo o ile pamiętam, w szkole zbiór liczb całkowitych zawierał w sobie zbiór liczb naturalnych, czyli N należy do C.
Jeżeli mamy dwa zbiory liczb naturalnych i nagle do liczb z pierwszego zbioru dodamy minusy i połączymy te dwa zbiory to dopiero wówczas postanie zbiór liczb całkowitych.
Idąc logiką z filmu można by powiedzieć, że jeden zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z dwoma zbiorami liczb naturalnych i co za tym idzie jeden zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z dowolną ilością zbiorów liczb naturalnych. A to by z kolei oznaczało, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z KAŻDYM zbiorem nieskończonym. Bo na przykład każdej liczbie rzeczywistej da się przyporządkować liczbę naturalną, czyli np. 0->0, 0,0000001->1, 0,00000000004->2 itd. Par jest nieskończona ilość i nie zabraknie liczb w żadnym ze zbiorów.
Dokonujesz skoku logicznego w zdaniu "A to by z kolei oznaczało, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny z KAŻDYM zbiorem nieskończonym.". W poprzednim zdaniu piszesz o "dowolnej ilości zbiorów naturalnych", ale mowa w nim o SKOŃCZONEJ ilości, a wyciągasz wniosek na temat NIESKOŃCZONEJ ilości. A tu właśnie trzeba zachować ostrożność. Ok. 9 minuty masz omówiony argument przekątniowy. Zastosuj go do dowolnej zaproponowanej przez siebie listy przyporządkowującej liczby naturalne do rzeczywistych i dojdź do sprzeczności. Taka sprzeczność oznacza, że taka lista przyporządkowująca, która zawierałaby WSZYSTKIE liczby rzeczywiste, nie może istnieć.
@@rigelheron9997 A czy wg Ciebie SUMA zbiorów liczna naturalnych i liczb naturalnych z minusem jest równoliczna ze zbiorem liczb całkowitych? Inaczej mówić czy N + (-N) = Z czy może 2Z ?
@@sprytnyjacek4555 Tak, ponieważ elementy zbioru Z i elementy zbioru N ∪ (−N) da się "sparować". Nawiasem mówiąc, oznaczenie 2Z rozumie się zwykle jako zbiór parzystych liczb całkowitych (który zresztą też jest równoliczny ze zbiorem N). Rozumiem zdziwienie, że zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem, ale to dlatego, że nasza intuicja jest zakorzeniona raczej w zbiorach skończonych, dla których taki efekt jest niemożliwy. Tymczasem dla zbiorów nieskończonych - jest. Prosty przykład dla podzbiorów R: Funkcja f(x) = arctg x każdej liczbie rzeczywistej jednoznacznie przyporządkowuje liczbę z przedziału (−π/2, π/2), który jest wszak podzbiorem właściwym zbioru R.
7:00 za nic nie mogę pojąć, czy prawdziwość tej teorii ma polegać na tym, że po prostu jest tak dużo liczb naturalnych, że jakiej byśmy nie wymyśleli, to znajdziemy odpowiednią w wyliczance liczbę całkowitą? Czylinp. parzystych liczb naturalnych będzie tyle samo, co wszystkich liczb naturalnych? Logika wydaje się tu być zupełnie bezużyteczna, kiedy wiemy, że jeden z dwóch zbiorów zawiera drugi zbiór i coś poza. Co z przedstawieniem graficznym? Czemu nikt nie podchodzi to tego tak, że zostanie nam się coś po graficznym wyeliminowaniu drugiego zbioru (np. gdy usuniemy liczby naturalne ze zbioru liczb całkowitych zostaną nam się przecież same liczby ujemne)?
Graficzne przedstawianie zbiorów nieskończonych jest wysoce niejednoznaczne. Weźmy zbiór liczb całkowitych Z. Zwykle przedstawia się go graficznie tak: ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,..., ale można przecież poukładać te elementy inaczej, np. tak żeby na lewo od zera już nic nie było: 0,1,-1,2,-2,3,-3,... Dlatego nie definiuje się "liczby elementów" zbioru na bazie jego graficznej reprezentacji. Co do pierwszego pytania, to nie do końca. Dwa zbiory są równoliczne, gdy ich elementy da się "połączyć w pary". Tam pokazuję właśnie przykład "połączenia w pary" kolejnych liczb naturalnych z liczbami całkowitymi. Każda liczba naturalna ma tu odpowiadającą liczbę całkowitą. I odwrotnie, każda liczba całkowita ma odpowiadającą jej liczbę naturalną. Co do drugiego pytania, tak, zbiór liczb parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
hmm.. zabrakło mi przykładów do czego to się przydaje, no chyba że to nie ma zastosowania?
co na to fizyka oraz inne nauki?
