Sehr schöne Aufgabe - und super gelöst, danke! 🙂 Gerne mehr von solchen Aufgaben, macht Spaß! Der Trick besteht darin, dass man eben nicht versucht, die Gleichung (u - 2)^2 = - 3 aufzulösen (dann landet man bei den komplexen Zahlen), sondern die 3 auf der „linken“ Seite belässt. Dann ist klar, dass (u - 2)^2 = 0 sein muss, damit das Minimum erreicht wird. btw: x = ln(2)/ln(5) ≈ 0,4306765581 🙂
Super Aufgabe! Ich habe den den Nummer genommen und den Scheitelpunkt berechnet, das ergibt S(2/3). Der Scheitelpunkt ist das Minimum mit f(u)=3. Auch dann ergibt sich das Ergebnis 1/3. Vielen Dank!!!!
Auf dem Hundespaziergang habe ich mir noch den kürzesten Lösungsweg überlegt : mit der Abkürzung y= 5^x schreibt man den Term als 1/((y-2)^2 +3) ,also maximaler Wert 1/3.
Lösung (diesmal mathematisch begründet): Ich suche bei der Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 den tiefsten Punkt, dort ist auch bei der Ursprungsfunktion f(x) = 1/[5^(2x)-4*5^x+7] der höchste Punkt. Und zwar wandle ich die Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 um in eine Scheitelpunktform so ähnlich wie bei der entsprechenden quadratische Funktion y = x²-4x+7 = x²-4x+4+3 = (x-2)²+3. Also: g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 = (5^x)²-4*5^x+4+3 = (5^x-2)²+3 Nun wird der Klammer Ausdruck durch das Quadrat immer positiv und kann nur möglichst klein werden, wenn er null ist, der kleinste Wert der Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 ist also 3. Somit ist der höchste Wert der ursprünglichen Funktion 1/3. Antwort (d) ist richtig.
Hier geht es sehr einfach :(1). Der Nenner muss minimal sein. (2) Hilfsvariable t = 5^x. Dann muss die erste Ableitung von f[t] = t^2-4*t +7 Null sein ,ergibt t = 2 = 5^x . Maximaler Wert also 1/(2^2 - 4*2 +7) = 1/3 .
Antwort (d) ist richtig. Ich habe es mir diesmal ganz einfach gemacht (und vielleicht nicht mathematisch korrekt). Die Funktion bei Geogebra (Zeichenprogramm für Mathematik) eigegeben, unter der "Punktefunktion" "Extremum" gesucht und schwupsdiwups kam 1/3 heraus.
Ich hab's bis zur Substitution geschafft, aber auf die einfache Idee, die 7 zu zerlegen, bin ich nicht gekommen, obwohl da alles nach binomischer Formel schrie. Die lag da schon auf dem Silbertablett! Ich hatte die Primzahlen-Schockstarre. Die kann man nicht zerlegen, die sind unantastbar. Auch nicht mit plus. [Hier bitte englische Flüche einfügen, gerne auch derbe.]
Meine Lösung geht wie folgt: Wenn die Funktion f _maximiert_ werden soll, genügt es, denn Nenner zu _minimieren_ (je kleiner z, desto größer ist 1/z). Also muß man nur die Nennerfunktion g(x) = 5^(2x) - 4(5^x) + 7 bzw. (5^x)^2 - 4*(5^x) + 7 auf Extremstellen untersuchen. Substitutiert man t = 5^x (wie man es auch bei einer Exponentialgleichung täte), so erhält man g(t) = t^2 - 4t + 7, mit der Ableitung g'(t) = 2t - 4. Setzt man diese gleich Null, ergibt sich t = 2. Wegen g''(t) = 2 > 0 handelt es sich tatsächlich um ein lokales Minimum, welches g(2) = 2^2 - 4*2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 beträgt. Dieses Minimum ist auch global, da es eine quadratische Funktion ist (der Scheitelpunkt ist also S(2 | 3)). Da die Exponentialfunktion t(x) = 5^x streng monoton wachsend ist, ist sie durch den Fünfer-Logarithmus eindeutig umkehrbar. Deshalb können wir nun t = 2 und t = 5^x kombinieren zu 5^x = 2. Setzen wir das in die Funktion f ein, erhalten wir das Maximum dann zu f(log5(2)) = 1/3 (denn der Nenner hat als Minimum ja den Wert 3, wie wir gesehen haben). Somit ist Antwort d) richtig.
Potenzen im Nenner, die sind hier der Renner. Dafür sucht der Kenner nach dem kleinsten Nenner. Die 2te Binomische Funktion sieht er beim 1ten Blicke schon. Und 7 = 2^2 + 3. Das Heureka rückt rasch herbei. Die Moral von der Geschicht, leicht ist dieses Rätsel nicht. Denn der Kenner ist nicht angeboren, er wird durch Üben erst erkoren. Durch Üben erst entsteht der Blick, zur Lösung -- und zum eignen Glück. Und Glücksgefühl bringt jedem viel.
