분수의 나눗셈에서 역수를 곱하는 이유
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- Опубликовано: 12 сен 2024
- 영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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초등학교 6학년 과정에서는 분수의 나눗셈을 배웁니다. 그리고 분수의 나눗셈을 할 때는 역수를 곱하는 것이라고 배우지만 왜 이렇게 하는지에 대한 설명을 제대로 해 주지 않습니다. 그렇기 때문에 초등학생 뿐 아니라, 중고등학생, 심지어 성인들도 그것을 제대로 이해하는 사람도 찾아보기 힘듭니다.
저 역시도 초등학교 당시 이것이 무엇을 의미하는지 전혀 몰랐는데, 이후에 서울대 수리과학부에서 수학을 전공하고 나서야 왜 역수를 곱하는지를 알게 되었습니다. 사실 이것은 간단한 문제가 아니고, 수학이 무엇인가에 대한 질문과도 결부되기 때문에 섣불리 설명할 수는 없는 것이라는 것을 알게 되었습니다.
이번 영상을 통해 분수의 나눗셈에서 왜 역수를 곱하는지, 그리고 수학이란 것이 무엇인지에 대해 생각해볼 수 있는 시간이 되셨으면 좋겠습니다.
#분수의나눗셈 #역수 #분수
![[깨봉라이브] 분수, 그림으로 보는 통분! 머리로 그리면 끝!](http://i.ytimg.com/vi/gkm8GNT9GOA/mqdefault.jpg)
구독신청 하고 영상을 지금 보게 되었습니다 이런 원리 연구 동영상 너무 좋고 응원합니다 ~
제가 예전에 과외하고 다녔을 때도 학생들에게 원리 위주로 가르치기 위해 저도 노력을 쬐끔 했습니다
이 영상을 보다가 저도 분수끼리 나누기 할 때 나누기를 곱하기로 바꾸고 역수로 만들어 즉 분모 분자 위치를 바꾸어 곱하는 것이 단순 암기라서 교과서나 문제집을
찾아보았습니다
수년 전 생각이 나서 댓글 답니다~
천재교육에서 나왔던 계산박사 도형박사라는 교재가 있었는데
계산박사에서 보았던 것이 기억나서 댓글 쓰게 되었습니다
그 교재에는
나누기가 곱하기로 바꿔 계산하는 원리를
분수끼리 나누기 할 때
분모가 같으면
분자끼리 나누기해도 된다는
원리를 이용했습니다
가령
4분의 15÷ 4분의 3을 할 때
분모가 서로 같기에
분자끼리 나누면
15÷3=5로 계산해도 된다는 원리 였습니다
실제 답도 5가 나옵니다
그래서
이 원리를 적용 시키면
4분의 9 ÷ 5분의 7 를 할 때
(ㅠ 가로로 쓰니 어렵네요)
칠판에 쓰면 쉽게 이해됩니다
두 분수의 분모를 같게 하기 위해
상대편의 분모를
분자분모에 곱한 후 통분이 되듯 분모를 같게 한 후
분자끼리 나누면
9 7
ㅡ ÷ ㅡ =
4 5
(9×5) (7×4)
ㅡㅡ ÷ ㅡㅡ = (9×5) ÷ (7×4)
(4×5) (5×4)
(9×5) (9×5) 9 5
= ㅡㅡ = ㅡㅡ = ㅡ × ㅡ 로
(7×4) (4×7) 4 7
바뀌게 되니 (증명이 되었으니)
나누기를 곱하기로 바꾸어 계산한다고 했습니다
쌤 방식으로 해도 되니 다양한 증명이 되어 상당히 기분 좋았습니다
수학의 용어와 일상용어와 달라지는 지점이 있습니다. 그런데 그걸 계속 같은 것이라고 생각하게 만들고 가르치는 게 문제의 근본인 것 같습니다.
정말정말 감사합니다!!! 이제 고1 인데 문제집 풀다가 갑자기 역수는 왜 이렇게 되는거지? 하는 생각이 들더라고요..근데 아무리 생각해봐도 이해가 잘 안돼서 혼자 끙끙 앓고 있었는데 이 영상 보고 해결됐어요 속이 시원하네요 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다
소중한 답글 감사드립니다 ^^
진짜 별거아닌데 문득 궁금해서 정말 돌고돌아 여기까지 찾아오게됬네요. 양질의 영상 정말 감사합니다.
영상 잘 봐주셔서 감사드립니다 ^^ 궁금한 사항이 있으시면 문의주셔도 괜찮습니다 ^^
역수를 아이에게 설명해주려고 했는데유튜브 다찾아봐도 이설명이 제일 수긍이가네요.