Matematykom nie chodzi o to, żeby to się do czegoś przydawało. Tu chodzi raczej o Prawdę i Piękno.
@@robertpawowski2160 Pewno przydałoby się Piękno, ale bez Prawdy i Piękno staje się zakłamane. A tu są poważne wątpliwości - polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN
Kompletnie do mnie nie przemawia że N jest równoliczny ze zbiorem Z. Jak dla mnie są dwie hipotezy. Albo mamy nieskończoność, która jest nieskończonością absolutną i próba jej objęcia w zbiór jest nie możliwa. Albo chcemy objąć je w zbiór i wtedy są mniejsze i większe nieskończoności. Np zbiór liczb całkowitych większych od 1 jest większy o jeden element od zbioru liczb całkowitych większych od 2.
Pierwsza możliwość prowadzi do bardzo ubogiej matematyki. Druga możliwość jest bliska temu, co dzieje się przy konstrukcji liczb porządkowych (następny odcinek). Natomiast podana przez Cantora definicja równoliczności prowadzi do możliwości trzeciej. Zgadzam się, że nieintuicyjnej ;)
@@tomaszmiller8030 Pewnie ma to sens. Rozumiem, że nie jestem w stanie tego objąć oglądając kilkudziesięciu minutowy film. Pewnie i Cantora by to nie przekonało kiedyś.
Zawsze przekonywałem innych, że matematyka jest prosta bo jest oczywista. Sądząc po Pana podejściu chyba tak jest. Aż nie mogę zrozumieć, że tego nie rozumiem.
Świetnie Pan gestykuluje. Mam wrażenie, że gesty, nawet te najmniejsze, idealnie łączą się z przekazem.
Fantastyczna pasja.
@@tomaszmiller8030 Aż musiałem obejrzeć jeszcze raz. Alef 0 jest liczbą nieskończoną ale dającą się przyporządkować, a próba przyporządkowania elementów zbioru continuum jest niemożliwa, bo porządkując tworzymy nieskończenie wiele elementów do dalszego przyporządkowania?
Jeszcze narodziło mi się takie pytanie trochę nie na temat, a związane może raczej z odcinkiem o największych liczbach w pracach naukowych.
Ilu elementowy jest największy ręcznie zapisany ciąg liczb naturalnych?
@@MietowyMisio Bardzo dziękuję! I tak, to całkiem dobre podsumowanie dowodu przekątniowego Cantora. Co do tego najdłuższego ręcznie napisanego ciągu, to nie wiem, ale nie zdziwiłbym się, gdyby rekord należał do polskiego artysty Romana Opałki, który przez dekady zapełniał kolejne płótna kolejnymi liczbami naturalnymi. Doszedł do 5 590 000.
Pierwszy człon zdania : zgadzam się w pełni . Lecz człowiek skończony jest bez dwóch zdań . Dlaczego mu tego uniemożliwiać ? Niech ma . Niech wie . Że jest i że go kuna nie będzie kiedyś tam tyle ,to wszystko chyba . Bo nieskończoności nie ma jest tylko wirtualnym bytem lub wcześniej jakimś coś jak by wyobraźni tworem . Tak nie znajomość matematyki może kogoś poniżyć , tłamsić lecz jak po co ? I gdzie ? Matematyka to piekna dziedzina wiedzy lecz nie jest realna to tak jak ......... i zbliża sie tam fizyka teoretyczna . Nie odniosę sie do drugiego członu zdana , nie mogę go otworzyć bo jebany youtobe mi tę możliwość zablokował . Se you son
W takim razie ile to "pierdyliard"? 😀
dużo
Czy połowa nieskończoności to także nieskończoność? :D
Tak, choć inna. Aby formalnie zdefiniować "połowę nieskończoności", trzeba wyjść poza liczby kardynalne (dla których dzielenie jest niezdefiniowane). W odcinku #9 o liczbach nadrzeczywistych taka "połowa nieskończoności" nawet się pojawia w tle ruclips.net/video/BFsIh08eHg4/видео.html
@@tomaszmiller8030 Niekoniecznie. Polowa liczb naturalnych np. parzyste jest ich nieskonczenie wiele i jest to taka sama nieskonczonosc jak nieskonczonosc wszystkich liczb naturalnych.