Yesss. Es ist Aufgabe 6 aus 2020. Denkst du, ich würde hier Quatsch erzählen und Cambridge-Aufgaben erfinden? 😃😃 Hier erspare ich dir das googlen: www.admissionstesting.org/Images/616954-past-paper-tmua-2020-paper-1.pdf
@@magdaliebtmathe Danke für die Quellenangabe, du hast Recht. Ich hatte gezweifelt weil mir das nicht nach Uni Mathematik aussieht ist das ein allgemeiner Aufnahmetest für irgendwelche Studiengänge oder fürs Trinity College?
Hab stumpf abgeleitet und war auch richtig xD Hab aber die Kehrwerte genommen 1/f(x) = [Nennerterm] Dann nach dem Minimum gesucht. XD Edit: einfach 7 = 2^2 +3 .... Wäre ich nie drauf gekommen😄 MfG
Ohne groß zu rechnen, würde ich 1/3 sagen. Warum? Das Maximum eine Bruchgleichung ist das Minimum des Kehrwerts. Also statt Max(1/...) suchen wir Min(.../1) oder einfach Min(...). Für das Minimum ist der konstante Wert irrelevant, also kann die +7 am Ende ignoriert werden. X steht nur in Exponenten. Da diese extrem schnell extrem groß werden, kann man getrost alle Lösungen >1 ignorieren, da diese niemals das Minimum sein können. Bleiben noch (d), (e) oder (f), die alle eine Wurzel darstellen. Jetzt schaut man, wann der erste Teil kleiner als der zweite Teil wird, also wann das ganze ins negative wechselt. Dazu setzt man die beiden Teile gleich und sieht, das auf beiden Seiten 5^x ausgeklammert werden kann. Dadurch bleibt nur noch 5^x = 4. Man muss kein Genie sein, um zu erkennen, das es ungefähr 1 ergibt. Daher muss das Ergebnis möglichst nahe an 1 sein. Und aus (d), (e) und (f) ist (d) mit 1/3 ganz klar am nächsten.
Sehr schöne Aufgabe - und super gelöst, danke! 🙂 Gerne mehr von solchen Aufgaben, macht Spaß!
Der Trick besteht darin, dass man eben nicht versucht, die Gleichung (u - 2)^2 = - 3 aufzulösen (dann landet man bei den komplexen Zahlen), sondern die 3 auf der „linken“ Seite belässt.
Dann ist klar, dass (u - 2)^2 = 0 sein muss, damit das Minimum erreicht wird.
btw: x = ln(2)/ln(5) ≈ 0,4306765581 🙂
Super Aufgabe!
Ich habe den den Nummer genommen und den Scheitelpunkt berechnet, das ergibt S(2/3). Der Scheitelpunkt ist das Minimum mit f(u)=3. Auch dann ergibt sich das Ergebnis 1/3. Vielen Dank!!!!
Supergerne, Ralf!! Sehr smart, mit dem Scheitelpunkt! 🦊🦊🦊
Auf dem Hundespaziergang habe ich mir noch den kürzesten Lösungsweg überlegt : mit der Abkürzung y= 5^x schreibt man den Term als 1/((y-2)^2 +3) ,also maximaler Wert 1/3.
Wow!!! Köperliche und geistige Ertüchtigung gleichzeitig! I like! Bin früher immer zum Lernen Speedspazieren gegangen 😃😃.
Substitution sind einfach cool
Finde ich auch! 😍
Lösung (diesmal mathematisch begründet):
Ich suche bei der Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 den tiefsten Punkt, dort ist auch bei der Ursprungsfunktion f(x) = 1/[5^(2x)-4*5^x+7] der höchste Punkt. Und zwar wandle ich die Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 um in eine Scheitelpunktform so ähnlich wie bei der entsprechenden quadratische Funktion
y = x²-4x+7 = x²-4x+4+3 = (x-2)²+3. Also:
g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 = (5^x)²-4*5^x+4+3 = (5^x-2)²+3
Nun wird der Klammer Ausdruck durch das Quadrat immer positiv und kann nur möglichst klein werden, wenn er null ist, der kleinste Wert der Nennerfunktion g(x) = 5^(2x)-4*5^x+7 ist also 3. Somit ist der höchste Wert der ursprünglichen Funktion 1/3.
Antwort (d) ist richtig.
Top Video 👍
um die ecke und über zwei etagen gedacht - wär doch gelacht.
gut gemacht!
Diesmal sehe ich kein Risiko, dass YT unsere Kommentare löscht 😈
Hier geht es sehr einfach :(1). Der Nenner muss minimal sein. (2) Hilfsvariable t = 5^x. Dann muss die erste Ableitung von f[t] = t^2-4*t +7 Null sein ,ergibt
t = 2 = 5^x . Maximaler Wert also 1/(2^2 - 4*2 +7) = 1/3 .
Antwort (d) ist richtig. Ich habe es mir diesmal ganz einfach gemacht (und vielleicht nicht mathematisch korrekt). Die Funktion bei Geogebra (Zeichenprogramm für Mathematik) eigegeben, unter der "Punktefunktion" "Extremum" gesucht und schwupsdiwups kam 1/3 heraus.