도움을 드릴 수 있어서 기쁘네요 ^^ 믿으셔도 된다고 말씀드리고 싶습니다
잘봤습니다. 그리고 명쾌했습니다.
하지만 배우는 초등학생이 이해할 수 있을까요?
유감스럽지만 초등학생에게는 암기와 이해의 중간 쯤 일것 같습니다.
영상 잘 봐주셔서 감사합니다! 네 맞습니다. 사실 대부분의 초등학생들에게 암기와 이해의 중간쯤이 될 것이라고 생각합니다. 그런데 일단 '분수의 나눗셈'이라는 개념 자체가 어렵습니다. 그렇기 때문에 '분수의 나눗셈'을 억지스럽고 부자연스럽게 해석하는 시도가 대부분이고, 저는 오히려 그렇게 할 바에는 암기를 하는게 낫다고 생각합니다. 그러면 적어도 잘못된 생각을 가지진 않을 것이고, 궁금증은 유지할 수 있을테니까요. 그러나 그것보다 더 나은 것은, 이해하기는 힘들어도 그래도 올바른 면모를 가르쳐주는 것이라 생각합니다 ^^ (그래서 실제로 제가 가르치는 초등학생들에게도 이 부분을 최대한 쉽게 풀어서 가르치고 있습니다.)
사실 이 영상에서도 보실 수 있듯이, 수학이라는 것은 실생활과 접하는 면이 분명 있지만 일반인들이 생각하는 그런 실용적인 학문은 아니고, 그 자체의 통일성을 추구하는 하나의 고도화된 추상적 체계와도 같습니다. 이러한 부분은 중고등학교 교과에도 계속 나오게 되는데, (예를 들면, 지수 법칙) 대부분의 학생들은 이러한 수학의 면모를 모른채로 그 내용을 암기를 하고 있다고 무방할 것입니다.
신기한 것은 중고등학교 내용 어디에도 수학의 이러한 면모를 제대로 설명해주는 것을 찾아보기가 힘든데, 저는 이러한 부분을 최대한 잘 설명해주는 것이 매우 중요하다고 생각하고 있습니다. 따라서 앞으로도 수학이 추구하는 통일성에 의해서 어떻게 개념들이 만들어지는지에 대한 영상을 올릴 예정이니, 계속 관심가져주시면 감사하겠습니다 ^^
역수의 원리를 드디어 이해했어요😂
공부에 잘 적응이 돼었습니다 이거는 전부 영수의 본질님 덕분입니다 앞으로도 분수의 나눗셈 기대하겠습니다
어제 애한테 설명해주려다 안되서 역수곱하는 영상을 찾던중 가장 이해가 잘 됩니다 감사합니다~~^^오늘 다시 시도해봐야겠어요^^
음 근데 이거는 보통 초등학생에게 설명해주는 경우가 많지 않나요...?? 근데 결합법칙, 방정식의 성질을 사용하는게 맞는건가요.......???????
제가 유튜브에서 본 바로는 이렇게 설명하시는 분을 본 적은 없었던 것 같아요. 이 영상에 달린 여러 댓글들만 보아도 초등학생한테 이렇게 가르치는 게 무리일 것 같다고 하시는 분들도 있습니다. 만약 그렇게 배우셨거나 가르치시고 있다면 매우 훌륭하신 겁니다 ^^
분수의 곱셈에 대한 결합법칙은 사실 자연수의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하는 것을 안다면 자연스럽게 따라오는 결과라고 할 수 있습니다. 그리고 자연수의 결합법칙이 성립하는 것은 직육면체의 부피를 생각하면 쉽게 생각할 수 있기 때문에 괜찮을 것 같습니다 ^^
초등학생한테 이런식으로 설명하는건 그냥 외우라는것과 마찬가지. 역수를 곱하는 원리를 설명하는데 너무 많은 그냥 외워야할것들이 등장함.
네
오늘 제대로 아들 가르쳐 줬네요🎉 감사합니다😂
도움이 되셨다니 기쁠 뿐입니다 ^^
이런 고민 자체를 좋이힙니다. 고민 후 나름의 답을 찾는다면 더욱 좋고요. [나눗셈은 곱셈의 역과정이다] 좋은 내용 공유해주셔서 감사합니다. 오랫동안 궁금해했던건데 시원하네요.