@@krzysztofzajac7060 Taka definicja przez przykład jest niewystarczająca z matematycznego punktu widzenia. Ale fakt, w liczbach kardynalnych można zdefiniować (częściowo) dzielenie, zgodnie z którym "a/2 = a" dla każdej liczby pozaskończonej a. Tyle że takie dzielenie jest nieciekawe ;)
@@tomaszmiller8030 Oczywiscie. "Polowa nieskonczonosci" nie znaczy, ze dzielimy alef 0 na 2. Chodzilo mi tylko o pokazanie, ze intuicyjnie liczb parzystych powinno byc mniej niz naturalnych. Ale tak jak bylo powiedziane w materiale - intuicja tu zawodzi. Poza tym czy w ogole jest sens mowic o polowie nieskonczonosci? A jeszcze poza tym ja jestem tylko fizykiem a nie matematykiem :))))
Pare lat temu znalazłem błąd w zaprezentowanym tu dowodzie. Kontaktowałem się z UJ'em ale mnie zignorowali. W razie czego proszę o kontakt i może razem uda się obalić zaprezentowane tu twierdzenie, być może dlatego zostało udowodnione że niedowiedlne było omawiane twierdzenie na podstawie standardowych aksjomatów matematyki.
Cenzura nie tylko Ciebie spotyka. MYŚL! - to pierwsza książka, w której pokazywałem na jednym przykładzie wadliwość metody przekątniowej, a ostatnio w "Nieskończoność: Koniec Alefa Jeden" znajduję przyczynę leżącą u podstaw.
Spotkajmy się na stronie mysl..., gdzie wszystkich zapraszam do dyskusji
na czym polega ten błąd?
@@Mateusz-zp2lo no udało mi się obalić dowód mający świadczyć że liczb rzeczywistych jest więcej niż naturalnych w taki sposób, że używając wcześniej przedstawionego dowodu udało mi się udowodnić że pośród wszystkich liczb naturalnych jest taka liczba naturalna której nie ma wśród liczb naturalnych.
Czyli dowód jest błędny bo jest to sprzeczność. Idąc dalej udało mi się stworzyć coś na krztałt transformaty która przypisuje dokładnie 1 do 1 dowolną liczbę rzeczywistą liczbie naturalnej i odwortnie zatem udało mi się wykazać równoliczność tych zbiorów.
@@dantom7405 możesz przybliżyć dowód tego ostatniego faktu?
@@Mateusz-zp2lo to musiałbym prezentację na tablicy zrobić bo ot tak nie dam rady tego opisać, niestety potrzebna jest ilustracją która pomoże to zrozumieć
Czy nie prościej byłoby zamiast stosowania metody przekątniowej przeprowadzić dowód następujący?
1. Do każdej liczby całkowitej dopisujemy inny ułamek niewymierny..tworząc nieskończenie długą listę tych ułamków.
2. Teraz biorę dwa dowolne ułamki niewymierne z tej listy. Ponieważ ułamki te są różne to jeden z nich musi być większy niż drugi. Pytanie mam tutaj do matematyków takie. Ile można stworzyć ułamków niewmiernych takich żd będą one zawierały się w przedziale granicami którego będą wzięte z listy te dwa ułamki niewymierne. Sądzę, byc może błednie, że takich ułamków niewymiernych można by stworzyć nieskończenie wiele. Jeśli mam rację to teraz z tych naszych nowych nieskończenie wielu ułamków niewymiernych ponownie wybieramy dwa które tworzyc będą przedział w którym bedzie można utworzyć znów nieskończoną liczbę ułamków niewymiernych. Operację taką można powtarzać w nieskączoność.
Ma to sens? Wtedy niejako wprost udowodnilibyśmy niepoliczalność nieskączoności ułamków niewymiernych. Bez znaczenia tutaj byłby fakt że jakieś ułamki w nowej liście będą uż widnialy w którejś z poprzednich. Możemy sobie je zignorować bo: ∞-minus dowolna liczba tych które się powtórzyły to nadal ∞. Istotne jest by na każdej osobno liście ułamki były wszystkie różne.
Pzdr.
Niestety nie dowodzi to niepoliczalności liczb rzeczywistych. Powód jest prosty: analogiczne rozumowanie można przeprowadzić zastępując wszędzie słowo "niewymierne" słowem "wymierne". A jak wiadomo, liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele. Pozdrawiam!
