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この人どこからでも黒板スラスラ書くな……そんなことより綺麗な解説ありがとうございます。
（時刻13:29辺り）①,②,③,④まで順に示した後は、①,②,④から⑤を導けます（⑥を持ち出す必要はない）============================ cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β …① cos(π/2 - α) = sin α …② sin(π/2 - α) = cos α …③ cos(-α) = cos α …④ sin(-α) = -sin α …⑤ cos α = cos(α - 2π) …⑥①,②,④より sin(-α) = cos(π/2 + α)【∵②で αの代わりに - αと置き、両辺を入れ替えた】 =cos(-π/2 - α) 【∵④】 =cos(-π/2)cos α + sin(-π/2)sin α 【∵①】 = -sin α ■============================※削除と再投稿を繰り返していたら、コメントが表示されなくなってしまったようなので、少し文面を変えて同じ内容を再現してみました。※ついでに⑥も①に帰着させたくなりませんか？ （もちろん「三角関数の定義から周期性は明らか」とするのもよいですが…。）まあ、そもそも①を導くのにも単位円を使っているわけですし、上記の証明においても cos(-π/2) = 0, sin(-π/2) = -1は単位円上での定義に基づいているのだから、どちらでも同じようなものか…。■
オイラーの公式使った加法定理の証明は本当に感動します。sinとcos同時に出るし
証明というには怪しいですが、とても便利な示し方ではありますよね
数Ⅰの三角比で180°±θとか90°±θとかの式変形を教わり(公式を羅列しているだけの印象)、数Ⅱで加法定理知った時の何とも言えない気持ちにぶっ刺さる授業ですね。
α、βが180°以上のときとか場合わけしなくていいので、距離から考えるのはとてもいいですね
大学の解析でexp(x)=Σ[k=0→∞]x^k/k!sinx=(exp(ix)-exp(-ix))/2iの定義になれてるからこっからオイラーの公式証明して加法定理は簡単に出てくるけどこっからsinが高校の定義に一致することの証明って大変だよねｗ
こんなん思いつくのが凄すぎるし、これをRUclipsで見られるのがありがたすぎる。
この動画の証明でも用いたように、結局のところは回転が重要なので、一次変換を用いてベクトルで証明するのが一番本質的な気がしています
最高すぎます！！いま三角関数・比の復讐をしているところなので、そこらへんの分野中心に見ていきます！！
文面だけでみると三角関数大嫌いそう
カニマヨ 嫌いですねwていうか数学全体好きではないです😅
2次試験まであとこのシリーズ何回観れるかな
証明じゃないだろうけど、ド・モアブルの定理からn倍角を係数比較から導出やつ知った時は「ふぁっ！？」てなった
わかりみが深い…ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明したときも綺麗な形に整理されて、感動しました🥺
wakaru
係数比較というか複素数の相等というのが正しいかな(まあそこはどうでもいいけど)
余弦定理など, 距離の公式以外の他の図形的性質を使った場合は, 厳密にはα, βの値の範囲によって場合分けが必要なんだよね。
cos(α-β)は,ベクトルの内積で求めるものがお気に入りです.
僕もです。ただ、確かあれは、0≦(α-β)≦180°に限った話なのでそこが残念だなと。間違ってたらすみません。
@@アイスが食べたい-f6v 一応、180°から360°でも証明できそうですが、その場合、できる三角形の角度が確か2π-(α-β)と思いますが、これを{(β+2π)-α}つまり(β-α)と変形して、そこから求められる内積そのものは最終的にcos(β-α)=cosβ・cosα+sinβ・sinαとなるだけで、右辺を並び変えたらcosα・cosβ+sinα・sinβとなり、cos(β-α)=cos(α-β)になるかと。これで、0°≦(α-β)≦360°までは求められたかなと。本当は0°より小さい角や360°より大きい角も求める必要があるかもしれませんが、これは内積では無理かも・・・。
面白そうなので自分もsin(-a)=-sin(a)の証明を考えてみましたそこに至るまでの流れは古賀さんのやり方と同じということにしてまずsin(a+b)の加法定理の証明にsin(-a)=-sin(a)は必要ないので先に示しますこれを使ってsin(b-π/2)=sin(b)cos(-π/2)+cos(b)sin(-π/2)=-cos(b)が示せます -a=b-π/2とおくとsin(-a)=-cos(π/2-a)=-sin(a) となりました
非常にスマートですね
今週の古賀さんは加法定理の証明を、90°や270°といった「直角由来の角度」の呪縛に頼る証明から、式ベースの計算だけで求められる証明形式にアレンジしたのですね。90°といった三角形の図に頼りすぎると、一般角での証明がおろそかになり、角度を弧度法で示した意味もあまり感じられなくなるなあと思いました。平面や立体上を移動する点の軌跡を利用して、面積や体積の最大や最小を求めさせる問題で、どうしても図形的なイメージがわかない場合、計算ミスに注意しながらゴリゴリと計算だけで解いていくのも、緊張した試験場ではありだと思います。
前回の2次方程式の解も良かったですが、今回も勉強になりました。
とても分かりやすかったです😀
sin(-α)=-sinαについてsinのグラフを平行移動すればcosのグラフになることを利用すると、視覚的に証明が思い付きます。y=cosxのグラフを考えることにより、cos(π/2-α)=-cos(π/2+α)が成り立つことが簡単に分かり、これをsinの形に変形すればsin(-α)=-sinαが証明できそうなことも、グラフを考えれば分かります。実際cos(π/2-α)=sinαcos(π/2+α)=cos(π/2-(-α))=sin(-α)なので、これらをcos(π/2-α)=-cos(π/2+α)に代入すれば、sinα=-sin(-α)を得ます。
signcosの±は個人的に波のやつでやるのが好き
これはめちゃくちゃ感動しました！素晴らしいです😂