댓글 남겨주셔서 감사합니다! 도움이 되셨다니 기쁘네요 ^^ 또 다른 궁금했던 사항이 있으시면 댓글 남겨주시면 함께 고민해보도록 하겠습니다!
영상 만들어주셔서 감사합니다 덕분에 궁금증이 풀렸어요!!
잘 봐주셔서 감사합니다! 도움이 되셨다니 기쁩니다 ^^
한글이 둘로나눈다 이분의일로 나눈다 라는게 혼용되고있으니 더 헷갈리는거 같습니다
한국교육에서 수포자가 많이 나오는 이유 :
이런 원리를 이해하는게 수학을 공부하는 본질인데,
이런 과정은 생략하고 마치 공식처럼 계산 푸는 방법만 가르치기 때문에
암기도 안되고 계산도 안되니 활용 능력을 기를수가 없고,
결국 단순 계산 영역을 벗어나는 중3~고1 즘 되면서 수포자들이 급증하게 됨
학생들에게 수학을 공부하면서 점점 더 그렇게 느끼고 있습니다 ^^
처음 배우는 그당시에는 이해를 잘 못하는 아이들도 많습니다. 아무래도 공식으로 가르치는게 편하죠. 근데 한학기정도 지나고 계산정도는 쉬울때 다시 이건 이래서 그런거야 하고 원리를 얘기해주면 쉽게 이해합니다.
아이들이 연산진도를 먼저 나가고 개념진도가 이어지면 더 수월한것과 같은 상황일겁니다.
와우 아는것을 이용한 간단한 설명~~감사합니다
도움이 되셨다니 기쁠 뿐입니다!
초등학생때 반학기만 예습하라고 해서 혼자 우공비풀면서 공부했는데 그러다가 초4 분수 나눗셈에서 수학이란 과목에서 처음으로 막혀서 너무 힘들었던 기억이 나네요. 그당시에는 그냥 암기하고 넘어갔다가 ,나중에 그리고 최근에도 가끔 왜이럴까 생각해보는데 저도 곱셈의 역연산 말고는 다른 답을 내리긴 힘들더라구요.
저보다 공부도 엄청많이하신분이 이런답을 내리시니 뭔가 허무하기도하고 싱숭생숭하네요
내가 이런 고민을 할 필요가 있었나 싶기도하고..
저랑 초등학교 때 비슷한 과정을 겪으셨네요! 그냥 암기하고 넘어가야 했던 것 까지도요 ^^;; 저는 Inxn A님께서 고민해보신 것 자체가 매우 의미있다고 생각합니다. 비록 한번에 답을 내지는 못해도 그런 고민이 계속 꼬리에 꼬리를 물고 또 의미있는 결과로 이어지니까요. 수학의 본질에 대한 부분은 시간이 되는대로 또 영상을 올려보려고 하니 계속 관심가져주시면 감사하겠습니다! ^^
감사합니다
아~그렇군요
제가 초등학생 들에게 가르치는 방법과 백퍼센트 일치하네요
사실 중학생들도 모르고 그냥 풀죠 가르쳐주면 신기해합니다
와우, 훌륭하십니다 ^^!
갑작스럽게 죄송한데 역연산 관계라는게 정확히 뭘 의미하는건가요? 연산결과를 연산 이전의 수 또는 식으로 되돌리는 거라하는데 이게 정확하게 뭔소리인지 모르겠습니다.
역연산이라는 것은 제가 정한 말입니다. 제가 '곱하기'와 '나누기'가 역연산이다라고 한 것은, a ÷ b = c라고 할 때, 이것은 거꾸로 a = b × c라고 쓸 수 있다는 것을 의도한 것입니다.
혼자 끙끙앓으면서 왜 그런지 고민해봐도 답이 안나왔는데 생각보다 쉬운문제였네요 좋은 영상감사합니다!
실상은 그렇습니다! 그러나 너무 단순한 것인데도 거의 듣기가 힘든 것도 사실입니다
재밌게 잘 봤습니다.
감사합니다 ^^
감사합니다 😊
갑자기 역수 곱하는 원리가 궁금해졌었는데 시원하게 알려주셔서 감사합니다 ~ 영상 과정 중 나오는 약분의 원리도 알려주세요 !
댓글 및 질문 감사합니다! 분수를 왜 우리가 배운대로 약분하는지, 예를 들어, 왜 1/4 = 3/12라고 정해주는지에 대한 것은 제 또 다른 영상 "분수와 분수의 덧셈은 어떤 의미가 있는가?"(ruclips.net/video/5-kB0nYvVuM/видео.html)를 보시면 이해하실 수 있을 것입니다. 만약 설명이 더 필요하시면 말씀해주세요 ^^
아 의미를 부여 하고 싶다.
