🎓 MATHE VORKURS | Berechne ∫sin(x)∙cos(x) dx | Partielle Integration #4 | Integralrechnung FH, UNI
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- Опубликовано: 21 июл 2024
- Unimathematik ist tatsächlich eine ganz andere Liga als Schulmathematik. Wollte ich damals nicht glauben, aber bin dann schon im Vorkurs eines Besseren belehrt wollen. Damit ihr nicht so ins kalte Wasser springt wie ich, kommen in nächster Zeit häufiger Videos mit Unimathe. Wie dieses hier, zum Thema "Partielle Integration".
Alle meine Videos sind kostenlos und werden es bleiben. Ich weiß es sehr zu schätzen, wenn ihr die viele Zeit, Mühe und Liebe honoriert, die in die Videos und das ganze Drumherum fließen und freue ich mich immer sehr über ein Dankeschön per Paypal: www.paypal.com/paypalme/mathe...
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🎓 MATHE VORKURS | Berechne ∫sin(x)∙cos(x) dx | Partielle Integration #4 | Integralrechnung FH, UNI
***** Für die Kapitel: ************************************
0:00 Partielle Integration Idee
0:40 Formel und Lösungsansätze
0:50 Tipps zur Wahl von u und v'
2:00 Partielle Integration Beispiel
4:44 Der Trick mit dem Rüberholen
6:15 Outro und Videoempfehlungen
***** Und zum Schluss noch die Tags: *****************
#Unimathe #Vorkurs #Integralrechnung
Die komplette Playlist zur Partiellen Integration findet hier hier:
ruclips.net/p/PLW6pxDxlBvBne3hlQEr4KMD77PLtsjylF
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Magda liebt Mathe und ich liebe Magda
Sehr schön und nachvollziehbar! Habe die P.I. noch nie aus dieser Sichtweise betrachtet. Vielen Dank für diese Nachhilfestunde!😀
Hey! Supergern! Das ist schon „Lektion 4“ 🦊. Hier findest du die ersten drei Lektionen zur P.I. in der ich die verschiedenen Arten der P.I. auch nochmal detailliert vorstelle:
Partielle Integration
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Super erklärt. Immer interessant deine Videos anzuschauen, weil man sogar mitkommt, auch wenn man noch gar keine Integrale in der Schule gelernt hat. Weiter so :)
Mega!! Das freut mich total zu hören, weil es auch mein Anspruch an mich selbst bzw. meine Videos ist: Ich will eigentlich NICHTS voraussetzen. Die Videos sollen so gemacht sein, dass man auch ohne viel Vorwissen alles verstehen kann ☺. Danke für deine Nachricht!! ❤
Es ist ein gutes Beispiel zu zweimaliger partieller Integration. Ich würde allerdings das Integral ohne partielle Integration berechnen :
sinx * cos x = 1/2 *sin2x , damit hat man die Antwort -1/4 cos2x sofort.
Hatte sofort die gleiche Idee...
Sehr schick! Megagut erkannt! 🚀🚀🚀
Ausführung deiner Idee:
b
∫sin(x)*cos(x)*dx = ?
a
Lösung des unbestimmten Integrals mit Substitution:
u=2x ⟹ du/dx=2 ⟹ dx=du/2
∫sin(x)*cos(x)*dx = 1/2*∫2*sin(x)*cos(x)*dx = 1/2*∫sin(2x)*dx
= 1/4*∫sin(u)*du = -1/4*cos(u)+C1 = -1/4*cos(2x)+C1
= -1/4*[cos²(x)-sin²(x)]+C1 = 1/4*[sin²(x)-cos²(x)]+C1
= 1/4*[2*sin²(x)-cos²(x)-sin²(x)]+C1
= 1/4*{2*sin²(x)-[cos²(x)+sin²(x)]}+C1 = 1/4*{2*sin²(x)-1}+C1
= 1/4*2*sin²(x)-1/4+C1 = sin²(x)/2+C2 ⟹
Das bestimmte Integral lautet dann:
b b
∫sin(x)*cos(x)*dx = [sin²(x)/2]
a a
Echt nice's Standard-Beispiel. Selbst schon tausendmal erklärt. Ein echter Klassiker.