わかります。高1で習う公式のほとんどは曖昧です。三角関数においては三角形なお中で成り立っていた公式が単位円が登場して拡張してからも成り立っているという前提で話が進んでいっていますよね。ピタゴラスの定理も角度を拡張して証明すべきだと思います。
sin(-α)=-sinαの証明として、次はどうでしょうかcos(α+π/2)=cos(α-(-π/2))と見て、cosの加法定理を使うことにより、sinα=-cos(α+π/2)が証明できる。右辺はcos(α+π/2)=cos(π/2+α)=cos(π/2-(-α))=sin(-α)と変形できるので、sinα=-sin(-α)∴sin(-α)=-sinα
sin(-a)=cos(π/2-(-a))=cos(a+π/2)=cos(a-(-π/2))=cosacos(-π/2)+sinasin(-π/2)=-sina
あくまで幾何的に進めるなら，．．．・点(1,0)を始点とする符号付の弧長sによる円x^2+y^2=1の媒介変数表示(x,y)=(cos{s},sin{s})をcos,sinの定義とする．このとき・任意の実数t,uに対して，原点を固定する正の等長変換(x,y)|->(x cos{t}-y sin{t},x sin{t}+y cos{t})による点(1,0)=(cos{0},sin{0})の像は点(cos{t},sin{t})なので，点(cos{u},sin{u})の像は点(cos(t+(u-0)),sin(t+(u-0)))，同じく，原点を固定する負の等長変換(x,y)|->(x cos{t}+y sin{t},x sin{t}-y cos{t})による点(1,0)の像も点(cos{t},sin{t})なので，点(cos{u},sin{u})の像は点(cos(t+(0-u)),sin(t+(0-u)))となり，cos,sinの加法公式を得る．この辺りの初等的かつ厳密な話では，彌永昌吉『幾何学序説』をお勧めします．
学校の先生が大学生の時にsinを筆記体で書いてたら教授に怒られた的な事を話してた
最初のコサインの加法定理の証明ですが アルファかベータの少なくとも一つが－180度から180度までに入らない場合は、それから2πの整数倍を足して、この範囲に入るよう、変形すればよいのですね。例えば、コサイン50°－390°＝コサイン50°－30°＝コサイン50°コサイン30°＋サイン50°サイン30°＝コサイン50°コサイン390°＋サイン50°サイン390°
高校のとき、サインは「チン・コ・コ・チン」、コサインは「コ・コ・チン・チン」って覚えました。
天才
俺はしこしこかな(積だから)
10:57の所なんですけど、α=π/2と置いたのに、なんでcos(π/2-α)となるんですか…?cos(π/2-β)じゃないんですか…?
それ自分も思いました
ただの書きミス説あるんですけどね…w
二つの操作を一気に行なっています。(1)α=pi/2を代入する(2)βをαで置き換えるこれを一気にやった結果です
例えばcos(90°-θ) = sin(θ)、sin(90°-θ)=cos(θ)の証明は高校数学の教科書では数Aの教科書に準ずる方法で普通にやればいいと思いますまず90°-xは偏角90°の点(1,0)から負の方向にθ回転させた地点になります一方でxは偏角0°の地点(1,0)から正の方向にθ回転させた地点になりますここで90°-θとθに対応する地点はスタート地点も移動方向もy=xに対して対称に移動した地点となりますよって90°-θとθに対応する地点の座標はx座標とy座標を入れ替えたものになりますこの説明は数学Aのθが鋭角の場合の説明ですが一般角になってもそのまま通用しますy軸反転で180°-θとθが対応するのもそのまま通用します数学2に入ってx軸反転に関して-θとθが対応する公式が追加になりますがコレについても全く同じ論法が通用していると思います今の検定教科書の立場ではx=y対称、x軸対称、y軸対称の場合をまず調べてそこから90°-θとθ、180°-θとθ、-θとθの特別な場合をまず調べてそこから一般の場合を証明するという立場を取りますなので「この３つの場合を特別視して別扱いにするのは不適切な処理」とは言えないと思ってますむしろ検定教科書の場合はこの３つのケースは一般の場合を証明するための大切な最初の一歩になってます
東大の何時ぞやの入試に出てた気がする、加法定理の証明加法定理の証明って高校だと真剣に触れないよね。公式の活用例ばかりで・・・追記：学校の学力レベルによりますが
Imaizumi Yuichi 普通に青チャートの三角関数の初めに載ってるぞ
@@thetaigawawo 情報ありがとうございます。
@Imaizumi Yuichiさんそのものズバリ、1999年文理共通問題第1問(2)にsinとcosのみ証明で出題されていましたよ。因みに(1)は「性質について述べる」みたいな問題でした。まさか東大入試で基礎的な問題を問われないだろうと思われていましたが、その「まさか」で世間に衝撃を与えた事は有名です。
@@asukamiraidream そのsinとcosの定義を問う(1)すら出来が悪かったのもまた有名な話
私は頭が固く、教科書でのπ/2±aの公式の導出がごちゃごちゃしてて嫌だったのでこっちでやりましたね。
三角関数の合成というんだから、三角関数の分解公式と呼ぶのが妥当な気がしてきた
sin(-a)のもっと簡単なやつを考えました。sin(-a)=cos(π/2-(-a))=cos(a-(-π/2))= cos(a)*0+sin(a)*(-1) = -sin(a)（下のコメント欄にも同値なものが既にありますが、まあ1行で書ける方法もあるということで）
いずれ合成関数の微分公式証明の落とし穴には触れていただけると期待しております！
極限の概念は数Ⅲでごまかしてる部分だからなあ
sinがAinにしかみえない・・・
私は高校のときは一次変換の回転の式から加法定理を導いていました。今はオイラーの公式からかな。
ベクトル回転だいすき
オイラーの公式を使っていいなら簡単ですよね...
それを証明出来ればね
たす する必要なくねわら
@@user-mjiq22 ナチュラルに煽る屑
大学行くと証明以前に三角関数の定義がそもそもオイラーになるからなぁ
このcos(α－β)の証明は横軸より上半分に三角形が作れる範囲(0
この人が先輩だったと知って驚いている期末前
このcos(α-β)の証明は(α-β)が0°より大きく、180°より小さいのであればこれでOKですね。残りの0°と180°、180°より大きく、360°より小さいパターン、360°はどう考えるのでしょうか?