Danke, schön erklärt
Ich hab's bis zur Substitution geschafft, aber auf die einfache Idee, die 7 zu zerlegen, bin ich nicht gekommen, obwohl da alles nach binomischer Formel schrie. Die lag da schon auf dem Silbertablett! Ich hatte die Primzahlen-Schockstarre. Die kann man nicht zerlegen, die sind unantastbar. Auch nicht mit plus. [Hier bitte englische Flüche einfügen, gerne auch derbe.]
Meine Lösung geht wie folgt:
Wenn die Funktion f _maximiert_ werden soll, genügt es, denn Nenner zu _minimieren_ (je kleiner z, desto größer ist 1/z). Also muß man nur die Nennerfunktion g(x) = 5^(2x) - 4(5^x) + 7 bzw. (5^x)^2 - 4*(5^x) + 7 auf Extremstellen untersuchen. Substitutiert man t = 5^x (wie man es auch bei einer Exponentialgleichung täte), so erhält man g(t) = t^2 - 4t + 7, mit der Ableitung g'(t) = 2t - 4. Setzt man diese gleich Null, ergibt sich t = 2. Wegen g''(t) = 2 > 0 handelt es sich tatsächlich um ein lokales Minimum, welches g(2) = 2^2 - 4*2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 beträgt. Dieses Minimum ist auch global, da es eine quadratische Funktion ist (der Scheitelpunkt ist also S(2 | 3)).
Da die Exponentialfunktion t(x) = 5^x streng monoton wachsend ist, ist sie durch den Fünfer-Logarithmus eindeutig umkehrbar. Deshalb können wir nun t = 2 und t = 5^x kombinieren zu 5^x = 2. Setzen wir das in die Funktion f ein, erhalten wir das Maximum dann zu f(log5(2)) = 1/3 (denn der Nenner hat als Minimum ja den Wert 3, wie wir gesehen haben).
Somit ist Antwort d) richtig.
Sehr clever! So ähnlich hätte ich es auch gemacht :)
Potenzen im Nenner,
die sind hier der Renner.
Dafür sucht der Kenner
nach dem kleinsten Nenner.
Die 2te Binomische Funktion
sieht er beim 1ten Blicke schon.
Und 7 = 2^2 + 3.
Das Heureka rückt rasch herbei.
Die Moral von der Geschicht,
leicht ist dieses Rätsel nicht.
Denn der Kenner ist nicht angeboren,
er wird durch Üben erst erkoren.
Durch Üben erst entsteht der Blick,
zur Lösung -- und zum eignen Glück.
Und Glücksgefühl
bringt jedem viel.
Wenn Taschenrechner erlaubt sind hat man die 6 Lösungen doch schnell durchprobiert... 😁
Haha! TR sind natürlich nicht erlaubt 😃😃. Wenn TR erlaubt wären, wäre es nicht Cambridge 😋.
Gibt es irgendeine Quelle zu der Aufgabe wo man bestätigt sieht dass diese aus einem Aunahmetest von Cambridge stammt?
Yesss. Es ist Aufgabe 6 aus 2020. Denkst du, ich würde hier Quatsch erzählen und Cambridge-Aufgaben erfinden? 😃😃
Hier erspare ich dir das googlen: www.admissionstesting.org/Images/616954-past-paper-tmua-2020-paper-1.pdf
@@magdaliebtmathe Danke für die Quellenangabe, du hast Recht. Ich hatte gezweifelt weil mir das nicht nach Uni Mathematik aussieht ist das ein allgemeiner Aufnahmetest für irgendwelche Studiengänge oder fürs Trinity College?
@@maxl431 Das weiß ich leider nicht genau. 🙊
Hab stumpf abgeleitet und war auch richtig xD
Hab aber die Kehrwerte genommen
1/f(x) = [Nennerterm]
Dann nach dem Minimum gesucht. XD
Edit: einfach 7 = 2^2 +3 .... Wäre ich nie drauf gekommen😄
MfG
Ohne groß zu rechnen, würde ich 1/3 sagen. Warum?
Das Maximum eine Bruchgleichung ist das Minimum des Kehrwerts.
Also statt Max(1/...) suchen wir Min(.../1) oder einfach Min(...).
Für das Minimum ist der konstante Wert irrelevant, also kann die +7 am Ende ignoriert werden.
X steht nur in Exponenten. Da diese extrem schnell extrem groß werden, kann man getrost alle Lösungen >1 ignorieren, da diese niemals das Minimum sein können.
Bleiben noch (d), (e) oder (f), die alle eine Wurzel darstellen.
Jetzt schaut man, wann der erste Teil kleiner als der zweite Teil wird, also wann das ganze ins negative wechselt. Dazu setzt man die beiden Teile gleich und sieht, das auf beiden Seiten 5^x ausgeklammert werden kann. Dadurch bleibt nur noch 5^x = 4. Man muss kein Genie sein, um zu erkennen, das es ungefähr 1 ergibt.
Daher muss das Ergebnis möglichst nahe an 1 sein. Und aus (d), (e) und (f) ist (d) mit 1/3 ganz klar am nächsten.
Ich glaube man ist schneller wenn man die Werte einfach einsetzt und schaut wo der größte Wert raus kommt
🙄😵