Ich selbst finde integrieren und differenzieren langweilig, weil es nur ein paar Regeln gibt und die muss man halt können.
Dann ist es eh nur runterrechnen. Also rechnen nach Schema-F.
Aber die Idee, die dahintersteckt ist schon faszinierend.
Wenn das nächste mal jemand Hilfe braucht, empfehle ich dein Video. Dann muss ich das nicht erklären.
Das hast du nämlich echt KLASSE gemacht.
Zur Schreibweise:
sin²(x) = sin(x) * sin(x)
sin(x²) = sin(x*x)
sin(x)² sollte man vermeiden, außer man schreibt (sin(x))²
LG Gerald
Heyyy Gerald, wie cool, da freu ich mich sehr, wenn du meine Videos empfiehlst und dir damit selbst die Erklärarbeit sparen kannst 😃. Ist PI bei euch im offiziellen Schullehrplan noch drin? 🦊
@@magdaliebtmathe Ich habe es in der HTL damals schon gemacht.
Ist aber schon eine Zeit her (1999 - 2004)
LG Gerald
Da haben wir echt gute Mathebücher gehabt.
Ingenieur Mathematik 1 bis 4 vom Dorner Verlag. Kann ich nur empfehlen.
@@magdaliebtmathe ich kann dir die Bücher auch über One Drive teilen. Diese 4 Bücher sind echt TOP.
Mega. Hätte ich dich mal früher gefragt oder gekannt. 😡 hätte bestimmt mehr Punkte in den Prüfungen bekommen 😍
Ganz sicher sogar! 😘😉
@@magdaliebtmathe 😍
@@magdaliebtmathe 😘
Gleich geschafft.
Ein sehr schönes Beispiel für PI. Spannenderweise kann man das Integral auch mit der Substitutionsmethode lösen :).
ODER: Was ich gerne mache, aber vermutlich viele nicht wissen:
* ∫ f*f' dx = (f^2)/2 + c Immer sozusagen f quadrieren dann halbieren. *
(Fast sowie die Qudratische Ergänzung, obwohl das jetzt damit nichts zu tun hat, dort muss ich auch den Koeffizienten von x zuerst quadrieren,...)
Vielleicht mach ich auch ein Video dazu :)
Mach das! 🦊🦊🦊
Wenn man bedenkt, dass cosx=(sinx)', gibt es tatsächlich eine weitere Methode ganz ohne PI: Substitution sinx:=u, dann ergibt sich Integral u du, was sofort zu lösen ist. ;) Natürlich ist das Thema dieses Videos die PI und vor dem Hintergrund macht es auch definitiv Sinn, das so zu erklären. Aber wie so oft führen mehrere Wege nach Rom. 😄 Genau diese Eigenschaft dieser Funktion, dass sowohl PI als auch Substitution zum Ziel führen, habe in meiner Mathe-Tutorentätigkeit auch ausgenützt, um beide Methoden an ein und dem selben Beispiel zu zeigen. ;)
Analog, aber tatsächlich ohne so eine einfache Substitutionsmethode als Alternative würde es übrigens bei den Integralen von sin^2(x) und cos^2(x) funktionieren. (Zusätzlich zur PI muss man dann auch noch den trigonometrischen Pythagoras anwenden.) 🤓😉
Heyyyy, ja, genau!! Supersmart, mit der Substitution! Dazu wollte ich demnächst auch mal so eine Minireihe machen wie ich's jetzt für die PI gemacht hab 🦊🦊🦊. Kommt baaald!