予備校のテキストと証明方法違ったな、加法定理は証明方法が沢山ありそうだ
サムネ撮影風景がない これはいけない。
肉体覇王Jalmar 忘れてしまった
@@MasakiKoga 😭
厳密すぎるやろ笑そこが好きだけど
冒頭の２分付近、「ＰＱの長さに着目する」のは、何か合理的な動機があるんですか？。先日、高３の受験生に「加法定理、証明できますか？」と聞かれ、僕はサッパリ忘れていて、改めて調べてみて、「何故、ここに注目すると察せられるのか？」と、ちょっと引っかかりました。
元の図形の座標と回転させた図形の座標を使って等式を作りたいので、回転させても値が変わらないもので比べたい→長さならできそうだっていう動機かと思います
加法定理がないと三角関数を微分できないんですけど弧度法と同じく、加法定理も微分をするのに都合がいいように発明されたんでしょうか？それとも微分法が発見されるよりも前からすでに存在していたんでしょうか？
まさき❗️また寄り道して⚡️⚡️暗くなったら危ないから真っ直ぐ帰りなさいと言ったでしょ😠😠😠😠
Twitterで仰ってた加法定理の疑問って、こーゆーことだったのか…
東大って公式や定義の証明問題をよく出題しますか？
多くはないけど昔はたまにしてた
①の証明が図形的なのは問題ないのでしょうか？特に，PQとP'Q'が等しいのは自明として良いのでしょうか？その自明さが基本公式の自明さとどの程度異なるのが気になりました．
@@仮名-c1d 確かに，三角形の合同条件から導けますね．動画内は，図形に頼らないことが論理的である，という論旨であるように感じられたので，図形的なものからスタートすることそのものが大丈夫なのか？と感じた気がします．図形で議論するのが嫌なら，テイラー展開を定義としてスタートすれば良いわけですが，そこまでやっていないのが中途半端というか，それなら教科書的な証明でいいじゃんと思った，というのが真の意図ではあります．
@@仮名-c1d 私は，タイトルに「厳密に」とついているので，普通のやり方では厳密でない，という主張であるように感じられたのです．象限の場合分けを回避したいだけなら，タイトルは少々大仰だなぁと．まぁ，ただの難癖かもしれません．
@@tune9656 少なくとも、教科書的では図形的にしか導かないsin(π/2-x)=cosxなどの公式を、数式的アプローチで導いているところは厳密だと思います。象限の場合分けが省けることを厳密とは言っていないと思います。
点POQが一直線に並ぶ場合は三角形にならないので、たぶん動画の中の図形はあくまで説明のためのおまけであって、「原点を中心に回転しても距離は変わらない」を自明としてるのだと思います
場合分けとかいらんかったんや！！すごい！！
中学生の俺から見たら何言ってるのかサッパリ笑
確か三角関数使わなくとも三角比さえ習えば証明出来ますね
いいですね。(⌒‐⌒)
やったあああ
サルエルに似てます🐵
某大学の過去問にありましたね...
東大ですね
文系の証明じゃなかったですか？たしか
文理共通かと
角度を2πずらしても値が変わらないというのは、認めろと。。。。
みつひこなかの それは定義ですから。2πを超える分については、2πの整数倍だけずらして0から2πの範囲に収めて、そこで単位円を使って定義する、というのが高校数学流の定義ですので。
そりゃそうでしょ。1回転するんだからね。タンジェントは別だが。結局動径のことだからね。θ+2nπ「nは整数」からね
どうしても動画のやり方が気に入らないのならば、最初に導いた加法定理の片割れ cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBでB＝2πと置けば、 cos(A-2π) = cosAcos(2π) + sinAsin(2π) = cosAを得ます。さすがに cos(2π)=1, sin(2π)=0は定義から明らかでいいでしょう？■
厳密ってのがどの程度の話なのかはっきりしないと厳密って言葉は使わない方がいいよ
すみません。先週の動画について、どうしても次の部分がわからないのでご教示ください。√（ＡＢ）＝√Ａ√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、左辺＝√（（－１）×（－１））＝√１＝１右辺＝√－１×√－１＝ｉ×ｉ＝－１左辺≠右辺確かにＡ＜０かつＢ＜０の時、掛け算は等号不成立となります。√（Ａ／Ｂ）＝√Ａ／√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、左辺＝√（（－１）／（－１））＝√（１／１）＝√１＝１右辺＝（√－１）／（√－１）＝ｉ／ｉ＝１左辺＝右辺＝１このように、Ａ＜０かつＢ＜０であっても、割り算は等号が成立します。今回、問題にしているのは割り算のケースです。割り算が成り立つ以上、√（（ｂ＾２－４ａｃ）／（４a＾２））＝（√（ｂ＾２－４ａｃ））／（√（４a＾２））は、そのまま、成立するんじゃないんですか？それなのに、何故、掛け算のケースを用いたんですか？掛け算と割り算のケースは同じと言われてますが、上記のように結果が異なると思いますが。
問題となるのは、D=b^2-4ac 0のケース（aは0以外の実数なので後者は常に正）ですから、本来考察すべきは、A0のときです。このとき -A>0かつB>0 ですから、 √(A/B)=√{ -(-A/B) } = i√(-A/B) ...① = i√(-A)/√B …② = √A/√Bとなり、結局、等式は成り立ちます。従って、仰るように √{D / (4a^2)} = √D /√(4a^2) = √D / |2a|は、aやDの符号にかかわらず成立します（もちろんD=0でもよい）。掛け算のケースを用いたのは、古賀さんの過ちです（誰にでも過ちはありますから…Gary Mooreにもミスタッチはあるのです）。この点については、先週の動画に対するコメントで肉体覇王jalmarさんが既にご指摘され、古賀さん自身も過ちを認めておられたように思います。宜しくご確認ください。■~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ところで、上記の証明において①から②を導くとき、両辺における√の中身は全て正なので、√の演算法則が安全に適用できます。これを可能にしているのは、 「√の中身が負になったら、直ちに符号を反転させてiを√の外に追い出し、√の中身を正に保つ」 【すなわち、例えば√(-3) = i√3 のようにする】という、√に関して忘れてはならないもう１つの演算規則／約束です。この約束を守っている限りは、ややこしいことを考えなくても符号を間違えることはあり得ません。■