@rigelheron9997
Jasne a jeszcze lepiej słowo niewymierne zastąpić zastąpić słowem wymierne i dodać znane w starożytnym Egipcie, to nie tylko będą policzalne, ale już policzone. A poważnie jeżeli masz listę ułamków wymiernych od 1/∞ do ∞/∞ To napisz taki którego tu nie ma,. Natomiast do dowolnej listy ułamków i niewymiernych można dodawać w nieskończoność nowe ułamki niewymierne iniepowtarzające się z żadnym będącym już na liście.
Inaczej jeszcze:
Ja ci napisałem najmniejszy i największy ułamek wymierny czegoś takiego nie można zrobić w zbiorze ułamków niewymiernych.
Pzdr.,
@@krzysztofturski9070 Z napisami 1/∞ i ∞/∞ są poważne problemy. Ten pierwszy można zinterpretować jako 0, ale problem z nim jest taki, że następny obiekt na takiej liście, czyli 2/∞, też odnosiłby się do zera. Z kolei napis ∞/∞ nie ma sensu liczbowego. Przypominam, że liczba wymierna to liczba postaci p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą, a q liczbą naturalną większą od zera. Ani p, ani q nie mogą być równe ∞, bo nieskończoność nie jest liczbą całkowitą. Ale z ciekawości, pomijając nawet to wszystko: gdzie na Twojej liście jest np. (2/3)/∞ ? I drugie pytanie: skoro ∞/∞ jest ostatnią liczbą na Twojej liście, to jak wygląda PRZEDostatnia?
@@rigelheron9997
Nie mam "swojej" listy. Na liście stworzonej wg. procedury G. Cantora, ułamek 2/3 jest na 7 miejscu. Za "problemy z napisami" z tego co obiło mi się o uszy, to odpowiedzialnie są często tzw. graficiarze,. Może lepiej z nimi o nich podyskutuj. Ja się nie orientuję w tym temacie zupełnie. W temacie ułamków 1/∞ i 2/∞ to no cóż masz takie o nich opinie jakie masz i w porzo a mniej sobie jakie chcesz..
Są tacy, to nie żart.
Dla których jest on wart.
Mniej niż zero.
Mniej niż zero.
Oooo
Ooo
Oo
O.
Dobra proponuje remis w naszej dyskusji ok?
Pzdr.
@@krzysztofturski9070 Nie pytałem o 2/3, tylko o (2/3)/∞. Takiego czegoś nie ma na tamtej liście Cantora przecież, podobnie jak wspomnianych przez Ciebie obiektów "1/∞" oraz "∞/∞". Chętnie poznałbym Twoją opinię na ich temat, skoro moja Cię nie przekonuje. Ale OK, może lepiej faktycznie podyskutuję z kim innym. Pozdrawiam!
Gdzie jest błąd w następującym rozumowaniu?:
Skoro nie da się dowieźć zaprzeczenia hipotezy continuum, to nie da się dowieźć istnienia liczby kardynalnej pomiędzy alef_0 i 2^alef_0. No to przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: Gdyby taka liczba istniała, to sama w sobie byłaby dowodem zaprzeczenia HC. A skoro wiemy, że taki dowód nie może istnieć, to zarazem taka liczba nie może istnieć. To dowodzi hipotezy continuum. Qed. 😁🤡
Nieistnienie dowodu nie jest dowodem nieistnienia.
@@rigelheron9997 Czemu?
Przecież to jest jedno z podstawowych praw logicznych. Mamy implikację: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum istnieje TO dowodzi ona zaprzeczenia hipotezy continuum". I zarazem wiemy, że taki dowód nie istnieje.
(p=>q) i ~q
Ergo: ~p
@@przemysawkwiatkowski2674 Gdyby Twoje rozumowanie było logicznie poprawne, to analogicznie mógłbym napisać: "JEŚLI liczba kardynalna pomiędzy alef_0 i continuum NIE istnieje, to dowodzi to HC." Jednocześnie wiemy, że taki dowód nie istnieje. Ergo, właśnie wykazałem na identycznej zasadzie jak Ty, że jednak istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum. Wniosek: obaj robimy coś logicznie nieuprawnionego. Podejrzewam, że szkopuł tkwi w słowie "dowód". Ściśle rzecz biorąc, gdy mówimy, że "dowody HC i ~HC nie istnieją", mamy na myśli, że nie istnieją dowody wychodzące ze standardowych aksjomatów teorii mnogości. A stwierdzenie "istnieje liczba kardynalna między alef_0 i continuum" nie jest dowodem wychodzącym ze standardowych aksjomatów teorii mnogości ;)
A zbiór liczb niewymiernych to zbiór nieskończony jak zbiór liczb całkowitych czy rzeczywistych? 🤔 Zakładam że jak całkowitych ale to podpowiada "chłopski rozum". Ktoś coś?