Ausführung deiner Idee:
b
∫sin(x)*cos(x)*dx = ?
a
Lösung des unbestimmten Integrals mit Substitution:
u=sin(x) ⟹ du/dx=cos(x) ⟹ dx=du/cos(x)
∫sin(x)*cos(x)*dx = ∫u*cos(x)*du/cos(x) = ∫u*du = u²/2+C = sin²(x)/2+C ⟹
Das bestimmte Integral lautet dann:
b b
∫sin(x)*cos(x)*dx = [sin²(x)/2]
a a
@@gelbkehlchen Top! 👍 Genau so war auch mein Gedankengang. ;)
2:25 Ableitungen (und Integrale) von Sinus und Cosinus. Den Aufbau der beiden Kreise kann ich mir nicht 100% sicher auswendig merken, weswegen ich mir die Zusammenhänge des Öfteren wieder veranschauliche. Grafisch dargestellt sind die beiden Schwingungen versetzt (professionell: um 90° phasenverschoben), wobei der Cosinus dem Sinus um 90° hinterherhinkt. Der Sinus ist bei 90° = 1 und an einem Maximum angekommen. Die Ableitung ist daher Null. Und der Cosinus von 90° ist auch Null (90° hinterherhinkend). Bei 180° ist der Sinus = 0 und die Ableitung gleich -1. Der Cosinus von 180° ist ebenfalls -1. …. sin(360°) = sin(0°) = 0, die Steigung (1. Ableitung) ist +1, und cos(0°) = +1. In anderer Richtung kommt man vom Cosinus auf den Sinus. Mir hilft’s. Euch auch?
Dazu hab ich mal bei Geogebra ne richtig coole Animation gesehen, bei der man die Ecke von einem Dreieck auf einem Einheitskreis verschiebt und dann Sinus und Cosinus die Katheten sind. Das wollte ich demnächst auch mal verfilmen, weil es genau dieses Hinterherhinken supergut geometrisch erklärt! 😊😊
So ähnlich wie hier: www.geogebra.org/m/K2BjkaFg#material/ysgzwVFM
Hier noch eine Bemerkung zu anderen Lösungsmöglichkeiten: der Integrand ist vom Typus f '(x) *f(x) ,und da ist das unbestimmte Integral
1/2*f(x)^2 = 1/2*sinx^2 oder aber auch - 1/2 cosx ^2. Die scheinbar verschiedenen Lösungen unterscheiden sich nur um eine Konstante , die aber beim bestimmten Integral wegfällt. (Man muss nur die Identitäten cos2x = cosx ^2 - sinx^2 und sinx^2 + cosx^2 = 1 beachten )
Heyyyy René! Richtig guter Ansatz!! 🚀🚀🚀
Wie sieht es mit Additionstheoremen aus? sin(x)cos(x) = 1/2sin(2x)
Heyyy Ralf! Das ist auch ne coole Idee! Allerdings hat man dann natürlich noch eine Verkettung im Sinn, weil es nicht nur das x in der Klammer hat, sondern das 2x. Heißt, man müsste mit Substitution weitermachen. Aber viele Wege führen nach Rom!! 🦊🚀💫
Wie würde man sin(x)*cos(y) integrieren?
Diese Aufgabe lässt sich wunderschön mit der PI berechen, aber auch mit der Substitutionsmethode.
ODER: wie ich die Aufgabe lösen würde:
Wir haben ein Integral der Form: ∫f*f' dx und es gilt immer bei solchen Integralen:
∫f*f' dx = (f^2)/2 +c (Die Formel kann man auch ganz einfach mit der Substituionsmethode herleiten)
ich muss sozusagen f quadrieren, dann halbieren. (Ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung :)) obwohl es damit jetzt nichts zu tun hat.)