@@たま-z6n9k さんわかりやく解説してくださいまして、ありがとうございます。よく理解できました。
@@ワッシュー さんへ：どういたしまして。 My pleasure & honor. :-)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~※「なぜ、掛け算と割り算とでは結果が異なってくるのか？」について補足しておきます。B0 ですから、先のコメントで述べた約束を守るならば、まず √B = √-(-B) = i√(-B)のように変形すべきです。この逆数を考えれば 1/√B = 1/{i√(-B)} = -i/√(-B)となります。ところが「ある数で割る」とは「その数の逆数を掛ける」ということですから、 「√Bを掛けると、√の外にi が掛かってくる」のに対し、 「√Bで割ると、√の外に 1/i = -i が掛かってくる」ことになります。ですから、両演算の結果における符号が相異なるのは、当然のことと言えます。■
@@たま-z6n9k さん補足解説ありがとうございます。その規則（約束）に基づいて解くことが重要ポイントなんですね。言われてみないと凡人の私にはなかなか気がつきませんが（笑）注意深く冷静に考えればそうですよね。
*すげえ、俺の解説の60倍は分かりやすい(・ー・)*
嫌われることを承知でご意見します。オイラー表示で、exp i (alpha+beta) = exp i alpha * exp i beta左右の式について定義どおりにそれぞれ開いて、実部と虚部を比較すれば公式は出ます。この方法は加法定理などは、ガウス平面上では回転作業に過ぎないことを示してます。高校数学レベルでは難しく見えますが、大学数学を睨めば、公式と認識しないで使ってしまいますので、加法定理という言葉さえ使わくなります!高校数学ばかり突くのは卒業しましょう。世界の理系の大学生からバカにされます。さっさと先へ進みましょう。なおオイラー表示を使わずとも、3次元の初等のベクトル解析において、ｚ軸方向ベクトルを外積で掛け算すれば同様に簡単に出ますよ。定理など意識せずに気がつくと使ってしまってます。高校数学、受験数学から卒業し、さっさと先へ進みましょう。繰り返しですが。大学受験時に指導要領があり、要領より先へ進むと受験時における採点が不利になりますので、大学受験予備校の先生は教えません。できない先生もいますし。中国の数学できるくんはこんな計算法笑ってます。実際３０年前に笑われました。東大の内部でですよ。ニヤニヤ笑ってました。「これが日本の最高学府の実態ですよ」ってね。上海大学合格後すぐの1年生の連中にも明らかに負けてます。彼らは次のテーマに取り組んでます。米国の学生からは受験数学はトリッキーなだけと表現されました。つるかめ算に人生捧げてもしょうがないです。超弦理論の世界へ進みましょう。
当時笑っていた人に「最高学府」の正しい定義・使い方を教えてあげて下さいね
最高学府って意味は確かに違いますね。でも彼はそう言って表現してました。なお、彼は中国数学一番の賞をもらったと聞いています。まあ、当時（約３０年前）わざわざ留学してくるような中国人は只者ではありませんがね。バカにされてたのは事実です。「東大でこれですから」と言って目配せしてたのを覚えています。すぐに博士コースを卒業し、フランスで就職したと聞いています。 あと私は出張でそこに居ただけで東大卒ではありません。東大でもこれだから、君もねと言われたのかなって感じましたけど当時は。日本語は結構適当だったのですが、中国人って褒めるときは褒めますよマジで「傾国」とは違ってね。彼と二人だけでの、お茶を楽しんでいた時の雑談時の話です。なおトリッキー数学の話は高校時代に米国に交換留学していた同級生から聞きました。むこうで日本の受験数学を披露したそうですが、帰ってきた意見は、普通の数学のアプローチをしてほしいと言われたそうです。曲芸は意味なしって。
高校数学での三角関数の定義からすればその証明に意味はありません単位円の座標という状態から始めなければならないわけですからこれが高校数学の定義を起点とする証明だからと言って下等なわけではないです定められた定義のみから法則を導き出していく、これが本質的なことなのではないでしょうか 海外の教育はあまりに知識的なことに目が向きすぎて思考力の点で大きく日本の教育に劣っていると思います
e^ix=cosx+isinxと定めるのは貴方の勝手ですが、e^i(x+y)=e^ix・e^iyなどという指数法則を持ち出すのは背理と言わざるを得ませんなぜなら虚数に拡張したベキ乗において指数法則が成り立つかは証明されていないからです その性質こそ加法定理によって証明されているのです
@@田中一郎-v2d 背理ですか、下から積み上げていけばいいのですか？数学は歴史順に学ばないといけないのですか。結論がわかってるのに。数学信者ですね。 結論がわかってしまったらそちらから、数学を再構成、再定義してみればという意見もあります。デルタイプシロン論法など、数学にもかなり恣意的なものがあって、数学者同士でも論争があリます。数学っていい加減なところもあると大学に入った後に知りました。物理学の成果を横目で見ながらの後付の理屈もかなりありますよ。また数学科の教授どうしが相互に言い合ってますよ。 さて、この問題は、単位円上での、単なる回転操作の議論で、図形の問題です。ユークリッド数学の作図で済む問題です。どっちの定義が先かなどと言ってたら、歴史順になるにでは? 世紀が変わったのにオイラーにまでも行き着いてない。虚しい話だと思います。人生の無駄遣いと思います。私見ですので議論が続かないのを承知してます。非礼はご容赦。私は応用数学系です。ちなみに日本にこの学科はありません。米国にありますけど、何故か日本にないんですよね。物理学科系の論文でそのような記載がありました。貴方の数学が宗教に見えます。 申し訳ない。3次元のベクトル解析からも行けそうですがどうでしょう?