좀 뭔가 빼먹는느낌 그걸해석해야 단순하다
사실 저도 누군가 '왜 분수를 나눌 때는 역수를 곱하는가?'를 설명할 때 선생님과 같은 흐름으로 설명을 하거나, (방정식 흐름과 역.연산 흐름 등)
8/9 = 8 * (1/9) ... 그리고 1/9는 9의 곱의 역원
.... 이런식으로 주욱 곱하는 거다!!! ...
뭐 이런 식으로 되게 재미 없는 수학적 설명을 했었는데요.
쌍팔년도 교과서는 어떻게 되어 있는지 기억이 안나지만,
자녀의 초등 시절 교과서를 보니 이렇게 설명을 했었던 게 기억이 납니다.
영상의 예시에서
3/4 ÷ 8/9 = (3/4)*(9/9) ÷ (8/9)*(4/4)
(( 어차피 분자끼리 곱하고 분모끼리 곱하는 건 이미 배운 상황이니깐.....))
27/36 ÷ 32/36 = .... 같은 36은 나눗셈에서 날라간다 (사라진다.) --- [[지금 기억이 안나네요. 이부분을 어떻게 설명했는지..]] -- 사실 당연한거지만 말이죠...
= 27/32 .... 이 결과는 역수를 곱하는 것과 같다.
이런 스토리였던 것 같네요. (다시 어디뒀는지 모를 초등 교과서를 뒤질 입장이 아니라 ㅎㅎㅎ)
좀 덜 수학적이긴 한데 (사실 덜 수학적인게 고딩/대딩이 쓰는 용어를 쓰지 않아 그렇게 느껴질 뿐 딱히 논리적으로 부족해 보이진 않네요.)
이게 훨씬 더 납득은 잘 가더군요.
//// 예전에 초등 교과서를 보다가... 아 우리가 까먹은 되게 세심힌 스텝들이 초등/국민학교 때 있었구나라는 걸 깨달았던 기억을 남겨 봅니다.
긴 답글 남겨주셔서 감사합니다. 사실 말씀하신 부분 중에
"27/36 ÷ 32/36 .... 같은 36은 나눗셈에서 날라간다 (사라진다.)"
여기서 왜 36이 사라지는지 이유를 설명하는 부분이 제일 중요한 것 같습니다 ^^;; 사실 27/36 ÷ 32/36의 답이 27/32가 되는 이유도 (제가 보기엔) 나누기가 곱하기의 역과정이기 때문에 그런 것으로 보입니다 .
사실 우리가 일상생활에서 쓰는 나누기(divide)라는 말 뜻 자체가 2개, 3개 등등의 자연수로 나누는 것 밖에는 없습니다. 그래서 분수로 나눈다는 것 자체에는 이미 일상적 의미는 없고 "수학적" 의미 밖에는 없습니다. 그러나 사실 이 예 뿐 아니라, 지수같은 경우만 보아도, 2의 0제곱, 2의 (-1)제곱 이런 것에 일상적 의미를 부여할 수가 없습니다. 더구나 2의 (루트 2)제곱, 심지어 2의 i제곱 이런 건 더더욱 그렇습니다. 수학의 통일성과 일관성을 유지하기 위해서, 구체적으로 말하면 지수법칙을 만족하게 하기 위해서 이렇게 정의(!)하는 것인데, 이러한 동기를 설명해주는 중고등학교 교과서/참고서를 찾아보기가 어렵습니다.
조금 더 나간 얘기가 될 수 있겠지만, 저는 이런 면에서 수학이나 과학을 가르치면서 그와 더불어 수학철학, 과학철학을 꼭 같이 가르치는 게 매우 중요한 것 같습니다. ^^
수학은 진짜 요령인 듯 ㅋㅋㅋ
어떤 요령을 말씀하시는 건가용? ^^
외우기만 시키다 이건 아니라서
어려워요^^
네 맞습니다 수학을 쉽다고 얘기하는 사람은 아무도 없는 것 같습니다. 수학자들조차도 자신들이 하는 수학을 어려워하구요 ^^;; 수학이 어려운 것 중 하나는 아마도 수학이 매우 추상적인 활동이기 때문이라고 생각합니다. 그리고 바로 이 분수의 나눗셈에서 역수를 곱하는 것이 수학의 그러한 면모를 조금 엿볼 수 있게 해 주는 것 같습니다.
오호라
좋아~^^