Stimmt! Zur Substitution will ich demnächst auch mal eine Reihe machen wie die hier zur PI! 🦊
Kann mir jemand bitte sagen warum bei: 4^x=2^200 nicht 4^199 sondern 4^100 rauskommt 🤔
Sehr schöne Aufgabe! Könnte ich glatt mal für ein Video nutzen! Du musst die linke Seite umbauen zu (2^2)^x. Daraus wird dann mit den Potenzgesetzen 2^(2*x). Dann machst du Exponentenvergleich und weißt, dass 2x=200 gilt und dann ist x=100. was genau du mit 4^199 und 4^100 meinst, weiß ich nicht genau. Die Aufgabe ist ja sicherlich, das x auszurechnen, oder? 😇
@@magdaliebtmathe ja, danke 👍👍
Also, ich würde nicht sagen, dass man die Formel auswendig lernen muss, da sie sich sehr schnell mit Produktregeln herleiten lässt. Die Aufgabe lässt sich übrigens auch mit Substitution lösen.
Stimmt! Substi klappt auch, Timur 🦊🦊🦊. Dazu mach ich demnächst auch mal so eine Minireihe wie ich es jetzt für die PI gemacht hab! 💫
Schöner Trick, wüsste auch keinen anderen Weg, um das zu integrieren. Gibt es denn noch andere Wege?
Will man Fourier-Reihen von Polynomen berechnen, benötigt man gelegentlich noch Integrale von x^7 sin(k x). Dies geht prima mit "fortgesetzter partieller Integration". Dafür finde ich Deinen Weg aber zu kompliziert; mein Mathe-Prof hatte damals ein schönes Rechnenschema. (Schade, dass ich hier nur Text posten kann...)
Wenn man bedenkt, dass cosx=(sinx)', gibt es tatsächlich eine weitere Methode ganz ohne PI: Substitution sinx:=u, dann ergibt sich Integral u du, was sofort zu lösen ist. ;)
Oder auch: Beachte, dass sin(2x)=2*sinx*cosx, bzw. sinx*cosx=1/2*sin(2x), also ist das Integral von 1/2*sin(2x) zu bilden, was ebenfalls relativ straight forward geht. Nur ist daran etwas suboptimal, dass auch die Stammfunktion 2x als Argument hat statt x wie die Ursprungsfunktion. Manchen mag das auch egal sein, aber ggf. müsste man zur erneuten Umformung trigonometrische Formeln im Kopf parat haben, bzw. nachschauen, um wieder nur von x abhängige Ergebnisse zu haben. Ist aber letztlich Geschmackssache. ;-)
Genau, die Substitution ist ne coole Alternative, wie novidsonmychannel justcommenting vorschlägt! 🦊
PS: Ich würde auch suuuupergerne manchmal einfach ein Foto mit einer Rechnung kommentieren können. Oder eine Sprachnachricht! 😃😃😃
🤗
❤️😘
Quadrat am Argument vom Sinus, also sin(x)², habe ich ja noch nie gesehen. Üblich ist doch sin²(x), zumindest in der Physik. Sind da die Gewohnheiten in der reinen Mathematik anders?
Es geht beides! 🦊
Unimathe?! Wir machen das gerade in der 13.Klasse 😢🥲
Oha, ihr Armen! 😃
Meine Lösung war dieselbe.
Wie schön, das freut mich! 😍
konnte mich nicht konzentrieren war auf was anderes fokussiert
😂
I=sinx.cosxdx, sinx=u, cosxdx=du, cosxdx=dv, v=sinx, so: I = sinx²-Int(sinx.cosxdx), weil (sinx.cosxdx)=I ist kann man dies auf die linke Seite von I werfen, dann bekommt man:
2I=sin²x und I =(sin²x)/2 zwischen [a,b].
Die 2. Lösung wäre, wenn man cosx als u definiert: cosx=u, und -sinxdx = du und sinxdx=dv, daraus folgt: -cosx=v, somit I = cosx(-cosx)-Int(-sinxdx)(-cosx)= -cos²x-Int sinx.cosxdx, weil (sinx.cosxdx)=I ist wirft man dies auf die Linken Seite und bekommt : 2I=-cos²x, und
I = -cos²x/2 zwischen [a,b] 🤗