受験数学は私にあってないようです。撤退します。物理数学を志向します。
@@jalmar40298 論証で反論できない人ね２回続いた。きみの論文くらい見せてね。学会の査読に耐えられたやつなら読んでみるよ。英語でもいいよ。耐えられるものにしてくれ。ちゃんと反論した人のほうが多いよ、君だけ例外。言葉のみ。あ、名前伏せていいから。論文は進歩性はともかく少なくとも新規性はないとね。
他の書き込みも確認したが，君には数学も物理も含めた，およそ理学というものついての理解が伴っていないことが読み取れた．薄っぺらな内容の伴わない検索語句を並べているだけの知ったかぶりだ．ルールベースAIでももうちょっとマシかもしれん．君には物理数学も無理だ．物理数学も流儀によっては公理的方法論もありうる．君が笑われるのは日本の教育の問題ではなく，君自身の能力に問題があるからだよ．とりあえずお疲れさん．君のドグマにまともに賛同する人はいない．
@@saundersN キチガイに構ってこれ以上時間を無駄にするなこれ以上無益な議論をしてコメント欄を荒らすようであればお前も江口辰哉と同レベルのキチガイとみなす
この程度で撤退しているようでは先が思いやられます。
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
この人どこからでも黒板スラスラ書くな……
そんなことより綺麗な解説ありがとうございます。
（時刻13:29辺り）①,②,③,④まで順に示した後は、①,②,④から⑤を導けます（⑥を持ち出す必要はない）
=====
=======================
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β …①
cos(π/2 - α) = sin α …②
sin(π/2 - α) = cos α …③
cos(-α) = cos α …④
sin(-α) = -sin α …⑤
cos α = cos(α - 2π) …⑥
①,②,④より
sin(-α) = cos(π/2 + α)【∵②で αの代わりに - αと置き、両辺を入れ替えた】
=cos(-π/2 - α) 【∵④】
=cos(-π/2)cos α + sin(-π/2)sin α
【∵①】
= -sin α
■
=====
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※削除と再投稿を繰り返していたら、コメントが表示されなくなってしまったようなので、少し文面を変えて同じ内容を再現してみました。
※ついでに⑥も①に帰着させたくなりませんか？ （もちろん「三角関数の定義から周期性は明らか」とするのもよいですが…。）
まあ、そもそも①を導くのにも単位円を使っているわけですし、上記の証明においても
cos(-π/2) = 0, sin(-π/2) = -1
は単位円上での定義に基づいているのだから、どちらでも同じようなものか…。■
オイラーの公式使った加法定理の証明は本当に感動します。sinとcos同時に出るし
証明というには怪しいですが、
とても便利な示し方ではありますよね
数Ⅰの三角比で180°±θとか90°±θとかの式変形を教わり(公式を羅列しているだけの印象)、
数Ⅱで加法定理知った時の何とも言えない気持ちにぶっ刺さる授業ですね。
α、βが180°以上のときとか場合わけしなくていいので、距離から考えるのはとてもいいですね
大学の解析で
exp(x)=Σ[k=0→∞]x^k/k!
sinx=(exp(ix)-exp(-ix))/2i
の定義になれてるからこっからオイラーの公式証明して加法定理は簡単に出てくるけどこっからsinが高校の定義に一致することの証明って大変だよねｗ
こんなん思いつくのが凄すぎるし、これをRUclipsで見られるのがありがたすぎる。
この動画の証明でも用いたように、結局のところは回転が重要なので、一次変換を用いてベクトルで証明するのが一番本質的な気がしています
最高すぎます！！
いま三角関数・比の復讐をしているところなので、そこらへんの分野中心に見ていきます！！
文面だけでみると三角関数大嫌いそう
カニマヨ 嫌いですねw
ていうか数学全体好きではないです😅
2次試験まで
あとこのシリーズ何回観れるかな
証明じゃないだろうけど、ド・モアブルの定理からn倍角を係数比較から導出やつ知った時は「ふぁっ！？」てなった
わかりみが深い…
ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明したときも綺麗な形に整理されて、感動しました🥺
wakaru
係数比較というか複素数の相等というのが正しいかな(まあそこはどうでもいいけど)
余弦定理など, 距離の公式以外の他の図形的性質を使った場合は, 厳密にはα, βの値の範囲によって場合分けが必要なんだよね。
cos(α-β)は,ベクトルの内積で求めるものがお気に入りです.
僕もです。
ただ、確かあれは、0≦(α-β)≦180°に限った話なのでそこが残念だなと。
間違ってたらすみません。
@@アイスが食べたい-f6v
一応、180°から360°でも証明できそうですが、その場合、できる三角形の角度が確か2π-(α-β)と思いますが、これを{(β+2π)-α}つまり(β-α)と変形して、そこから求められる内積そのものは最終的にcos(β-α)=cosβ・cosα+sinβ・sinαとなるだけで、右辺を並び変えたらcosα・cosβ+sinα・sinβとなり、cos(β-α)=cos(α-β)になるかと。
これで、0°≦(α-β)≦360°までは求められたかなと。
本当は0°より小さい角や360°より大きい角も求める必要があるかもしれませんが、これは内積では無理かも・・・。
面白そうなので自分もsin(-a)=-sin(a)の証明を考えてみました
そこに至るまでの流れは古賀さんのやり方と同じということにして
まずsin(a+b)の加法定理の証明にsin(-a)=-sin(a)は必要ないので先に示します
これを使ってsin(b-π/2)=sin(b)cos(-π/2)+cos(b)sin(-π/2)=-cos(b)が示せます
-a=b-π/2とおくとsin(-a)=-cos(π/2-a)=-sin(a) となりました
非常にスマートですね
今週の古賀さんは加法定理の証明を、90°や270°といった「直角由来の角度」の呪縛に頼る証明から、式ベースの計算だけで求められる証明形式にアレンジしたのですね。90°といった三角形の図に頼りすぎると、一般角での証明がおろそかになり、角度を弧度法で示した意味もあまり感じられなくなるなあと思いました。
平面や立体上を移動する点の軌跡を利用して、面積や体積の最大や最小を求めさせる問題で、どうしても図形的なイメージがわかない場合、計算ミスに注意しながらゴリゴリと計算だけで解いていくのも、緊張した試験場ではありだと思います。
前回の2次方程式の解も良かったですが、今回も勉強になりました。
とても分かりやすかったです😀
sin(-α)=-sinαについて
sinのグラフを平行移動すればcosのグラフになることを利用すると、視覚的に証明が思い付きます。y=cosxのグラフを考えることにより、
cos(π/2-α)=-cos(π/2+α)