Liczb niewymiernych jest tyle samo, co rzeczywistych. Można to uzasadnić tak: Oznaczmy zbiór liczb niewymiernych przez X. Z samej definicji wiemy, że R = suma rozłączna Q i X. Z definicji dodawania liczb kardynalnych (17:56) mamy więc, że |R| = |Q| + |X|. Wiemy też, że |Q| = ℵ_0, natomiast |R| = c, więc otrzymujemy, że c = ℵ_0 + |X|. I teraz z tego, co powiedziałem o dodawaniu liczb kardynalnych (18:37) wynika już, że |X| musi być równe c.
@@tomaszmiller8030 Panie Tomaszu, wysyłałem do Pana przed opublikowaniem tego filmu esej w którym podważałem poprawność metody diagonalnej.
Do przemyślenia polecam posłowie "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie analizuję antynomie oraz ich niewłaściwe zastosowanie przez Cantora w metodzie przekątniowej.
Bardzo proszę o przeanalizowanie tekstów - i oczywiście będę wdzięczny, gdy znajdzie pan jakieś luki merytoryczne, a za zaangażowanie oferuję "żywą gęś", Pozdrawiam i wesołych świąt!
@@mysl200 Przykro mi, ale nic nie dostałem... Proszę wysłać na mojego UJ-owego maila, chętnie spojrzę w wolnej chwili: tomasz[kropka]miller[małpa]uj[kropka]edu[kropka]pl
@@tomaszmiller8030 Wysłałem 16.12.2021 o 10:11 - może waga plików jest za duża, bo nie mam potwierdzenia otrzymania. Pozdrawiam. Andrzej Burkiet
Mózg ROZWALONY ! 🤔
To tylko skromne początki matematyki na studiach. Później dopiero się robi jazda bez trzymanki.
Moze nie dotykalne
Boże o co chodzi
I jeszcze jedno dlaczego sama matematyka miała by mnie cos ? Tak ogólnie . To jest nie normalne . Budzę sie i matematyka mi cos jak gdzie i po co? Mi cos ? Jak jej nie ma ? Bądź jest tylko ... w . Mojej głowie
5:29
Wykład rewelacja, ale dowód Cantora zawiera błąd
Wskaż go, proszę..
@@klnpdwunexorut NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN
Brakuje mi jednej rzeczy. Czy istnieje "mniejsza nieskończoność" od alef zero?
W liczbach kardynalnych nie. Dowodzi się, że alef zero to najmniejsza liczba pozaskończona.
Skoro są liczby kardynalne to muszą być te liczby papieskie.'
Co ty beblosz?...
21,37
alef 2137
Suma sumarum cos w tym jest . Napewno .ja . Gupi jestem . Przepraszam
Myślałem, że to o ministrze sprawiedliwości coś. Clickbaitowy tytuł :/
To jest o PO!!!🤓
:D
Без водки не разберёшь
Sam sobie zaczynaj.
... #Ⅎ ...
Wszystkim życzę zdrowych spokojnych Świąt BN, a do przemyślenia polecam "NIESKOŃCZONOŚĆ: KONIEC ALEFA JEDEN" gdzie podważam poprawność metody diagonalnej.
Co jest niedobrego w metodzie diagonalnej?
@@elizabethharper9081 Nie uwzględnia możliwości definiowania skończonym tekstem obiektów: liczb rzeczywistych, podzbiorów - gdzie może pojawić się autoreferencyjność sformułowań stanowiących podstawę sprzeczności w dowodach nie wprost. Takich dowodów nie powinno się stosować, gdy nie obowiązuje prawo wyłączonego środka - gdy ani dowodzona teza nie jest poprawna ani jej zaprzeczenie, bo obie rodzą sprzeczności.
@@mysl200
Ale argument cantora jest przeprowadzony na gruncie logiki klasycznej, gdzie prawo wyłączonego środka obowiązuje, więc gdzie problem?
@@elizabethharper9081 Jeśli formuła mająca definiować zbiór B z twierdzenia Cantora definiuje zbiór, to proszę się zastanowić, jaka formuła definiuje zbiór uzupełniający. Dalej, czy może ona być wartością funkcji f i dla jakiego argumentu oraz czy ten argument a) może należeć do wartości i b)może nie należeć do wartości dla tego samego argumentu.
@@mysl200
Na tym polega argument. Założenie istnienia funkcji z N na P(N) prowadzi do sprzeczności.
Zatem takiej funkcji nie ma.