が成り立つことが簡単に分かり、これをsinの形に変形すればsin(-α)=-sinαが証明できそうなことも、グラフを考えれば分かります。実際
cos(π/2-α)=sinα
cos(π/2+α)=cos(π/2-(-α))=sin(-α)
なので、これらをcos(π/2-α)=-cos(π/2+α)に代入すれば、
sinα=-sin(-α)
を得ます。
signcosの±は個人的に波のやつでやるのが好き
これはめちゃくちゃ感動しました！素晴らしいです😂
わかります。
高1で習う公式のほとんどは曖昧です。
三角関数においては三角形なお中で成り立っていた公式が単位円が登場して拡張してからも成り立っているという前提で話が進んでいっていますよね。ピタゴラスの定理も角度を拡張して証明すべきだと思います。
sin(-α)=-sinαの証明として、次はどうでしょうか
cos(α+π/2)=cos(α-(-π/2))
と見て、cosの加法定理を使うことにより、
sinα=-cos(α+π/2)
が証明できる。右辺は
cos(α+π/2)
=cos(π/2+α)
=cos(π/2-(-α))
=sin(-α)
と変形できるので、sinα=-sin(-α)
∴sin(-α)=-sinα
sin(-a)
=cos(π/2-(-a))
=cos(a+π/2)
=cos(a-(-π/2))
=cosacos(-π/2)+sinasin(-π/2)
=-sina
あくまで幾何的に進めるなら，．．．
・点(1,0)を始点とする符号付の弧長sによる円x^2+y^2=1の媒介変数表示(x,y)=(cos{s},sin{s})をcos,sinの定義とする．
このとき
・任意の実数t,uに対して，原点を固定する正の等長変換(x,y)|->(x cos{t}-y sin{t},x sin{t}+y cos{t})による点(1,0)=(cos{0},sin{0})の像は点(cos{t},sin{t})なので，点(cos{u},sin{u})の像は点(cos(t+(u-0)),sin(t+(u-0)))，同じく，原点を固定する負の等長変換(x,y)|->(x cos{t}+y sin{t},x sin{t}-y cos{t})による点(1,0)の像も点(cos{t},sin{t})なので，点(cos{u},sin{u})の像は点(cos(t+(0-u)),sin(t+(0-u)))となり，cos,sinの加法公式を得る．
この辺りの初等的かつ厳密な話では，彌永昌吉『幾何学序説』をお勧めします．
学校の先生が大学生の時にsinを筆記体で書いてたら教授に怒られた的な事を話してた
最初のコサインの加法定理の証明ですが アルファかベータの少なくとも一つが－180度から180度までに入らない場合は、それから2πの整数倍を足して、この範囲に入るよう、変形すればよいのですね。例えば、コサイン50°－390°＝コサイン50°－30°＝コサイン50°コサイン30°＋サイン50°サイン30°＝コサイン50°コサイン390°＋サイン50°サイン390°
高校のとき、サインは「チン・コ・コ・チン」、コサインは「コ・コ・チン・チン」って覚えました。
天才
俺はしこしこかな
(積だから)
10:57の所なんですけど、
α=π/2と置いたのに、なんでcos(π/2-α)となるんですか…?
cos(π/2-β)じゃないんですか…?
それ自分も思いました
ただの書きミス説あるんですけどね…w
二つの操作を一気に行なっています。
(1)α=pi/2を代入する
(2)βをαで置き換える
これを一気にやった結果です
例えば
cos(90°-θ) = sin(θ)、sin(90°-θ)=cos(θ)
の証明は高校数学の教科書では数Aの教科書に準ずる方法で普通にやればいいと思います
まず90°-xは偏角90°の点(1,0)から負の方向にθ回転させた地点になります
一方でxは偏角0°の地点(1,0)から正の方向にθ回転させた地点になります
ここで90°-θとθに対応する地点はスタート地点も移動方向もy=xに対して対称に移動した地点となります
よって90°-θとθに対応する地点の座標はx座標とy座標を入れ替えたものになります
この説明は数学Aのθが鋭角の場合の説明ですが一般角になってもそのまま通用します
y軸反転で180°-θとθが対応するのもそのまま通用します
数学2に入ってx軸反転に関して-θとθが対応する公式が追加になりますがコレについても全く同じ論法が通用していると思います
今の検定教科書の立場ではx=y対称、x軸対称、y軸対称の場合をまず調べてそこから90°-θとθ、180°-θとθ、-θとθの特別な場合をまず調べてそこから一般の場合を証明するという立場を取ります
なので「この３つの場合を特別視して別扱いにするのは不適切な処理」とは言えないと思ってます
むしろ検定教科書の場合はこの３つのケースは一般の場合を証明するための大切な最初の一歩になってます
東大の何時ぞやの入試に出てた気がする、加法定理の証明
加法定理の証明って高校だと真剣に触れないよね。
公式の活用例ばかりで・・・
追記：学校の学力レベルによりますが
Imaizumi Yuichi
普通に青チャートの三角関数の初めに載ってるぞ
@@thetaigawawo 情報ありがとうございます。
@Imaizumi Yuichiさん
そのものズバリ、1999年文理共通問題第1問(2)にsinとcosのみ証明で出題されていましたよ。
因みに(1)は「性質について述べる」みたいな問題でした。
まさか東大入試で基礎的な問題を問われないだろうと思われていましたが、その「まさか」で世間に衝撃を与えた事は有名です。
@@asukamiraidream そのsinとcosの定義を問う(1)すら出来が悪かったのもまた有名な話
私は頭が固く、教科書でのπ/2±aの公式の導出がごちゃごちゃしてて嫌だったのでこっちでやりましたね。
三角関数の合成というんだから、三角関数の分解公式と呼ぶのが妥当な気がしてきた
sin(-a)のもっと簡単なやつを考えました。
sin(-a)=cos(π/2-(-a))=cos(a-(-π/2))
= cos(a)*0+sin(a)*(-1) = -sin(a)
（下のコメント欄にも同値なものが既にありますが、まあ1行で書ける方法もあるということで）
いずれ合成関数の微分公式証明の落とし穴には触れていただけると期待しております！
極限の概念は数Ⅲでごまかしてる部分だからなあ
sinがAinにしかみえない・・・
私は高校のときは一次変換の回転の式から加法定理を導いていました。今はオイラーの公式からかな。
ベクトル回転だいすき
オイラーの公式を使っていいなら簡単ですよね...
それを証明出来ればね
たす する必要なくねわら
@@user-mjiq22 ナチュラルに煽る屑
大学行くと証明以前に三角関数の定義がそもそもオイラーになるからなぁ
このcos(α－β)の証明は横軸より上半分に三角形が作れる範囲(0
この人が先輩だったと知って驚いている期末前
このcos(α-β)の証明は(α-β)が0°より大きく、180°より小さいのであればこれでOKですね。
残りの0°と180°、180°より大きく、360°より小さいパターン、360°はどう考えるのでしょうか?
予備校のテキストと証明方法違ったな、加法定理は証明方法が沢山ありそうだ
サムネ撮影風景がない これはいけない。
肉体覇王Jalmar 忘れてしまった
@@MasakiKoga 😭
厳密すぎるやろ笑そこが好きだけど
冒頭の２分付近、「ＰＱの長さに着目する」のは、何か合理的な動機があるんですか？。
先日、高３の受験生に「加法定理、証明できますか？」と聞かれ、僕はサッパリ忘れていて、改めて調べてみて、「何故、ここに注目すると察せられるのか？」と、ちょっと引っかかりました。
元の図形の座標と回転させた図形の座標を使って等式を作りたいので、
回転させても値が変わらないもので比べたい
→長さならできそうだ
っていう動機かと思います
加法定理がないと三角関数を微分できないんですけど
弧度法と同じく、加法定理も微分をするのに都合がいいように発明されたんでしょうか？
それとも微分法が発見されるよりも前からすでに存在していたんでしょうか？
まさき❗️また寄り道して⚡️⚡️
暗くなったら危ないから真っ直ぐ帰りなさいと言ったでしょ😠😠😠😠
Twitterで仰ってた加法定理の疑問って、こーゆーことだったのか…
東大って公式や定義の証明問題をよく出題しますか？
多くはないけど昔はたまにしてた
①の証明が図形的なのは問題ないのでしょうか？特に，PQとP'Q'が等しいのは自明として良いのでしょうか？その自明さが基本公式の自明さとどの程度異なるのが気になりました．
@@仮名-c1d 確かに，三角形の合同条件から導けますね．動画内は，図形に頼らないことが論理的である，という論旨であるように感じられたので，図形的なものからスタートすることそのものが大丈夫なのか？と感じた気がします．図形で議論するのが嫌なら，テイラー展開を定義としてスタートすれば良いわけですが，そこまでやっていないのが中途半端というか，それなら教科書的な証明でいいじゃんと思った，というのが真の意図ではあります．
@@仮名-c1d 私は，タイトルに「厳密に」とついているので，普通のやり方では厳密でない，という主張であるように感じられたのです．象限の場合分けを回避したいだけなら，タイトルは少々大仰だなぁと．まぁ，ただの難癖かもしれません．
@@tune9656 少なくとも、教科書的では図形的にしか導かない
sin(π/2-x)=cosx
などの公式を、数式的アプローチで導いているところは厳密だと思います。象限の場合分けが省けることを厳密とは言っていないと思います。
点POQが一直線に並ぶ場合は三角形にならないので、たぶん動画の中の図形はあくまで説明のためのおまけであって、「原点を中心に回転しても距離は変わらない」を自明としてるのだと思います
場合分けとかいらんかったんや！！すごい！！
中学生の俺から見たら何言ってるのかサッパリ笑
確か三角関数使わなくとも三角比さえ習えば証明出来ますね
いいですね。(⌒‐⌒)
やったあああ
サルエルに似てます🐵
某大学の過去問にありましたね...
東大ですね
文系の証明じゃなかったですか？たしか
文理共通かと
角度を2πずらしても値が変わらないというのは、認めろと。。。。
みつひこなかの それは定義ですから。
2πを超える分については、2πの整数倍だけずらして0から2πの範囲に収めて、そこで単位円を使って定義する、というのが高校数学流の定義ですので。
そりゃそうでしょ。1回転するんだからね。タンジェントは別だが。結局動径のことだからね。
θ+2nπ「nは整数」からね
どうしても動画のやり方が気に入らないのならば、最初に導いた加法定理の片割れ
cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB
でB＝2πと置けば、
cos(A-2π) = cosAcos(2π) + sinAsin(2π)
= cosA
を得ます。さすがに
cos(2π)=1, sin(2π)=0
は定義から明らかでいいでしょう？■
厳密ってのがどの程度の話なのかはっきりしないと厳密って言葉は使わない方がいいよ
すみません。先週の動画について、どうしても次の部分がわからないのでご教示ください。
√（ＡＢ）＝√Ａ√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、
左辺＝√（（－１）×（－１））＝√１＝１
右辺＝√－１×√－１＝ｉ×ｉ＝－１
左辺≠右辺
確かにＡ＜０かつＢ＜０の時、掛け算は等号不成立となります。
√（Ａ／Ｂ）＝√Ａ／√Ｂについて、Ａ＝－１、Ｂ＝－１の時、
左辺＝√（（－１）／（－１））＝√（１／１）＝√１＝１
右辺＝（√－１）／（√－１）＝ｉ／ｉ＝１
左辺＝右辺＝１
このように、Ａ＜０かつＢ＜０であっても、割り算は等号が成立します。
今回、問題にしているのは割り算のケースです。
割り算が成り立つ以上、√（（ｂ＾２－４ａｃ）／（４a＾２））＝（√（ｂ＾２－４ａｃ））／（√（４a＾２））は、
そのまま、成立するんじゃないんですか？
それなのに、何故、掛け算のケースを用いたんですか？
掛け算と割り算のケースは同じと言われてますが、上記のように結果が異なると思いますが。
問題となるのは、D=b^2-4ac 0のケース（aは0以外の実数なので後者は常に正）ですから、本来考察すべきは、A0のときです。このとき -A>0かつB>0 ですから、
√(A/B)=√{ -(-A/B) }
= i√(-A/B) ...①
= i√(-A)/√B …②
= √A/√B
となり、結局、等式は成り立ちます。従って、仰るように
√{D / (4a^2)} = √D /√(4a^2) = √D / |2a|
は、aやDの符号にかかわらず成立します（もちろんD=0でもよい）。
掛け算のケースを用いたのは、古賀さんの過ちです（誰にでも過ちはありますから…Gary Mooreにもミスタッチはあるのです）。この点については、先週の動画に対するコメントで肉体覇王jalmarさんが既にご指摘され、古賀さん自身も過ちを認めておられたように思います。宜しくご確認ください。■
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
ところで、上記の証明において①から②を導くとき、両辺における√の中身は全て正なので、√の演算法則が安全に適用できます。これを可能にしているのは、
「√の中身が負になったら、直ちに符号を反転させてiを√の外に追い出し、√の中身を正に保つ」
【すなわち、例えば√(-3) = i√3 のようにする】
という、√に関して忘れてはならないもう１つの演算規則／約束です。この約束を守っている限りは、ややこしいことを考えなくても符号を間違えることはあり得ません。■
@@たま-z6n9k さん
わかりやく解説してくださいまして、ありがとうございます。よく理解できました。
@@ワッシュー さんへ：どういたしまして。 My pleasure & honor. :-)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
※「なぜ、掛け算と割り算とでは結果が異なってくるのか？」について補足しておきます。
B0 ですから、先のコメントで述べた約束を守るならば、まず
√B = √-(-B) = i√(-B)
のように変形すべきです。この逆数を考えれば
1/√B = 1/{i√(-B)} = -i/√(-B)
となります。ところが「ある数で割る」とは「その数の逆数を掛ける」ということですから、
「√Bを掛けると、√の外にi が掛かってくる」
のに対し、
「√Bで割ると、√の外に 1/i = -i が掛かってくる
」
ことになります。ですから、両演算の結果における符号が相異なるのは、当然のことと言えます。■
@@たま-z6n9k さん
補足解説ありがとうございます。
その規則（約束）に基づいて解くことが重要ポイントなんですね。
言われてみないと凡人の私にはなかなか気がつきませんが（笑）
注意深く冷静に考えればそうですよね。
*すげえ、俺の解説の60倍は分かりやすい(・ー・)*
嫌われることを承知でご意見します。
オイラー表示で、exp i (alpha+beta) = exp i alpha * exp i beta
左右の式について定義どおりにそれぞれ開いて、実部と虚部を比較すれば公式は出ます。この方法は加法定理などは、ガウス平面上では回転作業に過ぎないことを示してます。高校数学レベルでは難しく見えますが、大学数学を睨めば、公式と認識しないで使ってしまいますので、加法定理という言葉さえ使わくなります!
高校数学ばかり突くのは卒業しましょう。世界の理系の大学生からバカにされます。さっさと先へ進みましょう。
なおオイラー表示を使わずとも、3次元の初等のベクトル解析において、ｚ軸方向ベクトルを外積で掛け算すれば同様に簡単に出ますよ。定理など意識せずに気がつくと使ってしまってます。
高校数学、受験数学から卒業し、さっさと先へ進みましょう。繰り返しですが。
大学受験時に指導要領があり、要領より先へ進むと受験時における採点が不利になりますので、大学受験予備校の先生は教えません。できない先生もいますし。中国の数学できるくんはこんな計算法笑ってます。実際３０年前に笑われました。東大の内部でですよ。ニヤニヤ笑ってました。「これが日本の最高学府の実態ですよ」ってね。上海大学合格後すぐの1年生の連中にも明らかに負けてます。彼らは次のテーマに取り組んでます。米国の学生からは受験数学はトリッキーなだけと表現されました。つるかめ算に人生捧げてもしょうがないです。超弦理論の世界へ進みましょう。
当時笑っていた人に「最高学府」の正しい定義・使い方を教えてあげて下さいね
最高学府って意味は確かに違いますね。でも彼はそう言って表現してました。なお、彼は中国数学一番の賞をもらったと聞いています。まあ、当時（約３０年前）わざわざ留学してくるような中国人は只者ではありませんがね。バカにされてたのは事実です。「東大でこれですから」と言って目配せしてたのを覚えています。すぐに博士コースを卒業し、フランスで就職したと聞いています。
あと私は出張でそこに居ただけで東大卒ではありません。東大でもこれだから、君もねと言われたのかなって感じましたけど当時は。日本語は結構適当だったのですが、中国人って褒めるときは褒めますよマジで「傾国」とは違ってね。彼と二人だけでの、お茶を楽しんでいた時の雑談時の話です。
なおトリッキー数学の話は高校時代に米国に交換留学していた同級生から聞きました。むこうで日本の受験数学を披露したそうですが、帰ってきた意見は、普通の数学のアプローチをしてほしいと言われたそうです。曲芸は意味なしって。
高校数学での三角関数の定義からすればその証明に意味はありません
単位円の座標という状態から始めなければならないわけですから
これが高校数学の定義を起点とする証明だからと言って下等なわけではないです
定められた定義のみから法則を導き出していく、これが本質的なことなのではないでしょうか 海外の教育はあまりに知識的なことに目が向きすぎて思考力の点で大きく日本の教育に劣っていると思います
e^ix=cosx+isinxと定めるのは貴方の勝手ですが、e^i(x+y)=e^ix・e^iyなどという指数法則を持ち出すのは背理と言わざるを得ません
なぜなら虚数に拡張したベキ乗において指数法則が成り立つかは証明されていないからです その性質こそ加法定理によって証明されているのです
@@田中一郎-v2d
背理ですか、
下から積み上げていけばいいのですか？数学は歴史順に学ばないといけないのですか。結論がわかってるのに。数学信者ですね。
結論がわかってしまったらそちらから、数学を再構成、再定義してみればという意見もあります。
デルタイプシロン論法など、数学にもかなり恣意的なものがあって、数学者同士でも論争があリます。数学っていい加減なところもあると大学に入った後に知りました。物理学の成果を横目で見ながらの後付の理屈もかなりありますよ。また数学科の教授どうしが相互に言い合ってますよ。
さて、この問題は、単位円上での、単なる回転操作の議論で、図形の問題です。ユークリッド数学の作図で済む問題です。どっちの定義が先かなどと言ってたら、歴史順になるにでは?
世紀が変わったのにオイラーにまでも行き着いてない。虚しい話だと思います。人生の無駄遣いと思います。
私見ですので議論が続かないのを承知してます。非礼はご容赦。
私は応用数学系です。ちなみに日本にこの学科はありません。米国にありますけど、何故か日本にないんですよね。物理学科系の論文でそのような記載がありました。貴方の数学が宗教に見えます。 申し訳ない。
3次元のベクトル解析からも行けそうですがどうでしょう?
受験数学は私にあってないようです。撤退します。物理数学を志向します。
@@jalmar40298 論証で反論できない人ね２回続いた。きみの論文くらい見せてね。学会の査読に耐えられたやつなら読んでみるよ。英語でもいいよ。耐えられるものにしてくれ。ちゃんと反論した人のほうが多いよ、君だけ例外。言葉のみ。あ、名前伏せていいから。論文は進歩性はともかく少なくとも新規性はないとね。
他の書き込みも確認したが，君には数学も物理も含めた，およそ理学というものついての理解が伴っていないことが読み取れた．
薄っぺらな内容の伴わない検索語句を並べているだけの知ったかぶりだ．ルールベースAIでももうちょっとマシかもしれん．
君には物理数学も無理だ．物理数学も流儀によっては公理的方法論もありうる．
君が笑われるのは日本の教育の問題ではなく，君自身の能力に問題があるからだよ．
とりあえずお疲れさん．君のドグマにまともに賛同する人はいない．
@@saundersN キチガイに構ってこれ以上時間を無駄にするな
これ以上無益な議論をしてコメント欄を荒らすようであればお前も
江口辰哉と同レベルのキチガイとみなす
この程度で撤退しているようでは先が思いやられます。